mulsuniflem

Description: Lemma for mulsunif . State the theorem with some extra distinct variable conditions. (Contributed by Scott Fenton, 8-Mar-2025)

	Ref	Expression
Hypotheses	mulsuniflem.1	$⊢ φ \to L ≪_{s} R$
	mulsuniflem.2	$⊢ φ \to M ≪_{s} S$
	mulsuniflem.3	$⊢ φ \to A = L \|_{s} R$
	mulsuniflem.4	$⊢ φ \to B = M \|_{s} S$
Assertion	mulsuniflem	$⊢ φ \to A \cdot_{s} B = (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) \|_{s} (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\})$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulsuniflem.1	$⊢ φ \to L ≪_{s} R$
2		mulsuniflem.2	$⊢ φ \to M ≪_{s} S$
3		mulsuniflem.3	$⊢ φ \to A = L \|_{s} R$
4		mulsuniflem.4	$⊢ φ \to B = M \|_{s} S$
5	1	scutcld	$⊢ φ \to L \|_{s} R \in No$
6	3 5	eqeltrd	$⊢ φ \to A \in No$
7	2	scutcld	$⊢ φ \to M \|_{s} S \in No$
8	4 7	eqeltrd	$⊢ φ \to B \in No$
9		mulsval	$⊢ (A \in No \land B \in No) \to A \cdot_{s} B = (\{e \| \exists f \in L (A) \exists g \in L (B) e = ((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)\} \cup \{h \| \exists i \in R (A) \exists j \in R (B) h = ((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)\}) \|_{s} (\{k \| \exists l \in L (A) \exists m \in R (B) k = ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)\} \cup \{n \| \exists x \in R (A) \exists y \in L (B) n = ((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)\})$
10	6 8 9	syl2anc	$⊢ φ \to A \cdot_{s} B = (\{e \| \exists f \in L (A) \exists g \in L (B) e = ((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)\} \cup \{h \| \exists i \in R (A) \exists j \in R (B) h = ((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)\}) \|_{s} (\{k \| \exists l \in L (A) \exists m \in R (B) k = ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)\} \cup \{n \| \exists x \in R (A) \exists y \in L (B) n = ((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)\})$
11	6 8	mulscut2	$⊢ φ \to (\{e \| \exists f \in L (A) \exists g \in L (B) e = ((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)\} \cup \{h \| \exists i \in R (A) \exists j \in R (B) h = ((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)\}) ≪_{s} (\{k \| \exists l \in L (A) \exists m \in R (B) k = ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)\} \cup \{n \| \exists x \in R (A) \exists y \in L (B) n = ((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)\})$
12	1 3	cofcutr1d	$⊢ φ \to \forall f \in L (A) \exists p \in L f \leq_{s} p$
13	2 4	cofcutr1d	$⊢ φ \to \forall g \in L (B) \exists q \in M g \leq_{s} q$
14	13	adantr	$⊢ (φ \land (f \in L (A) \land \exists p \in L f \leq_{s} p)) \to \forall g \in L (B) \exists q \in M g \leq_{s} q$
15		reeanv	$⊢ \exists p \in L \exists q \in M (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q) \leftrightarrow (\exists p \in L f \leq_{s} p \land \exists q \in M g \leq_{s} q)$
16		leftssno	$⊢ L (A) \subseteq No$
17		simprl	$⊢ (φ \land (f \in L (A) \land g \in L (B))) \to f \in L (A)$
18	16 17	sselid	$⊢ (φ \land (f \in L (A) \land g \in L (B))) \to f \in No$
19	18	adantrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to f \in No$
20	8	adantr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to B \in No$
21	19 20	mulscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to f \cdot_{s} B \in No$
22	6	adantr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to A \in No$
23		leftssno	$⊢ L (B) \subseteq No$
24		simprr	$⊢ (φ \land (f \in L (A) \land g \in L (B))) \to g \in L (B)$
25	23 24	sselid	$⊢ (φ \land (f \in L (A) \land g \in L (B))) \to g \in No$
26	25	adantrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to g \in No$
27	22 26	mulscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to A \cdot_{s} g \in No$
28	21 27	addscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to (f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g) \in No$
29	19 26	mulscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to f \cdot_{s} g \in No$
30	28 29	subscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to ((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g) \in No$
31	30	adantrrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to ((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g) \in No$
32		ssltss1	$⊢ L ≪_{s} R \to L \subseteq No$
33	1 32	syl	$⊢ φ \to L \subseteq No$
34	33	adantr	$⊢ (φ \land (p \in L \land q \in M)) \to L \subseteq No$
35		simprl	$⊢ (φ \land (p \in L \land q \in M)) \to p \in L$
36	34 35	sseldd	$⊢ (φ \land (p \in L \land q \in M)) \to p \in No$
37	36	adantrl	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to p \in No$
38	37 20	mulscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to p \cdot_{s} B \in No$
39	38 27	addscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to (p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g) \in No$
40	37 26	mulscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to p \cdot_{s} g \in No$
41	39 40	subscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (p \cdot_{s} g) \in No$
42	41	adantrrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (p \cdot_{s} g) \in No$
43		ssltss1	$⊢ M ≪_{s} S \to M \subseteq No$
44	2 43	syl	$⊢ φ \to M \subseteq No$
45	44	adantr	$⊢ (φ \land (p \in L \land q \in M)) \to M \subseteq No$
46		simprr	$⊢ (φ \land (p \in L \land q \in M)) \to q \in M$
47	45 46	sseldd	$⊢ (φ \land (p \in L \land q \in M)) \to q \in No$
48	47	adantrl	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to q \in No$
49	22 48	mulscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to A \cdot_{s} q \in No$
50	38 49	addscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to (p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q) \in No$
51	37 48	mulscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to p \cdot_{s} q \in No$
52	50 51	subscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \in No$
53	52	adantrrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \in No$
54	18	adantrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to f \in No$
55	37	adantrrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to p \in No$
56	25	adantrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to g \in No$
57	8	adantr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to B \in No$
58		simprrl	$⊢ ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q))) \to f \leq_{s} p$
59	58	adantl	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to f \leq_{s} p$
60	8	adantr	$⊢ (φ \land (f \in L (A) \land g \in L (B))) \to B \in No$
61		ssltleft	$⊢ B \in No \to L (B) ≪_{s} \{B\}$
62	8 61	syl	$⊢ φ \to L (B) ≪_{s} \{B\}$
63	62	adantr	$⊢ (φ \land (f \in L (A) \land g \in L (B))) \to L (B) ≪_{s} \{B\}$
64		snidg	$⊢ B \in No \to B \in \{B\}$
65	8 64	syl	$⊢ φ \to B \in \{B\}$
66	65	adantr	$⊢ (φ \land (f \in L (A) \land g \in L (B))) \to B \in \{B\}$
67	63 24 66	ssltsepcd	$⊢ (φ \land (f \in L (A) \land g \in L (B))) \to g <_{s} B$
68	25 60 67	sltled	$⊢ (φ \land (f \in L (A) \land g \in L (B))) \to g \leq_{s} B$
69	68	adantrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to g \leq_{s} B$
70	54 55 56 57 59 69	slemuld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to ((f \cdot_{s} B) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} ((p \cdot_{s} B) -_{s} (p \cdot_{s} g))$
71	21 29	subscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to (f \cdot_{s} B) -_{s} (f \cdot_{s} g) \in No$
72	38 40	subscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to (p \cdot_{s} B) -_{s} (p \cdot_{s} g) \in No$
73	71 72 27	sleadd1d	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to (((f \cdot_{s} B) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} ((p \cdot_{s} B) -_{s} (p \cdot_{s} g)) \leftrightarrow (((f \cdot_{s} B) -_{s} (f \cdot_{s} g)) +_{s} (A \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) -_{s} (p \cdot_{s} g)) +_{s} (A \cdot_{s} g)))$
74	73	adantrrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to (((f \cdot_{s} B) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} ((p \cdot_{s} B) -_{s} (p \cdot_{s} g)) \leftrightarrow (((f \cdot_{s} B) -_{s} (f \cdot_{s} g)) +_{s} (A \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) -_{s} (p \cdot_{s} g)) +_{s} (A \cdot_{s} g)))$
