Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nosupbnd2.1 |
|- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x . } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) |
2 |
|
nfv |
|- F/ x ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ Z e. No ) /\ A. a e. A a |
3 |
|
nfcv |
|- F/_ x Z |
4 |
|
nfre1 |
|- F/ x E. x e. A A. y e. A -. x |
5 |
|
nfriota1 |
|- F/_ x ( iota_ x e. A A. y e. A -. x |
6 |
5
|
nfdm |
|- F/_ x dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x |
7 |
|
nfcv |
|- F/_ x 2o |
8 |
6 7
|
nfop |
|- F/_ x <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x . |
9 |
8
|
nfsn |
|- F/_ x { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x . } |
10 |
5 9
|
nfun |
|- F/_ x ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x . } ) |
11 |
|
nfcv |
|- F/_ x { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |
12 |
|
nfiota1 |
|- F/_ x ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) |
13 |
11 12
|
nfmpt |
|- F/_ x ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) |
14 |
4 10 13
|
nfif |
|- F/_ x if ( E. x e. A A. y e. A -. x . } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) |
15 |
1 14
|
nfcxfr |
|- F/_ x S |
16 |
15
|
nfdm |
|- F/_ x dom S |
17 |
3 16
|
nfres |
|- F/_ x ( Z |` dom S ) |
18 |
|
nfcv |
|- F/_ x |
19 |
17 18 15
|
nfbr |
|- F/ x ( Z |` dom S ) |
20 |
19
|
nfn |
|- F/ x -. ( Z |` dom S ) |
21 |
2 20
|
nfim |
|- F/ x ( ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ Z e. No ) /\ A. a e. A a -. ( Z |` dom S ) |
22 |
|
simpl |
|- ( ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x ( x e. A /\ A. y e. A -. x |
23 |
|
rspe |
|- ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x E. x e. A A. y e. A -. x |
24 |
23
|
adantr |
|- ( ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x E. x e. A A. y e. A -. x |
25 |
|
nomaxmo |
|- ( A C_ No -> E* x e. A A. y e. A -. x |
26 |
25
|
3ad2ant1 |
|- ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ Z e. No ) -> E* x e. A A. y e. A -. x |
27 |
26
|
ad2antrl |
|- ( ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x E* x e. A A. y e. A -. x |
28 |
|
reu5 |
|- ( E! x e. A A. y e. A -. x ( E. x e. A A. y e. A -. x |
29 |
24 27 28
|
sylanbrc |
|- ( ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x E! x e. A A. y e. A -. x |
30 |
|
riota1 |
|- ( E! x e. A A. y e. A -. x ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x ( iota_ x e. A A. y e. A -. x |
31 |
29 30
|
syl |
|- ( ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x ( iota_ x e. A A. y e. A -. x |
32 |
22 31
|
mpbid |
|- ( ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x ( iota_ x e. A A. y e. A -. x |
33 |
|
nosupbnd2lem1 |
|- ( ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x -. ( Z |` suc dom x ) . } ) ) |
34 |
33
|
3expb |
|- ( ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x -. ( Z |` suc dom x ) . } ) ) |
35 |
|
dmeq |
|- ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x |
36 |
|
suceq |
|- ( dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x |
37 |
35 36
|
syl |
|- ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x |
38 |
37
|
reseq2d |
|- ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x ( Z |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x |
39 |
|
id |
|- ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x ( iota_ x e. A A. y e. A -. x |
40 |
35
|
opeq1d |
|- ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x . = <. dom x , 2o >. ) |
41 |
40
|
sneqd |
|- ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x . } = { <. dom x , 2o >. } ) |
42 |
39 41
|
uneq12d |
|- ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x . } ) = ( x u. { <. dom x , 2o >. } ) ) |
43 |
38 42
|
breq12d |
|- ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x ( ( Z |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x . } ) <-> ( Z |` suc dom x ) . } ) ) ) |
44 |
43
|
notbid |
|- ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x ( -. ( Z |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x . } ) <-> -. ( Z |` suc dom x ) . } ) ) ) |
45 |
34 44
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x -. ( Z |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x . } ) ) ) |
46 |
32 45
|
mpd |
|- ( ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x -. ( Z |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x . } ) ) |
47 |
|
iftrue |
