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Theorem prodmolem2a

Description: Lemma for prodmo . (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017)

Ref Expression
Hypotheses prodmo.1 ⊢ 𝐹 = ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) )
prodmo.2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℂ )
prodmo.3 ⊢ 𝐺 = ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ⦋ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 )
prodmolem2.4 ⊢ 𝐻 = ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ⦋ ( 𝐾 ‘ 𝑗 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 )
prodmolem2.5 ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ )
prodmolem2.6 ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
prodmolem2.7 ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) )
prodmolem2.8 ⊢ ( 𝜑 → 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ 𝐴 )
prodmolem2.9 ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 Isom < , < ( ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , 𝐴 ) )
Assertion prodmolem2a ( 𝜑 → seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ⇝ ( seq 1 ( · , 𝐺 ) ‘ 𝑁 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 prodmo.1 ⊢ 𝐹 = ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) )
2 prodmo.2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℂ )
3 prodmo.3 ⊢ 𝐺 = ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ⦋ ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 )
4 prodmolem2.4 ⊢ 𝐻 = ( 𝑗 ∈ ℕ ↦ ⦋ ( 𝐾 ‘ 𝑗 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 )
5 prodmolem2.5 ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ )
6 prodmolem2.6 ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
7 prodmolem2.7 ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) )
8 prodmolem2.8 ⊢ ( 𝜑 → 𝑓 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ 𝐴 )
9 prodmolem2.9 ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 Isom < , < ( ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , 𝐴 ) )
10 fzfid ⊢ ( 𝜑 → ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin )
11 10 8 hasheqf1od ⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝑁 ) ) = ( ♯ ‘ 𝐴 ) )
12 5 nnnn0d ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
13 hashfz1 ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝑁 ) ) = 𝑁 )
14 12 13 syl ⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ( 1 ... 𝑁 ) ) = 𝑁 )
15 11 14 eqtr3d ⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ 𝐴 ) = 𝑁 )
16 15 oveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) = ( 1 ... 𝑁 ) )
17 isoeq4 ⊢ ( ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) = ( 1 ... 𝑁 ) → ( 𝐾 Isom < , < ( ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , 𝐴 ) ↔ 𝐾 Isom < , < ( ( 1 ... 𝑁 ) , 𝐴 ) ) )
18 16 17 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 Isom < , < ( ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , 𝐴 ) ↔ 𝐾 Isom < , < ( ( 1 ... 𝑁 ) , 𝐴 ) ) )
19 9 18 mpbid ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 Isom < , < ( ( 1 ... 𝑁 ) , 𝐴 ) )
20 isof1o ⊢ ( 𝐾 Isom < , < ( ( 1 ... 𝑁 ) , 𝐴 ) → 𝐾 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ 𝐴 )
21 f1of ⊢ ( 𝐾 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ 𝐴 → 𝐾 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ 𝐴 )
22 19 20 21 3syl ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 : ( 1 ... 𝑁 ) ⟶ 𝐴 )
23 nnuz ⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 )
24 5 23 eleqtrdi ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) )
25 eluzfz2 ⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) → 𝑁 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) )
26 24 25 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) )
27 22 26 ffvelcdmd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ‘ 𝑁 ) ∈ 𝐴 )
28 7 27 sseldd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ‘ 𝑁 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) )
29 7 sselda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ) → 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) )
30 19 20 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ 𝐴 )
31 f1ocnvfv2 ⊢ ( ( 𝐾 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐾 ‘ ( ◡ 𝐾 ‘ 𝑗 ) ) = 𝑗 )
32 30 31 sylan ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐾 ‘ ( ◡ 𝐾 ‘ 𝑗 ) ) = 𝑗 )
33 f1ocnv ⊢ ( 𝐾 : ( 1 ... 𝑁 ) –1-1-onto→ 𝐴 → ◡ 𝐾 : 𝐴 –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) )
34 f1of ⊢ ( ◡ 𝐾 : 𝐴 –1-1-onto→ ( 1 ... 𝑁 ) → ◡ 𝐾 : 𝐴 ⟶ ( 1 ... 𝑁 ) )
35 30 33 34 3syl ⊢ ( 𝜑 → ◡ 𝐾 : 𝐴 ⟶ ( 1 ... 𝑁 ) )
36 35 ffvelcdmda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ) → ( ◡ 𝐾 ‘ 𝑗 ) ∈ ( 1 ... 𝑁 ) )