75	70 74	mpbid	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to (((f \cdot_{s} B) -_{s} (f \cdot_{s} g)) +_{s} (A \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) -_{s} (p \cdot_{s} g)) +_{s} (A \cdot_{s} g))$
76	21 27 29	addsubsd	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to ((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g) = ((f \cdot_{s} B) -_{s} (f \cdot_{s} g)) +_{s} (A \cdot_{s} g)$
77	76	adantrrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to ((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g) = ((f \cdot_{s} B) -_{s} (f \cdot_{s} g)) +_{s} (A \cdot_{s} g)$
78	38 27 40	addsubsd	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (p \cdot_{s} g) = ((p \cdot_{s} B) -_{s} (p \cdot_{s} g)) +_{s} (A \cdot_{s} g)$
79	78	adantrrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (p \cdot_{s} g) = ((p \cdot_{s} B) -_{s} (p \cdot_{s} g)) +_{s} (A \cdot_{s} g)$
80	75 77 79	3brtr4d	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (p \cdot_{s} g))$
81	6	adantr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to A \in No$
82	48	adantrrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to q \in No$
83	6	adantr	$⊢ (φ \land (p \in L \land q \in M)) \to A \in No$
84		scutcut	$⊢ L ≪_{s} R \to (L \|_{s} R \in No \land L ≪_{s} \{L \|_{s} R\} \land \{L \|_{s} R\} ≪_{s} R)$
85	1 84	syl	$⊢ φ \to (L \|_{s} R \in No \land L ≪_{s} \{L \|_{s} R\} \land \{L \|_{s} R\} ≪_{s} R)$
86	85	simp2d	$⊢ φ \to L ≪_{s} \{L \|_{s} R\}$
87	86	adantr	$⊢ (φ \land (p \in L \land q \in M)) \to L ≪_{s} \{L \|_{s} R\}$
88		ovex	$⊢ L \|_{s} R \in V$
89	88	snid	$⊢ L \|_{s} R \in \{L \|_{s} R\}$
90	3 89	eqeltrdi	$⊢ φ \to A \in \{L \|_{s} R\}$
91	90	adantr	$⊢ (φ \land (p \in L \land q \in M)) \to A \in \{L \|_{s} R\}$
92	87 35 91	ssltsepcd	$⊢ (φ \land (p \in L \land q \in M)) \to p <_{s} A$
93	36 83 92	sltled	$⊢ (φ \land (p \in L \land q \in M)) \to p \leq_{s} A$
94	93	adantrl	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to p \leq_{s} A$
95	94	adantrrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to p \leq_{s} A$
96		simprrr	$⊢ ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q))) \to g \leq_{s} q$
97	96	adantl	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to g \leq_{s} q$
98	55 81 56 82 95 97	slemuld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to ((p \cdot_{s} q) -_{s} (p \cdot_{s} g)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} q) -_{s} (A \cdot_{s} g))$
99	51 49 40 27	slesubsub3bd	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to (((p \cdot_{s} q) -_{s} (p \cdot_{s} g)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} q) -_{s} (A \cdot_{s} g)) \leftrightarrow ((A \cdot_{s} g) -_{s} (p \cdot_{s} g)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} q) -_{s} (p \cdot_{s} q)))$
100	27 40	subscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to (A \cdot_{s} g) -_{s} (p \cdot_{s} g) \in No$
101	49 51	subscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to (A \cdot_{s} q) -_{s} (p \cdot_{s} q) \in No$
102	100 101 38	sleadd2d	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to (((A \cdot_{s} g) -_{s} (p \cdot_{s} g)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} q) -_{s} (p \cdot_{s} q)) \leftrightarrow ((p \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} g) -_{s} (p \cdot_{s} g))) \leq_{s} ((p \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} q) -_{s} (p \cdot_{s} q))))$
103	99 102	bitrd	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to (((p \cdot_{s} q) -_{s} (p \cdot_{s} g)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} q) -_{s} (A \cdot_{s} g)) \leftrightarrow ((p \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} g) -_{s} (p \cdot_{s} g))) \leq_{s} ((p \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} q) -_{s} (p \cdot_{s} q))))$
104	103	adantrrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to (((p \cdot_{s} q) -_{s} (p \cdot_{s} g)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} q) -_{s} (A \cdot_{s} g)) \leftrightarrow ((p \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} g) -_{s} (p \cdot_{s} g))) \leq_{s} ((p \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} q) -_{s} (p \cdot_{s} q))))$
105	98 104	mpbid	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to ((p \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} g) -_{s} (p \cdot_{s} g))) \leq_{s} ((p \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} q) -_{s} (p \cdot_{s} q)))$
106	38 27 40	addsubsassd	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (p \cdot_{s} g) = (p \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} g) -_{s} (p \cdot_{s} g))$
107	106	adantrrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (p \cdot_{s} g) = (p \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} g) -_{s} (p \cdot_{s} g))$
108	38 49 51	addsubsassd	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) = (p \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} q) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
109	108	adantrrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) = (p \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} q) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
110	105 107 109	3brtr4d	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (p \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
111	31 42 53 80 110	sletrd	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
112	111	anassrs	$⊢ ((φ \land (f \in L (A) \land g \in L (B))) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q))) \to (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
113	112	expr	$⊢ ((φ \land (f \in L (A) \land g \in L (B))) \land (p \in L \land q \in M)) \to ((f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q) \to (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)))$
114	113	reximdvva	$⊢ (φ \land (f \in L (A) \land g \in L (B))) \to (\exists p \in L \exists q \in M (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q) \to \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)))$
115	114	expcom	$⊢ (f \in L (A) \land g \in L (B)) \to (φ \to (\exists p \in L \exists q \in M (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q) \to \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))))$
116	115	com23	$⊢ (f \in L (A) \land g \in L (B)) \to (\exists p \in L \exists q \in M (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q) \to (φ \to \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))))$
117	116	imp	$⊢ ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land \exists p \in L \exists q \in M (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)) \to (φ \to \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)))$
118	15 117	sylan2br	$⊢ ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (\exists p \in L f \leq_{s} p \land \exists q \in M g \leq_{s} q)) \to (φ \to \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)))$
119	118	an4s	$⊢ ((f \in L (A) \land \exists p \in L f \leq_{s} p) \land (g \in L (B) \land \exists q \in M g \leq_{s} q)) \to (φ \to \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)))$
120	119	impcom	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land \exists p \in L f \leq_{s} p) \land (g \in L (B) \land \exists q \in M g \leq_{s} q))) \to \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
121	120	anassrs	$⊢ ((φ \land (f \in L (A) \land \exists p \in L f \leq_{s} p)) \land (g \in L (B) \land \exists q \in M g \leq_{s} q)) \to \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
122	121	expr	$⊢ ((φ \land (f \in L (A) \land \exists p \in L f \leq_{s} p)) \land g \in L (B)) \to (\exists q \in M g \leq_{s} q \to \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)))$
123	122	ralimdva	$⊢ (φ \land (f \in L (A) \land \exists p \in L f \leq_{s} p)) \to (\forall g \in L (B) \exists q \in M g \leq_{s} q \to \forall g \in L (B) \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)))$
124	14 123	mpd	$⊢ (φ \land (f \in L (A) \land \exists p \in L f \leq_{s} p)) \to \forall g \in L (B) \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
