Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
efopn.j |
|- J = ( TopOpen ` CCfld ) |
2 |
1
|
cnfldtopon |
|- J e. ( TopOn ` CC ) |
3 |
|
toponss |
|- ( ( J e. ( TopOn ` CC ) /\ S e. J ) -> S C_ CC ) |
4 |
2 3
|
mpan |
|- ( S e. J -> S C_ CC ) |
5 |
4
|
sselda |
|- ( ( S e. J /\ x e. S ) -> x e. CC ) |
6 |
|
cnxmet |
|- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) |
7 |
|
pirp |
|- _pi e. RR+ |
8 |
1
|
cnfldtopn |
|- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) |
9 |
8
|
mopni3 |
|- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ S e. J /\ x e. S ) /\ _pi e. RR+ ) -> E. r e. RR+ ( r < _pi /\ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ S ) ) |
10 |
7 9
|
mpan2 |
|- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ S e. J /\ x e. S ) -> E. r e. RR+ ( r < _pi /\ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ S ) ) |
11 |
6 10
|
mp3an1 |
|- ( ( S e. J /\ x e. S ) -> E. r e. RR+ ( r < _pi /\ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ S ) ) |
12 |
|
imass2 |
|- ( ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ S -> ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) C_ ( exp " S ) ) |
13 |
|
imassrn |
|- ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) C_ ran exp |
14 |
|
eff |
|- exp : CC --> CC |
15 |
|
frn |
|- ( exp : CC --> CC -> ran exp C_ CC ) |
16 |
14 15
|
ax-mp |
|- ran exp C_ CC |
17 |
13 16
|
sstri |
|- ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) C_ CC |
18 |
|
sseqin2 |
|- ( ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) C_ CC <-> ( CC i^i ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) = ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) |
19 |
17 18
|
mpbi |
|- ( CC i^i ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) = ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) |
20 |
|
rpxr |
|- ( r e. RR+ -> r e. RR* ) |
21 |
|
blssm |
|- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ x e. CC /\ r e. RR* ) -> ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ CC ) |
22 |
6 21
|
mp3an1 |
|- ( ( x e. CC /\ r e. RR* ) -> ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ CC ) |
23 |
20 22
|
sylan2 |
|- ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) -> ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ CC ) |
24 |
23
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) -> ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ CC ) |
25 |
24
|
sselda |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> y e. CC ) |
26 |
|
simp-4l |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> x e. CC ) |
27 |
25 26
|
subcld |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( y - x ) e. CC ) |
28 |
27
|
subid1d |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( y - x ) - 0 ) = ( y - x ) ) |
29 |
28
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( abs ` ( ( y - x ) - 0 ) ) = ( abs ` ( y - x ) ) ) |
30 |
|
0cn |
|- 0 e. CC |
31 |
|
eqid |
|- ( abs o. - ) = ( abs o. - ) |
32 |
31
|
cnmetdval |
|- ( ( ( y - x ) e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( ( y - x ) ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` ( ( y - x ) - 0 ) ) ) |
33 |
27 30 32
|
sylancl |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( y - x ) ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` ( ( y - x ) - 0 ) ) ) |
34 |
31
|
cnmetdval |
|- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( y ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( y - x ) ) ) |
35 |
25 26 34
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( y ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( y - x ) ) ) |
36 |
29 33 35
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( y - x ) ( abs o. - ) 0 ) = ( y ( abs o. - ) x ) ) |
37 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) |
38 |
6
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) |
39 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) -> r e. RR+ ) |
40 |
39
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> r e. RR+ ) |
41 |
40
|
rpxrd |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> r e. RR* ) |
42 |
|
elbl3 |
|- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ r e. RR* ) /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> ( y ( abs o. - ) x ) < r ) ) |
43 |
38 41 26 25 42
|
syl22anc |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> ( y ( abs o. - ) x ) < r ) ) |
44 |
37 43
|
mpbid |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( y ( abs o. - ) x ) < r ) |
45 |
36 44
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( y - x ) ( abs o. - ) 0 ) < r ) |