37 elfzle2 ⊢ ( ( ◡ 𝐾 ‘ 𝑗 ) ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → ( ◡ 𝐾 ‘ 𝑗 ) ≤ 𝑁 )
38 36 37 syl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ) → ( ◡ 𝐾 ‘ 𝑗 ) ≤ 𝑁 )
39 19 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ) → 𝐾 Isom < , < ( ( 1 ... 𝑁 ) , 𝐴 ) )
40 fzssuz ⊢ ( 1 ... 𝑁 ) ⊆ ( ℤ≥ ‘ 1 )
41 uzssz ⊢ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ⊆ ℤ
42 zssre ⊢ ℤ ⊆ ℝ
43 41 42 sstri ⊢ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ⊆ ℝ
44 40 43 sstri ⊢ ( 1 ... 𝑁 ) ⊆ ℝ
45 ressxr ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
46 44 45 sstri ⊢ ( 1 ... 𝑁 ) ⊆ ℝ*
47 46 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ) → ( 1 ... 𝑁 ) ⊆ ℝ* )
48 uzssz ⊢ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ⊆ ℤ
49 48 42 sstri ⊢ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ⊆ ℝ
50 49 45 sstri ⊢ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ⊆ ℝ*
51 7 50 sstrdi ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ* )
52 51 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ) → 𝐴 ⊆ ℝ* )
53 26 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ) → 𝑁 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) )
54 leisorel ⊢ ( ( 𝐾 Isom < , < ( ( 1 ... 𝑁 ) , 𝐴 ) ∧ ( ( 1 ... 𝑁 ) ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ⊆ ℝ* ) ∧ ( ( ◡ 𝐾 ‘ 𝑗 ) ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ◡ 𝐾 ‘ 𝑗 ) ≤ 𝑁 ↔ ( 𝐾 ‘ ( ◡ 𝐾 ‘ 𝑗 ) ) ≤ ( 𝐾 ‘ 𝑁 ) ) )
55 39 47 52 36 53 54 syl122anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ) → ( ( ◡ 𝐾 ‘ 𝑗 ) ≤ 𝑁 ↔ ( 𝐾 ‘ ( ◡ 𝐾 ‘ 𝑗 ) ) ≤ ( 𝐾 ‘ 𝑁 ) ) )
56 38 55 mpbid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐾 ‘ ( ◡ 𝐾 ‘ 𝑗 ) ) ≤ ( 𝐾 ‘ 𝑁 ) )
57 32 56 eqbrtrrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ) → 𝑗 ≤ ( 𝐾 ‘ 𝑁 ) )
58 7 48 sstrdi ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ )
59 58 sselda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ) → 𝑗 ∈ ℤ )
60 eluzelz ⊢ ( ( 𝐾 ‘ 𝑁 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( 𝐾 ‘ 𝑁 ) ∈ ℤ )
61 28 60 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ‘ 𝑁 ) ∈ ℤ )
62 61 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐾 ‘ 𝑁 ) ∈ ℤ )
63 eluz ⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 ‘ 𝑁 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 ‘ 𝑁 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ↔ 𝑗 ≤ ( 𝐾 ‘ 𝑁 ) ) )
64 59 62 63 syl2anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝐾 ‘ 𝑁 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ↔ 𝑗 ≤ ( 𝐾 ‘ 𝑁 ) ) )
65 57 64 mpbird ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐾 ‘ 𝑁 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) )
66 elfzuzb ⊢ ( 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝐾 ‘ 𝑁 ) ) ↔ ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ ( 𝐾 ‘ 𝑁 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) )
67 29 65 66 sylanbrc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ) → 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝐾 ‘ 𝑁 ) ) )
68 67 ex ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ∈ 𝐴 → 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝐾 ‘ 𝑁 ) ) ) )
69 68 ssrdv ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ( 𝑀 ... ( 𝐾 ‘ 𝑁 ) ) )
70 1 2 28 69 fprodcvg ⊢ ( 𝜑 → seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ⇝ ( seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ‘ ( 𝐾 ‘ 𝑁 ) ) )
71 mullid ⊢ ( 𝑚 ∈ ℂ → ( 1 · 𝑚 ) = 𝑚 )
72 71 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℂ ) → ( 1 · 𝑚 ) = 𝑚 )
73 mulrid ⊢ ( 𝑚 ∈ ℂ → ( 𝑚 · 1 ) = 𝑚 )
74 73 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℂ ) → ( 𝑚 · 1 ) = 𝑚 )
75 mulcl ⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( 𝑚 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
76 75 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) ) → ( 𝑚 · 𝑥 ) ∈ ℂ )
77 1cnd ⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℂ )
78 26 16 eleqtrrd ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) )
79 iftrue ⊢ ( 𝑘 ∈ 𝐴 → if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) = 𝐵 )
80 79 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ) → if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) = 𝐵 )
81 80 2 eqeltrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ) → if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ∈ ℂ )
82 81 ex ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ 𝐴 → if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ∈ ℂ ) )
83 iffalse ⊢ ( ¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) = 1 )
84 ax-1cn ⊢ 1 ∈ ℂ
85 83 84 eqeltrdi ⊢ ( ¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ∈ ℂ )