125	124	expr	$⊢ (φ \land f \in L (A)) \to (\exists p \in L f \leq_{s} p \to \forall g \in L (B) \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)))$
126	125	ralimdva	$⊢ φ \to (\forall f \in L (A) \exists p \in L f \leq_{s} p \to \forall f \in L (A) \forall g \in L (B) \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)))$
127	12 126	mpd	$⊢ φ \to \forall f \in L (A) \forall g \in L (B) \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
128		eqeq1	$⊢ a = z \to (a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \leftrightarrow z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
129	128	2rexbidv	$⊢ a = z \to (\exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \leftrightarrow \exists p \in L \exists q \in M z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
130	129	rexab	$⊢ \exists z \in \{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z \leftrightarrow \exists z (\exists p \in L \exists q \in M z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z)$
131		r19.41vv	$⊢ \exists p \in L \exists q \in M (z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z) \leftrightarrow (\exists p \in L \exists q \in M z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z)$
132	131	exbii	$⊢ \exists z \exists p \in L \exists q \in M (z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists z (\exists p \in L \exists q \in M z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z)$
133		rexcom4	$⊢ \exists p \in L \exists z \exists q \in M (z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists z \exists p \in L \exists q \in M (z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z)$
134		rexcom4	$⊢ \exists q \in M \exists z (z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists z \exists q \in M (z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z)$
135		ovex	$⊢ ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \in V$
136		breq2	$⊢ z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \to ((((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z \leftrightarrow (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)))$
137	135 136	ceqsexv	$⊢ \exists z (z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z) \leftrightarrow (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
138	137	rexbii	$⊢ \exists q \in M \exists z (z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
139	134 138	bitr3i	$⊢ \exists z \exists q \in M (z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
140	139	rexbii	$⊢ \exists p \in L \exists z \exists q \in M (z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
141	133 140	bitr3i	$⊢ \exists z \exists p \in L \exists q \in M (z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
142	130 132 141	3bitr2i	$⊢ \exists z \in \{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z \leftrightarrow \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
143		ssun1	$⊢ \{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \subseteq \{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}$
144		ssrexv	$⊢ \{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \subseteq \{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\} \to (\exists z \in \{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z \to \exists z \in (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z)$
145	143 144	ax-mp	$⊢ \exists z \in \{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z \to \exists z \in (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z$
146	142 145	sylbir	$⊢ \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)) \to \exists z \in (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z$
147	146	2ralimi	$⊢ \forall f \in L (A) \forall g \in L (B) \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)) \to \forall f \in L (A) \forall g \in L (B) \exists z \in (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z$
148	127 147	syl	$⊢ φ \to \forall f \in L (A) \forall g \in L (B) \exists z \in (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z$
149	1 3	cofcutr2d	$⊢ φ \to \forall i \in R (A) \exists r \in R r \leq_{s} i$
150	2 4	cofcutr2d	$⊢ φ \to \forall j \in R (B) \exists s \in S s \leq_{s} j$
151	150	adantr	$⊢ (φ \land (i \in R (A) \land \exists r \in R r \leq_{s} i)) \to \forall j \in R (B) \exists s \in S s \leq_{s} j$
152		reeanv	$⊢ \exists r \in R \exists s \in S (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j) \leftrightarrow (\exists r \in R r \leq_{s} i \land \exists s \in S s \leq_{s} j)$
153		rightssno	$⊢ R (A) \subseteq No$
154		simprl	$⊢ (φ \land (i \in R (A) \land j \in R (B))) \to i \in R (A)$
155	153 154	sselid	$⊢ (φ \land (i \in R (A) \land j \in R (B))) \to i \in No$
156	155	adantrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to i \in No$
157	8	adantr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to B \in No$
158	156 157	mulscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to i \cdot_{s} B \in No$
159	6	adantr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to A \in No$
160		rightssno	$⊢ R (B) \subseteq No$
161		simprr	$⊢ (φ \land (i \in R (A) \land j \in R (B))) \to j \in R (B)$
162	160 161	sselid	$⊢ (φ \land (i \in R (A) \land j \in R (B))) \to j \in No$
163	162	adantrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to j \in No$
164	159 163	mulscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to A \cdot_{s} j \in No$
165	158 164	addscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to (i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j) \in No$
166	156 163	mulscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to i \cdot_{s} j \in No$
167	165 166	subscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to ((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j) \in No$
168	167	adantrrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to ((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j) \in No$
169		ssltss2	$⊢ L ≪_{s} R \to R \subseteq No$
170	1 169	syl	$⊢ φ \to R \subseteq No$
171	170	adantr	$⊢ (φ \land (r \in R \land s \in S)) \to R \subseteq No$
172		simprl	$⊢ (φ \land (r \in R \land s \in S)) \to r \in R$
173	171 172	sseldd	$⊢ (φ \land (r \in R \land s \in S)) \to r \in No$
174	173	adantrl	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to r \in No$
175	174 157	mulscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to r \cdot_{s} B \in No$
176	175 164	addscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to (r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j) \in No$
177	174 163	mulscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to r \cdot_{s} j \in No$
178	176 177	subscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (r \cdot_{s} j) \in No$
179	178	adantrrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (r \cdot_{s} j) \in No$
180		ssltss2	$⊢ M ≪_{s} S \to S \subseteq No$
181	2 180	syl	$⊢ φ \to S \subseteq No$
182	181	adantr	$⊢ (φ \land (r \in R \land s \in S)) \to S \subseteq No$
183		simprr	$⊢ (φ \land (r \in R \land s \in S)) \to s \in S$
184	182 183	sseldd	$⊢ (φ \land (r \in R \land s \in S)) \to s \in No$
185	184	adantrl	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to s \in No$
186	159 185	mulscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to A \cdot_{s} s \in No$
187	175 186	addscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to (r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s) \in No$
188	173 184	mulscld	$⊢ (φ \land (r \in R \land s \in S)) \to r \cdot_{s} s \in No$
189	188	adantrl	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to r \cdot_{s} s \in No$
190	187 189	subscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \in No$
191	190	adantrrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \in No$
192	174	adantrrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to r \in No$
193	155	adantrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to i \in No$
194	8	adantr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to B \in No$
195	162	adantrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to j \in No$
196		simprrl	$⊢ ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j))) \to r \leq_{s} i$