|- ( E. x e. A A. y e. A -. x if ( E. x e. A A. y e. A -. x . } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) = ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x . } ) ) |
48 |
1 47
|
syl5eq |
|- ( E. x e. A A. y e. A -. x S = ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x . } ) ) |
49 |
23 48
|
syl |
|- ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x S = ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x . } ) ) |
50 |
49
|
dmeqd |
|- ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x dom S = dom ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x . } ) ) |
51 |
|
2on |
|- 2o e. On |
52 |
51
|
elexi |
|- 2o e. _V |
53 |
52
|
dmsnop |
|- dom { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x . } = { dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x |
54 |
53
|
uneq2i |
|- ( dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x . } ) = ( dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x |
55 |
|
dmun |
|- dom ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x . } ) = ( dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x . } ) |
56 |
|
df-suc |
|- suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x |
57 |
54 55 56
|
3eqtr4i |
|- dom ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x . } ) = suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x |
58 |
50 57
|
eqtrdi |
|- ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x dom S = suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x |
59 |
58
|
reseq2d |
|- ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x ( Z |` dom S ) = ( Z |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x |
60 |
59
|
adantr |
|- ( ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x ( Z |` dom S ) = ( Z |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x |
61 |
49
|
adantr |
|- ( ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x S = ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x . } ) ) |
62 |
60 61
|
breq12d |
|- ( ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x ( ( Z |` dom S ) ( Z |` suc dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x . } ) ) ) |
63 |
46 62
|
mtbird |
|- ( ( ( x e. A /\ A. y e. A -. x -. ( Z |` dom S ) |
64 |
63
|
exp31 |
|- ( x e. A -> ( A. y e. A -. x ( ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ Z e. No ) /\ A. a e. A a -. ( Z |` dom S ) |
65 |
21 64
|
rexlimi |
|- ( E. x e. A A. y e. A -. x ( ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ Z e. No ) /\ A. a e. A a -. ( Z |` dom S ) |
66 |
65
|
imp |
|- ( ( E. x e. A A. y e. A -. x -. ( Z |` dom S ) |
67 |
1
|
nosupno |
|- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> S e. No ) |
68 |
67
|
3adant3 |
|- ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ Z e. No ) -> S e. No ) |
69 |
68
|
ad2antrl |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x S e. No ) |
70 |
|
nodmon |
|- ( S e. No -> dom S e. On ) |
71 |
69 70
|
syl |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x dom S e. On ) |
72 |
|
noreson |
|- ( ( S e. No /\ dom S e. On ) -> ( S |` dom S ) e. No ) |
73 |
69 71 72
|
syl2anc |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( S |` dom S ) e. No ) |
74 |
|
simprl3 |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x Z e. No ) |
75 |
|
noreson |
|- ( ( Z e. No /\ dom S e. On ) -> ( Z |` dom S ) e. No ) |
76 |
74 71 75
|
syl2anc |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( Z |` dom S ) e. No ) |
77 |
|
dmres |
|- dom ( S |` dom S ) = ( dom S i^i dom S ) |
78 |
|
inss2 |
|- ( dom S i^i dom S ) C_ dom S |
79 |
77 78
|
eqsstri |
|- dom ( S |` dom S ) C_ dom S |
80 |
79
|
a1i |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x dom ( S |` dom S ) C_ dom S ) |
81 |
|
dmres |
|- dom ( Z |` dom S ) = ( dom S i^i dom Z ) |
82 |
|
inss1 |
|- ( dom S i^i dom Z ) C_ dom S |
83 |
81 82
|
eqsstri |
|- dom ( Z |` dom S ) C_ dom S |
84 |
83
|
a1i |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x dom ( Z |` dom S ) C_ dom S ) |
85 |
1
|
nosupdm |
|- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x dom S = { g | E. p e. A ( g e. dom p /\ A. q e. A ( -. q ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) } ) |
86 |
85
|
abeq2d |
|- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( g e. dom S <-> E. p e. A ( g e. dom p /\ A. q e. A ( -. q ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) ) ) |
87 |
86
|
adantr |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( g e. dom S <-> E. p e. A ( g e. dom p /\ A. q e. A ( -. q ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) ) ) |
