Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eleq2 |
|- ( x = (/) -> ( (/) e. x <-> (/) e. (/) ) ) |
2 |
|
oveq2 |
|- ( x = (/) -> ( _om ^o x ) = ( _om ^o (/) ) ) |
3 |
2
|
oveq2d |
|- ( x = (/) -> ( A .o ( _om ^o x ) ) = ( A .o ( _om ^o (/) ) ) ) |
4 |
3 2
|
eqeq12d |
|- ( x = (/) -> ( ( A .o ( _om ^o x ) ) = ( _om ^o x ) <-> ( A .o ( _om ^o (/) ) ) = ( _om ^o (/) ) ) ) |
5 |
1 4
|
imbi12d |
|- ( x = (/) -> ( ( (/) e. x -> ( A .o ( _om ^o x ) ) = ( _om ^o x ) ) <-> ( (/) e. (/) -> ( A .o ( _om ^o (/) ) ) = ( _om ^o (/) ) ) ) ) |
6 |
|
eleq2 |
|- ( x = y -> ( (/) e. x <-> (/) e. y ) ) |
7 |
|
oveq2 |
|- ( x = y -> ( _om ^o x ) = ( _om ^o y ) ) |
8 |
7
|
oveq2d |
|- ( x = y -> ( A .o ( _om ^o x ) ) = ( A .o ( _om ^o y ) ) ) |
9 |
8 7
|
eqeq12d |
|- ( x = y -> ( ( A .o ( _om ^o x ) ) = ( _om ^o x ) <-> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) ) |
10 |
6 9
|
imbi12d |
|- ( x = y -> ( ( (/) e. x -> ( A .o ( _om ^o x ) ) = ( _om ^o x ) ) <-> ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) ) ) |
11 |
|
eleq2 |
|- ( x = suc y -> ( (/) e. x <-> (/) e. suc y ) ) |
12 |
|
oveq2 |
|- ( x = suc y -> ( _om ^o x ) = ( _om ^o suc y ) ) |
13 |
12
|
oveq2d |
|- ( x = suc y -> ( A .o ( _om ^o x ) ) = ( A .o ( _om ^o suc y ) ) ) |
14 |
13 12
|
eqeq12d |
|- ( x = suc y -> ( ( A .o ( _om ^o x ) ) = ( _om ^o x ) <-> ( A .o ( _om ^o suc y ) ) = ( _om ^o suc y ) ) ) |
15 |
11 14
|
imbi12d |
|- ( x = suc y -> ( ( (/) e. x -> ( A .o ( _om ^o x ) ) = ( _om ^o x ) ) <-> ( (/) e. suc y -> ( A .o ( _om ^o suc y ) ) = ( _om ^o suc y ) ) ) ) |
16 |
|
eleq2 |
|- ( x = B -> ( (/) e. x <-> (/) e. B ) ) |
17 |
|
oveq2 |
|- ( x = B -> ( _om ^o x ) = ( _om ^o B ) ) |
18 |
17
|
oveq2d |
|- ( x = B -> ( A .o ( _om ^o x ) ) = ( A .o ( _om ^o B ) ) ) |
19 |
18 17
|
eqeq12d |
|- ( x = B -> ( ( A .o ( _om ^o x ) ) = ( _om ^o x ) <-> ( A .o ( _om ^o B ) ) = ( _om ^o B ) ) ) |
20 |
16 19
|
imbi12d |
|- ( x = B -> ( ( (/) e. x -> ( A .o ( _om ^o x ) ) = ( _om ^o x ) ) <-> ( (/) e. B -> ( A .o ( _om ^o B ) ) = ( _om ^o B ) ) ) ) |
21 |
|
noel |
|- -. (/) e. (/) |
22 |
21
|
pm2.21i |
|- ( (/) e. (/) -> ( A .o ( _om ^o (/) ) ) = ( _om ^o (/) ) ) |
23 |
22
|
a1i |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ _om e. On ) -> ( (/) e. (/) -> ( A .o ( _om ^o (/) ) ) = ( _om ^o (/) ) ) ) |
24 |
|
simprl |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ y e. On ) ) -> _om e. On ) |
25 |
|
simpll |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ y e. On ) ) -> A e. _om ) |
26 |
|
simplr |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ y e. On ) ) -> (/) e. A ) |
27 |
|
omabslem |
|- ( ( _om e. On /\ A e. _om /\ (/) e. A ) -> ( A .o _om ) = _om ) |
28 |
24 25 26 27
|
syl3anc |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ y e. On ) ) -> ( A .o _om ) = _om ) |
29 |
28
|
adantr |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ y e. On ) ) /\ y = (/) ) -> ( A .o _om ) = _om ) |
30 |
|
suceq |
|- ( y = (/) -> suc y = suc (/) ) |
31 |
|
df-1o |
|- 1o = suc (/) |
32 |
30 31
|
eqtr4di |
|- ( y = (/) -> suc y = 1o ) |
33 |
32
|
oveq2d |
|- ( y = (/) -> ( _om ^o suc y ) = ( _om ^o 1o ) ) |
34 |
|
oe1 |
|- ( _om e. On -> ( _om ^o 1o ) = _om ) |
35 |
34
|
ad2antrl |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ y e. On ) ) -> ( _om ^o 1o ) = _om ) |
36 |
33 35
|
sylan9eqr |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ y e. On ) ) /\ y = (/) ) -> ( _om ^o suc y ) = _om ) |
37 |
36
|
oveq2d |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ y e. On ) ) /\ y = (/) ) -> ( A .o ( _om ^o suc y ) ) = ( A .o _om ) ) |
38 |
29 37 36
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ y e. On ) ) /\ y = (/) ) -> ( A .o ( _om ^o suc y ) ) = ( _om ^o suc y ) ) |