197	196	adantl	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to r \leq_{s} i$
198	8	adantr	$⊢ (φ \land (i \in R (A) \land j \in R (B))) \to B \in No$
199		ssltright	$⊢ B \in No \to \{B\} ≪_{s} R (B)$
200	8 199	syl	$⊢ φ \to \{B\} ≪_{s} R (B)$
201	200	adantr	$⊢ (φ \land (i \in R (A) \land j \in R (B))) \to \{B\} ≪_{s} R (B)$
202	65	adantr	$⊢ (φ \land (i \in R (A) \land j \in R (B))) \to B \in \{B\}$
203	201 202 161	ssltsepcd	$⊢ (φ \land (i \in R (A) \land j \in R (B))) \to B <_{s} j$
204	198 162 203	sltled	$⊢ (φ \land (i \in R (A) \land j \in R (B))) \to B \leq_{s} j$
205	204	adantrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to B \leq_{s} j$
206	192 193 194 195 197 205	slemuld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to ((r \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} B)) \leq_{s} ((i \cdot_{s} j) -_{s} (i \cdot_{s} B))$
207	177 175 166 158	slesubsub2bd	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to (((r \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} B)) \leq_{s} ((i \cdot_{s} j) -_{s} (i \cdot_{s} B)) \leftrightarrow ((i \cdot_{s} B) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} ((r \cdot_{s} B) -_{s} (r \cdot_{s} j)))$
208	158 166	subscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to (i \cdot_{s} B) -_{s} (i \cdot_{s} j) \in No$
209	175 177	subscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to (r \cdot_{s} B) -_{s} (r \cdot_{s} j) \in No$
210	208 209 164	sleadd1d	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to (((i \cdot_{s} B) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} ((r \cdot_{s} B) -_{s} (r \cdot_{s} j)) \leftrightarrow (((i \cdot_{s} B) -_{s} (i \cdot_{s} j)) +_{s} (A \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) -_{s} (r \cdot_{s} j)) +_{s} (A \cdot_{s} j)))$
211	207 210	bitrd	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to (((r \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} B)) \leq_{s} ((i \cdot_{s} j) -_{s} (i \cdot_{s} B)) \leftrightarrow (((i \cdot_{s} B) -_{s} (i \cdot_{s} j)) +_{s} (A \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) -_{s} (r \cdot_{s} j)) +_{s} (A \cdot_{s} j)))$
212	211	adantrrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to (((r \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} B)) \leq_{s} ((i \cdot_{s} j) -_{s} (i \cdot_{s} B)) \leftrightarrow (((i \cdot_{s} B) -_{s} (i \cdot_{s} j)) +_{s} (A \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) -_{s} (r \cdot_{s} j)) +_{s} (A \cdot_{s} j)))$
213	206 212	mpbid	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to (((i \cdot_{s} B) -_{s} (i \cdot_{s} j)) +_{s} (A \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) -_{s} (r \cdot_{s} j)) +_{s} (A \cdot_{s} j))$
214	158 164 166	addsubsd	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to ((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j) = ((i \cdot_{s} B) -_{s} (i \cdot_{s} j)) +_{s} (A \cdot_{s} j)$
215	214	adantrrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to ((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j) = ((i \cdot_{s} B) -_{s} (i \cdot_{s} j)) +_{s} (A \cdot_{s} j)$
216	175 164 177	addsubsd	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (r \cdot_{s} j) = ((r \cdot_{s} B) -_{s} (r \cdot_{s} j)) +_{s} (A \cdot_{s} j)$
217	216	adantrrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (r \cdot_{s} j) = ((r \cdot_{s} B) -_{s} (r \cdot_{s} j)) +_{s} (A \cdot_{s} j)$
218	213 215 217	3brtr4d	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (r \cdot_{s} j))$
219	6	adantr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to A \in No$
220	185	adantrrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to s \in No$
221	6	adantr	$⊢ (φ \land (r \in R \land s \in S)) \to A \in No$
222	85	simp3d	$⊢ φ \to \{L \|_{s} R\} ≪_{s} R$
223	222	adantr	$⊢ (φ \land (r \in R \land s \in S)) \to \{L \|_{s} R\} ≪_{s} R$
224	90	adantr	$⊢ (φ \land (r \in R \land s \in S)) \to A \in \{L \|_{s} R\}$
225	223 224 172	ssltsepcd	$⊢ (φ \land (r \in R \land s \in S)) \to A <_{s} r$
226	221 173 225	sltled	$⊢ (φ \land (r \in R \land s \in S)) \to A \leq_{s} r$
227	226	adantrl	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to A \leq_{s} r$
228	227	adantrrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to A \leq_{s} r$
229		simprrr	$⊢ ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j))) \to s \leq_{s} j$
230	229	adantl	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to s \leq_{s} j$
231	219 192 220 195 228 230	slemuld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to ((A \cdot_{s} j) -_{s} (A \cdot_{s} s)) \leq_{s} ((r \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
232	164 177 186 189	slesubsubbd	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to (((A \cdot_{s} j) -_{s} (A \cdot_{s} s)) \leq_{s} ((r \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} s)) \leftrightarrow ((A \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} j)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} s) -_{s} (r \cdot_{s} s)))$
233	164 177	subscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to (A \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} j) \in No$
234	186 189	subscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to (A \cdot_{s} s) -_{s} (r \cdot_{s} s) \in No$
235	233 234 175	sleadd2d	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to (((A \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} j)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} s) -_{s} (r \cdot_{s} s)) \leftrightarrow ((r \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} j))) \leq_{s} ((r \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} s) -_{s} (r \cdot_{s} s))))$
236	232 235	bitrd	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to (((A \cdot_{s} j) -_{s} (A \cdot_{s} s)) \leq_{s} ((r \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} s)) \leftrightarrow ((r \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} j))) \leq_{s} ((r \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} s) -_{s} (r \cdot_{s} s))))$
237	236	adantrrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to (((A \cdot_{s} j) -_{s} (A \cdot_{s} s)) \leq_{s} ((r \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} s)) \leftrightarrow ((r \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} j))) \leq_{s} ((r \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} s) -_{s} (r \cdot_{s} s))))$
238	231 237	mpbid	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to ((r \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} j))) \leq_{s} ((r \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} s) -_{s} (r \cdot_{s} s)))$
239	175 164 177	addsubsassd	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (r \cdot_{s} j) = (r \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} j))$
240	239	adantrrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (r \cdot_{s} j) = (r \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} j))$
241	175 186 189	addsubsassd	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) = (r \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} s) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
242	241	adantrrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) = (r \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} s) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
243	238 240 242	3brtr4d	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (r \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
244	168 179 191 218 243	sletrd	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
245	244	anassrs	$⊢ ((φ \land (i \in R (A) \land j \in R (B))) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j))) \to (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
246	245	expr	$⊢ ((φ \land (i \in R (A) \land j \in R (B))) \land (r \in R \land s \in S)) \to ((r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j) \to (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)))$
