Metamath Proof Explorer


Theorem opsqrlem6

Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 23-Aug-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses opsqrlem2.1 T HrmOp
opsqrlem2.2 S = x HrmOp , y HrmOp x + op 1 2 · op T - op x x
opsqrlem2.3 F = seq 1 S × 0 hop
opsqrlem6.4 T op I op
Assertion opsqrlem6 N F N op I op

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 opsqrlem2.1 T HrmOp
2 opsqrlem2.2 S = x HrmOp , y HrmOp x + op 1 2 · op T - op x x
3 opsqrlem2.3 F = seq 1 S × 0 hop
4 opsqrlem6.4 T op I op
5 fveq2 j = 1 F j = F 1
6 5 breq1d j = 1 F j op I op F 1 op I op
7 fveq2 j = k + 1 F j = F k + 1
8 7 breq1d j = k + 1 F j op I op F k + 1 op I op
9 fveq2 j = N F j = F N
10 9 breq1d j = N F j op I op F N op I op
11 1 2 3 opsqrlem2 F 1 = 0 hop
12 idleop 0 hop op I op
13 11 12 eqbrtri F 1 op I op
14 idhmop I op HrmOp
15 1 2 3 opsqrlem4 F : HrmOp
16 15 ffvelrni k F k HrmOp
17 hmopd I op HrmOp F k HrmOp I op - op F k HrmOp
18 14 16 17 sylancr k I op - op F k HrmOp
19 eqid I op - op F k I op - op F k = I op - op F k I op - op F k
20 hmopco I op - op F k HrmOp I op - op F k HrmOp I op - op F k I op - op F k = I op - op F k I op - op F k I op - op F k I op - op F k HrmOp
21 19 20 mp3an3 I op - op F k HrmOp I op - op F k HrmOp I op - op F k I op - op F k HrmOp
22 18 18 21 syl2anc k I op - op F k I op - op F k HrmOp
23 leopsq I op - op F k HrmOp 0 hop op I op - op F k I op - op F k
24 18 23 syl k 0 hop op I op - op F k I op - op F k
25 leop3 T HrmOp I op HrmOp T op I op 0 hop op I op - op T
26 1 14 25 mp2an T op I op 0 hop op I op - op T
27 4 26 mpbi 0 hop op I op - op T
28 hmopd I op HrmOp T HrmOp I op - op T HrmOp
29 14 1 28 mp2an I op - op T HrmOp
30 leopadd I op - op F k I op - op F k HrmOp I op - op T HrmOp 0 hop op I op - op F k I op - op F k 0 hop op I op - op T 0 hop op I op - op F k I op - op F k + op I op - op T
31 29 30 mpanl2 I op - op F k I op - op F k HrmOp 0 hop op I op - op F k I op - op F k 0 hop op I op - op T 0 hop op I op - op F k I op - op F k + op I op - op T
32 27 31 mpanr2 I op - op F k I op - op F k HrmOp 0 hop op I op - op F k I op - op F k 0 hop op I op - op F k I op - op F k + op I op - op T
33 22 24 32 syl2anc k 0 hop op I op - op F k I op - op F k + op I op - op T
34 2cn 2
35 hmopf F k HrmOp F k :
36 16 35 syl k F k :
37 homulcl 2 F k : 2 · op F k :
38 34 36 37 sylancr k 2 · op F k :
39 hmopf T HrmOp T :
40 1 39 ax-mp T :
41 fco F k : F k : F k F k :
42 36 36 41 syl2anc k F k F k :
43 hosubcl T : F k F k : T - op F k F k :
44 40 42 43 sylancr k T - op F k F k :
45 hmopf I op HrmOp I op :
46 14 45 ax-mp I op :
47 homulcl 2 I op : 2 · op I op :
48 34 46 47 mp2an 2 · op I op :
49 hosubsub4 2 · op I op : 2 · op F k : T - op F k F k : 2 · op I op - op 2 · op F k - op T - op F k F k = 2 · op I op - op 2 · op F k + op T - op F k F k
50 48 49 mp3an1 2 · op F k : T - op F k F k : 2 · op I op - op 2 · op F k - op T - op F k F k = 2 · op I op - op 2 · op F k + op T - op F k F k
51 38 44 50 syl2anc k 2 · op I op - op 2 · op F k - op T - op F k F k = 2 · op I op - op 2 · op F k + op T - op F k F k