39 |
38
|
ex |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ y e. On ) ) -> ( y = (/) -> ( A .o ( _om ^o suc y ) ) = ( _om ^o suc y ) ) ) |
40 |
39
|
a1dd |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ y e. On ) ) -> ( y = (/) -> ( ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) -> ( A .o ( _om ^o suc y ) ) = ( _om ^o suc y ) ) ) ) |
41 |
|
oveq1 |
|- ( ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) -> ( ( A .o ( _om ^o y ) ) .o _om ) = ( ( _om ^o y ) .o _om ) ) |
42 |
|
oesuc |
|- ( ( _om e. On /\ y e. On ) -> ( _om ^o suc y ) = ( ( _om ^o y ) .o _om ) ) |
43 |
42
|
adantl |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ y e. On ) ) -> ( _om ^o suc y ) = ( ( _om ^o y ) .o _om ) ) |
44 |
43
|
oveq2d |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ y e. On ) ) -> ( A .o ( _om ^o suc y ) ) = ( A .o ( ( _om ^o y ) .o _om ) ) ) |
45 |
|
nnon |
|- ( A e. _om -> A e. On ) |
46 |
45
|
ad2antrr |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ y e. On ) ) -> A e. On ) |
47 |
|
oecl |
|- ( ( _om e. On /\ y e. On ) -> ( _om ^o y ) e. On ) |
48 |
47
|
adantl |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ y e. On ) ) -> ( _om ^o y ) e. On ) |
49 |
|
omass |
|- ( ( A e. On /\ ( _om ^o y ) e. On /\ _om e. On ) -> ( ( A .o ( _om ^o y ) ) .o _om ) = ( A .o ( ( _om ^o y ) .o _om ) ) ) |
50 |
46 48 24 49
|
syl3anc |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ y e. On ) ) -> ( ( A .o ( _om ^o y ) ) .o _om ) = ( A .o ( ( _om ^o y ) .o _om ) ) ) |
51 |
44 50
|
eqtr4d |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ y e. On ) ) -> ( A .o ( _om ^o suc y ) ) = ( ( A .o ( _om ^o y ) ) .o _om ) ) |
52 |
51 43
|
eqeq12d |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ y e. On ) ) -> ( ( A .o ( _om ^o suc y ) ) = ( _om ^o suc y ) <-> ( ( A .o ( _om ^o y ) ) .o _om ) = ( ( _om ^o y ) .o _om ) ) ) |
53 |
41 52
|
syl5ibr |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ y e. On ) ) -> ( ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) -> ( A .o ( _om ^o suc y ) ) = ( _om ^o suc y ) ) ) |
54 |
53
|
imim2d |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ y e. On ) ) -> ( ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) -> ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o suc y ) ) = ( _om ^o suc y ) ) ) ) |
55 |
54
|
com23 |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ y e. On ) ) -> ( (/) e. y -> ( ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) -> ( A .o ( _om ^o suc y ) ) = ( _om ^o suc y ) ) ) ) |
56 |
|
simprr |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ y e. On ) ) -> y e. On ) |
57 |
|
on0eqel |
|- ( y e. On -> ( y = (/) \/ (/) e. y ) ) |
58 |
56 57
|
syl |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ y e. On ) ) -> ( y = (/) \/ (/) e. y ) ) |
59 |
40 55 58
|
mpjaod |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ y e. On ) ) -> ( ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) -> ( A .o ( _om ^o suc y ) ) = ( _om ^o suc y ) ) ) |
60 |
59
|
a1dd |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ y e. On ) ) -> ( ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) -> ( (/) e. suc y -> ( A .o ( _om ^o suc y ) ) = ( _om ^o suc y ) ) ) ) |
61 |
60
|
anassrs |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ _om e. On ) /\ y e. On ) -> ( ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) -> ( (/) e. suc y -> ( A .o ( _om ^o suc y ) ) = ( _om ^o suc y ) ) ) ) |
62 |
61
|
expcom |
|- ( y e. On -> ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ _om e. On ) -> ( ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) -> ( (/) e. suc y -> ( A .o ( _om ^o suc y ) ) = ( _om ^o suc y ) ) ) ) ) |