247	246	reximdvva	$⊢ (φ \land (i \in R (A) \land j \in R (B))) \to (\exists r \in R \exists s \in S (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j) \to \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)))$
248	247	expcom	$⊢ (i \in R (A) \land j \in R (B)) \to (φ \to (\exists r \in R \exists s \in S (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j) \to \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))))$
249	248	com23	$⊢ (i \in R (A) \land j \in R (B)) \to (\exists r \in R \exists s \in S (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j) \to (φ \to \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))))$
250	249	imp	$⊢ ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land \exists r \in R \exists s \in S (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)) \to (φ \to \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)))$
251	152 250	sylan2br	$⊢ ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (\exists r \in R r \leq_{s} i \land \exists s \in S s \leq_{s} j)) \to (φ \to \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)))$
252	251	an4s	$⊢ ((i \in R (A) \land \exists r \in R r \leq_{s} i) \land (j \in R (B) \land \exists s \in S s \leq_{s} j)) \to (φ \to \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)))$
253	252	impcom	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land \exists r \in R r \leq_{s} i) \land (j \in R (B) \land \exists s \in S s \leq_{s} j))) \to \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
254	253	anassrs	$⊢ ((φ \land (i \in R (A) \land \exists r \in R r \leq_{s} i)) \land (j \in R (B) \land \exists s \in S s \leq_{s} j)) \to \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
255	254	expr	$⊢ ((φ \land (i \in R (A) \land \exists r \in R r \leq_{s} i)) \land j \in R (B)) \to (\exists s \in S s \leq_{s} j \to \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)))$
256	255	ralimdva	$⊢ (φ \land (i \in R (A) \land \exists r \in R r \leq_{s} i)) \to (\forall j \in R (B) \exists s \in S s \leq_{s} j \to \forall j \in R (B) \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)))$
257	151 256	mpd	$⊢ (φ \land (i \in R (A) \land \exists r \in R r \leq_{s} i)) \to \forall j \in R (B) \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
258	257	expr	$⊢ (φ \land i \in R (A)) \to (\exists r \in R r \leq_{s} i \to \forall j \in R (B) \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)))$
259	258	ralimdva	$⊢ φ \to (\forall i \in R (A) \exists r \in R r \leq_{s} i \to \forall i \in R (A) \forall j \in R (B) \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)))$
260	149 259	mpd	$⊢ φ \to \forall i \in R (A) \forall j \in R (B) \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
261		eqeq1	$⊢ b = z \to (b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \leftrightarrow z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
262	261	2rexbidv	$⊢ b = z \to (\exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \leftrightarrow \exists r \in R \exists s \in S z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
263	262	rexab	$⊢ \exists z \in \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\} (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z \leftrightarrow \exists z (\exists r \in R \exists s \in S z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z)$
264		r19.41vv	$⊢ \exists r \in R \exists s \in S (z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z) \leftrightarrow (\exists r \in R \exists s \in S z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z)$
265	264	exbii	$⊢ \exists z \exists r \in R \exists s \in S (z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists z (\exists r \in R \exists s \in S z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z)$
266		rexcom4	$⊢ \exists r \in R \exists z \exists s \in S (z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists z \exists r \in R \exists s \in S (z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z)$
267		rexcom4	$⊢ \exists s \in S \exists z (z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists z \exists s \in S (z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z)$
268		ovex	$⊢ ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \in V$
269		breq2	$⊢ z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \to ((((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z \leftrightarrow (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)))$
270	268 269	ceqsexv	$⊢ \exists z (z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z) \leftrightarrow (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
271	270	rexbii	$⊢ \exists s \in S \exists z (z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
272	267 271	bitr3i	$⊢ \exists z \exists s \in S (z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
273	272	rexbii	$⊢ \exists r \in R \exists z \exists s \in S (z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
274	266 273	bitr3i	$⊢ \exists z \exists r \in R \exists s \in S (z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
275	263 265 274	3bitr2i	$⊢ \exists z \in \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\} (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z \leftrightarrow \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
276		ssun2	$⊢ \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\} \subseteq \{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}$
277		ssrexv	$⊢ \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\} \subseteq \{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\} \to (\exists z \in \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\} (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z \to \exists z \in (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z)$
278	276 277	ax-mp	$⊢ \exists z \in \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\} (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z \to \exists z \in (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z$
279	275 278	sylbir	$⊢ \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)) \to \exists z \in (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z$
280	279	2ralimi	$⊢ \forall i \in R (A) \forall j \in R (B) \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)) \to \forall i \in R (A) \forall j \in R (B) \exists z \in (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z$
281	260 280	syl	$⊢ φ \to \forall i \in R (A) \forall j \in R (B) \exists z \in (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z$
282		ralunb	Could not format ( A. xO e. ( { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } u. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> ( A. xO e. { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z /\ A. xO e. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO e. ( { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } u. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> ( A. xO e. { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z /\ A. xO e. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
283		eqeq1	Could not format ( e = xO -> ( e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <-> xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( e = xO -> ( e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <-> xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) ) ) with typecode \|-
284	283	2rexbidv	Could not format ( e = xO -> ( E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <-> E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( e = xO -> ( E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <-> E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) ) ) with typecode \|-
285	284	ralab	Could not format ( A. xO e. { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> A. xO ( E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO e. { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> A. xO ( E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
286		r19.23v	Could not format ( A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
287	286	ralbii	Could not format ( A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. f e. ( _Left ` A ) ( E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. f e. ( _Left ` A ) ( E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