46 |
|
0cnd |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> 0 e. CC ) |
47 |
|
elbl3 |
|- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ r e. RR* ) /\ ( 0 e. CC /\ ( y - x ) e. CC ) ) -> ( ( y - x ) e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> ( ( y - x ) ( abs o. - ) 0 ) < r ) ) |
48 |
38 41 46 27 47
|
syl22anc |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( y - x ) e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> ( ( y - x ) ( abs o. - ) 0 ) < r ) ) |
49 |
45 48
|
mpbird |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( y - x ) e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) |
50 |
|
efsub |
|- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( exp ` ( y - x ) ) = ( ( exp ` y ) / ( exp ` x ) ) ) |
51 |
25 26 50
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( exp ` ( y - x ) ) = ( ( exp ` y ) / ( exp ` x ) ) ) |
52 |
|
fveqeq2 |
|- ( w = ( y - x ) -> ( ( exp ` w ) = ( ( exp ` y ) / ( exp ` x ) ) <-> ( exp ` ( y - x ) ) = ( ( exp ` y ) / ( exp ` x ) ) ) ) |
53 |
52
|
rspcev |
|- ( ( ( y - x ) e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) /\ ( exp ` ( y - x ) ) = ( ( exp ` y ) / ( exp ` x ) ) ) -> E. w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` w ) = ( ( exp ` y ) / ( exp ` x ) ) ) |
54 |
49 51 53
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> E. w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` w ) = ( ( exp ` y ) / ( exp ` x ) ) ) |
55 |
|
oveq1 |
|- ( ( exp ` y ) = z -> ( ( exp ` y ) / ( exp ` x ) ) = ( z / ( exp ` x ) ) ) |
56 |
55
|
eqeq2d |
|- ( ( exp ` y ) = z -> ( ( exp ` w ) = ( ( exp ` y ) / ( exp ` x ) ) <-> ( exp ` w ) = ( z / ( exp ` x ) ) ) ) |
57 |
56
|
rexbidv |
|- ( ( exp ` y ) = z -> ( E. w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` w ) = ( ( exp ` y ) / ( exp ` x ) ) <-> E. w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` w ) = ( z / ( exp ` x ) ) ) ) |
58 |
54 57
|
syl5ibcom |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( exp ` y ) = z -> E. w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` w ) = ( z / ( exp ` x ) ) ) ) |
59 |
58
|
rexlimdva |
|- ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) -> ( E. y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` y ) = z -> E. w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` w ) = ( z / ( exp ` x ) ) ) ) |
60 |
|
eqcom |
|- ( ( exp ` w ) = ( z / ( exp ` x ) ) <-> ( z / ( exp ` x ) ) = ( exp ` w ) ) |
61 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> z e. CC ) |
62 |
|
simp-4l |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> x e. CC ) |
63 |
|
efcl |
|- ( x e. CC -> ( exp ` x ) e. CC ) |
64 |
62 63
|
syl |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( exp ` x ) e. CC ) |
65 |
39
|
rpxrd |
|- ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) -> r e. RR* ) |
66 |
|
blssm |
|- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. CC /\ r e. RR* ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ CC ) |
67 |
6 30 65 66
|
mp3an12i |
|- ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ CC ) |
68 |
67
|
sselda |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> w e. CC ) |
69 |
|
efcl |
|- ( w e. CC -> ( exp ` w ) e. CC ) |
70 |
68 69
|
syl |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( exp ` w ) e. CC ) |
71 |
|
efne0 |
|- ( x e. CC -> ( exp ` x ) =/= 0 ) |
72 |
62 71
|
syl |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( exp ` x ) =/= 0 ) |
73 |
61 64 70 72
|
divmuld |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( z / ( exp ` x ) ) = ( exp ` w ) <-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) = z ) ) |
74 |
60 73
|
syl5bb |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( exp ` w ) = ( z / ( exp ` x ) ) <-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) = z ) ) |
75 |
62 68
|
pncan2d |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( x + w ) - x ) = w ) |
76 |
68
|
subid1d |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( w - 0 ) = w ) |
77 |
75 76
|
eqtr4d |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( x + w ) - x ) = ( w - 0 ) ) |
78 |
77
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( abs ` ( ( x + w ) - x ) ) = ( abs ` ( w - 0 ) ) ) |
79 |
62 68
|
addcld |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( x + w ) e. CC ) |
80 |
31
|
cnmetdval |
|- ( ( ( x + w ) e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( x + w ) ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( ( x + w ) - x ) ) ) |
81 |
79 62 80
