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Theorem stoweidlem52

Description: There exists a neighborhood V as in Lemma 1 of BrosowskiDeutsh p. 90. Here Z is used to represent t_0 in the paper, and v is used to represent V in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017)

Ref Expression
Hypotheses stoweidlem52.1 𝑡 𝑈
stoweidlem52.2 𝑡 𝜑
stoweidlem52.3 𝑡 𝑃
stoweidlem52.4 𝐾 = ( topGen ‘ ran (,) )
stoweidlem52.5 𝑉 = { 𝑡𝑇 ∣ ( 𝑃𝑡 ) < ( 𝐷 / 2 ) }
stoweidlem52.7 𝑇 = 𝐽
stoweidlem52.8 𝐶 = ( 𝐽 Cn 𝐾 )
stoweidlem52.9 ( 𝜑𝐴𝐶 )
stoweidlem52.10 ( ( 𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴 ) → ( 𝑡𝑇 ↦ ( ( 𝑓𝑡 ) + ( 𝑔𝑡 ) ) ) ∈ 𝐴 )
stoweidlem52.11 ( ( 𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴 ) → ( 𝑡𝑇 ↦ ( ( 𝑓𝑡 ) · ( 𝑔𝑡 ) ) ) ∈ 𝐴 )
stoweidlem52.12 ( ( 𝜑𝑎 ∈ ℝ ) → ( 𝑡𝑇𝑎 ) ∈ 𝐴 )
stoweidlem52.13 ( 𝜑𝐷 ∈ ℝ+ )
stoweidlem52.14 ( 𝜑𝐷 < 1 )
stoweidlem52.15 ( 𝜑𝑈𝐽 )
stoweidlem52.16 ( 𝜑𝑍𝑈 )
stoweidlem52.17 ( 𝜑𝑃𝐴 )
stoweidlem52.18 ( 𝜑 → ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑃𝑡 ) ∧ ( 𝑃𝑡 ) ≤ 1 ) )
stoweidlem52.19 ( 𝜑 → ( 𝑃𝑍 ) = 0 )
stoweidlem52.20 ( 𝜑 → ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) 𝐷 ≤ ( 𝑃𝑡 ) )
Assertion stoweidlem52 ( 𝜑 → ∃ 𝑣𝐽 ( ( 𝑍𝑣𝑣𝑈 ) ∧ ∀ 𝑒 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑥𝑡 ) ∧ ( 𝑥𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑣 ( 𝑥𝑡 ) < 𝑒 ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑥𝑡 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 stoweidlem52.1 𝑡 𝑈
2 stoweidlem52.2 𝑡 𝜑
3 stoweidlem52.3 𝑡 𝑃
4 stoweidlem52.4 𝐾 = ( topGen ‘ ran (,) )
5 stoweidlem52.5 𝑉 = { 𝑡𝑇 ∣ ( 𝑃𝑡 ) < ( 𝐷 / 2 ) }
6 stoweidlem52.7 𝑇 = 𝐽
7 stoweidlem52.8 𝐶 = ( 𝐽 Cn 𝐾 )
8 stoweidlem52.9 ( 𝜑𝐴𝐶 )
9 stoweidlem52.10 ( ( 𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴 ) → ( 𝑡𝑇 ↦ ( ( 𝑓𝑡 ) + ( 𝑔𝑡 ) ) ) ∈ 𝐴 )
10 stoweidlem52.11 ( ( 𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴 ) → ( 𝑡𝑇 ↦ ( ( 𝑓𝑡 ) · ( 𝑔𝑡 ) ) ) ∈ 𝐴 )
11 stoweidlem52.12 ( ( 𝜑𝑎 ∈ ℝ ) → ( 𝑡𝑇𝑎 ) ∈ 𝐴 )
12 stoweidlem52.13 ( 𝜑𝐷 ∈ ℝ+ )
13 stoweidlem52.14 ( 𝜑𝐷 < 1 )
14 stoweidlem52.15 ( 𝜑𝑈𝐽 )
15 stoweidlem52.16 ( 𝜑𝑍𝑈 )
16 stoweidlem52.17 ( 𝜑𝑃𝐴 )
17 stoweidlem52.18 ( 𝜑 → ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑃𝑡 ) ∧ ( 𝑃𝑡 ) ≤ 1 ) )
18 stoweidlem52.19 ( 𝜑 → ( 𝑃𝑍 ) = 0 )
19 stoweidlem52.20 ( 𝜑 → ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) 𝐷 ≤ ( 𝑃𝑡 ) )
20 nfcv 𝑡 ( 𝐷 / 2 )
21 12 rpred ( 𝜑𝐷 ∈ ℝ )
22 21 rehalfcld ( 𝜑 → ( 𝐷 / 2 ) ∈ ℝ )
23 22 rexrd ( 𝜑 → ( 𝐷 / 2 ) ∈ ℝ* )
24 8 7 sseqtrdi ( 𝜑𝐴 ⊆ ( 𝐽 Cn 𝐾 ) )
25 24 16 sseldd ( 𝜑𝑃 ∈ ( 𝐽 Cn 𝐾 ) )
26 20 3 2 4 6 5 23 25 rfcnpre2 ( 𝜑𝑉𝐽 )
27 elssuni ( 𝑈𝐽𝑈 𝐽 )
28 14 27 syl ( 𝜑𝑈 𝐽 )
29 28 6 sseqtrrdi ( 𝜑𝑈𝑇 )
30 29 15 sseldd ( 𝜑𝑍𝑇 )
31 2re 2 ∈ ℝ
32 31 a1i ( 𝜑 → 2 ∈ ℝ )
33 12 rpgt0d ( 𝜑 → 0 < 𝐷 )
34 2pos 0 < 2
35 34 a1i ( 𝜑 → 0 < 2 )
