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Theorem pcopt

Description: Concatenation with a point does not affect homotopy class. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010) (Revised by Mario Carneiro, 20-Dec-2013)

Ref Expression
Hypothesis pcopt.1 
|- P = ( ( 0 [,] 1 ) X. { Y } )
Assertion pcopt 
|- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( P ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) F )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 pcopt.1 
 |-  P = ( ( 0 [,] 1 ) X. { Y } )
2 1 fveq1i 
 |-  ( P ` ( 2 x. x ) ) = ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { Y } ) ` ( 2 x. x ) )
3 simpr 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( F ` 0 ) = Y )
4 iiuni 
 |-  ( 0 [,] 1 ) = U. II
5 eqid 
 |-  U. J = U. J
6 4 5 cnf 
 |-  ( F e. ( II Cn J ) -> F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
7 6 adantr 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
8 0elunit 
 |-  0 e. ( 0 [,] 1 )
9 ffvelcdm 
 |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 0 ) e. U. J )
10 7 8 9 sylancl 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( F ` 0 ) e. U. J )
11 3 10 eqeltrrd 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> Y e. U. J )
12 elii1 
 |-  ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) <-> ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) )
13 iihalf1 
 |-  ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( 2 x. x ) e. ( 0 [,] 1 ) )
14 12 13 sylbir 
 |-  ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( 2 x. x ) e. ( 0 [,] 1 ) )
15 fvconst2g 
 |-  ( ( Y e. U. J /\ ( 2 x. x ) e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { Y } ) ` ( 2 x. x ) ) = Y )
16 11 14 15 syl2an 
 |-  ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) /\ ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { Y } ) ` ( 2 x. x ) ) = Y )
17 2 16 eqtrid 
 |-  ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) /\ ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) ) -> ( P ` ( 2 x. x ) ) = Y )
18 simplr 
 |-  ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) /\ ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) ) -> ( F ` 0 ) = Y )
19 17 18 eqtr4d 
 |-  ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) /\ ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) ) -> ( P ` ( 2 x. x ) ) = ( F ` 0 ) )
20 19 ifeq1d 
 |-  ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) /\ ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ x <_ ( 1 / 2 ) ) ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( P ` ( 2 x. x ) ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` 0 ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) )
21 20 expr 
 |-  ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( P ` ( 2 x. x ) ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` 0 ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ) )
22 iffalse 
 |-  ( -. x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( P ` ( 2 x. x ) ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) = ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) )
23 iffalse 
 |-  ( -. x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` 0 ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) = ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) )
24 22 23 eqtr4d 
 |-  ( -. x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( P ` ( 2 x. x ) ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` 0 ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) )
25 21 24 pm2.61d1 
 |-  ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( P ` ( 2 x. x ) ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` 0 ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) )
26 25 mpteq2dva 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( P ` ( 2 x. x ) ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` 0 ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ) )
27 cntop2 
 |-  ( F e. ( II Cn J ) -> J e. Top )
28 27 adantr 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> J e. Top )
29 toptopon2 
 |-  ( J e. Top <-> J e. ( TopOn ` U. J ) )
30 28 29 sylib 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> J e. ( TopOn ` U. J ) )
31 1 pcoptcl 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` U. J ) /\ Y e. U. J ) -> ( P e. ( II Cn J ) /\ ( P ` 0 ) = Y /\ ( P ` 1 ) = Y ) )
32 30 11 31 syl2anc 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( P e. ( II Cn J ) /\ ( P ` 0 ) = Y /\ ( P ` 1 ) = Y ) )
33 32 simp1d 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> P e. ( II Cn J ) )
34 simpl 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> F e. ( II Cn J ) )
35 33 34 pcoval 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( P ( *p ` J ) F ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( P ` ( 2 x. x ) ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ) )
36 iffalse 
 |-  ( -. x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) = ( ( 2 x. x ) - 1 ) )
37 36 adantl 
 |-  ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. x <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) = ( ( 2 x. x ) - 1 ) )
38 elii2 
 |-  ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. x <_ ( 1 / 2 ) ) -> x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
39 iihalf2 
 |-  ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
40 38 39 syl 
 |-  ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. x <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
41 37 40 eqeltrd 
 |-  ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. x <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
42 41 ex 
 |-  ( x e. ( 0 [,] 1 ) -> ( -. x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) e. ( 0 [,] 1 ) ) )
43 iftrue 
 |-  ( x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) = 0 )
44 43 8 eqeltrdi 
 |-  ( x <_ ( 1 / 2 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
45 42 44 pm2.61d2 
 |-  ( x e. ( 0 [,] 1 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
46 45 adantl 
 |-  ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) /\ x e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
47 eqid 
 |-  ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) )
48 47 a1i 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) )
49 7 feqmptd 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> F = ( y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` y ) ) )
50 fveq2 
 |-  ( y = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) -> ( F ` y ) = ( F ` if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) )
51 fvif 
 |-  ( F ` if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` 0 ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) )
52 50 51 eqtrdi 
 |-  ( y = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) -> ( F ` y ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` 0 ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) )