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( x + w ) ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( ( x + w ) - x ) ) ) |
82 |
31
|
cnmetdval |
|- ( ( w e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( w ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` ( w - 0 ) ) ) |
83 |
68 30 82
|
sylancl |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( w ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` ( w - 0 ) ) ) |
84 |
78 81 83
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( x + w ) ( abs o. - ) x ) = ( w ( abs o. - ) 0 ) ) |
85 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) |
86 |
6
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) |
87 |
39
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> r e. RR+ ) |
88 |
87
|
rpxrd |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> r e. RR* ) |
89 |
|
0cnd |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> 0 e. CC ) |
90 |
|
elbl3 |
|- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ r e. RR* ) /\ ( 0 e. CC /\ w e. CC ) ) -> ( w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> ( w ( abs o. - ) 0 ) < r ) ) |
91 |
86 88 89 68 90
|
syl22anc |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> ( w ( abs o. - ) 0 ) < r ) ) |
92 |
85 91
|
mpbid |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( w ( abs o. - ) 0 ) < r ) |
93 |
84 92
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( x + w ) ( abs o. - ) x ) < r ) |
94 |
|
elbl3 |
|- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ r e. RR* ) /\ ( x e. CC /\ ( x + w ) e. CC ) ) -> ( ( x + w ) e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> ( ( x + w ) ( abs o. - ) x ) < r ) ) |
95 |
86 88 62 79 94
|
syl22anc |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( x + w ) e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) <-> ( ( x + w ) ( abs o. - ) x ) < r ) ) |
96 |
93 95
|
mpbird |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( x + w ) e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) |
97 |
|
efadd |
|- ( ( x e. CC /\ w e. CC ) -> ( exp ` ( x + w ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) ) |
98 |
62 68 97
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( exp ` ( x + w ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) ) |
99 |
|
fveqeq2 |
|- ( y = ( x + w ) -> ( ( exp ` y ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) <-> ( exp ` ( x + w ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) ) ) |
100 |
99
|
rspcev |
|- ( ( ( x + w ) e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) /\ ( exp ` ( x + w ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) ) -> E. y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` y ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) ) |
101 |
96 98 100
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> E. y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` y ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) ) |
102 |
|
eqeq2 |
|- ( ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) = z -> ( ( exp ` y ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) <-> ( exp ` y ) = z ) ) |
103 |
102
|
rexbidv |
|- ( ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) = z -> ( E. y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` y ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) <-> E. y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` y ) = z ) ) |
104 |
101 103
|
syl5ibcom |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( ( exp ` x ) x. ( exp ` w ) ) = z -> E. y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` y ) = z ) ) |
105 |
74 104
|
sylbid |
|- ( ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) /\ w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( exp ` w ) = ( z / ( exp ` x ) ) -> E. y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` y ) = z ) ) |
106 |
105
|
rexlimdva |
|- ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) -> ( E. w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` w ) = ( z / ( exp ` x ) ) -> E. y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` y ) = z ) ) |
107 |
59 106
|
impbid |
|- ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) -> ( E. y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` y ) = z <-> E. w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` w ) = ( z / ( exp ` x ) ) ) ) |
108 |
|
ffn |
|- ( exp : CC --> CC -> exp Fn CC ) |
109 |
14 108
|
ax-mp |
|- exp Fn CC |
110 |
|
fvelimab |
|- ( ( exp Fn CC /\ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ CC ) -> ( z e. ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) <-> E. y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` y ) = z ) ) |
