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Theorem opsqrlem6

Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 23-Aug-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses opsqrlem2.1 𝑇 ∈ HrmOp
opsqrlem2.2 𝑆 = ( 𝑥 ∈ HrmOp , 𝑦 ∈ HrmOp ↦ ( 𝑥 +op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( 𝑥𝑥 ) ) ) ) )
opsqrlem2.3 𝐹 = seq 1 ( 𝑆 , ( ℕ × { 0hop } ) )
opsqrlem6.4 𝑇op Iop
Assertion opsqrlem6 ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝐹𝑁 ) ≤op Iop )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 opsqrlem2.1 𝑇 ∈ HrmOp
2 opsqrlem2.2 𝑆 = ( 𝑥 ∈ HrmOp , 𝑦 ∈ HrmOp ↦ ( 𝑥 +op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( 𝑥𝑥 ) ) ) ) )
3 opsqrlem2.3 𝐹 = seq 1 ( 𝑆 , ( ℕ × { 0hop } ) )
4 opsqrlem6.4 𝑇op Iop
5 fveq2 ( 𝑗 = 1 → ( 𝐹𝑗 ) = ( 𝐹 ‘ 1 ) )
6 5 breq1d ( 𝑗 = 1 → ( ( 𝐹𝑗 ) ≤op Iop ↔ ( 𝐹 ‘ 1 ) ≤op Iop ) )
7 fveq2 ( 𝑗 = ( 𝑘 + 1 ) → ( 𝐹𝑗 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) )
8 7 breq1d ( 𝑗 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( 𝐹𝑗 ) ≤op Iop ↔ ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤op Iop ) )
9 fveq2 ( 𝑗 = 𝑁 → ( 𝐹𝑗 ) = ( 𝐹𝑁 ) )
10 9 breq1d ( 𝑗 = 𝑁 → ( ( 𝐹𝑗 ) ≤op Iop ↔ ( 𝐹𝑁 ) ≤op Iop ) )
11 1 2 3 opsqrlem2 ( 𝐹 ‘ 1 ) = 0hop
12 idleop 0hopop Iop
13 11 12 eqbrtri ( 𝐹 ‘ 1 ) ≤op Iop
14 idhmop Iop ∈ HrmOp
15 1 2 3 opsqrlem4 𝐹 : ℕ ⟶ HrmOp
16 15 ffvelrni ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 𝐹𝑘 ) ∈ HrmOp )
17 hmopd ( ( Iop ∈ HrmOp ∧ ( 𝐹𝑘 ) ∈ HrmOp ) → ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∈ HrmOp )
18 14 16 17 sylancr ( 𝑘 ∈ ℕ → ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∈ HrmOp )
19 eqid ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) = ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) )
20 hmopco ( ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∈ HrmOp ∧ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∈ HrmOp ∧ ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) = ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) → ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) ∈ HrmOp )
21 19 20 mp3an3 ( ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∈ HrmOp ∧ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∈ HrmOp ) → ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) ∈ HrmOp )
22 18 18 21 syl2anc ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) ∈ HrmOp )
23 leopsq ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∈ HrmOp → 0hopop ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) )
24 18 23 syl ( 𝑘 ∈ ℕ → 0hopop ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) )
25 leop3 ( ( 𝑇 ∈ HrmOp ∧ Iop ∈ HrmOp ) → ( 𝑇op Iop ↔ 0hopop ( Iopop 𝑇 ) ) )
26 1 14 25 mp2an ( 𝑇op Iop ↔ 0hopop ( Iopop 𝑇 ) )
27 4 26 mpbi 0hopop ( Iopop 𝑇 )
28 hmopd ( ( Iop ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ) → ( Iopop 𝑇 ) ∈ HrmOp )
29 14 1 28 mp2an ( Iopop 𝑇 ) ∈ HrmOp
30 leopadd ( ( ( ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) ∈ HrmOp ∧ ( Iopop 𝑇 ) ∈ HrmOp ) ∧ ( 0hopop ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) ∧ 0hopop ( Iopop 𝑇 ) ) ) → 0hopop ( ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) +op ( Iopop 𝑇 ) ) )
31 29 30 mpanl2 ( ( ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) ∈ HrmOp ∧ ( 0hopop ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) ∧ 0hopop ( Iopop 𝑇 ) ) ) → 0hopop ( ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) +op ( Iopop 𝑇 ) ) )
32 27 31 mpanr2 ( ( ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) ∈ HrmOp ∧ 0hopop ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) → 0hopop ( ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) +op ( Iopop 𝑇 ) ) )
33 22 24 32 syl2anc ( 𝑘 ∈ ℕ → 0hopop ( ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) +op ( Iopop 𝑇 ) ) )
34 2cn 2 ∈ ℂ
35 hmopf ( ( 𝐹𝑘 ) ∈ HrmOp → ( 𝐹𝑘 ) : ℋ ⟶ ℋ )
36 16 35 syl ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 𝐹𝑘 ) : ℋ ⟶ ℋ )
37 homulcl ( ( 2 ∈ ℂ ∧ ( 𝐹𝑘 ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
38 34 36 37 sylancr ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
39 hmopf ( 𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ )
40 1 39 ax-mp 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ
41 fco ( ( ( 𝐹𝑘 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝐹𝑘 ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
42 36 36 41 syl2anc ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
43 hosubcl ( ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
44 40 42 43 sylancr ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
45 hmopf ( Iop ∈ HrmOp → Iop : ℋ ⟶ ℋ )
46 14 45 ax-mp Iop : ℋ ⟶ ℋ
47 homulcl ( ( 2 ∈ ℂ ∧ Iop : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 2 ·op Iop ) : ℋ ⟶ ℋ )
48 34 46 47 mp2an ( 2 ·op Iop ) : ℋ ⟶ ℋ
49 hosubsub4 ( ( ( 2 ·op Iop ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( ( 2 ·op Iop ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) = ( ( 2 ·op Iop ) −op ( ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) +op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) )