53 46 48 49 52 fmptco 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( F o. ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` 0 ) , ( F ` ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ) )
54 26 35 53 3eqtr4d 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( P ( *p ` J ) F ) = ( F o. ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ) )
55 iitopon 
 |-  II e. ( TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
56 55 a1i 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> II e. ( TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
57 56 cnmptid 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> x ) e. ( II Cn II ) )
58 8 a1i 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> 0 e. ( 0 [,] 1 ) )
59 56 56 58 cnmptc 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> 0 ) e. ( II Cn II ) )
60 eqid 
 |-  ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
61 eqid 
 |-  ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
62 eqid 
 |-  ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
63 dfii2 
 |-  II = ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( 0 [,] 1 ) )
64 0re 
 |-  0 e. RR
65 64 a1i 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> 0 e. RR )
66 1re 
 |-  1 e. RR
67 66 a1i 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> 1 e. RR )
68 halfre 
 |-  ( 1 / 2 ) e. RR
69 halfge0 
 |-  0 <_ ( 1 / 2 )
70 halflt1 
 |-  ( 1 / 2 ) < 1
71 68 66 70 ltleii 
 |-  ( 1 / 2 ) <_ 1
72 elicc01 
 |-  ( ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) <_ 1 ) )
73 68 69 71 72 mpbir3an 
 |-  ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 )
74 73 a1i 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
75 simprl 
 |-  ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> y = ( 1 / 2 ) )
76 75 oveq2d 
 |-  ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) )
77 2thalfe1 
 |-  ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
78 76 77 eqtrdi 
 |-  ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. y ) = 1 )
79 78 oveq1d 
 |-  ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
80 1m1e0 
 |-  ( 1 - 1 ) = 0
81 79 80 eqtr2di 
 |-  ( ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) /\ ( y = ( 1 / 2 ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> 0 = ( ( 2 x. y ) - 1 ) )
82 retopon 
 |-  ( topGen ` ran (,) ) e. ( TopOn ` RR )
83 iccssre 
 |-  ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR )
84 64 68 83 mp2an 
 |-  ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR
85 resttopon 
 |-  ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. ( TopOn ` RR ) /\ ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. ( TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
86 82 84 85 mp2an 
 |-  ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. ( TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
87 86 a1i 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. ( TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
88 87 56 56 58 cnmpt2c 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( y e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> 0 ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
89 iccssre 
 |-  ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR )
90 68 66 89 mp2an 
 |-  ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR
91 resttopon 
 |-  ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. ( TopOn ` RR ) /\ ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. ( TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
92 82 90 91 mp2an 
 |-  ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. ( TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
93 92 a1i 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. ( TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
94 93 56 cnmpt1st 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> y ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) ) )
95 62 iihalf2cn 
 |-  ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) Cn II )
96 95 a1i 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) Cn II ) )
97 oveq2 
 |-  ( x = y -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. y ) )
98 97 oveq1d 
 |-  ( x = y -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( ( 2 x. y ) - 1 ) )
99 93 56 94 93 96 98 cnmpt21 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( y e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) |`t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
100 60 61 62 63 65 67 74 56 81 88 99 cnmpopc 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( y e. ( 0 [,] 1 ) , z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) ) e. ( ( II tX II ) Cn II ) )
101 breq1 
 |-  ( y = x -> ( y <_ ( 1 / 2 ) <-> x <_ ( 1 / 2 ) ) )
102 oveq2 
 |-  ( y = x -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) )
103 102 oveq1d 
 |-  ( y = x -> ( ( 2 x. y ) - 1 ) = ( ( 2 x. x ) - 1 ) )
104 101 103 ifbieq2d 
 |-  ( y = x -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) )
105 104 adantr 
 |-  ( ( y = x /\ z = 0 ) -> if ( y <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. y ) - 1 ) ) = if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) )
106 56 57 59 56 56 100 105 cnmpt12 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) e. ( II Cn II ) )
107 id 
 |-  ( x = 0 -> x = 0 )
108 107 69 eqbrtrdi 
 |-  ( x = 0 -> x <_ ( 1 / 2 ) )
109 108 43 syl 
 |-  ( x = 0 -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) = 0 )
110 c0ex 
 |-  0 e. _V
111 109 47 110 fvmpt 
 |-  ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = 0 )
112 8 111 mp1i 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ` 0 ) = 0 )
113 1elunit 
 |-  1 e. ( 0 [,] 1 )
114 68 66 ltnlei 
 |-  ( ( 1 / 2 ) < 1 <-> -. 1 <_ ( 1 / 2 ) )
115 70 114 mpbi 
 |-  -. 1 <_ ( 1 / 2 )
116 breq1 
 |-  ( x = 1 -> ( x <_ ( 1 / 2 ) <-> 1 <_ ( 1 / 2 ) ) )
117 115 116 mtbiri 
 |-  ( x = 1 -> -. x <_ ( 1 / 2 ) )
118 117 36 syl 
 |-  ( x = 1 -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) = ( ( 2 x. x ) - 1 ) )
119 oveq2 
 |-  ( x = 1 -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. 1 ) )
120 2t1e2 
 |-  ( 2 x. 1 ) = 2
121 119 120 eqtrdi 
 |-  ( x = 1 -> ( 2 x. x ) = 2 )
122 121 oveq1d 
 |-  ( x = 1 -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( 2 - 1 ) )
123 2m1e1 
 |-  ( 2 - 1 ) = 1
124 122 123 eqtrdi 
 |-  ( x = 1 -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = 1 )
125 118 124 eqtrd 
 |-  ( x = 1 -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) = 1 )
126 1ex 
 |-  1 e. _V
127 125 47 126 fvmpt 
 |-  ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ` 1 ) = 1 )
128 113 127 mp1i 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ` 1 ) = 1 )
129 34 106 112 128 reparpht 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( F o. ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , 0 , ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) ) ) ( ~=ph ` J ) F )
130 54 129 eqbrtrd 
 |-  ( ( F e. ( II Cn J ) /\ ( F ` 0 ) = Y ) -> ( P ( *p ` J ) F ) ( ~=ph ` J ) F )