Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
signsv.p |
⊢ ⨣ = ( 𝑎 ∈ { - 1 , 0 , 1 } , 𝑏 ∈ { - 1 , 0 , 1 } ↦ if ( 𝑏 = 0 , 𝑎 , 𝑏 ) ) |
2 |
|
signsv.w |
⊢ 𝑊 = { 〈 ( Base ‘ ndx ) , { - 1 , 0 , 1 } 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , ⨣ 〉 } |
3 |
|
signsv.t |
⊢ 𝑇 = ( 𝑓 ∈ Word ℝ ↦ ( 𝑛 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) ↦ ( 𝑊 Σg ( 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑛 ) ↦ ( sgn ‘ ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ) |
4 |
|
signsv.v |
⊢ 𝑉 = ( 𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝑓 ) ) if ( ( ( 𝑇 ‘ 𝑓 ) ‘ 𝑗 ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ 𝑓 ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) , 1 , 0 ) ) |
5 |
|
eldifi |
⊢ ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) → 𝐹 ∈ Word ℝ ) |
6 |
|
s1cl |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℝ → 〈“ 𝐾 ”〉 ∈ Word ℝ ) |
7 |
|
ccatcl |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 〈“ 𝐾 ”〉 ∈ Word ℝ ) → ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ∈ Word ℝ ) |
8 |
5 6 7
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ∈ Word ℝ ) |
9 |
1 2 3 4
|
signsvvfval |
⊢ ( ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ∈ Word ℝ → ( 𝑉 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ) if ( ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ 𝑗 ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) , 1 , 0 ) ) |
10 |
8 9
|
syl |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ) if ( ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ 𝑗 ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) , 1 , 0 ) ) |
11 |
|
ccatlen |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 〈“ 𝐾 ”〉 ∈ Word ℝ ) → ( ♯ ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) + ( ♯ ‘ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ) |
12 |
5 6 11
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ♯ ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) + ( ♯ ‘ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ) |
13 |
|
s1len |
⊢ ( ♯ ‘ 〈“ 𝐾 ”〉 ) = 1 |
14 |
13
|
oveq2i |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) + ( ♯ ‘ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) + 1 ) |
15 |
12 14
|
eqtrdi |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ♯ ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) + 1 ) ) |
16 |
15
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( 1 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ) = ( 1 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) + 1 ) ) ) |
17 |
16
|
sumeq1d |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ) if ( ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ 𝑗 ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) , 1 , 0 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) + 1 ) ) if ( ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ 𝑗 ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) , 1 , 0 ) ) |
18 |
|
eldifsn |
⊢ ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ↔ ( 𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅ ) ) |
19 |
|
lennncl |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅ ) → ( ♯ ‘ 𝐹 ) ∈ ℕ ) |
20 |
18 19
|
sylbi |
⊢ ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) → ( ♯ ‘ 𝐹 ) ∈ ℕ ) |
21 |
|
nnuz |
⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 ) |
22 |
20 21
|
eleqtrdi |
⊢ ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) → ( ♯ ‘ 𝐹 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) |
23 |
22
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ♯ ‘ 𝐹 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) |
24 |
|
1cnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ 𝑗 ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 1 ∈ ℂ ) |
25 |
|
0cnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) ∧ ¬ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ 𝑗 ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 0 ∈ ℂ ) |
26 |
24 25
|
ifclda |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) → if ( ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ 𝑗 ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) , 1 , 0 ) ∈ ℂ ) |
27 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑗 = ( ♯ ‘ 𝐹 ) → ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) |
28 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑗 = ( ♯ ‘ 𝐹 ) → ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) = ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ) |
29 |
27 28
|
neeq12d |
⊢ ( 𝑗 = ( ♯ ‘ 𝐹 ) → ( ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ 𝑗 ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) ↔ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ) ) |
30 |
29
|
ifbid |
⊢ ( 𝑗 = ( ♯ ‘ 𝐹 ) → if ( ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ 𝑗 ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) , 1 , 0 ) = if ( ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) , 1 , 0 ) ) |
31 |
23 26 30
|
fzosump1 |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) + 1 ) ) if ( ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ 𝑗 ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) , 1 , 0 ) = ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) if ( ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ 𝑗 ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) , 1 , 0 ) + if ( ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) , 1 , 0 ) ) ) |
32 |
10 17 31
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) = ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) if ( ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ 𝑗 ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) , 1 , 0 ) + if ( ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) , 1 , 0 ) ) ) |
33 |
32