288		r19.23v	Could not format ( A. f e. ( _Left ` A ) ( E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. f e. ( _Left ` A ) ( E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
289	287 288	bitri	Could not format ( A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
290	289	albii	Could not format ( A. xO A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. xO ( E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. xO ( E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
291		ralcom4	Could not format ( A. f e. ( _Left ` A ) A. xO A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. xO A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. f e. ( _Left ` A ) A. xO A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. xO A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
292		ralcom4	Could not format ( A. g e. ( _Left ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. xO A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. g e. ( _Left ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. xO A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
293		ovex	$⊢ ((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g) \in V$
294		breq1	Could not format ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> ( xO <_s z <-> ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> ( xO <_s z <-> ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) ) with typecode \|-
295	294	rexbidv	Could not format ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> ( E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> ( E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) ) with typecode \|-
296	293 295	ceqsalv	Could not format ( A. xO ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) : No typesetting found for \|- ( A. xO ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) with typecode \|-
297	296	ralbii	Could not format ( A. g e. ( _Left ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) : No typesetting found for \|- ( A. g e. ( _Left ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) with typecode \|-
298	292 297	bitr3i	Could not format ( A. xO A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) : No typesetting found for \|- ( A. xO A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) with typecode \|-
299	298	ralbii	Could not format ( A. f e. ( _Left ` A ) A. xO A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) : No typesetting found for \|- ( A. f e. ( _Left ` A ) A. xO A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) with typecode \|-
300	291 299	bitr3i	Could not format ( A. xO A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) : No typesetting found for \|- ( A. xO A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) with typecode \|-
301	285 290 300	3bitr2i	Could not format ( A. xO e. { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) : No typesetting found for \|- ( A. xO e. { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) with typecode \|-
302		eqeq1	Could not format ( h = xO -> ( h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <-> xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( h = xO -> ( h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <-> xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) ) ) with typecode \|-
303	302	2rexbidv	Could not format ( h = xO -> ( E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <-> E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( h = xO -> ( E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <-> E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) ) ) with typecode \|-
304	303	ralab	Could not format ( A. xO e. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> A. xO ( E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO e. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> A. xO ( E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
305		r19.23v	Could not format ( A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
306	305	ralbii	Could not format ( A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. i e. ( _Right ` A ) ( E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. i e. ( _Right ` A ) ( E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
307		r19.23v	Could not format ( A. i e. ( _Right ` A ) ( E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. i e. ( _Right ` A ) ( E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
308	306 307	bitri	Could not format ( A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
309	308	albii	Could not format ( A. xO A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. xO ( E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. xO ( E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
310		ralcom4	Could not format ( A. i e. ( _Right ` A ) A. xO A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. xO A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. i e. ( _Right ` A ) A. xO A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. xO A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
311		ralcom4	Could not format ( A. j e. ( _Right ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. xO A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. j e. ( _Right ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. xO A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
312		ovex	$⊢ ((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j) \in V$
313		breq1	Could not format ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> ( xO <_s z <-> ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> ( xO <_s z <-> ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) ) with typecode \|-
314	313	rexbidv	Could not format ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> ( E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> ( E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) ) with typecode \|-
315	312 314	ceqsalv	Could not format ( A. xO ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) : No typesetting found for \|- ( A. xO ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) with typecode \|-
316	315	ralbii	Could not format ( A. j e. ( _Right ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) : No typesetting found for \|- ( A. j e. ( _Right ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) with typecode \|-
317	311 316	bitr3i	Could not format ( A. xO A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) : No typesetting found for \|- ( A. xO A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) with typecode \|-
318	317	ralbii	Could not format ( A. i e. ( _Right ` A ) A. xO A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) : No typesetting found for \|- ( A. i e. ( _Right ` A ) A. xO A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) with typecode \|-
319	310 318	bitr3i	Could not format ( A. xO A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) : No typesetting found for \|- ( A. xO A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) with typecode \|-
320	304 309 319	3bitr2i	Could not format ( A. xO e. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) : No typesetting found for \|- ( A. xO e. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) with typecode \|-
321	301 320	anbi12i	Could not format ( ( A. xO e. { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z /\ A. xO e. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z /\ A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( ( A. xO e. { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z /\ A. xO e. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z /\ A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) ) with typecode \|-
322	282 321	bitri	Could not format ( A. xO e. ( { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } u. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> ( A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z /\ A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO e. ( { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } u. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> ( A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z /\ A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) ) with typecode \|-
