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Theorem efopn

Description: The exponential map is an open map. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015)

Ref Expression
Hypothesis efopn.j 
|- J = ( TopOpen ` CCfld )
Assertion efopn 
|- ( S e. J -> ( exp " S ) e. J )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 efopn.j 
 |-  J = ( TopOpen ` CCfld )
2 1 cnfldtopon 
 |-  J e. ( TopOn ` CC )
3 toponss 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` CC ) /\ S e. J ) -> S C_ CC )
4 2 3 mpan 
 |-  ( S e. J -> S C_ CC )
5 4 sselda 
 |-  ( ( S e. J /\ x e. S ) -> x e. CC )
6 cnxmet 
 |-  ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
7 pirp 
 |-  _pi e. RR+
8 1 cnfldtopn 
 |-  J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
9 8 mopni3 
 |-  ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ S e. J /\ x e. S ) /\ _pi e. RR+ ) -> E. r e. RR+ ( r < _pi /\ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ S ) )
10 7 9 mpan2 
 |-  ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ S e. J /\ x e. S ) -> E. r e. RR+ ( r < _pi /\ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ S ) )
11 6 10 mp3an1 
 |-  ( ( S e. J /\ x e. S ) -> E. r e. RR+ ( r < _pi /\ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ S ) )
12 imass2 
 |-  ( ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ S -> ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) C_ ( exp " S ) )
13 imassrn 
 |-  ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) C_ ran exp
14 eff 
 |-  exp : CC --> CC
15 frn 
 |-  ( exp : CC --> CC -> ran exp C_ CC )
16 14 15 ax-mp 
 |-  ran exp C_ CC
17 13 16 sstri 
 |-  ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) C_ CC
18 sseqin2 
 |-  ( ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) C_ CC <-> ( CC i^i ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) = ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) )
19 17 18 mpbi 
 |-  ( CC i^i ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) = ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) )
20 rpxr 
 |-  ( r e. RR+ -> r e. RR* )
21 blssm 
 |-  ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ x e. CC /\ r e. RR* ) -> ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ CC )
22 6 21 mp3an1 
 |-  ( ( x e. CC /\ r e. RR* ) -> ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ CC )
23 20 22 sylan2 
 |-  ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) -> ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ CC )
24 23 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) -> ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ CC )
25 24 sselda 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> y e. CC )
26 simp-4l 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> x e. CC )
27 25 26 subcld 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( y - x ) e. CC )
28 27 subid1d 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( y - x ) - 0 ) = ( y - x ) )
29 28 fveq2d 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( abs ` ( ( y - x ) - 0 ) ) = ( abs ` ( y - x ) ) )
30 0cn 
 |-  0 e. CC
31 eqid 
 |-  ( abs o. - ) = ( abs o. - )
32 31 cnmetdval 
 |-  ( ( ( y - x ) e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( ( y - x ) ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` ( ( y - x ) - 0 ) ) )
33 27 30 32 sylancl 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( y - x ) ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` ( ( y - x ) - 0 ) ) )
34 31 cnmetdval 
 |-  ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( y ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( y - x ) ) )
35 25 26 34 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( y ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( y - x ) ) )
36 29 33 35 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( y - x ) ( abs o. - ) 0 ) = ( y ( abs o. - ) x ) )
37 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) )
38 6 a1i 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
39 simpllr 
 |-  ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) -> r e. RR+ )
40 39 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> r e. RR+ )
41 40 rpxrd 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> r e. RR* )
42 elbl3 
 |-  ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ r e. RR* ) /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> ( y ( abs o. - ) x ) < r ) )
43 38 41 26 25 42 syl22anc 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> ( y ( abs o. - ) x ) < r ) )
44 37 43 mpbid 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( y ( abs o. - ) x ) < r )
45 36 44 eqbrtrd 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( y - x ) ( abs o. - ) 0 ) < r )
46 0cnd 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> 0 e. CC )
47 elbl3 
 |-  ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ r e. RR* ) /\ ( 0 e. CC /\ ( y - x ) e. CC ) ) -> ( ( y - x ) e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> ( ( y - x ) ( abs o. - ) 0 ) < r ) )
48 38 41 46 27 47 syl22anc 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( y - x ) e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> ( ( y - x ) ( abs o. - ) 0 ) < r ) )
49 45 48 mpbird 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( y - x ) e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) )
50 efsub 
 |-  ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( exp ` ( y - x ) ) = ( ( exp ` y ) / ( exp ` x ) ) )
51 25 26 50 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( exp ` ( y - x ) ) = ( ( exp ` y ) / ( exp ` x ) ) )
