| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
efopn.j |
⊢ 𝐽 = ( TopOpen ‘ ℂfld ) |
| 2 |
1
|
cnfldtopon |
⊢ 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ ℂ ) |
| 3 |
|
toponss |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ ℂ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ) → 𝑆 ⊆ ℂ ) |
| 4 |
2 3
|
mpan |
⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐽 → 𝑆 ⊆ ℂ ) |
| 5 |
4
|
sselda |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
| 6 |
|
cnxmet |
⊢ ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) |
| 7 |
|
pirp |
⊢ π ∈ ℝ+ |
| 8 |
1
|
cnfldtopn |
⊢ 𝐽 = ( MetOpen ‘ ( abs ∘ − ) ) |
| 9 |
8
|
mopni3 |
⊢ ( ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) ∧ π ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑟 ∈ ℝ+ ( 𝑟 < π ∧ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ 𝑆 ) ) |
| 10 |
7 9
|
mpan2 |
⊢ ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ∃ 𝑟 ∈ ℝ+ ( 𝑟 < π ∧ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ 𝑆 ) ) |
| 11 |
6 10
|
mp3an1 |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ∃ 𝑟 ∈ ℝ+ ( 𝑟 < π ∧ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ 𝑆 ) ) |
| 12 |
|
imass2 |
⊢ ( ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ 𝑆 → ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) |
| 13 |
|
imassrn |
⊢ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ⊆ ran exp |
| 14 |
|
eff |
⊢ exp : ℂ ⟶ ℂ |
| 15 |
|
frn |
⊢ ( exp : ℂ ⟶ ℂ → ran exp ⊆ ℂ ) |
| 16 |
14 15
|
ax-mp |
⊢ ran exp ⊆ ℂ |
| 17 |
13 16
|
sstri |
⊢ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ⊆ ℂ |
| 18 |
|
sseqin2 |
⊢ ( ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ⊆ ℂ ↔ ( ℂ ∩ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ) = ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ) |
| 19 |
17 18
|
mpbi |
⊢ ( ℂ ∩ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ) = ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) |
| 20 |
|
rpxr |
⊢ ( 𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ* ) |
| 21 |
|
blssm |
⊢ ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ* ) → ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ ℂ ) |
| 22 |
6 21
|
mp3an1 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ* ) → ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ ℂ ) |
| 23 |
20 22
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ ℂ ) |
| 24 |
23
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) → ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ ℂ ) |
| 25 |
24
|
sselda |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → 𝑦 ∈ ℂ ) |
| 26 |
|
simp-4l |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
| 27 |
25 26
|
subcld |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( 𝑦 − 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
| 28 |
27
|
subid1d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( 𝑦 − 𝑥 ) − 0 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) |
| 29 |
28
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑦 − 𝑥 ) − 0 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ) |
| 30 |
|
0cn |
⊢ 0 ∈ ℂ |
| 31 |
|
eqid |
⊢ ( abs ∘ − ) = ( abs ∘ − ) |
| 32 |
31
|
cnmetdval |
⊢ ( ( ( 𝑦 − 𝑥 ) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑦 − 𝑥 ) ( abs ∘ − ) 0 ) = ( abs ‘ ( ( 𝑦 − 𝑥 ) − 0 ) ) ) |
| 33 |
27 30 32
|
sylancl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( 𝑦 − 𝑥 ) ( abs ∘ − ) 0 ) = ( abs ‘ ( ( 𝑦 − 𝑥 ) − 0 ) ) ) |
| 34 |
31
|
cnmetdval |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( 𝑦 ( abs ∘ − ) 𝑥 ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ) |
| 35 |
25 26 34
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( 𝑦 ( abs ∘ − ) 𝑥 ) = ( abs ‘ ( 𝑦 − 𝑥 ) ) ) |
| 36 |
29 33 35
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( 𝑦 − 𝑥 ) ( abs ∘ − ) 0 ) = ( 𝑦 ( abs ∘ − ) 𝑥 ) ) |
| 37 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) |
| 38 |
6
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ) |
| 39 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) → 𝑟 ∈ ℝ+ ) |
| 40 |
39
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ ) |
| 41 |
40
|
rpxrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ* ) |
| 42 |
|
elbl3 |
⊢ ( ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ) ) → ( 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ↔ ( 𝑦 ( abs ∘ − ) 𝑥 ) < 𝑟 ) ) |
| 43 |
38 41 26 25 42
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ↔ ( 𝑦 ( abs ∘ − ) 𝑥 ) < 𝑟 ) ) |
| 44 |
37 43