50 48 49 mp3an1 ( ( ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( ( 2 ·op Iop ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) = ( ( 2 ·op Iop ) −op ( ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) +op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) )
51 38 44 50 syl2anc ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( ( 2 ·op Iop ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) = ( ( 2 ·op Iop ) −op ( ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) +op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) )
52 hosubcl ( ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
53 42 38 52 syl2anc ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
54 hoadd32 ( ( Iop : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ Iop : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( Iop +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) +op Iop ) = ( ( Iop +op Iop ) +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) )
55 46 46 54 mp3an13 ( ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ → ( ( Iop +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) +op Iop ) = ( ( Iop +op Iop ) +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) )
56 53 55 syl ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( Iop +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) +op Iop ) = ( ( Iop +op Iop ) +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) )
57 ho2times ( Iop : ℋ ⟶ ℋ → ( 2 ·op Iop ) = ( Iop +op Iop ) )
58 46 57 ax-mp ( 2 ·op Iop ) = ( Iop +op Iop )
59 58 oveq1i ( ( 2 ·op Iop ) +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) = ( ( Iop +op Iop ) +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) )
60 56 59 eqtr4di ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( Iop +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) +op Iop ) = ( ( 2 ·op Iop ) +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) )
61 hoaddsubass ( ( ( 2 ·op Iop ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( ( 2 ·op Iop ) +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) = ( ( 2 ·op Iop ) +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) )
62 48 61 mp3an1 ( ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( ( 2 ·op Iop ) +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) = ( ( 2 ·op Iop ) +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) )
63 42 38 62 syl2anc ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( ( 2 ·op Iop ) +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) = ( ( 2 ·op Iop ) +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) )
64 60 63 eqtr4d ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( Iop +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) +op Iop ) = ( ( ( 2 ·op Iop ) +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) )
65 64 oveq1d ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( ( Iop +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) +op Iop ) −op 𝑇 ) = ( ( ( ( 2 ·op Iop ) +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op 𝑇 ) )
66 hoaddcl ( ( Iop : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( Iop +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
67 46 53 66 sylancr ( 𝑘 ∈ ℕ → ( Iop +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
68 hoaddsubass ( ( ( Iop +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ Iop : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( ( Iop +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) +op Iop ) −op 𝑇 ) = ( ( Iop +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) +op ( Iopop 𝑇 ) ) )
69 46 40 68 mp3an23 ( ( Iop +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ → ( ( ( Iop +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) +op Iop ) −op 𝑇 ) = ( ( Iop +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) +op ( Iopop 𝑇 ) ) )
70 67 69 syl ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( ( Iop +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) +op Iop ) −op 𝑇 ) = ( ( Iop +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) +op ( Iopop 𝑇 ) ) )
71 hoaddcl ( ( ( 2 ·op Iop ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 2 ·op Iop ) +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
72 48 42 71 sylancr ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 2 ·op Iop ) +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
73 hosubsub4 ( ( ( ( 2 ·op Iop ) +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( ( ( 2 ·op Iop ) +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op 𝑇 ) = ( ( ( 2 ·op Iop ) +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) +op 𝑇 ) ) )
74 40 73 mp3an3 ( ( ( ( 2 ·op Iop ) +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( ( ( 2 ·op Iop ) +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op 𝑇 ) = ( ( ( 2 ·op Iop ) +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) +op 𝑇 ) ) )
75 72 38 74 syl2anc ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( ( ( 2 ·op Iop ) +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op 𝑇 ) = ( ( ( 2 ·op Iop ) +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) +op 𝑇 ) ) )