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ ( 𝐹 ‘ 0 ) ≠ 0 ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) = ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) if ( ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ 𝑗 ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) , 1 , 0 ) + if ( ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) , 1 , 0 ) ) ) |
34 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ) |
35 |
34
|
eldifad |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → 𝐹 ∈ Word ℝ ) |
36 |
35
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) → 𝐹 ∈ Word ℝ ) |
37 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℝ ) |
38 |
|
fzo0ss1 |
⊢ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ⊆ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) |
39 |
38
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ⊆ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) |
40 |
39
|
sselda |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) |
41 |
1 2 3 4
|
signstfvp |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑗 ) ) |
42 |
36 37 40 41
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ 𝑗 ) = ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑗 ) ) |
43 |
|
elfzoel2 |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) → ( ♯ ‘ 𝐹 ) ∈ ℤ ) |
44 |
43
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ♯ ‘ 𝐹 ) ∈ ℤ ) |
45 |
|
1nn0 |
⊢ 1 ∈ ℕ0 |
46 |
|
eluzmn |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0 ) → ( ♯ ‘ 𝐹 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ) |
47 |
44 45 46
|
sylancl |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ♯ ‘ 𝐹 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ) |
48 |
|
fzoss2 |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) → ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ⊆ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) |
49 |
47 48
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ⊆ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) |
50 |
|
elfzo1elm1fzo0 |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ) |
51 |
50
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ) |
52 |
49 51
|
sseldd |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) |
53 |
1 2 3 4
|
signstfvp |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) = ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) ) |
54 |
36 37 52 53
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) = ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) ) |
55 |
42 54
|
neeq12d |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ 𝑗 ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) ↔ ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑗 ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) ) ) |
56 |
55
|
ifbid |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) → if ( ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ 𝑗 ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) , 1 , 0 ) = if ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑗 ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) , 1 , 0 ) ) |
57 |
56
|
sumeq2dv |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) if ( ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ 𝑗 ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) , 1 , 0 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) if ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑗 ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) , 1 , 0 ) ) |
58 |
1 2 3 4
|
signsvvfval |
⊢ ( 𝐹 ∈ Word ℝ → ( 𝑉 ‘ 𝐹 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) if ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑗 ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) , 1 , 0 ) ) |
59 |
35 58
|
syl |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( 𝑉 ‘ 𝐹 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) if ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑗 ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) , 1 , 0 ) ) |
60 |
57 59
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) if ( ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ 𝑗 ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) , 1 , 0 ) = ( 𝑉 ‘ 𝐹 ) ) |
61 |
60
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ ( 𝐹 ‘ 0 ) ≠ 0 ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) if ( ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ 𝑗 ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) , 1 , 0 ) = ( 𝑉 ‘ 𝐹 ) ) |
62 |
1 2 3 4
|
signstfvn |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) = ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ⨣ ( sgn ‘ 𝐾 ) ) ) |
63 |
62
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ ( 𝐹 ‘ 0 ) ≠ 0 ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) = ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ⨣ ( sgn ‘ 𝐾 ) ) ) |
64 |
35
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ ( 𝐹 ‘ 0 ) ≠ 0 ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → 𝐹 ∈ Word ℝ ) |
65 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ ( 𝐹 ‘ 0 ) ≠ 0 ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → 𝐾 ∈ ℝ ) |
66 |
|
fzo0end |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) ∈ ℕ → ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) |
67 |
20 66
|
syl |
⊢ ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) → ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) |
68 |
67
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ ( 𝐹 ‘ 0 ) ≠ 0 ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) |
69 |
1 2 3 4
|
signstfvp |
⊢ ( ( 𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) = ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ) |
70 |
64 65 68 69
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ ( 𝐹 ‘ 0 ) ≠ 0 ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) = ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ) |
71 |
63 70
|
neeq12d |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ ( 𝐹 ‘ 0 ) ≠ 0 ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ↔ ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ⨣ ( sgn ‘ 𝐾 ) ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ) ) |