88 |
|
simprl |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) ) ) -> p e. A ) |
89 |
|
simplrr |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) ) ) -> A. a e. A a |
90 |
|
breq1 |
|- ( a = p -> ( a p |
91 |
90
|
rspcv |
|- ( p e. A -> ( A. a e. A a p |
92 |
88 89 91
|
sylc |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) ) ) -> p |
93 |
|
simprl1 |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x A C_ No ) |
94 |
93
|
adantr |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) ) ) -> A C_ No ) |
95 |
94 88
|
sseldd |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) ) ) -> p e. No ) |
96 |
74
|
adantr |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) ) ) -> Z e. No ) |
97 |
|
sltso |
|- |
98 |
|
soasym |
|- ( ( ( p -. Z |
99 |
97 98
|
mpan |
|- ( ( p e. No /\ Z e. No ) -> ( p -. Z |
100 |
95 96 99
|
syl2anc |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) ) ) -> ( p -. Z |
101 |
92 100
|
mpd |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) ) ) -> -. Z |
102 |
|
nodmon |
|- ( p e. No -> dom p e. On ) |
103 |
95 102
|
syl |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) ) ) -> dom p e. On ) |
104 |
|
simprrl |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) ) ) -> g e. dom p ) |
105 |
|
onelon |
|- ( ( dom p e. On /\ g e. dom p ) -> g e. On ) |
106 |
103 104 105
|
syl2anc |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) ) ) -> g e. On ) |
107 |
|
sucelon |
|- ( g e. On <-> suc g e. On ) |
108 |
106 107
|
sylib |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) ) ) -> suc g e. On ) |
109 |
|
sltres |
|- ( ( Z e. No /\ p e. No /\ suc g e. On ) -> ( ( Z |` suc g ) Z |
110 |
96 95 108 109
|
syl3anc |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) ) ) -> ( ( Z |` suc g ) Z |
111 |
101 110
|
mtod |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) ) ) -> -. ( Z |` suc g ) |
112 |
|
simpll |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) ) ) -> -. E. x e. A A. y e. A -. x |
113 |
|
simprl2 |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x A e. _V ) |
114 |
93 113
|
jca |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( A C_ No /\ A e. _V ) ) |
115 |
114
|
adantr |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) ) ) -> ( A C_ No /\ A e. _V ) ) |
116 |
|
simprrr |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) ) ) -> A. q e. A ( -. q ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) |
117 |
|
breq1 |
|- ( v = q -> ( v q |
118 |
117
|
notbid |
|- ( v = q -> ( -. v -. q |
119 |
|
reseq1 |
|- ( v = q -> ( v |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) |
120 |
119
|
eqeq2d |
|- ( v = q -> ( ( p |` suc g ) = ( v |` suc g ) <-> ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) |
121 |
118 120
|
imbi12d |
|- ( v = q -> ( ( -. v ( p |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) <-> ( -. q ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) ) |
122 |
121
|
cbvralvw |
|- ( A. v e. A ( -. v ( p |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) <-> A. q e. A ( -. q ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) |
123 |
116 122
|
sylibr |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) ) ) -> A. v e. A ( -. v ( p |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) ) |
124 |
1
|
nosupres |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) ) ) -> ( S |` suc g ) = ( p |` suc g ) ) |
125 |
112 115 88 104 123 124
|
syl113anc |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) ) ) -> ( S |` suc g ) = ( p |` suc g ) ) |
126 |
125
|
breq2d |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) ) ) -> ( ( Z |` suc g ) ( Z |` suc g ) |
127 |
111 126
|
mtbird |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) ) ) -> -. ( Z |` suc g ) |
128 |
127
|
rexlimdvaa |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( E. p e. A ( g e. dom p /\ A. q e. A ( -. q ( p |` suc g ) = ( q |` suc g ) ) ) -> -. ( Z |` suc g ) |
129 |
87 128
|
sylbid |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( g e. dom S -> -. ( Z |` suc g ) |
130 |
129
|
imp |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x -. ( Z |` suc g ) |
131 |
69
|
adantr |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x S e. No ) |
132 |
|
nodmord |
|- ( S e. No -> Ord dom S ) |
133 |
131 132
|
syl |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x Ord dom S ) |
134 |
|