76 65 70 75 3eqtr3d ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( Iop +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) +op ( Iopop 𝑇 ) ) = ( ( ( 2 ·op Iop ) +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) +op 𝑇 ) ) )
77 hosubadd4 ( ( ( ( 2 ·op Iop ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ ( 𝑇 : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) ) → ( ( ( 2 ·op Iop ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) = ( ( ( 2 ·op Iop ) +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) +op 𝑇 ) ) )
78 40 77 mpanr1 ( ( ( ( 2 ·op Iop ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( ( 2 ·op Iop ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) = ( ( ( 2 ·op Iop ) +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) +op 𝑇 ) ) )
79 48 78 mpanl1 ( ( ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( ( 2 ·op Iop ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) = ( ( ( 2 ·op Iop ) +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) +op 𝑇 ) ) )
80 38 42 79 syl2anc ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( ( 2 ·op Iop ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) = ( ( ( 2 ·op Iop ) +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) +op 𝑇 ) ) )
81 76 80 eqtr4d ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( Iop +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) +op ( Iopop 𝑇 ) ) = ( ( ( 2 ·op Iop ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) )
82 halfcn ( 1 / 2 ) ∈ ℂ
83 homulcl ( ( ( 1 / 2 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
84 82 44 83 sylancr ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
85 hoadddi ( ( 2 ∈ ℂ ∧ ( 𝐹𝑘 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 2 ·op ( ( 𝐹𝑘 ) +op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) ) = ( ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) +op ( 2 ·op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) ) )
86 34 85 mp3an1 ( ( ( 𝐹𝑘 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 2 ·op ( ( 𝐹𝑘 ) +op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) ) = ( ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) +op ( 2 ·op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) ) )
87 36 84 86 syl2anc ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 2 ·op ( ( 𝐹𝑘 ) +op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) ) = ( ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) +op ( 2 ·op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) ) )
88 2ne0 2 ≠ 0
89 34 88 recidi ( 2 · ( 1 / 2 ) ) = 1
90 89 oveq1i ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) = ( 1 ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) )
91 homulass ( ( 2 ∈ ℂ ∧ ( 1 / 2 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) = ( 2 ·op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) )
92 34 82 91 mp3an12 ( ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ → ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) = ( 2 ·op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) )
93 44 92 syl ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 2 · ( 1 / 2 ) ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) = ( 2 ·op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) )
94 homulid2 ( ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ → ( 1 ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) = ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) )
95 44 94 syl ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 1 ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) = ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) )
96 90 93 95 3eqtr3a ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 2 ·op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) = ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) )
97 96 oveq2d ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) +op ( 2 ·op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) ) = ( ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) +op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) )
98 87 97 eqtrd ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 2 ·op ( ( 𝐹𝑘 ) +op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) ) = ( ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) +op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) )
99 98 oveq2d ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 2 ·op Iop ) −op ( 2 ·op ( ( 𝐹𝑘 ) +op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 2 ·op Iop ) −op ( ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) +op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) )
100 51 81 99 3eqtr4d ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( Iop +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) +op ( Iopop 𝑇 ) ) = ( ( 2 ·op Iop ) −op ( 2 ·op ( ( 𝐹𝑘 ) +op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) ) ) )
101 hoaddcl ( ( ( 𝐹𝑘 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝐹𝑘 ) +op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
102 36 84 101 syl2anc ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 𝐹𝑘 ) +op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