36 21 32 33 35 divgt0d ( 𝜑 → 0 < ( 𝐷 / 2 ) )
37 18 36 eqbrtrd ( 𝜑 → ( 𝑃𝑍 ) < ( 𝐷 / 2 ) )
38 nfcv 𝑡 𝑍
39 nfcv 𝑡 𝑇
40 3 38 nffv 𝑡 ( 𝑃𝑍 )
41 nfcv 𝑡 <
42 40 41 20 nfbr 𝑡 ( 𝑃𝑍 ) < ( 𝐷 / 2 )
43 fveq2 ( 𝑡 = 𝑍 → ( 𝑃𝑡 ) = ( 𝑃𝑍 ) )
44 43 breq1d ( 𝑡 = 𝑍 → ( ( 𝑃𝑡 ) < ( 𝐷 / 2 ) ↔ ( 𝑃𝑍 ) < ( 𝐷 / 2 ) ) )
45 38 39 42 44 elrabf ( 𝑍 ∈ { 𝑡𝑇 ∣ ( 𝑃𝑡 ) < ( 𝐷 / 2 ) } ↔ ( 𝑍𝑇 ∧ ( 𝑃𝑍 ) < ( 𝐷 / 2 ) ) )
46 30 37 45 sylanbrc ( 𝜑𝑍 ∈ { 𝑡𝑇 ∣ ( 𝑃𝑡 ) < ( 𝐷 / 2 ) } )
47 46 5 eleqtrrdi ( 𝜑𝑍𝑉 )
48 nfrab1 𝑡 { 𝑡𝑇 ∣ ( 𝑃𝑡 ) < ( 𝐷 / 2 ) }
49 5 48 nfcxfr 𝑡 𝑉
50 8 16 sseldd ( 𝜑𝑃𝐶 )
51 4 6 7 50 fcnre ( 𝜑𝑃 : 𝑇 ⟶ ℝ )
52 51 adantr ( ( 𝜑𝑡𝑉 ) → 𝑃 : 𝑇 ⟶ ℝ )
53 5 rabeq2i ( 𝑡𝑉 ↔ ( 𝑡𝑇 ∧ ( 𝑃𝑡 ) < ( 𝐷 / 2 ) ) )
54 53 biimpi ( 𝑡𝑉 → ( 𝑡𝑇 ∧ ( 𝑃𝑡 ) < ( 𝐷 / 2 ) ) )
55 54 adantl ( ( 𝜑𝑡𝑉 ) → ( 𝑡𝑇 ∧ ( 𝑃𝑡 ) < ( 𝐷 / 2 ) ) )
56 55 simpld ( ( 𝜑𝑡𝑉 ) → 𝑡𝑇 )
57 52 56 ffvelrnd ( ( 𝜑𝑡𝑉 ) → ( 𝑃𝑡 ) ∈ ℝ )
58 22 adantr ( ( 𝜑𝑡𝑉 ) → ( 𝐷 / 2 ) ∈ ℝ )
59 21 adantr ( ( 𝜑𝑡𝑉 ) → 𝐷 ∈ ℝ )
60 55 simprd ( ( 𝜑𝑡𝑉 ) → ( 𝑃𝑡 ) < ( 𝐷 / 2 ) )
61 halfpos ( 𝐷 ∈ ℝ → ( 0 < 𝐷 ↔ ( 𝐷 / 2 ) < 𝐷 ) )
62 21 61 syl ( 𝜑 → ( 0 < 𝐷 ↔ ( 𝐷 / 2 ) < 𝐷 ) )
63 33 62 mpbid ( 𝜑 → ( 𝐷 / 2 ) < 𝐷 )
64 63 adantr ( ( 𝜑𝑡𝑉 ) → ( 𝐷 / 2 ) < 𝐷 )
65 57 58 59 60 64 lttrd ( ( 𝜑𝑡𝑉 ) → ( 𝑃𝑡 ) < 𝐷 )
66 65 adantr ( ( ( 𝜑𝑡𝑉 ) ∧ ¬ 𝑡𝑈 ) → ( 𝑃𝑡 ) < 𝐷 )
67 21 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑡𝑉 ) ∧ ¬ 𝑡𝑈 ) → 𝐷 ∈ ℝ )
68 57 adantr ( ( ( 𝜑𝑡𝑉 ) ∧ ¬ 𝑡𝑈 ) → ( 𝑃𝑡 ) ∈ ℝ )
69 19 ad2antrr ( ( ( 𝜑𝑡𝑉 ) ∧ ¬ 𝑡𝑈 ) → ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) 𝐷 ≤ ( 𝑃𝑡 ) )
70 56 anim1i ( ( ( 𝜑𝑡𝑉 ) ∧ ¬ 𝑡𝑈 ) → ( 𝑡𝑇 ∧ ¬ 𝑡𝑈 ) )
71 eldif ( 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ↔ ( 𝑡𝑇 ∧ ¬ 𝑡𝑈 ) )
72 70 71 sylibr ( ( ( 𝜑𝑡𝑉 ) ∧ ¬ 𝑡𝑈 ) → 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) )
73 rsp ( ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) 𝐷 ≤ ( 𝑃𝑡 ) → ( 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) → 𝐷 ≤ ( 𝑃𝑡 ) ) )
74 69 72 73 sylc ( ( ( 𝜑𝑡𝑉 ) ∧ ¬ 𝑡𝑈 ) → 𝐷 ≤ ( 𝑃𝑡 ) )
75 67 68 74 lensymd ( ( ( 𝜑𝑡𝑉 ) ∧ ¬ 𝑡𝑈 ) → ¬ ( 𝑃𝑡 ) < 𝐷 )
76 66 75 condan ( ( 𝜑𝑡𝑉 ) → 𝑡𝑈 )
77 76 ex ( 𝜑 → ( 𝑡𝑉𝑡𝑈 ) )
78 2 49 1 77 ssrd ( 𝜑𝑉𝑈 )
79 nfv 𝑡 𝑒 ∈ ℝ+
80 2 79 nfan 𝑡 ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ )
81 nfv 𝑡 𝑦𝐴
82 80 81 nfan 𝑡 ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦𝐴 )
83 nfra1 𝑡𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑦𝑡 ) ∧ ( 𝑦𝑡 ) ≤ 1 )
84 nfra1 𝑡𝑡𝑉 ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑦𝑡 )
85 nfra1 𝑡𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 𝑦𝑡 ) < 𝑒
86 83 84 85 nf3an 𝑡 ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑦𝑡 ) ∧ ( 𝑦𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑦𝑡 ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 𝑦𝑡 ) < 𝑒 )