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( 𝑦 ( abs ∘ − ) 𝑥 ) < 𝑟 ) |
| 45 |
36 44
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( 𝑦 − 𝑥 ) ( abs ∘ − ) 0 ) < 𝑟 ) |
| 46 |
|
0cnd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → 0 ∈ ℂ ) |
| 47 |
|
elbl3 |
⊢ ( ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ* ) ∧ ( 0 ∈ ℂ ∧ ( 𝑦 − 𝑥 ) ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝑦 − 𝑥 ) ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ↔ ( ( 𝑦 − 𝑥 ) ( abs ∘ − ) 0 ) < 𝑟 ) ) |
| 48 |
38 41 46 27 47
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( 𝑦 − 𝑥 ) ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ↔ ( ( 𝑦 − 𝑥 ) ( abs ∘ − ) 0 ) < 𝑟 ) ) |
| 49 |
45 48
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( 𝑦 − 𝑥 ) ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) |
| 50 |
|
efsub |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( exp ‘ ( 𝑦 − 𝑥 ) ) = ( ( exp ‘ 𝑦 ) / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 51 |
25 26 50
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( exp ‘ ( 𝑦 − 𝑥 ) ) = ( ( exp ‘ 𝑦 ) / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 52 |
|
fveqeq2 |
⊢ ( 𝑤 = ( 𝑦 − 𝑥 ) → ( ( exp ‘ 𝑤 ) = ( ( exp ‘ 𝑦 ) / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( exp ‘ ( 𝑦 − 𝑥 ) ) = ( ( exp ‘ 𝑦 ) / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
| 53 |
52
|
rspcev |
⊢ ( ( ( 𝑦 − 𝑥 ) ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ∧ ( exp ‘ ( 𝑦 − 𝑥 ) ) = ( ( exp ‘ 𝑦 ) / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑤 ) = ( ( exp ‘ 𝑦 ) / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 54 |
49 51 53
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑤 ) = ( ( exp ‘ 𝑦 ) / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 55 |
|
oveq1 |
⊢ ( ( exp ‘ 𝑦 ) = 𝑧 → ( ( exp ‘ 𝑦 ) / ( exp ‘ 𝑥 ) ) = ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 56 |
55
|
eqeq2d |
⊢ ( ( exp ‘ 𝑦 ) = 𝑧 → ( ( exp ‘ 𝑤 ) = ( ( exp ‘ 𝑦 ) / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( exp ‘ 𝑤 ) = ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
| 57 |
56
|
rexbidv |
⊢ ( ( exp ‘ 𝑦 ) = 𝑧 → ( ∃ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑤 ) = ( ( exp ‘ 𝑦 ) / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ↔ ∃ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑤 ) = ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
| 58 |
54 57
|
syl5ibcom |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( exp ‘ 𝑦 ) = 𝑧 → ∃ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑤 ) = ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
| 59 |
58
|
rexlimdva |
⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑦 ) = 𝑧 → ∃ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑤 ) = ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
| 60 |
|
eqcom |
⊢ ( ( exp ‘ 𝑤 ) = ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) = ( exp ‘ 𝑤 ) ) |
| 61 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → 𝑧 ∈ ℂ ) |
| 62 |
|
simp-4l |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
| 63 |
|
efcl |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℂ → ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
| 64 |
62 63
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
| 65 |
39
|
rpxrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) → 𝑟 ∈ ℝ* ) |
| 66 |
|
blssm |
⊢ ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ* ) → ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ ℂ ) |
| 67 |
6 30 65 66
|
mp3an12i |
⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) → ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ ℂ ) |
| 68 |
67
|
sselda |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → 𝑤 ∈ ℂ ) |
| 69 |
|
efcl |
⊢ ( 𝑤 ∈ ℂ → ( exp ‘ 𝑤 ) ∈ ℂ ) |
| 70 |
68 69
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( exp ‘ 𝑤 ) ∈ ℂ ) |
| 71 |
|
efne0 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℂ → ( exp ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) |
| 72 |
62 71
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( exp ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) |
| 73 |
61 64 70 72
|
divmuld |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) = ( exp ‘ 𝑤 ) ↔ ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) = 𝑧 ) ) |
| 74 |
60 73
|
bitrid |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( exp ‘ 𝑤 ) = ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) = 𝑧 ) ) |
| 75 |
62 68
|
pncan2d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( 𝑥 + 𝑤 ) − 𝑥 ) = 𝑤 ) |
| 76 |
68
|