52 hosubcl F k F k : 2 · op F k : F k F k - op 2 · op F k :
53 42 38 52 syl2anc k F k F k - op 2 · op F k :
54 hoadd32 I op : F k F k - op 2 · op F k : I op : I op + op F k F k - op 2 · op F k + op I op = I op + op I op + op F k F k - op 2 · op F k
55 46 46 54 mp3an13 F k F k - op 2 · op F k : I op + op F k F k - op 2 · op F k + op I op = I op + op I op + op F k F k - op 2 · op F k
56 53 55 syl k I op + op F k F k - op 2 · op F k + op I op = I op + op I op + op F k F k - op 2 · op F k
57 ho2times I op : 2 · op I op = I op + op I op
58 46 57 ax-mp 2 · op I op = I op + op I op
59 58 oveq1i 2 · op I op + op F k F k - op 2 · op F k = I op + op I op + op F k F k - op 2 · op F k
60 56 59 eqtr4di k I op + op F k F k - op 2 · op F k + op I op = 2 · op I op + op F k F k - op 2 · op F k
61 hoaddsubass 2 · op I op : F k F k : 2 · op F k : 2 · op I op + op F k F k - op 2 · op F k = 2 · op I op + op F k F k - op 2 · op F k
62 48 61 mp3an1 F k F k : 2 · op F k : 2 · op I op + op F k F k - op 2 · op F k = 2 · op I op + op F k F k - op 2 · op F k
63 42 38 62 syl2anc k 2 · op I op + op F k F k - op 2 · op F k = 2 · op I op + op F k F k - op 2 · op F k
64 60 63 eqtr4d k I op + op F k F k - op 2 · op F k + op I op = 2 · op I op + op F k F k - op 2 · op F k
65 64 oveq1d k I op + op F k F k - op 2 · op F k + op I op - op T = 2 · op I op + op F k F k - op 2 · op F k - op T
66 hoaddcl I op : F k F k - op 2 · op F k : I op + op F k F k - op 2 · op F k :
67 46 53 66 sylancr k I op + op F k F k - op 2 · op F k :
68 hoaddsubass I op + op F k F k - op 2 · op F k : I op : T : I op + op F k F k - op 2 · op F k + op I op - op T = I op + op F k F k - op 2 · op F k + op I op - op T
69 46 40 68 mp3an23 I op + op F k F k - op 2 · op F k : I op + op F k F k - op 2 · op F k + op I op - op T = I op + op F k F k - op 2 · op F k + op I op - op T
70 67 69 syl k I op + op F k F k - op 2 · op F k + op I op - op T = I op + op F k F k - op 2 · op F k + op I op - op T
71 hoaddcl 2 · op I op : F k F k : 2 · op I op + op F k F k :
72 48 42 71 sylancr k 2 · op I op + op F k F k :
73 hosubsub4 2 · op I op + op F k F k : 2 · op F k : T : 2 · op I op + op F k F k - op 2 · op F k - op T = 2 · op I op + op F k F k - op 2 · op F k + op T
74 40 73 mp3an3 2 · op I op + op F k F k : 2 · op F k : 2 · op I op + op F k F k - op 2 · op F k - op T = 2 · op I op + op F k F k - op 2 · op F k + op T
75 72 38 74 syl2anc k 2 · op I op + op F k F k - op 2 · op F k - op T = 2 · op I op + op F k F k - op 2 · op F k + op T
76 65 70 75 3eqtr3d k I op + op F k F k - op 2 · op F k + op I op - op T = 2 · op I op + op F k F k - op 2 · op F k + op T
77 hosubadd4 2 · op I op : 2 · op F k : T : F k F k : 2 · op I op - op 2 · op F k - op T - op F k F k = 2 · op I op + op F k F k - op 2 · op F k + op T
78 40 77 mpanr1 2 · op I op : 2 · op F k : F k F k : 2 · op I op - op 2 · op F k - op T - op F k F k = 2 · op I op + op F k F k - op 2 · op F k + op T
79 48 78 mpanl1 2 · op F k : F k F k : 2 · op I op - op 2 · op F k - op T - op F k F k = 2 · op I op + op F k F k - op 2 · op F k + op T
80 38 42 79 syl2anc k 2 · op I op - op 2 · op F k - op T - op F k F k = 2 · op I op + op F k F k - op 2 · op F k + op T