111 |
109 24 110
|
sylancr |
|- ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) -> ( z e. ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) <-> E. y e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` y ) = z ) ) |
112 |
|
fvelimab |
|- ( ( exp Fn CC /\ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ CC ) -> ( ( z / ( exp ` x ) ) e. ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) <-> E. w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` w ) = ( z / ( exp ` x ) ) ) ) |
113 |
109 67 112
|
sylancr |
|- ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) -> ( ( z / ( exp ` x ) ) e. ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) <-> E. w e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ( exp ` w ) = ( z / ( exp ` x ) ) ) ) |
114 |
107 111 113
|
3bitr4d |
|- ( ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) /\ z e. CC ) -> ( z e. ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) <-> ( z / ( exp ` x ) ) e. ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) ) |
115 |
114
|
rabbi2dva |
|- ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) -> ( CC i^i ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) = { z e. CC | ( z / ( exp ` x ) ) e. ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) } ) |
116 |
19 115
|
eqtr3id |
|- ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) -> ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) = { z e. CC | ( z / ( exp ` x ) ) e. ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) } ) |
117 |
|
eqid |
|- ( z e. CC |-> ( z / ( exp ` x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( z / ( exp ` x ) ) ) |
118 |
117
|
mptpreima |
|- ( `' ( z e. CC |-> ( z / ( exp ` x ) ) ) " ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) = { z e. CC | ( z / ( exp ` x ) ) e. ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) } |
119 |
116 118
|
eqtr4di |
|- ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) -> ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) = ( `' ( z e. CC |-> ( z / ( exp ` x ) ) ) " ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) ) |
120 |
63
|
ad2antrr |
|- ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) -> ( exp ` x ) e. CC ) |
121 |
71
|
ad2antrr |
|- ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) -> ( exp ` x ) =/= 0 ) |
122 |
117
|
divccncf |
|- ( ( ( exp ` x ) e. CC /\ ( exp ` x ) =/= 0 ) -> ( z e. CC |-> ( z / ( exp ` x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) ) |
123 |
120 121 122
|
syl2anc |
|- ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) -> ( z e. CC |-> ( z / ( exp ` x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) ) |
124 |
1
|
cncfcn1 |
|- ( CC -cn-> CC ) = ( J Cn J ) |
125 |
123 124
|
eleqtrdi |
|- ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) -> ( z e. CC |-> ( z / ( exp ` x ) ) ) e. ( J Cn J ) ) |
126 |
1
|
efopnlem2 |
|- ( ( r e. RR+ /\ r < _pi ) -> ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) e. J ) |
127 |
126
|
adantll |
|- ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) -> ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) e. J ) |
128 |
|
cnima |
|- ( ( ( z e. CC |-> ( z / ( exp ` x ) ) ) e. ( J Cn J ) /\ ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) e. J ) -> ( `' ( z e. CC |-> ( z / ( exp ` x ) ) ) " ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) e. J ) |
129 |
125 127 128
|
syl2anc |
|- ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) -> ( `' ( z e. CC |-> ( z / ( exp ` x ) ) ) " ( exp " ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) e. J ) |
130 |
119 129
|
eqeltrd |
|- ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) -> ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) e. J ) |
131 |
|
blcntr |
|- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ x e. CC /\ r e. RR+ ) -> x e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) |
132 |
6 131
|
mp3an1 |
|- ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) -> x e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) |
133 |
|
ffun |
|- ( exp : CC --> CC -> Fun exp ) |
134 |
14 133
|
ax-mp |
|- Fun exp |
135 |
14
|
fdmi |
|- dom exp = CC |
136 |
23 135
|
sseqtrrdi |
|- ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) -> ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ dom exp ) |
137 |
|
funfvima2 |
|- ( ( Fun exp /\ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ dom exp ) -> ( x e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) -> ( exp ` x ) e. ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) ) |