63 |
45
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ A. y e. x ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) ) -> A e. On ) |
64 |
|
simprl |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) -> _om e. On ) |
65 |
|
simprr |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) -> Lim x ) |
66 |
|
vex |
|- x e. _V |
67 |
65 66
|
jctil |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) -> ( x e. _V /\ Lim x ) ) |
68 |
|
limelon |
|- ( ( x e. _V /\ Lim x ) -> x e. On ) |
69 |
67 68
|
syl |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) -> x e. On ) |
70 |
|
oecl |
|- ( ( _om e. On /\ x e. On ) -> ( _om ^o x ) e. On ) |
71 |
64 69 70
|
syl2anc |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) -> ( _om ^o x ) e. On ) |
72 |
71
|
adantr |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ A. y e. x ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) ) -> ( _om ^o x ) e. On ) |
73 |
|
1onn |
|- 1o e. _om |
74 |
|
ondif2 |
|- ( _om e. ( On \ 2o ) <-> ( _om e. On /\ 1o e. _om ) ) |
75 |
64 73 74
|
sylanblrc |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) -> _om e. ( On \ 2o ) ) |
76 |
75
|
adantr |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ A. y e. x ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) ) -> _om e. ( On \ 2o ) ) |
77 |
67
|
adantr |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ A. y e. x ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) ) -> ( x e. _V /\ Lim x ) ) |
78 |
|
oelimcl |
|- ( ( _om e. ( On \ 2o ) /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> Lim ( _om ^o x ) ) |
79 |
76 77 78
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ A. y e. x ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) ) -> Lim ( _om ^o x ) ) |
80 |
|
omlim |
|- ( ( A e. On /\ ( ( _om ^o x ) e. On /\ Lim ( _om ^o x ) ) ) -> ( A .o ( _om ^o x ) ) = U_ z e. ( _om ^o x ) ( A .o z ) ) |
81 |
63 72 79 80
|
syl12anc |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ A. y e. x ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) ) -> ( A .o ( _om ^o x ) ) = U_ z e. ( _om ^o x ) ( A .o z ) ) |
82 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ A. y e. x ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) ) -> _om e. On ) |
83 |
|
oelim2 |
|- ( ( _om e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> ( _om ^o x ) = U_ y e. ( x \ 1o ) ( _om ^o y ) ) |
84 |
82 77 83
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ A. y e. x ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) ) -> ( _om ^o x ) = U_ y e. ( x \ 1o ) ( _om ^o y ) ) |
85 |
84
|
eleq2d |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ A. y e. x ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) ) -> ( z e. ( _om ^o x ) <-> z e. U_ y e. ( x \ 1o ) ( _om ^o y ) ) ) |
86 |
|
eliun |
|- ( z e. U_ y e. ( x \ 1o ) ( _om ^o y ) <-> E. y e. ( x \ 1o ) z e. ( _om ^o y ) ) |
87 |
85 86
|
bitrdi |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ A. y e. x ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) ) -> ( z e. ( _om ^o x ) <-> E. y e. ( x \ 1o ) z e. ( _om ^o y ) ) ) |
88 |
69
|
adantr |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ A. y e. x ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) ) -> x e. On ) |
89 |
|
anass |
|- ( ( ( y e. x /\ (/) e. y ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) <-> ( y e. x /\ ( (/) e. y /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) ) |
90 |
|
onelon |
|- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y e. On ) |
91 |
|
on0eln0 |
|- ( y e. On -> ( (/) e. y <-> y =/= (/) ) ) |
92 |
90 91
|
syl |
|- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> ( (/) e. y <-> y =/= (/) ) ) |
93 |
92
|
pm5.32da |
|- ( x e. On -> ( ( y e. x /\ (/) e. y ) <-> ( y e. x /\ y =/= (/) ) ) ) |
94 |
|
dif1o |
|- ( y e. ( x \ 1o ) <-> ( y e. x /\ y =/= (/) ) ) |
95 |
93 94
|
bitr4di |
|- ( x e. On -> ( ( y e. x /\ (/) e. y ) <-> y e. ( x \ 1o ) ) ) |
96 |
95
|
anbi1d |
|- ( x e. On -> ( ( ( y e. x /\ (/) e. y ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) <-> ( y e. ( x \ 1o ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) ) |
97 |
89 96
|
bitr3id |
|- ( x e. On -> ( ( y e. x /\ ( (/) e. y /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) <-> ( y e. ( x \ 1o ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) ) |
98 |
97
|
rexbidv2 |
|- ( x e. On -> ( E. y e. x ( (/) e. y /\ z e. ( _om ^o y ) ) <-> E. y e. ( x \ 1o ) z e. ( _om ^o y ) ) ) |
99 |
88 98
|
syl |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ A. y e. x ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) ) -> ( E. y e. x ( (/) e. y /\ z e. ( _om ^o y ) ) <-> E. y e. ( x \ 1o ) z e. ( _om ^o y ) ) ) |
100 |
87 99
|
bitr4d |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ A. y e. x ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) ) -> ( z e. ( _om ^o x ) <-> E. y e. x ( (/) e. y /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) ) |
101 |
|
r19.29 |
|- ( ( A. y e. x ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) /\ E. y e. x ( (/) e. y /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) -> E. y e. x ( ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) /\ ( (/) e. y /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) ) |
102 |
|
id |
|- ( ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) -> ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) ) |
103 |
102
|
imp |
|- ( ( ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) /\ (/) e. y ) -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) |
104 |
103
|
anim1i |
|- ( ( ( ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) /\ (/) e. y ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) -> ( ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) |
105 |
104
|
anasss |
|- ( ( ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) /\ ( (/) e. y /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) -> ( ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) |
106 |
71
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) -> ( _om ^o x ) e. On ) |
107 |
|
eloni |
|- ( ( _om ^o x ) e. On -> Ord ( _om ^o x ) ) |
108 |
106 107
|
syl |
|- ( ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) -> Ord ( _om ^o x ) ) |
109 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) -> z e. ( _om ^o y ) ) |
110 |
64
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) -> _om e. On ) |
111 |
69
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) -> x e. On ) |
112 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) -> y e. x ) |
113 |
111 112 90
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) -> y e. On ) |
114 |
110 113 47
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) -> ( _om ^o y ) e. On ) |
115 |
|
onelon |
|- ( ( ( _om ^o y ) e. On /\ z e. ( _om ^o y ) ) -> z e. On ) |
116 |
114 109 115
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) -> z e. On ) |
117 |
45
|
ad2antrr |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) -> A e. On ) |
118 |
117
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) -> A e. On ) |
119 |
|
simplr |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) -> (/) e. A ) |
120 |
119
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) -> (/) e. A ) |
121 |
|
omord2 |