81 76 80 eqtr4d k I op + op F k F k - op 2 · op F k + op I op - op T = 2 · op I op - op 2 · op F k - op T - op F k F k
82 halfcn 1 2
83 homulcl 1 2 T - op F k F k : 1 2 · op T - op F k F k :
84 82 44 83 sylancr k 1 2 · op T - op F k F k :
85 hoadddi 2 F k : 1 2 · op T - op F k F k : 2 · op F k + op 1 2 · op T - op F k F k = 2 · op F k + op 2 · op 1 2 · op T - op F k F k
86 34 85 mp3an1 F k : 1 2 · op T - op F k F k : 2 · op F k + op 1 2 · op T - op F k F k = 2 · op F k + op 2 · op 1 2 · op T - op F k F k
87 36 84 86 syl2anc k 2 · op F k + op 1 2 · op T - op F k F k = 2 · op F k + op 2 · op 1 2 · op T - op F k F k
88 2ne0 2 0
89 34 88 recidi 2 1 2 = 1
90 89 oveq1i 2 1 2 · op T - op F k F k = 1 · op T - op F k F k
91 homulass 2 1 2 T - op F k F k : 2 1 2 · op T - op F k F k = 2 · op 1 2 · op T - op F k F k
92 34 82 91 mp3an12 T - op F k F k : 2 1 2 · op T - op F k F k = 2 · op 1 2 · op T - op F k F k
93 44 92 syl k 2 1 2 · op T - op F k F k = 2 · op 1 2 · op T - op F k F k
94 homulid2 T - op F k F k : 1 · op T - op F k F k = T - op F k F k
95 44 94 syl k 1 · op T - op F k F k = T - op F k F k
96 90 93 95 3eqtr3a k 2 · op 1 2 · op T - op F k F k = T - op F k F k
97 96 oveq2d k 2 · op F k + op 2 · op 1 2 · op T - op F k F k = 2 · op F k + op T - op F k F k
98 87 97 eqtrd k 2 · op F k + op 1 2 · op T - op F k F k = 2 · op F k + op T - op F k F k
99 98 oveq2d k 2 · op I op - op 2 · op F k + op 1 2 · op T - op F k F k = 2 · op I op - op 2 · op F k + op T - op F k F k
100 51 81 99 3eqtr4d k I op + op F k F k - op 2 · op F k + op I op - op T = 2 · op I op - op 2 · op F k + op 1 2 · op T - op F k F k
101 hoaddcl F k : 1 2 · op T - op F k F k : F k + op 1 2 · op T - op F k F k :
102 36 84 101 syl2anc k F k + op 1 2 · op T - op F k F k :
103 hosubdi 2 I op : F k + op 1 2 · op T - op F k F k : 2 · op I op - op F k + op 1 2 · op T - op F k F k = 2 · op I op - op 2 · op F k + op 1 2 · op T - op F k F k
104 34 46 103 mp3an12 F k + op 1 2 · op T - op F k F k : 2 · op I op - op F k + op 1 2 · op T - op F k F k = 2 · op I op - op 2 · op F k + op 1 2 · op T - op F k F k
105 102 104 syl k 2 · op I op - op F k + op 1 2 · op T - op F k F k = 2 · op I op - op 2 · op F k + op 1 2 · op T - op F k F k
106 100 105 eqtr4d k I op + op F k F k - op 2 · op F k + op I op - op T = 2 · op I op - op F k + op 1 2 · op T - op F k F k
107 hosubcl I op : F k : I op - op F k :
108 46 36 107 sylancr k I op - op F k :
109 hocsubdir I op : F k : I op - op F k : I op - op F k I op - op F k = I op I op - op F k - op F k I op - op F k
110 46 109 mp3an1 F k : I op - op F k : I op - op F k I op - op F k = I op I op - op F k - op F k I op - op F k
111 36 108 110 syl2anc k I op - op F k I op - op F k = I op I op - op F k - op F k I op - op F k
112 hmoplin I op HrmOp I op LinOp
113 14 112 ax-mp I op LinOp
114 hoddi I op LinOp I op : F k : I op I op - op F k = I op I op - op I op F k
115 113 46 114 mp3an12 F k : I op I op - op F k = I op I op - op I op F k
116 36 115 syl k I op I op - op F k = I op I op - op I op F k
117 46 hoid1i I op I op = I op