52 fveqeq2 
 |-  ( w = ( y - x ) -> ( ( exp ` w ) = ( ( exp ` y ) / ( exp ` x ) ) <-> ( exp ` ( y - x ) ) = ( ( exp ` y ) / ( exp ` x ) ) ) )
53 52 rspcev 
 |-  ( ( ( y - x ) e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) /\ ( exp ` ( y - x ) ) = ( ( exp ` y ) / ( exp ` x ) ) ) -> E. w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` w ) = ( ( exp ` y ) / ( exp ` x ) ) )
54 49 51 53 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> E. w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` w ) = ( ( exp ` y ) / ( exp ` x ) ) )
55 oveq1 
 |-  ( ( exp ` y ) = z -> ( ( exp ` y ) / ( exp ` x ) ) = ( z / ( exp ` x ) ) )
56 55 eqeq2d 
 |-  ( ( exp ` y ) = z -> ( ( exp ` w ) = ( ( exp ` y ) / ( exp ` x ) ) <-> ( exp ` w ) = ( z / ( exp ` x ) ) ) )
57 56 rexbidv 
 |-  ( ( exp ` y ) = z -> ( E. w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` w ) = ( ( exp ` y ) / ( exp ` x ) ) <-> E. w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` w ) = ( z / ( exp ` x ) ) ) )
58 54 57 syl5ibcom 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( exp ` y ) = z -> E. w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` w ) = ( z / ( exp ` x ) ) ) )
59 58 rexlimdva 
 |-  ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) -> ( E. y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` y ) = z -> E. w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` w ) = ( z / ( exp ` x ) ) ) )
60 eqcom 
 |-  ( ( exp ` w ) = ( z / ( exp ` x ) ) <-> ( z / ( exp ` x ) ) = ( exp ` w ) )
61 simplr 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> z e. CC )
62 simp-4l 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> x e. CC )
63 efcl 
 |-  ( x e. CC -> ( exp ` x ) e. CC )
64 62 63 syl 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( exp ` x ) e. CC )
65 39 rpxrd 
 |-  ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) -> r e. RR* )
66 blssm 
 |-  ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. CC /\ r e. RR* ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ CC )
67 6 30 65 66 mp3an12i 
 |-  ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ CC )
68 67 sselda 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> w e. CC )
69 efcl 
 |-  ( w e. CC -> ( exp ` w ) e. CC )
70 68 69 syl 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( exp ` w ) e. CC )
71 efne0 
 |-  ( x e. CC -> ( exp ` x ) =/= 0 )
72 62 71 syl 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( exp ` x ) =/= 0 )
73 61 64 70 72 divmuld 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( z / ( exp ` x ) ) = ( exp ` w ) <-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) = z ) )
74 60 73 syl5bb 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( exp ` w ) = ( z / ( exp ` x ) ) <-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) = z ) )
75 62 68 pncan2d 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( x + w ) - x ) = w )
76 68 subid1d 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( w - 0 ) = w )
77 75 76 eqtr4d 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( x + w ) - x ) = ( w - 0 ) )
78 77 fveq2d 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( abs ` ( ( x + w ) - x ) ) = ( abs ` ( w - 0 ) ) )
79 62 68 addcld 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( x + w ) e. CC )
80 31 cnmetdval 
 |-  ( ( ( x + w ) e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( x + w ) ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( ( x + w ) - x ) ) )
81 79 62 80 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( x + w ) ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( ( x + w ) - x ) ) )
82 31 cnmetdval 
 |-  ( ( w e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( w ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` ( w - 0 ) ) )
83 68 30 82 sylancl 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( w ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` ( w - 0 ) ) )
84 78 81 83 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( x + w ) ( abs o. - ) x ) = ( w ( abs o. - ) 0 ) )
85 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) )
86 6 a1i 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
87 39 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> r e. RR+ )
88 87 rpxrd 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> r e. RR* )
89 0cnd 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> 0 e. CC )
90 elbl3 
 |-  ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ r e. RR* ) /\ ( 0 e. CC /\ w e. CC ) ) -> ( w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> ( w ( abs o. - ) 0 ) < r ) )
91 86 88 89 68 90 syl22anc 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> ( w ( abs o. - ) 0 ) < r ) )
92 85 91 mpbid 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( w ( abs o. - ) 0 ) < r )
93 84 92 eqbrtrd 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( x + w ) ( abs o. - ) x ) < r )
94 elbl3 
 |-  ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ r e. RR* ) /\ ( x e. CC /\ ( x + w ) e. CC ) ) -> ( ( x + w ) e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> ( ( x + w ) ( abs o. - ) x ) < r ) )
95 86 88 62 79 94 syl22anc 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( x + w ) e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> ( ( x + w ) ( abs o. - ) x ) < r ) )
96 93 95 mpbird 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( x + w ) e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) )
97 efadd 
 |-  ( ( x e. CC /\ w e. CC ) -> ( exp ` ( x + w ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) )