|- ( ( ( z e. On /\ ( _om ^o y ) e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( z e. ( _om ^o y ) <-> ( A .o z ) e. ( A .o ( _om ^o y ) ) ) ) |
122 |
116 114 118 120 121
|
syl31anc |
|- ( ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) -> ( z e. ( _om ^o y ) <-> ( A .o z ) e. ( A .o ( _om ^o y ) ) ) ) |
123 |
109 122
|
mpbid |
|- ( ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) -> ( A .o z ) e. ( A .o ( _om ^o y ) ) ) |
124 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) |
125 |
123 124
|
eleqtrd |
|- ( ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) -> ( A .o z ) e. ( _om ^o y ) ) |
126 |
75
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) -> _om e. ( On \ 2o ) ) |
127 |
|
oeord |
|- ( ( y e. On /\ x e. On /\ _om e. ( On \ 2o ) ) -> ( y e. x <-> ( _om ^o y ) e. ( _om ^o x ) ) ) |
128 |
113 111 126 127
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) -> ( y e. x <-> ( _om ^o y ) e. ( _om ^o x ) ) ) |
129 |
112 128
|
mpbid |
|- ( ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) -> ( _om ^o y ) e. ( _om ^o x ) ) |
130 |
|
ontr1 |
|- ( ( _om ^o x ) e. On -> ( ( ( A .o z ) e. ( _om ^o y ) /\ ( _om ^o y ) e. ( _om ^o x ) ) -> ( A .o z ) e. ( _om ^o x ) ) ) |
131 |
106 130
|
syl |
|- ( ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) -> ( ( ( A .o z ) e. ( _om ^o y ) /\ ( _om ^o y ) e. ( _om ^o x ) ) -> ( A .o z ) e. ( _om ^o x ) ) ) |
132 |
125 129 131
|
mp2and |
|- ( ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) -> ( A .o z ) e. ( _om ^o x ) ) |
133 |
|
ordelss |
|- ( ( Ord ( _om ^o x ) /\ ( A .o z ) e. ( _om ^o x ) ) -> ( A .o z ) C_ ( _om ^o x ) ) |
134 |
108 132 133
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ y e. x ) /\ ( ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) -> ( A .o z ) C_ ( _om ^o x ) ) |
135 |
134
|
ex |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ y e. x ) -> ( ( ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) /\ z e. ( _om ^o y ) ) -> ( A .o z ) C_ ( _om ^o x ) ) ) |
136 |
105 135
|
syl5 |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ y e. x ) -> ( ( ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) /\ ( (/) e. y /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) -> ( A .o z ) C_ ( _om ^o x ) ) ) |
137 |
136
|
rexlimdva |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) -> ( E. y e. x ( ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) /\ ( (/) e. y /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) -> ( A .o z ) C_ ( _om ^o x ) ) ) |
138 |
101 137
|
syl5 |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) -> ( ( A. y e. x ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) /\ E. y e. x ( (/) e. y /\ z e. ( _om ^o y ) ) ) -> ( A .o z ) C_ ( _om ^o x ) ) ) |
139 |
138
|
expdimp |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ A. y e. x ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) ) -> ( E. y e. x ( (/) e. y /\ z e. ( _om ^o y ) ) -> ( A .o z ) C_ ( _om ^o x ) ) ) |
140 |
100 139
|
sylbid |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ A. y e. x ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) ) -> ( z e. ( _om ^o x ) -> ( A .o z ) C_ ( _om ^o x ) ) ) |
141 |
140
|
ralrimiv |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ A. y e. x ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) ) -> A. z e. ( _om ^o x ) ( A .o z ) C_ ( _om ^o x ) ) |
142 |
|
iunss |
|- ( U_ z e. ( _om ^o x ) ( A .o z ) C_ ( _om ^o x ) <-> A. z e. ( _om ^o x ) ( A .o z ) C_ ( _om ^o x ) ) |
143 |
141 142
|
sylibr |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ A. y e. x ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) ) -> U_ z e. ( _om ^o x ) ( A .o z ) C_ ( _om ^o x ) ) |