simpr |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x g e. dom S ) |
135 |
|
ordsucss |
|- ( Ord dom S -> ( g e. dom S -> suc g C_ dom S ) ) |
136 |
133 134 135
|
sylc |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x suc g C_ dom S ) |
137 |
136
|
resabs1d |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( ( Z |` dom S ) |` suc g ) = ( Z |` suc g ) ) |
138 |
136
|
resabs1d |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( ( S |` dom S ) |` suc g ) = ( S |` suc g ) ) |
139 |
137 138
|
breq12d |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( ( ( Z |` dom S ) |` suc g ) ( Z |` suc g ) |
140 |
130 139
|
mtbird |
|- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x -. ( ( Z |` dom S ) |` suc g ) |
141 |
140
|
ralrimiva |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x A. g e. dom S -. ( ( Z |` dom S ) |` suc g ) |
142 |
|
noresle |
|- ( ( ( ( S |` dom S ) e. No /\ ( Z |` dom S ) e. No ) /\ ( dom ( S |` dom S ) C_ dom S /\ dom ( Z |` dom S ) C_ dom S /\ A. g e. dom S -. ( ( Z |` dom S ) |` suc g ) -. ( Z |` dom S ) |
143 |
73 76 80 84 141 142
|
syl23anc |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x -. ( Z |` dom S ) |
144 |
|
nofun |
|- ( S e. No -> Fun S ) |
145 |
69 144
|
syl |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x Fun S ) |
146 |
|
funrel |
|- ( Fun S -> Rel S ) |
147 |
|
resdm |
|- ( Rel S -> ( S |` dom S ) = S ) |
148 |
145 146 147
|
3syl |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( S |` dom S ) = S ) |
149 |
148
|
breq2d |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( ( Z |` dom S ) ( Z |` dom S ) |
150 |
143 149
|
mtbid |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x -. ( Z |` dom S ) |
151 |
66 150
|
pm2.61ian |
|- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ Z e. No ) /\ A. a e. A a -. ( Z |` dom S ) |
152 |
|
simpll1 |
|- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ Z e. No ) /\ -. ( Z |` dom S ) A C_ No ) |
153 |
|
simpll2 |
|- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ Z e. No ) /\ -. ( Z |` dom S ) A e. _V ) |
154 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ Z e. No ) /\ -. ( Z |` dom S ) a e. A ) |
155 |
1
|
nosupbnd1 |
|- ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ a e. A ) -> ( a |` dom S ) |
156 |
152 153 154 155
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ Z e. No ) /\ -. ( Z |` dom S ) ( a |` dom S ) |
157 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ Z e. No ) /\ -. ( Z |` dom S ) -. ( Z |` dom S ) |
158 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ Z e. No ) /\ -. ( Z |` dom S ) A C_ No ) |
159 |
158
|
sselda |
|- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ Z e. No ) /\ -. ( Z |` dom S ) a e. No ) |
160 |
152 153 67
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ Z e. No ) /\ -. ( Z |` dom S ) S e. No ) |
161 |
160 70
|
syl |
|- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ Z e. No ) /\ -. ( Z |` dom S ) dom S e. On ) |
162 |
|
noreson |
|- ( ( a e. No /\ dom S e. On ) -> ( a |` dom S ) e. No ) |
163 |
159 161 162
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ Z e. No ) /\ -. ( Z |` dom S ) ( a |` dom S ) e. No ) |
164 |
|
simpll3 |
|- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ Z e. No ) /\ -. ( Z |` dom S ) Z e. No ) |
165 |
164 161 75
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ Z e. No ) /\ -. ( Z |` dom S ) ( Z |` dom S ) e. No ) |
166 |
|
sotr3 |
|- ( ( ( ( ( a |` dom S ) ( a |` dom S ) |
167 |
97 166
|
mpan |
|- ( ( ( a |` dom S ) e. No /\ S e. No /\ ( Z |` dom S ) e. No ) -> ( ( ( a |` dom S ) ( a |` dom S ) |
168 |
163 160 165 167
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ Z e. No ) /\ -. ( Z |` dom S ) ( ( ( a |` dom S ) ( a |` dom S ) |
169 |
156 157 168
|
mp2and |
|- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ Z e. No ) /\ -. ( Z |` dom S ) ( a |` dom S ) |
170 |
|
sltres |
|- ( ( a e. No /\ Z e. No /\ dom S e. On ) -> ( ( a |` dom S ) a |
171 |
159 164 161 170
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ Z e. No ) /\ -. ( Z |` dom S ) ( ( a |` dom S ) a |
172 |
169 171
|
mpd |
|- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ Z e. No ) /\ -. ( Z |` dom S ) a |
173 |
172
|
ralrimiva |
|- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ Z e. No ) /\ -. ( Z |` dom S ) A. a e. A a |
174 |
151 173
|
impbida |
|- ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ Z e. No ) -> ( A. a e. A a -. ( Z |` dom S ) |