86 82 85 pm2.61d1 ⊢ ( 𝜑 → if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ∈ ℂ )
87 86 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ∈ ℂ )
88 87 1 fmptd ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℤ ⟶ ℂ )
89 elfzelz ⊢ ( 𝑚 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝐾 ‘ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝑚 ∈ ℤ )
90 ffvelcdm ⊢ ( ( 𝐹 : ℤ ⟶ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ∈ ℂ )
91 88 89 90 syl2an ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝐾 ‘ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) ∈ ℂ )
92 fveqeq2 ⊢ ( 𝑘 = 𝑚 → ( ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = 1 ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) = 1 ) )
93 eldifi ⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 𝑀 ... ( 𝐾 ‘ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ∖ 𝐴 ) → 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝐾 ‘ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) )
94 93 elfzelzd ⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 𝑀 ... ( 𝐾 ‘ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ∖ 𝐴 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
95 eldifn ⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 𝑀 ... ( 𝐾 ‘ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ∖ 𝐴 ) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴 )
96 95 83 syl ⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 𝑀 ... ( 𝐾 ‘ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ∖ 𝐴 ) → if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) = 1 )
97 96 84 eqeltrdi ⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 𝑀 ... ( 𝐾 ‘ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ∖ 𝐴 ) → if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ∈ ℂ )
98 1 fvmpt2 ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ∈ ℂ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) )
99 94 97 98 syl2anc ⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 𝑀 ... ( 𝐾 ‘ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ∖ 𝐴 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) )
100 99 96 eqtrd ⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 𝑀 ... ( 𝐾 ‘ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ∖ 𝐴 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) = 1 )
101 92 100 vtoclga ⊢ ( 𝑚 ∈ ( ( 𝑀 ... ( 𝐾 ‘ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ∖ 𝐴 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) = 1 )
102 101 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ( ( 𝑀 ... ( 𝐾 ‘ ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) ∖ 𝐴 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑚 ) = 1 )
103 isof1o ⊢ ( 𝐾 Isom < , < ( ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) , 𝐴 ) → 𝐾 : ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) –1-1-onto→ 𝐴 )
104 f1of ⊢ ( 𝐾 : ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) –1-1-onto→ 𝐴 → 𝐾 : ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ⟶ 𝐴 )
105 9 103 104 3syl ⊢ ( 𝜑 → 𝐾 : ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ⟶ 𝐴 )
106 105 ffvelcdmda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐴 )
107 106 iftrued ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) → if ( ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐴 , ⦋ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 , 1 ) = ⦋ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 )
108 58 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝐴 ⊆ ℤ )
109 108 106 sseldd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) ∈ ℤ )
110 nfv ⊢ Ⅎ 𝑘 𝜑
111 nfv ⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐴
112 nfcsb1v ⊢ Ⅎ 𝑘 ⦋ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵
113 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑘 1
114 111 112 113 nfif ⊢ Ⅎ 𝑘 if ( ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐴 , ⦋ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 , 1 )
115 114 nfel1 ⊢ Ⅎ 𝑘 if ( ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐴 , ⦋ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 , 1 ) ∈ ℂ
116 110 115 nfim ⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝜑 → if ( ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐴 , ⦋ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 , 1 ) ∈ ℂ )
117 fvex ⊢ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) ∈ V
118 eleq1 ⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) → ( 𝑘 ∈ 𝐴 ↔ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐴 ) )
119 csbeq1a ⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) → 𝐵 = ⦋ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 )