87 82 86 nfan 𝑡 ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑦𝑡 ) ∧ ( 𝑦𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑦𝑡 ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 𝑦𝑡 ) < 𝑒 ) )
88 eqid ( 𝑡𝑇 ↦ ( 1 − ( 𝑦𝑡 ) ) ) = ( 𝑡𝑇 ↦ ( 1 − ( 𝑦𝑡 ) ) )
89 eqid ( 𝑡𝑇 ↦ 1 ) = ( 𝑡𝑇 ↦ 1 )
90 ssrab2 { 𝑡𝑇 ∣ ( 𝑃𝑡 ) < ( 𝐷 / 2 ) } ⊆ 𝑇
91 5 90 eqsstri 𝑉𝑇
92 simplr ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑦𝑡 ) ∧ ( 𝑦𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑦𝑡 ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 𝑦𝑡 ) < 𝑒 ) ) → 𝑦𝐴 )
93 simplll ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑦𝑡 ) ∧ ( 𝑦𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑦𝑡 ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 𝑦𝑡 ) < 𝑒 ) ) → 𝜑 )
94 8 sselda ( ( 𝜑𝑦𝐴 ) → 𝑦𝐶 )
95 4 6 7 94 fcnre ( ( 𝜑𝑦𝐴 ) → 𝑦 : 𝑇 ⟶ ℝ )
96 93 92 95 syl2anc ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑦𝑡 ) ∧ ( 𝑦𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑦𝑡 ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 𝑦𝑡 ) < 𝑒 ) ) → 𝑦 : 𝑇 ⟶ ℝ )
97 8 sselda ( ( 𝜑𝑓𝐴 ) → 𝑓𝐶 )
98 4 6 7 97 fcnre ( ( 𝜑𝑓𝐴 ) → 𝑓 : 𝑇 ⟶ ℝ )
99 93 98 sylan ( ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑦𝑡 ) ∧ ( 𝑦𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑦𝑡 ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 𝑦𝑡 ) < 𝑒 ) ) ∧ 𝑓𝐴 ) → 𝑓 : 𝑇 ⟶ ℝ )
100 93 9 syl3an1 ( ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑦𝑡 ) ∧ ( 𝑦𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑦𝑡 ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 𝑦𝑡 ) < 𝑒 ) ) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴 ) → ( 𝑡𝑇 ↦ ( ( 𝑓𝑡 ) + ( 𝑔𝑡 ) ) ) ∈ 𝐴 )
101 93 10 syl3an1 ( ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑦𝑡 ) ∧ ( 𝑦𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑦𝑡 ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 𝑦𝑡 ) < 𝑒 ) ) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴 ) → ( 𝑡𝑇 ↦ ( ( 𝑓𝑡 ) · ( 𝑔𝑡 ) ) ) ∈ 𝐴 )
102 93 11 sylan ( ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑦𝑡 ) ∧ ( 𝑦𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑦𝑡 ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 𝑦𝑡 ) < 𝑒 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ ) → ( 𝑡𝑇𝑎 ) ∈ 𝐴 )
103 simpllr ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑦𝑡 ) ∧ ( 𝑦𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑦𝑡 ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 𝑦𝑡 ) < 𝑒 ) ) → 𝑒 ∈ ℝ+ )
104 simpr1 ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑦𝑡 ) ∧ ( 𝑦𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑦𝑡 ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 𝑦𝑡 ) < 𝑒 ) ) → ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑦𝑡 ) ∧ ( 𝑦𝑡 ) ≤ 1 ) )