72 |
1 2 3 4
|
signstfvcl |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ ( 𝐹 ‘ 0 ) ≠ 0 ) ∧ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ) → ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ∈ { - 1 , 1 } ) |
73 |
68 72
|
syldan |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ ( 𝐹 ‘ 0 ) ≠ 0 ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ∈ { - 1 , 1 } ) |
74 |
|
rexr |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℝ → 𝐾 ∈ ℝ* ) |
75 |
|
sgncl |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℝ* → ( sgn ‘ 𝐾 ) ∈ { - 1 , 0 , 1 } ) |
76 |
74 75
|
syl |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℝ → ( sgn ‘ 𝐾 ) ∈ { - 1 , 0 , 1 } ) |
77 |
76
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ ( 𝐹 ‘ 0 ) ≠ 0 ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( sgn ‘ 𝐾 ) ∈ { - 1 , 0 , 1 } ) |
78 |
1 2
|
signswch |
⊢ ( ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ∈ { - 1 , 1 } ∧ ( sgn ‘ 𝐾 ) ∈ { - 1 , 0 , 1 } ) → ( ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ⨣ ( sgn ‘ 𝐾 ) ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ↔ ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) · ( sgn ‘ 𝐾 ) ) < 0 ) ) |
79 |
73 77 78
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ ( 𝐹 ‘ 0 ) ≠ 0 ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ⨣ ( sgn ‘ 𝐾 ) ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ↔ ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) · ( sgn ‘ 𝐾 ) ) < 0 ) ) |
80 |
65
|
rexrd |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ ( 𝐹 ‘ 0 ) ≠ 0 ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → 𝐾 ∈ ℝ* ) |
81 |
|
sgnsgn |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℝ* → ( sgn ‘ ( sgn ‘ 𝐾 ) ) = ( sgn ‘ 𝐾 ) ) |
82 |
80 81
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ ( 𝐹 ‘ 0 ) ≠ 0 ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( sgn ‘ ( sgn ‘ 𝐾 ) ) = ( sgn ‘ 𝐾 ) ) |
83 |
82
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ ( 𝐹 ‘ 0 ) ≠ 0 ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ( sgn ‘ ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ) · ( sgn ‘ ( sgn ‘ 𝐾 ) ) ) = ( ( sgn ‘ ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ) · ( sgn ‘ 𝐾 ) ) ) |
84 |
83
|
breq1d |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ ( 𝐹 ‘ 0 ) ≠ 0 ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ( ( sgn ‘ ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ) · ( sgn ‘ ( sgn ‘ 𝐾 ) ) ) < 0 ↔ ( ( sgn ‘ ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ) · ( sgn ‘ 𝐾 ) ) < 0 ) ) |
85 |
|
neg1rr |
⊢ - 1 ∈ ℝ |
86 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
87 |
|
prssi |
⊢ ( ( - 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ) → { - 1 , 1 } ⊆ ℝ ) |
88 |
85 86 87
|
mp2an |
⊢ { - 1 , 1 } ⊆ ℝ |
89 |
88 73
|
sselid |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ ( 𝐹 ‘ 0 ) ≠ 0 ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ∈ ℝ ) |
90 |
|
sgnclre |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℝ → ( sgn ‘ 𝐾 ) ∈ ℝ ) |
91 |
90
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ ( 𝐹 ‘ 0 ) ≠ 0 ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( sgn ‘ 𝐾 ) ∈ ℝ ) |
92 |
|
sgnmulsgn |
⊢ ( ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ∈ ℝ ∧ ( sgn ‘ 𝐾 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) · ( sgn ‘ 𝐾 ) ) < 0 ↔ ( ( sgn ‘ ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ) · ( sgn ‘ ( sgn ‘ 𝐾 ) ) ) < 0 ) ) |
93 |
89 91 92
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ ( 𝐹 ‘ 0 ) ≠ 0 ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) · ( sgn ‘ 𝐾 ) ) < 0 ↔ ( ( sgn ‘ ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ) · ( sgn ‘ ( sgn ‘ 𝐾 ) ) ) < 0 ) ) |
94 |
|
sgnmulsgn |
⊢ ( ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) · 𝐾 ) < 0 ↔ ( ( sgn ‘ ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ) · ( sgn ‘ 𝐾 ) ) < 0 ) ) |
95 |
89 94
|
sylancom |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ ( 𝐹 ‘ 0 ) ≠ 0 ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) · 𝐾 ) < 0 ↔ ( ( sgn ‘ ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ) · ( sgn ‘ 𝐾 ) ) < 0 ) ) |
96 |
84 93 95
|
3bitr4d |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ ( 𝐹 ‘ 0 ) ≠ 0 ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) · ( sgn ‘ 𝐾 ) ) < 0 ↔ ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) · 𝐾 ) < 0 ) ) |
97 |
71 79 96
|
3bitrd |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ ( 𝐹 ‘ 0 ) ≠ 0 ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) ↔ ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) · 𝐾 ) < 0 ) ) |
98 |
97
|
ifbid |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ ( 𝐹 ‘ 0 ) ≠ 0 ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → if ( ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) , 1 , 0 ) = if ( ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) · 𝐾 ) < 0 , 1 , 0 ) ) |
99 |
61 98
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ ( 𝐹 ‘ 0 ) ≠ 0 ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) if ( ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ 𝑗 ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) , 1 , 0 ) + if ( ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( ♯ ‘ 𝐹 ) ) ≠ ( ( 𝑇 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) , 1 , 0 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝐹 ) + if ( ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) · 𝐾 ) < 0 , 1 , 0 ) ) ) |
100 |
33 99
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐹 ∈ ( Word ℝ ∖ { ∅ } ) ∧ ( 𝐹 ‘ 0 ) ≠ 0 ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( 𝑉 ‘ ( 𝐹 ++ 〈“ 𝐾 ”〉 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝐹 ) + if ( ( ( ( 𝑇 ‘ 𝐹 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝐹 ) − 1 ) ) · 𝐾 ) < 0 , 1 , 0 ) ) ) |