subid1d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( 𝑤 − 0 ) = 𝑤 ) |
| 77 |
75 76
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( 𝑥 + 𝑤 ) − 𝑥 ) = ( 𝑤 − 0 ) ) |
| 78 |
77
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝑥 + 𝑤 ) − 𝑥 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑤 − 0 ) ) ) |
| 79 |
62 68
|
addcld |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( 𝑥 + 𝑤 ) ∈ ℂ ) |
| 80 |
31
|
cnmetdval |
⊢ ( ( ( 𝑥 + 𝑤 ) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑥 + 𝑤 ) ( abs ∘ − ) 𝑥 ) = ( abs ‘ ( ( 𝑥 + 𝑤 ) − 𝑥 ) ) ) |
| 81 |
79 62 80
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( 𝑥 + 𝑤 ) ( abs ∘ − ) 𝑥 ) = ( abs ‘ ( ( 𝑥 + 𝑤 ) − 𝑥 ) ) ) |
| 82 |
31
|
cnmetdval |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ) → ( 𝑤 ( abs ∘ − ) 0 ) = ( abs ‘ ( 𝑤 − 0 ) ) ) |
| 83 |
68 30 82
|
sylancl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( 𝑤 ( abs ∘ − ) 0 ) = ( abs ‘ ( 𝑤 − 0 ) ) ) |
| 84 |
78 81 83
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( 𝑥 + 𝑤 ) ( abs ∘ − ) 𝑥 ) = ( 𝑤 ( abs ∘ − ) 0 ) ) |
| 85 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) |
| 86 |
6
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ) |
| 87 |
39
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ+ ) |
| 88 |
87
|
rpxrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → 𝑟 ∈ ℝ* ) |
| 89 |
|
0cnd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → 0 ∈ ℂ ) |
| 90 |
|
elbl3 |
⊢ ( ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ* ) ∧ ( 0 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ ) ) → ( 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ↔ ( 𝑤 ( abs ∘ − ) 0 ) < 𝑟 ) ) |
| 91 |
86 88 89 68 90
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ↔ ( 𝑤 ( abs ∘ − ) 0 ) < 𝑟 ) ) |
| 92 |
85 91
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( 𝑤 ( abs ∘ − ) 0 ) < 𝑟 ) |
| 93 |
84 92
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( 𝑥 + 𝑤 ) ( abs ∘ − ) 𝑥 ) < 𝑟 ) |
| 94 |
|
elbl3 |
⊢ ( ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ ( 𝑥 + 𝑤 ) ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝑥 + 𝑤 ) ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ↔ ( ( 𝑥 + 𝑤 ) ( abs ∘ − ) 𝑥 ) < 𝑟 ) ) |
| 95 |
86 88 62 79 94
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( 𝑥 + 𝑤 ) ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ↔ ( ( 𝑥 + 𝑤 ) ( abs ∘ − ) 𝑥 ) < 𝑟 ) ) |
| 96 |
93 95
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( 𝑥 + 𝑤 ) ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) |
| 97 |
|
efadd |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ ) → ( exp ‘ ( 𝑥 + 𝑤 ) ) = ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) ) |
| 98 |
62 68 97
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( exp ‘ ( 𝑥 + 𝑤 ) ) = ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) ) |
| 99 |
|
fveqeq2 |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑥 + 𝑤 ) → ( ( exp ‘ 𝑦 ) = ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) ↔ ( exp ‘ ( 𝑥 + 𝑤 ) ) = ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) ) ) |
| 100 |
99
|
rspcev |
⊢ ( ( ( 𝑥 + 𝑤 ) ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ∧ ( exp ‘ ( 𝑥 + 𝑤 ) ) = ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑦 ) = ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) ) |
| 101 |
96 98 100
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑦 ) = ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) ) |
| 102 |
|
eqeq2 |
⊢ ( ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) = 𝑧 → ( ( exp ‘ 𝑦 ) = ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) ↔ ( exp ‘ 𝑦 ) = 𝑧 ) ) |
| 103 |
102
|
rexbidv |
⊢ ( ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) = 𝑧 → ( ∃ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑦 ) = ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑦 ) = 𝑧 ) ) |
| 104 |
101 103
|
syl5ibcom |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( ( exp ‘ 𝑥 ) · ( exp ‘ 𝑤 ) ) = 𝑧 → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑦 ) = 𝑧 ) ) |
| 105 |
74 104
|
sylbid |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) ∧ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( exp ‘ 𝑤 ) = ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑦 ) = 𝑧 ) ) |
| 106 |
105
|
rexlimdva |
⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) → ( ∃ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑤 ) = ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑦 ) = 𝑧 ) ) |
| 107 |
59 106
|
impbid |
⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑦 ) = 𝑧 ↔ ∃ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑤 ) = ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
| 108 |
|
ffn |
⊢ ( exp : ℂ ⟶ ℂ → exp Fn ℂ ) |
| 109 |
14 108
|
ax-mp |
⊢ exp Fn ℂ |
| 110 |
|
fvelimab |
⊢ ( ( exp Fn ℂ ∧ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ ℂ ) → ( 𝑧 ∈ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑦 ) = 𝑧 ) ) |
| 111 |
109 24 110
|
sylancr |
⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) → ( 𝑧 ∈ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑦 ) = 𝑧 ) ) |
| 112 |
|
fvelimab |
⊢ ( ( exp Fn ℂ ∧ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ ℂ ) → ( ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( exp “ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ↔ ∃ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑤 ) = ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
| 113 |
109 67 112
|
sylancr |
⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( exp “ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ↔ ∃ 𝑤 ∈ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ( exp ‘ 𝑤 ) = ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) ) |
| 114 |
107 111 113
|
3bitr4d |
⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ ) → ( 𝑧 ∈ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ↔ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( exp “ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ) ) |
| 115 |
114
|
rabbi2dva |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) → ( ℂ ∩ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ) = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( exp “ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) } ) |
| 116 |
19 115
|
eqtr3id |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) → ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( exp “ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) } ) |
| 117 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 118 |
117
|
mptpreima |
⊢ ( ◡ ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) “ ( exp “ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ) = { 𝑧 ∈ ℂ ∣ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ∈ ( exp “ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) } |
| 119 |
116 118
|
eqtr4di |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) → ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) = ( ◡ ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) “ ( exp “ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ) ) |
| 120 |
63
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) → ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
| 121 |
71
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) → ( exp ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) |
| 122 |
117
|
divccncf |
⊢ ( ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ ∧ ( exp ‘ 𝑥 ) ≠ 0 ) → ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) ) |
| 123 |
120 121 122
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) → ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ( ℂ –cn→ ℂ ) ) |
| 124 |
1
|
cncfcn1 |
⊢ ( ℂ –cn→ ℂ ) = ( 𝐽 Cn 𝐽 ) |
| 125 |
123 124
|
eleqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) → ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ) |
| 126 |
1
|
efopnlem2 |
⊢ ( ( 𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑟 < π ) → ( exp “ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ∈ 𝐽 ) |
| 127 |
126
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) → ( exp “ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ∈ 𝐽 ) |
| 128 |
|
cnima |
⊢ ( ( ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ∧ ( exp “ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ∈ 𝐽 ) → ( ◡ ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) “ ( exp “ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ) ∈ 𝐽 ) |
| 129 |
125 127 128
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) → ( ◡ ( 𝑧 ∈ ℂ ↦ ( 𝑧 / ( exp ‘ 𝑥 ) ) ) “ ( exp “ ( 0 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ) ∈ 𝐽 ) |
| 130 |
119 129
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) → ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ∈ 𝐽 ) |
| 131 |
|
blcntr |
⊢ ( ( ( abs ∘ − ) ∈ ( ∞Met ‘ ℂ ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝑥 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) |
| 132 |
6 131
|
mp3an1 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → 𝑥 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) |