105 simpr2 ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑦𝑡 ) ∧ ( 𝑦𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑦𝑡 ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 𝑦𝑡 ) < 𝑒 ) ) → ∀ 𝑡𝑉 ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑦𝑡 ) )
106 simpr3 ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑦𝑡 ) ∧ ( 𝑦𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑦𝑡 ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 𝑦𝑡 ) < 𝑒 ) ) → ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 𝑦𝑡 ) < 𝑒 )
107 87 88 89 91 92 96 99 100 101 102 103 104 105 106 stoweidlem41 ( ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑦𝐴 ) ∧ ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑦𝑡 ) ∧ ( 𝑦𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑦𝑡 ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 𝑦𝑡 ) < 𝑒 ) ) → ∃ 𝑥𝐴 ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑥𝑡 ) ∧ ( 𝑥𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 𝑥𝑡 ) < 𝑒 ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑥𝑡 ) ) )
108 12 adantr ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝐷 ∈ ℝ+ )
109 13 adantr ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝐷 < 1 )
110 16 adantr ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑃𝐴 )
111 51 adantr ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑃 : 𝑇 ⟶ ℝ )
112 17 adantr ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑃𝑡 ) ∧ ( 𝑃𝑡 ) ≤ 1 ) )
113 19 adantr ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) 𝐷 ≤ ( 𝑃𝑡 ) )
114 98 adantlr ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑓𝐴 ) → 𝑓 : 𝑇 ⟶ ℝ )
115 9 3adant1r ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴 ) → ( 𝑡𝑇 ↦ ( ( 𝑓𝑡 ) + ( 𝑔𝑡 ) ) ) ∈ 𝐴 )
116 10 3adant1r ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴 ) → ( 𝑡𝑇 ↦ ( ( 𝑓𝑡 ) · ( 𝑔𝑡 ) ) ) ∈ 𝐴 )
117 11 adantlr ( ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ ) → ( 𝑡𝑇𝑎 ) ∈ 𝐴 )
118 simpr ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) → 𝑒 ∈ ℝ+ )
119 3 80 5 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 stoweidlem49 ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑦𝐴 ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑦𝑡 ) ∧ ( 𝑦𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑦𝑡 ) ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 𝑦𝑡 ) < 𝑒 ) )
120 107 119 r19.29a ( ( 𝜑𝑒 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑥𝐴 ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑥𝑡 ) ∧ ( 𝑥𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 𝑥𝑡 ) < 𝑒 ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑥𝑡 ) ) )
121 120 ralrimiva ( 𝜑 → ∀ 𝑒 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑥𝑡 ) ∧ ( 𝑥𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 𝑥𝑡 ) < 𝑒 ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑥𝑡 ) ) )