98 62 68 97 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( exp ` ( x + w ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) )
99 fveqeq2 
 |-  ( y = ( x + w ) -> ( ( exp ` y ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) <-> ( exp ` ( x + w ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) ) )
100 99 rspcev 
 |-  ( ( ( x + w ) e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) /\ ( exp ` ( x + w ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) ) -> E. y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` y ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) )
101 96 98 100 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> E. y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` y ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) )
102 eqeq2 
 |-  ( ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) = z -> ( ( exp ` y ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) <-> ( exp ` y ) = z ) )
103 102 rexbidv 
 |-  ( ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) = z -> ( E. y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` y ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) <-> E. y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` y ) = z ) )
104 101 103 syl5ibcom 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) = z -> E. y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` y ) = z ) )
105 74 104 sylbid 
 |-  ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( exp ` w ) = ( z / ( exp ` x ) ) -> E. y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` y ) = z ) )
106 105 rexlimdva 
 |-  ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) -> ( E. w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` w ) = ( z / ( exp ` x ) ) -> E. y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` y ) = z ) )
107 59 106 impbid 
 |-  ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) -> ( E. y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` y ) = z <-> E. w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` w ) = ( z / ( exp ` x ) ) ) )
108 ffn 
 |-  ( exp : CC --> CC -> exp Fn CC )
109 14 108 ax-mp 
 |-  exp Fn CC
110 fvelimab 
 |-  ( ( exp Fn CC /\ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ CC ) -> ( z e. ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) <-> E. y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` y ) = z ) )
111 109 24 110 sylancr 
 |-  ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) -> ( z e. ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) <-> E. y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` y ) = z ) )
112 fvelimab 
 |-  ( ( exp Fn CC /\ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ CC ) -> ( ( z / ( exp ` x ) ) e. ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) <-> E. w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` w ) = ( z / ( exp ` x ) ) ) )
113 109 67 112 sylancr 
 |-  ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) -> ( ( z / ( exp ` x ) ) e. ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) <-> E. w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` w ) = ( z / ( exp ` x ) ) ) )
114 107 111 113 3bitr4d 
 |-  ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) -> ( z e. ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) <-> ( z / ( exp ` x ) ) e. ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) )
115 114 rabbi2dva 
 |-  ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) -> ( CC i^i ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) = { z e. CC | ( z / ( exp ` x ) ) e. ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) } )
116 19 115 syl5eqr 
 |-  ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) -> ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) = { z e. CC | ( z / ( exp ` x ) ) e. ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) } )
117 eqid 
 |-  ( z e. CC |-> ( z / ( exp ` x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( z / ( exp ` x ) ) )
118 117 mptpreima 
 |-  ( `' ( z e. CC |-> ( z / ( exp ` x ) ) ) " ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) = { z e. CC | ( z / ( exp ` x ) ) e. ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) }
119 116 118 eqtr4di 
 |-  ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) -> ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) = ( `' ( z e. CC |-> ( z / ( exp ` x ) ) ) " ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) )
120 63 ad2antrr 
 |-  ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) -> ( exp ` x ) e. CC )
121 71 ad2antrr 
 |-  ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) -> ( exp ` x ) =/= 0 )
122 117 divccncf 
 |-  ( ( ( exp ` x ) e. CC /\ ( exp ` x ) =/= 0 ) -> ( z e. CC |-> ( z / ( exp ` x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
123 120 121 122 syl2anc 
 |-  ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) -> ( z e. CC |-> ( z / ( exp ` x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
124 1 cncfcn1 
 |-  ( CC -cn-> CC ) = ( J Cn J )
125 123 124 eleqtrdi 
 |-  ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) -> ( z e. CC |-> ( z / ( exp ` x ) ) ) e. ( J Cn J ) )
126 1 efopnlem2 
 |-  ( ( r e. RR+ /\ r < _pi ) -> ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) e. J )
127 126 adantll 
 |-  ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) -> ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) e. J )
128 cnima 
 |-  ( ( ( z e. CC |-> ( z / ( exp ` x ) ) ) e. ( J Cn J ) /\ ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) e. J ) -> ( `' ( z e. CC |-> ( z / ( exp ` x ) ) ) " ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) e. J )