323	148 281 322	sylanbrc	Could not format ( ph -> A. xO e. ( { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } u. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) : No typesetting found for \|- ( ph -> A. xO e. ( { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } u. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) with typecode \|-
324	1 3	cofcutr1d	$⊢ φ \to \forall l \in L (A) \exists t \in L l \leq_{s} t$
325	2 4	cofcutr2d	$⊢ φ \to \forall m \in R (B) \exists u \in S u \leq_{s} m$
326	325	adantr	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land \exists t \in L l \leq_{s} t)) \to \forall m \in R (B) \exists u \in S u \leq_{s} m$
327		reeanv	$⊢ \exists t \in L \exists u \in S (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m) \leftrightarrow (\exists t \in L l \leq_{s} t \land \exists u \in S u \leq_{s} m)$
328	33	adantr	$⊢ (φ \land (t \in L \land u \in S)) \to L \subseteq No$
329		simprl	$⊢ (φ \land (t \in L \land u \in S)) \to t \in L$
330	328 329	sseldd	$⊢ (φ \land (t \in L \land u \in S)) \to t \in No$
331	330	adantrl	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to t \in No$
332	8	adantr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to B \in No$
333	331 332	mulscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to t \cdot_{s} B \in No$
334	6	adantr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to A \in No$
335	181	adantr	$⊢ (φ \land (t \in L \land u \in S)) \to S \subseteq No$
336		simprr	$⊢ (φ \land (t \in L \land u \in S)) \to u \in S$
337	335 336	sseldd	$⊢ (φ \land (t \in L \land u \in S)) \to u \in No$
338	337	adantrl	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to u \in No$
339	334 338	mulscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to A \cdot_{s} u \in No$
340	333 339	addscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to (t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u) \in No$
341	331 338	mulscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to t \cdot_{s} u \in No$
342	340 341	subscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \in No$
343	342	adantrrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \in No$
344		simprl	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to l \in L (A)$
345	16 344	sselid	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to l \in No$
346	8	adantr	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to B \in No$
347	345 346	mulscld	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to l \cdot_{s} B \in No$
348	347	adantrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to l \cdot_{s} B \in No$
349	348 339	addscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to (l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u) \in No$
350	345	adantrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to l \in No$
351	350 338	mulscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to l \cdot_{s} u \in No$
352	349 351	subscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (l \cdot_{s} u) \in No$
353	352	adantrrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (l \cdot_{s} u) \in No$
354	6	adantr	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to A \in No$
355		simprr	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to m \in R (B)$
356	160 355	sselid	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to m \in No$
357	354 356	mulscld	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to A \cdot_{s} m \in No$
358	357	adantrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to A \cdot_{s} m \in No$
359	348 358	addscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to (l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m) \in No$
360	345 356	mulscld	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to l \cdot_{s} m \in No$
361	360	adantrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to l \cdot_{s} m \in No$
362	359 361	subscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m) \in No$
363	362	adantrrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m) \in No$
364	345	adantrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to l \in No$
365	331	adantrrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to t \in No$
366	8	adantr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to B \in No$
367	338	adantrrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to u \in No$
368		simprrl	$⊢ ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m))) \to l \leq_{s} t$
369	368	adantl	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to l \leq_{s} t$
370	8	adantr	$⊢ (φ \land (t \in L \land u \in S)) \to B \in No$
371		scutcut	$⊢ M ≪_{s} S \to (M \|_{s} S \in No \land M ≪_{s} \{M \|_{s} S\} \land \{M \|_{s} S\} ≪_{s} S)$
372	2 371	syl	$⊢ φ \to (M \|_{s} S \in No \land M ≪_{s} \{M \|_{s} S\} \land \{M \|_{s} S\} ≪_{s} S)$
373	372	simp3d	$⊢ φ \to \{M \|_{s} S\} ≪_{s} S$
374	373	adantr	$⊢ (φ \land (t \in L \land u \in S)) \to \{M \|_{s} S\} ≪_{s} S$
375		ovex	$⊢ M \|_{s} S \in V$
376	375	snid	$⊢ M \|_{s} S \in \{M \|_{s} S\}$
377	4 376	eqeltrdi	$⊢ φ \to B \in \{M \|_{s} S\}$
378	377	adantr	$⊢ (φ \land (t \in L \land u \in S)) \to B \in \{M \|_{s} S\}$
379	374 378 336	ssltsepcd	$⊢ (φ \land (t \in L \land u \in S)) \to B <_{s} u$
380	370 337 379	sltled	$⊢ (φ \land (t \in L \land u \in S)) \to B \leq_{s} u$
381	380	adantrl	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to B \leq_{s} u$
382	381	adantrrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to B \leq_{s} u$
383	364 365 366 367 369 382	slemuld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to ((l \cdot_{s} u) -_{s} (l \cdot_{s} B)) \leq_{s} ((t \cdot_{s} u) -_{s} (t \cdot_{s} B))$
384	351 348 341 333	slesubsub2bd	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to (((l \cdot_{s} u) -_{s} (l \cdot_{s} B)) \leq_{s} ((t \cdot_{s} u) -_{s} (t \cdot_{s} B)) \leftrightarrow ((t \cdot_{s} B) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} ((l \cdot_{s} B) -_{s} (l \cdot_{s} u)))$
385	333 341	subscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to (t \cdot_{s} B) -_{s} (t \cdot_{s} u) \in No$
386	348 351	subscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to (l \cdot_{s} B) -_{s} (l \cdot_{s} u) \in No$
387	385 386 339	sleadd1d	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to (((t \cdot_{s} B) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} ((l \cdot_{s} B) -_{s} (l \cdot_{s} u)) \leftrightarrow (((t \cdot_{s} B) -_{s} (t \cdot_{s} u)) +_{s} (A \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) -_{s} (l \cdot_{s} u)) +_{s} (A \cdot_{s} u)))$
388	384 387	bitrd	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to (((l \cdot_{s} u) -_{s} (l \cdot_{s} B)) \leq_{s} ((t \cdot_{s} u) -_{s} (t \cdot_{s} B)) \leftrightarrow (((t \cdot_{s} B) -_{s} (t \cdot_{s} u)) +_{s} (A \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) -_{s} (l \cdot_{s} u)) +_{s} (A \cdot_{s} u)))$
389	388	adantrrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to (((l \cdot_{s} u) -_{s} (l \cdot_{s} B)) \leq_{s} ((t \cdot_{s} u) -_{s} (t \cdot_{s} B)) \leftrightarrow (((t \cdot_{s} B) -_{s} (t \cdot_{s} u)) +_{s} (A \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) -_{s} (l \cdot_{s} u)) +_{s} (A \cdot_{s} u)))$
390	383 389	mpbid	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to (((t \cdot_{s} B) -_{s} (t \cdot_{s} u)) +_{s} (A \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) -_{s} (l \cdot_{s} u)) +_{s} (A \cdot_{s} u))$
391	333 339 341	addsubsd	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) = ((t \cdot_{s} B) -_{s} (t \cdot_{s} u)) +_{s} (A \cdot_{s} u)$
392	391	adantrrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) = ((t \cdot_{s} B) -_{s} (t \cdot_{s} u)) +_{s} (A \cdot_{s} u)$
393	348 339 351	addsubsd	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (l \cdot_{s} u) = ((l \cdot_{s} B) -_{s} (l \cdot_{s} u)) +_{s} (A \cdot_{s} u)$