| 133 |
|
ffun |
⊢ ( exp : ℂ ⟶ ℂ → Fun exp ) |
| 134 |
14 133
|
ax-mp |
⊢ Fun exp |
| 135 |
14
|
fdmi |
⊢ dom exp = ℂ |
| 136 |
23 135
|
sseqtrrdi |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ dom exp ) |
| 137 |
|
funfvima2 |
⊢ ( ( Fun exp ∧ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ dom exp ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) → ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ) ) |
| 138 |
134 136 137
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) → ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ) ) |
| 139 |
132 138
|
mpd |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ) |
| 140 |
139
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) → ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ) |
| 141 |
|
eleq2 |
⊢ ( 𝑦 = ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ↔ ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ) ) |
| 142 |
|
sseq1 |
⊢ ( 𝑦 = ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ↔ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) |
| 143 |
141 142
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑦 = ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) → ( ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ↔ ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ∧ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) ) |
| 144 |
143
|
rspcev |
⊢ ( ( ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ∈ 𝐽 ∧ ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ∧ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) |
| 145 |
144
|
expr |
⊢ ( ( ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ∈ 𝐽 ∧ ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ) → ( ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ⊆ ( exp “ 𝑆 ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) ) |
| 146 |
130 140 145
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) → ( ( exp “ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ) ⊆ ( exp “ 𝑆 ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) ) |
| 147 |
12 146
|
syl5 |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑟 < π ) → ( ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ 𝑆 → ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) ) |
| 148 |
147
|
expimpd |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑟 < π ∧ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ 𝑆 ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) ) |
| 149 |
148
|
rexlimdva |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℂ → ( ∃ 𝑟 ∈ ℝ+ ( 𝑟 < π ∧ ( 𝑥 ( ball ‘ ( abs ∘ − ) ) 𝑟 ) ⊆ 𝑆 ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) ) |
| 150 |
5 11 149
|
sylc |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) |
| 151 |
150
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐽 → ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) |
| 152 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑧 = ( exp ‘ 𝑥 ) → ( 𝑧 ∈ 𝑦 ↔ ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ) ) |
| 153 |
152
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑧 = ( exp ‘ 𝑥 ) → ( ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ↔ ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) ) |
| 154 |
153
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑧 = ( exp ‘ 𝑥 ) → ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) ) |
| 155 |
154
|
ralima |
⊢ ( ( exp Fn ℂ ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ) → ( ∀ 𝑧 ∈ ( exp “ 𝑆 ) ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) ) |
| 156 |
109 4 155
|
sylancr |
⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐽 → ( ∀ 𝑧 ∈ ( exp “ 𝑆 ) ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑆 ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( exp ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) ) |
| 157 |
151 156
|
mpbird |
⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐽 → ∀ 𝑧 ∈ ( exp “ 𝑆 ) ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) |
| 158 |
1
|
cnfldtop |
⊢ 𝐽 ∈ Top |
| 159 |
|
eltop2 |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( ( exp “ 𝑆 ) ∈ 𝐽 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ( exp “ 𝑆 ) ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) ) |
| 160 |
158 159
|
ax-mp |
⊢ ( ( exp “ 𝑆 ) ∈ 𝐽 ↔ ∀ 𝑧 ∈ ( exp “ 𝑆 ) ∃ 𝑦 ∈ 𝐽 ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ( exp “ 𝑆 ) ) ) |
| 161 |
157 160
|
sylibr |
⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐽 → ( exp “ 𝑆 ) ∈ 𝐽 ) |