144 |
81 143
|
eqsstrd |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ A. y e. x ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) ) -> ( A .o ( _om ^o x ) ) C_ ( _om ^o x ) ) |
145 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ A. y e. x ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) ) -> (/) e. A ) |
146 |
|
omword2 |
|- ( ( ( ( _om ^o x ) e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( _om ^o x ) C_ ( A .o ( _om ^o x ) ) ) |
147 |
72 63 145 146
|
syl21anc |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ A. y e. x ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) ) -> ( _om ^o x ) C_ ( A .o ( _om ^o x ) ) ) |
148 |
144 147
|
eqssd |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) /\ A. y e. x ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) ) -> ( A .o ( _om ^o x ) ) = ( _om ^o x ) ) |
149 |
148
|
ex |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ Lim x ) ) -> ( A. y e. x ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) -> ( A .o ( _om ^o x ) ) = ( _om ^o x ) ) ) |
150 |
149
|
anassrs |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ _om e. On ) /\ Lim x ) -> ( A. y e. x ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) -> ( A .o ( _om ^o x ) ) = ( _om ^o x ) ) ) |
151 |
150
|
a1dd |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ _om e. On ) /\ Lim x ) -> ( A. y e. x ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) -> ( (/) e. x -> ( A .o ( _om ^o x ) ) = ( _om ^o x ) ) ) ) |
152 |
151
|
expcom |
|- ( Lim x -> ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ _om e. On ) -> ( A. y e. x ( (/) e. y -> ( A .o ( _om ^o y ) ) = ( _om ^o y ) ) -> ( (/) e. x -> ( A .o ( _om ^o x ) ) = ( _om ^o x ) ) ) ) ) |
153 |
5 10 15 20 23 62 152
|
tfinds3 |
|- ( B e. On -> ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ _om e. On ) -> ( (/) e. B -> ( A .o ( _om ^o B ) ) = ( _om ^o B ) ) ) ) |
154 |
153
|
com12 |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ _om e. On ) -> ( B e. On -> ( (/) e. B -> ( A .o ( _om ^o B ) ) = ( _om ^o B ) ) ) ) |
155 |
154
|
adantrr |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ B e. On ) ) -> ( B e. On -> ( (/) e. B -> ( A .o ( _om ^o B ) ) = ( _om ^o B ) ) ) ) |
156 |
155
|
imp32 |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( _om e. On /\ B e. On ) ) /\ ( B e. On /\ (/) e. B ) ) -> ( A .o ( _om ^o B ) ) = ( _om ^o B ) ) |
157 |
156
|
an32s |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( B e. On /\ (/) e. B ) ) /\ ( _om e. On /\ B e. On ) ) -> ( A .o ( _om ^o B ) ) = ( _om ^o B ) ) |
158 |
|
nnm0 |
|- ( A e. _om -> ( A .o (/) ) = (/) ) |
159 |
158
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( B e. On /\ (/) e. B ) ) /\ -. ( _om e. On /\ B e. On ) ) -> ( A .o (/) ) = (/) ) |
160 |
|
fnoe |
|- ^o Fn ( On X. On ) |
161 |
|
fndm |
|- ( ^o Fn ( On X. On ) -> dom ^o = ( On X. On ) ) |
162 |
160 161
|
ax-mp |
|- dom ^o = ( On X. On ) |
163 |
162
|
ndmov |
|- ( -. ( _om e. On /\ B e. On ) -> ( _om ^o B ) = (/) ) |
164 |
163
|
adantl |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( B e. On /\ (/) e. B ) ) /\ -. ( _om e. On /\ B e. On ) ) -> ( _om ^o B ) = (/) ) |
165 |
164
|
oveq2d |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( B e. On /\ (/) e. B ) ) /\ -. ( _om e. On /\ B e. On ) ) -> ( A .o ( _om ^o B ) ) = ( A .o (/) ) ) |
166 |
159 165 164
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( B e. On /\ (/) e. B ) ) /\ -. ( _om e. On /\ B e. On ) ) -> ( A .o ( _om ^o B ) ) = ( _om ^o B ) ) |
167 |
157 166
|
pm2.61dan |
|- ( ( ( A e. _om /\ (/) e. A ) /\ ( B e. On /\ (/) e. B ) ) -> ( A .o ( _om ^o B ) ) = ( _om ^o B ) ) |