122 47 78 121 jca31 ( 𝜑 → ( ( 𝑍𝑉𝑉𝑈 ) ∧ ∀ 𝑒 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑥𝑡 ) ∧ ( 𝑥𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 𝑥𝑡 ) < 𝑒 ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑥𝑡 ) ) ) )
123 eleq2 ( 𝑣 = 𝑉 → ( 𝑍𝑣𝑍𝑉 ) )
124 sseq1 ( 𝑣 = 𝑉 → ( 𝑣𝑈𝑉𝑈 ) )
125 123 124 anbi12d ( 𝑣 = 𝑉 → ( ( 𝑍𝑣𝑣𝑈 ) ↔ ( 𝑍𝑉𝑉𝑈 ) ) )
126 nfcv 𝑡 𝑣
127 126 49 raleqf ( 𝑣 = 𝑉 → ( ∀ 𝑡𝑣 ( 𝑥𝑡 ) < 𝑒 ↔ ∀ 𝑡𝑉 ( 𝑥𝑡 ) < 𝑒 ) )
128 127 3anbi2d ( 𝑣 = 𝑉 → ( ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑥𝑡 ) ∧ ( 𝑥𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑣 ( 𝑥𝑡 ) < 𝑒 ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑥𝑡 ) ) ↔ ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑥𝑡 ) ∧ ( 𝑥𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 𝑥𝑡 ) < 𝑒 ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑥𝑡 ) ) ) )
129 128 rexbidv ( 𝑣 = 𝑉 → ( ∃ 𝑥𝐴 ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑥𝑡 ) ∧ ( 𝑥𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑣 ( 𝑥𝑡 ) < 𝑒 ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑥𝑡 ) ) ↔ ∃ 𝑥𝐴 ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑥𝑡 ) ∧ ( 𝑥𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 𝑥𝑡 ) < 𝑒 ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑥𝑡 ) ) ) )
130 129 ralbidv ( 𝑣 = 𝑉 → ( ∀ 𝑒 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑥𝑡 ) ∧ ( 𝑥𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑣 ( 𝑥𝑡 ) < 𝑒 ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑥𝑡 ) ) ↔ ∀ 𝑒 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑥𝑡 ) ∧ ( 𝑥𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 𝑥𝑡 ) < 𝑒 ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑥𝑡 ) ) ) )
131 125 130 anbi12d ( 𝑣 = 𝑉 → ( ( ( 𝑍𝑣𝑣𝑈 ) ∧ ∀ 𝑒 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑥𝑡 ) ∧ ( 𝑥𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑣 ( 𝑥𝑡 ) < 𝑒 ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑥𝑡 ) ) ) ↔ ( ( 𝑍𝑉𝑉𝑈 ) ∧ ∀ 𝑒 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑥𝑡 ) ∧ ( 𝑥𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 𝑥𝑡 ) < 𝑒 ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑥𝑡 ) ) ) ) )
132 131 rspcev ( ( 𝑉𝐽 ∧ ( ( 𝑍𝑉𝑉𝑈 ) ∧ ∀ 𝑒 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑥𝑡 ) ∧ ( 𝑥𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑉 ( 𝑥𝑡 ) < 𝑒 ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑥𝑡 ) ) ) ) → ∃ 𝑣𝐽 ( ( 𝑍𝑣𝑣𝑈 ) ∧ ∀ 𝑒 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑥𝑡 ) ∧ ( 𝑥𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑣 ( 𝑥𝑡 ) < 𝑒 ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑥𝑡 ) ) ) )
133 26 122 132 syl2anc ( 𝜑 → ∃ 𝑣𝐽 ( ( 𝑍𝑣𝑣𝑈 ) ∧ ∀ 𝑒 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ( ∀ 𝑡𝑇 ( 0 ≤ ( 𝑥𝑡 ) ∧ ( 𝑥𝑡 ) ≤ 1 ) ∧ ∀ 𝑡𝑣 ( 𝑥𝑡 ) < 𝑒 ∧ ∀ 𝑡 ∈ ( 𝑇𝑈 ) ( 1 − 𝑒 ) < ( 𝑥𝑡 ) ) ) )