103 hosubdi ( ( 2 ∈ ℂ ∧ Iop : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( ( 𝐹𝑘 ) +op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( 2 ·op ( Iopop ( ( 𝐹𝑘 ) +op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 2 ·op Iop ) −op ( 2 ·op ( ( 𝐹𝑘 ) +op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) ) ) )
104 34 46 103 mp3an12 ( ( ( 𝐹𝑘 ) +op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) : ℋ ⟶ ℋ → ( 2 ·op ( Iopop ( ( 𝐹𝑘 ) +op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 2 ·op Iop ) −op ( 2 ·op ( ( 𝐹𝑘 ) +op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) ) ) )
105 102 104 syl ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 2 ·op ( Iopop ( ( 𝐹𝑘 ) +op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 2 ·op Iop ) −op ( 2 ·op ( ( 𝐹𝑘 ) +op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) ) ) )
106 100 105 eqtr4d ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( Iop +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) +op ( Iopop 𝑇 ) ) = ( 2 ·op ( Iopop ( ( 𝐹𝑘 ) +op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) ) ) )
107 hosubcl ( ( Iop : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝐹𝑘 ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
108 46 36 107 sylancr ( 𝑘 ∈ ℕ → ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ )
109 hocsubdir ( ( Iop : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝐹𝑘 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) = ( ( Iop ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) )
110 46 109 mp3an1 ( ( ( 𝐹𝑘 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) = ( ( Iop ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) )
111 36 108 110 syl2anc ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) = ( ( Iop ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) )
112 hmoplin ( Iop ∈ HrmOp → Iop ∈ LinOp )
113 14 112 ax-mp Iop ∈ LinOp
114 hoddi ( ( Iop ∈ LinOp ∧ Iop : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝐹𝑘 ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( Iop ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) = ( ( Iop ∘ Iop ) −op ( Iop ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) )
115 113 46 114 mp3an12 ( ( 𝐹𝑘 ) : ℋ ⟶ ℋ → ( Iop ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) = ( ( Iop ∘ Iop ) −op ( Iop ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) )
116 36 115 syl ( 𝑘 ∈ ℕ → ( Iop ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) = ( ( Iop ∘ Iop ) −op ( Iop ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) )
117 46 hoid1i ( Iop ∘ Iop ) = Iop
118 117 a1i ( 𝑘 ∈ ℕ → ( Iop ∘ Iop ) = Iop )
119 hoico2 ( ( 𝐹𝑘 ) : ℋ ⟶ ℋ → ( Iop ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) = ( 𝐹𝑘 ) )
120 36 119 syl ( 𝑘 ∈ ℕ → ( Iop ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) = ( 𝐹𝑘 ) )
121 118 120 oveq12d ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( Iop ∘ Iop ) −op ( Iop ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) = ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) )
122 116 121 eqtrd ( 𝑘 ∈ ℕ → ( Iop ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) = ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) )
123 hmoplin ( ( 𝐹𝑘 ) ∈ HrmOp → ( 𝐹𝑘 ) ∈ LinOp )
124 16 123 syl ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 𝐹𝑘 ) ∈ LinOp )
125 hoddi ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∈ LinOp ∧ Iop : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝐹𝑘 ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ Iop ) −op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) )
126 46 125 mp3an2 ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∈ LinOp ∧ ( 𝐹𝑘 ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ Iop ) −op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) )
127 124 36 126 syl2anc ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ Iop ) −op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) )
128 hoico1 ( ( 𝐹𝑘 ) : ℋ ⟶ ℋ → ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ Iop ) = ( 𝐹𝑘 ) )
129 36 128 syl ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ Iop ) = ( 𝐹𝑘 ) )
130 129 oveq1d ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ Iop ) −op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) = ( ( 𝐹𝑘 ) −op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) )
131 127 130 eqtrd ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) = ( ( 𝐹𝑘 ) −op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) )
132 122 131 oveq12d ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( Iop ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) = ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( ( 𝐹𝑘 ) −op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) )
133 36 46 jctil ( 𝑘 ∈ ℕ → ( Iop : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝐹𝑘 ) : ℋ ⟶ ℋ ) )
134 hosubadd4 ( ( ( Iop : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 𝐹𝑘 ) : ℋ ⟶ ℋ ) ∧ ( ( 𝐹𝑘 ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) ) → ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( ( 𝐹𝑘 ) −op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) = ( ( Iop +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( ( 𝐹𝑘 ) +op ( 𝐹𝑘 ) ) ) )