138 |
134 136 137
|
sylancr |
|- ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) -> ( x e. ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) -> ( exp ` x ) e. ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) ) |
139 |
132 138
|
mpd |
|- ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) -> ( exp ` x ) e. ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) |
140 |
139
|
adantr |
|- ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) -> ( exp ` x ) e. ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) |
141 |
|
eleq2 |
|- ( y = ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( exp ` x ) e. y <-> ( exp ` x ) e. ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) ) |
142 |
|
sseq1 |
|- ( y = ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( y C_ ( exp " S ) <-> ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) C_ ( exp " S ) ) ) |
143 |
141 142
|
anbi12d |
|- ( y = ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) -> ( ( ( exp ` x ) e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) <-> ( ( exp ` x ) e. ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) /\ ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) C_ ( exp " S ) ) ) ) |
144 |
143
|
rspcev |
|- ( ( ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) e. J /\ ( ( exp ` x ) e. ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) /\ ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) C_ ( exp " S ) ) ) -> E. y e. J ( ( exp ` x ) e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) ) |
145 |
144
|
expr |
|- ( ( ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) e. J /\ ( exp ` x ) e. ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) ) -> ( ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) C_ ( exp " S ) -> E. y e. J ( ( exp ` x ) e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) ) ) |
146 |
130 140 145
|
syl2anc |
|- ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) -> ( ( exp " ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) ) C_ ( exp " S ) -> E. y e. J ( ( exp ` x ) e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) ) ) |
147 |
12 146
|
syl5 |
|- ( ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) /\ r < _pi ) -> ( ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ S -> E. y e. J ( ( exp ` x ) e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) ) ) |
148 |
147
|
expimpd |
|- ( ( x e. CC /\ r e. RR+ ) -> ( ( r < _pi /\ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ S ) -> E. y e. J ( ( exp ` x ) e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) ) ) |
149 |
148
|
rexlimdva |
|- ( x e. CC -> ( E. r e. RR+ ( r < _pi /\ ( x ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ S ) -> E. y e. J ( ( exp ` x ) e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) ) ) |
150 |
5 11 149
|
sylc |
|- ( ( S e. J /\ x e. S ) -> E. y e. J ( ( exp ` x ) e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) ) |
151 |
150
|
ralrimiva |
|- ( S e. J -> A. x e. S E. y e. J ( ( exp ` x ) e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) ) |
152 |
|
eleq1 |
|- ( z = ( exp ` x ) -> ( z e. y <-> ( exp ` x ) e. y ) ) |
153 |
152
|
anbi1d |
|- ( z = ( exp ` x ) -> ( ( z e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) <-> ( ( exp ` x ) e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) ) ) |
154 |
153
|
rexbidv |
|- ( z = ( exp ` x ) -> ( E. y e. J ( z e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) <-> E. y e. J ( ( exp ` x ) e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) ) ) |
155 |
154
|
ralima |
|- ( ( exp Fn CC /\ S C_ CC ) -> ( A. z e. ( exp " S ) E. y e. J ( z e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) <-> A. x e. S E. y e. J ( ( exp ` x ) e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) ) ) |
156 |
109 4 155
|
sylancr |
|- ( S e. J -> ( A. z e. ( exp " S ) E. y e. J ( z e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) <-> A. x e. S E. y e. J ( ( exp ` x ) e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) ) ) |
157 |
151 156
|
mpbird |
|- ( S e. J -> A. z e. ( exp " S ) E. y e. J ( z e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) ) |
158 |
1
|
cnfldtop |
|- J e. Top |
159 |
|
eltop2 |
|- ( J e. Top -> ( ( exp " S ) e. J <-> A. z e. ( exp " S ) E. y e. J ( z e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) ) ) |
160 |
158 159
|
ax-mp |
|- ( ( exp " S ) e. J <-> A. z e. ( exp " S ) E. y e. J ( z e. y /\ y C_ ( exp " S ) ) ) |
161 |
157 160
|
sylibr |
|- ( S e. J -> ( exp " S ) e. J ) |