120 118 119 ifbieq1d ⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) → if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) = if ( ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐴 , ⦋ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 , 1 ) )
121 120 eleq1d ⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) → ( if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ∈ ℂ ↔ if ( ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐴 , ⦋ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 , 1 ) ∈ ℂ ) )
122 121 imbi2d ⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) → ( ( 𝜑 → if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ∈ ℂ ) ↔ ( 𝜑 → if ( ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐴 , ⦋ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 , 1 ) ∈ ℂ ) ) )
123 116 117 122 86 vtoclf ⊢ ( 𝜑 → if ( ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐴 , ⦋ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 , 1 ) ∈ ℂ )
124 123 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) → if ( ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐴 , ⦋ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 , 1 ) ∈ ℂ )
125 eleq1 ⊢ ( 𝑛 = ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) → ( 𝑛 ∈ 𝐴 ↔ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐴 ) )
126 csbeq1 ⊢ ( 𝑛 = ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) → ⦋ 𝑛 / 𝑘 ⦌ 𝐵 = ⦋ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 )
127 125 126 ifbieq1d ⊢ ( 𝑛 = ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) → if ( 𝑛 ∈ 𝐴 , ⦋ 𝑛 / 𝑘 ⦌ 𝐵 , 1 ) = if ( ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐴 , ⦋ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 , 1 ) )
128 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑛 if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 )
129 nfv ⊢ Ⅎ 𝑘 𝑛 ∈ 𝐴
130 nfcsb1v ⊢ Ⅎ 𝑘 ⦋ 𝑛 / 𝑘 ⦌ 𝐵
131 129 130 113 nfif ⊢ Ⅎ 𝑘 if ( 𝑛 ∈ 𝐴 , ⦋ 𝑛 / 𝑘 ⦌ 𝐵 , 1 )
132 eleq1 ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → ( 𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐴 ) )
133 csbeq1a ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → 𝐵 = ⦋ 𝑛 / 𝑘 ⦌ 𝐵 )
134 132 133 ifbieq1d ⊢ ( 𝑘 = 𝑛 → if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) = if ( 𝑛 ∈ 𝐴 , ⦋ 𝑛 / 𝑘 ⦌ 𝐵 , 1 ) )
135 128 131 134 cbvmpt ⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑘 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 1 ) ) = ( 𝑛 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑛 ∈ 𝐴 , ⦋ 𝑛 / 𝑘 ⦌ 𝐵 , 1 ) )
136 1 135 eqtri ⊢ 𝐹 = ( 𝑛 ∈ ℤ ↦ if ( 𝑛 ∈ 𝐴 , ⦋ 𝑛 / 𝑘 ⦌ 𝐵 , 1 ) )
137 127 136 fvmptg ⊢ ( ( ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) ∈ ℤ ∧ if ( ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐴 , ⦋ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 , 1 ) ∈ ℂ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) ) = if ( ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐴 , ⦋ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 , 1 ) )
138 109 124 137 syl2anc ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) ) = if ( ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐴 , ⦋ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 , 1 ) )
139 elfznn ⊢ ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) → 𝑥 ∈ ℕ )
140 107 124 eqeltrrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) → ⦋ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 ∈ ℂ )
141 fveq2 ⊢ ( 𝑗 = 𝑥 → ( 𝐾 ‘ 𝑗 ) = ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) )
142 141 csbeq1d ⊢ ( 𝑗 = 𝑥 → ⦋ ( 𝐾 ‘ 𝑗 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 = ⦋ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 )
143 142 4 fvmptg ⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℕ ∧ ⦋ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) = ⦋ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 )
144 139 140 143 syl2an2 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) = ⦋ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) / 𝑘 ⦌ 𝐵 )
145 107 138 144 3eqtr4rd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) ) )
146 72 74 76 77 9 78 7 91 102 145 seqcoll ⊢ ( 𝜑 → ( seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ‘ ( 𝐾 ‘ 𝑁 ) ) = ( seq 1 ( · , 𝐻 ) ‘ 𝑁 ) )
147 5 5 jca ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) )
148 1 2 3 4 147 8 30 prodmolem3 ⊢ ( 𝜑 → ( seq 1 ( · , 𝐺 ) ‘ 𝑁 ) = ( seq 1 ( · , 𝐻 ) ‘ 𝑁 ) )
149 146 148 eqtr4d ⊢ ( 𝜑 → ( seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ‘ ( 𝐾 ‘ 𝑁 ) ) = ( seq 1 ( · , 𝐺 ) ‘ 𝑁 ) )
150 70 149 breqtrd ⊢ ( 𝜑 → seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ⇝ ( seq 1 ( · , 𝐺 ) ‘ 𝑁 ) )