118 117 a1i k I op I op = I op
119 hoico2 F k : I op F k = F k
120 36 119 syl k I op F k = F k
121 118 120 oveq12d k I op I op - op I op F k = I op - op F k
122 116 121 eqtrd k I op I op - op F k = I op - op F k
123 hmoplin F k HrmOp F k LinOp
124 16 123 syl k F k LinOp
125 hoddi F k LinOp I op : F k : F k I op - op F k = F k I op - op F k F k
126 46 125 mp3an2 F k LinOp F k : F k I op - op F k = F k I op - op F k F k
127 124 36 126 syl2anc k F k I op - op F k = F k I op - op F k F k
128 hoico1 F k : F k I op = F k
129 36 128 syl k F k I op = F k
130 129 oveq1d k F k I op - op F k F k = F k - op F k F k
131 127 130 eqtrd k F k I op - op F k = F k - op F k F k
132 122 131 oveq12d k I op I op - op F k - op F k I op - op F k = I op - op F k - op F k - op F k F k
133 36 46 jctil k I op : F k :
134 hosubadd4 I op : F k : F k : F k F k : I op - op F k - op F k - op F k F k = I op + op F k F k - op F k + op F k
135 133 36 42 134 syl12anc k I op - op F k - op F k - op F k F k = I op + op F k F k - op F k + op F k
136 132 135 eqtrd k I op I op - op F k - op F k I op - op F k = I op + op F k F k - op F k + op F k
137 ho2times F k : 2 · op F k = F k + op F k
138 36 137 syl k 2 · op F k = F k + op F k
139 138 oveq2d k I op + op F k F k - op 2 · op F k = I op + op F k F k - op F k + op F k
140 hoaddsubass I op : F k F k : 2 · op F k : I op + op F k F k - op 2 · op F k = I op + op F k F k - op 2 · op F k
141 46 140 mp3an1 F k F k : 2 · op F k : I op + op F k F k - op 2 · op F k = I op + op F k F k - op 2 · op F k
142 42 38 141 syl2anc k I op + op F k F k - op 2 · op F k = I op + op F k F k - op 2 · op F k
143 136 139 142 3eqtr2d k I op I op - op F k - op F k I op - op F k = I op + op F k F k - op 2 · op F k
144 111 143 eqtrd k I op - op F k I op - op F k = I op + op F k F k - op 2 · op F k
145 144 oveq1d k I op - op F k I op - op F k + op I op - op T = I op + op F k F k - op 2 · op F k + op I op - op T
146 1 2 3 opsqrlem5 k F k + 1 = F k + op 1 2 · op T - op F k F k
147 146 oveq2d k I op - op F k + 1 = I op - op F k + op 1 2 · op T - op F k F k
148 147 oveq2d k 2 · op I op - op F k + 1 = 2 · op I op - op F k + op 1 2 · op T - op F k F k
149 106 145 148 3eqtr4d k I op - op F k I op - op F k + op I op - op T = 2 · op I op - op F k + 1
150 33 149 breqtrd k 0 hop op 2 · op I op - op F k + 1
151 peano2nn k k + 1
152 15 ffvelrni k + 1 F k + 1 HrmOp
153 151 152 syl k F k + 1 HrmOp
154 hmopd I op HrmOp F k + 1 HrmOp I op - op F k + 1 HrmOp
155 14 153 154 sylancr k I op - op F k + 1 HrmOp
156 2re 2
157 2pos 0 < 2
158 leopmul 2 I op - op F k + 1 HrmOp 0 < 2 0 hop op I op - op F k + 1 0 hop op 2 · op I op - op F k + 1
159 156 157 158 mp3an13 I op - op F k + 1 HrmOp 0 hop op I op - op F k + 1 0 hop op 2 · op I op - op F k + 1
160 155 159 syl k 0 hop op I op - op F k + 1 0 hop op 2 · op I op - op F k + 1
161 150 160 mpbird k 0 hop op I op - op F k + 1
162 leop3 F k + 1 HrmOp I op HrmOp F k + 1 op I op 0 hop op I op - op F k + 1
163 153 14 162 sylancl k F k + 1 op I op 0 hop op I op - op F k + 1
164 161 163 mpbird k F k + 1 op I op
165 6 8 10 13 164 nn1suc N F N op I op