135 133 36 42 134 syl12anc ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( ( 𝐹𝑘 ) −op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) = ( ( Iop +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( ( 𝐹𝑘 ) +op ( 𝐹𝑘 ) ) ) )
136 132 135 eqtrd ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( Iop ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) = ( ( Iop +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( ( 𝐹𝑘 ) +op ( 𝐹𝑘 ) ) ) )
137 ho2times ( ( 𝐹𝑘 ) : ℋ ⟶ ℋ → ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) = ( ( 𝐹𝑘 ) +op ( 𝐹𝑘 ) ) )
138 36 137 syl ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) = ( ( 𝐹𝑘 ) +op ( 𝐹𝑘 ) ) )
139 138 oveq2d ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( Iop +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) = ( ( Iop +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( ( 𝐹𝑘 ) +op ( 𝐹𝑘 ) ) ) )
140 hoaddsubass ( ( Iop : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( Iop +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) = ( Iop +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) )
141 46 140 mp3an1 ( ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ∧ ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) : ℋ ⟶ ℋ ) → ( ( Iop +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) = ( Iop +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) )
142 42 38 141 syl2anc ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( Iop +op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) = ( Iop +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) )
143 136 139 142 3eqtr2d ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( Iop ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) −op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) = ( Iop +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) )
144 111 143 eqtrd ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) = ( Iop +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) )
145 144 oveq1d ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) +op ( Iopop 𝑇 ) ) = ( ( Iop +op ( ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) −op ( 2 ·op ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) +op ( Iopop 𝑇 ) ) )
146 1 2 3 opsqrlem5 ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) = ( ( 𝐹𝑘 ) +op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) )
147 146 oveq2d ( 𝑘 ∈ ℕ → ( Iopop ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) = ( Iopop ( ( 𝐹𝑘 ) +op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) ) )
148 147 oveq2d ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 2 ·op ( Iopop ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( 2 ·op ( Iopop ( ( 𝐹𝑘 ) +op ( ( 1 / 2 ) ·op ( 𝑇op ( ( 𝐹𝑘 ) ∘ ( 𝐹𝑘 ) ) ) ) ) ) ) )
149 106 145 148 3eqtr4d ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ∘ ( Iopop ( 𝐹𝑘 ) ) ) +op ( Iopop 𝑇 ) ) = ( 2 ·op ( Iopop ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
150 33 149 breqtrd ( 𝑘 ∈ ℕ → 0hopop ( 2 ·op ( Iopop ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
151 peano2nn ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℕ )
152 15 ffvelrni ( ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℕ → ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ HrmOp )
153 151 152 syl ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ HrmOp )
154 hmopd ( ( Iop ∈ HrmOp ∧ ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ HrmOp ) → ( Iopop ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ HrmOp )
155 14 153 154 sylancr ( 𝑘 ∈ ℕ → ( Iopop ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ HrmOp )
156 2re 2 ∈ ℝ
157 2pos 0 < 2
158 leopmul ( ( 2 ∈ ℝ ∧ ( Iopop ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ HrmOp ∧ 0 < 2 ) → ( 0hopop ( Iopop ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↔ 0hopop ( 2 ·op ( Iopop ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
159 156 157 158 mp3an13 ( ( Iopop ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ HrmOp → ( 0hopop ( Iopop ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↔ 0hopop ( 2 ·op ( Iopop ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
160 155 159 syl ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 0hopop ( Iopop ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ↔ 0hopop ( 2 ·op ( Iopop ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
161 150 160 mpbird ( 𝑘 ∈ ℕ → 0hopop ( Iopop ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
162 leop3 ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ HrmOp ∧ Iop ∈ HrmOp ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤op Iop ↔ 0hopop ( Iopop ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
163 153 14 162 sylancl ( 𝑘 ∈ ℕ → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤op Iop ↔ 0hopop ( Iopop ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
164 161 163 mpbird ( 𝑘 ∈ ℕ → ( 𝐹 ‘ ( 𝑘 + 1 ) ) ≤op Iop )
165 6 8 10 13 164 nn1suc ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝐹𝑁 ) ≤op Iop )