129 125 127 128 syl2anc 
 |-  ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) -> ( `' ( z e. CC |-> ( z / ( exp ` x ) ) ) " ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) e. J )
130 119 129 eqeltrd 
 |-  ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) -> ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) e. J )
131 blcntr 
 |-  ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ x e. CC /\ r e. RR+ ) -> x e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) )
132 6 131 mp3an1 
 |-  ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) -> x e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) )
133 ffun 
 |-  ( exp : CC --> CC -> Fun exp )
134 14 133 ax-mp 
 |-  Fun exp
135 14 fdmi 
 |-  dom exp = CC
136 23 135 sseqtrrdi 
 |-  ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) -> ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ dom exp )
137 funfvima2 
 |-  ( ( Fun exp /\ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ dom exp ) -> ( x e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) -> ( exp ` x ) e. ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) )
138 134 136 137 sylancr 
 |-  ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) -> ( x e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) -> ( exp ` x ) e. ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) )
139 132 138 mpd 
 |-  ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) -> ( exp ` x ) e. ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) )
140 139 adantr 
 |-  ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) -> ( exp ` x ) e. ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) )
141 eleq2 
 |-  ( y = ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( exp ` x ) e. y <-> ( exp ` x ) e. ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) )
142 sseq1 
 |-  ( y = ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( y C_ ( exp " S ) <-> ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) C_ ( exp " S ) ) )
143 141 142 anbi12d 
 |-  ( y = ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( ( exp ` x ) e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) <-> ( ( exp ` x ) e. ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) /\ ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) C_ ( exp " S ) ) ) )
144 143 rspcev 
 |-  ( ( ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) e. J /\ ( ( exp ` x ) e. ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) /\ ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) C_ ( exp " S ) ) ) -> E. y e. J ( ( exp ` x ) e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) )
145 144 expr 
 |-  ( ( ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) e. J /\ ( exp ` x ) e. ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) -> ( ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) C_ ( exp " S ) -> E. y e. J ( ( exp ` x ) e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) ) )
146 130 140 145 syl2anc 
 |-  ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) -> ( ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) C_ ( exp " S ) -> E. y e. J ( ( exp ` x ) e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) ) )
147 12 146 syl5 
 |-  ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) -> ( ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ S -> E. y e. J ( ( exp ` x ) e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) ) )
148 147 expimpd 
 |-  ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) -> ( ( r < _pi /\ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ S ) -> E. y e. J ( ( exp ` x ) e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) ) )
149 148 rexlimdva 
 |-  ( x e. CC -> ( E. r e. RR+ ( r < _pi /\ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ S ) -> E. y e. J ( ( exp ` x ) e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) ) )
150 5 11 149 sylc 
 |-  ( ( S e. J /\ x e. S ) -> E. y e. J ( ( exp ` x ) e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) )
151 150 ralrimiva 
 |-  ( S e. J -> A. x e. S E. y e. J ( ( exp ` x ) e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) )
152 eleq1 
 |-  ( z = ( exp ` x ) -> ( z e. y <-> ( exp ` x ) e. y ) )
153 152 anbi1d 
 |-  ( z = ( exp ` x ) -> ( ( z e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) <-> ( ( exp ` x ) e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) ) )
154 153 rexbidv 
 |-  ( z = ( exp ` x ) -> ( E. y e. J ( z e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) <-> E. y e. J ( ( exp ` x ) e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) ) )
155 154 ralima 
 |-  ( ( exp Fn CC /\ S C_ CC ) -> ( A. z e. ( exp " S ) E. y e. J ( z e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) <-> A. x e. S E. y e. J ( ( exp ` x ) e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) ) )
156 109 4 155 sylancr 
 |-  ( S e. J -> ( A. z e. ( exp " S ) E. y e. J ( z e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) <-> A. x e. S E. y e. J ( ( exp ` x ) e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) ) )
157 151 156 mpbird 
 |-  ( S e. J -> A. z e. ( exp " S ) E. y e. J ( z e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) )
158 1 cnfldtop 
 |-  J e. Top
159 eltop2 
 |-  ( J e. Top -> ( ( exp " S ) e. J <-> A. z e. ( exp " S ) E. y e. J ( z e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) ) )
160 158 159 ax-mp 
 |-  ( ( exp " S ) e. J <-> A. z e. ( exp " S ) E. y e. J ( z e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) )
161 157 160 sylibr 
 |-  ( S e. J -> ( exp " S ) e. J )