394	393	adantrrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (l \cdot_{s} u) = ((l \cdot_{s} B) -_{s} (l \cdot_{s} u)) +_{s} (A \cdot_{s} u)$
395	390 392 394	3brtr4d	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (l \cdot_{s} u))$
396	6	adantr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to A \in No$
397	356	adantrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to m \in No$
398		ssltleft	$⊢ A \in No \to L (A) ≪_{s} \{A\}$
399	6 398	syl	$⊢ φ \to L (A) ≪_{s} \{A\}$
400	399	adantr	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to L (A) ≪_{s} \{A\}$
401		snidg	$⊢ A \in No \to A \in \{A\}$
402	6 401	syl	$⊢ φ \to A \in \{A\}$
403	402	adantr	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to A \in \{A\}$
404	400 344 403	ssltsepcd	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to l <_{s} A$
405	345 354 404	sltled	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to l \leq_{s} A$
406	405	adantrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to l \leq_{s} A$
407		simprrr	$⊢ ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m))) \to u \leq_{s} m$
408	407	adantl	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to u \leq_{s} m$
409	364 396 367 397 406 408	slemuld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to ((l \cdot_{s} m) -_{s} (l \cdot_{s} u)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} m) -_{s} (A \cdot_{s} u))$
410	361 358 351 339	slesubsub3bd	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to (((l \cdot_{s} m) -_{s} (l \cdot_{s} u)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} m) -_{s} (A \cdot_{s} u)) \leftrightarrow ((A \cdot_{s} u) -_{s} (l \cdot_{s} u)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} m) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
411	339 351	subscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to (A \cdot_{s} u) -_{s} (l \cdot_{s} u) \in No$
412	358 361	subscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to (A \cdot_{s} m) -_{s} (l \cdot_{s} m) \in No$
413	411 412 348	sleadd2d	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to (((A \cdot_{s} u) -_{s} (l \cdot_{s} u)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} m) -_{s} (l \cdot_{s} m)) \leftrightarrow ((l \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} u) -_{s} (l \cdot_{s} u))) \leq_{s} ((l \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} m) -_{s} (l \cdot_{s} m))))$
414	410 413	bitrd	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to (((l \cdot_{s} m) -_{s} (l \cdot_{s} u)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} m) -_{s} (A \cdot_{s} u)) \leftrightarrow ((l \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} u) -_{s} (l \cdot_{s} u))) \leq_{s} ((l \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} m) -_{s} (l \cdot_{s} m))))$
415	414	adantrrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to (((l \cdot_{s} m) -_{s} (l \cdot_{s} u)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} m) -_{s} (A \cdot_{s} u)) \leftrightarrow ((l \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} u) -_{s} (l \cdot_{s} u))) \leq_{s} ((l \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} m) -_{s} (l \cdot_{s} m))))$
416	409 415	mpbid	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to ((l \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} u) -_{s} (l \cdot_{s} u))) \leq_{s} ((l \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} m) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
417	348 339 351	addsubsassd	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (l \cdot_{s} u) = (l \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} u) -_{s} (l \cdot_{s} u))$
418	417	adantrrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (l \cdot_{s} u) = (l \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} u) -_{s} (l \cdot_{s} u))$
419	348 358 361	addsubsassd	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m) = (l \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} m) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
420	419	adantrrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m) = (l \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} m) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
421	416 418 420	3brtr4d	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (l \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
422	343 353 363 395 421	sletrd	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
423	422	anassrs	$⊢ ((φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m))) \to (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
424	423	expr	$⊢ ((φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \land (t \in L \land u \in S)) \to ((l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m) \to (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
425	424	reximdvva	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to (\exists t \in L \exists u \in S (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m) \to \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
426	425	expcom	$⊢ (l \in L (A) \land m \in R (B)) \to (φ \to (\exists t \in L \exists u \in S (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m) \to \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))))$
427	426	com23	$⊢ (l \in L (A) \land m \in R (B)) \to (\exists t \in L \exists u \in S (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m) \to (φ \to \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))))$
428	427	imp	$⊢ ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land \exists t \in L \exists u \in S (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)) \to (φ \to \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
429	327 428	sylan2br	$⊢ ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (\exists t \in L l \leq_{s} t \land \exists u \in S u \leq_{s} m)) \to (φ \to \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
430	429	an4s	$⊢ ((l \in L (A) \land \exists t \in L l \leq_{s} t) \land (m \in R (B) \land \exists u \in S u \leq_{s} m)) \to (φ \to \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
431	430	impcom	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land \exists t \in L l \leq_{s} t) \land (m \in R (B) \land \exists u \in S u \leq_{s} m))) \to \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
432	431	anassrs	$⊢ ((φ \land (l \in L (A) \land \exists t \in L l \leq_{s} t)) \land (m \in R (B) \land \exists u \in S u \leq_{s} m)) \to \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
433	432	expr	$⊢ ((φ \land (l \in L (A) \land \exists t \in L l \leq_{s} t)) \land m \in R (B)) \to (\exists u \in S u \leq_{s} m \to \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
434	433	ralimdva	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land \exists t \in L l \leq_{s} t)) \to (\forall m \in R (B) \exists u \in S u \leq_{s} m \to \forall m \in R (B) \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
435	326 434	mpd	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land \exists t \in L l \leq_{s} t)) \to \forall m \in R (B) \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
436	435	expr	$⊢ (φ \land l \in L (A)) \to (\exists t \in L l \leq_{s} t \to \forall m \in R (B) \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
437	436	ralimdva	$⊢ φ \to (\forall l \in L (A) \exists t \in L l \leq_{s} t \to \forall l \in L (A) \forall m \in R (B) \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
438	324 437	mpd	$⊢ φ \to \forall l \in L (A) \forall m \in R (B) \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
439		eqeq1	$⊢ c = z \to (c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \leftrightarrow z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u))$
440	439	2rexbidv	$⊢ c = z \to (\exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \leftrightarrow \exists t \in L \exists u \in S z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u))$
441	440	rexab	$⊢ \exists z \in \{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)) \leftrightarrow \exists z (\exists t \in L \exists u \in S z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
442		r19.41vv	$⊢ \exists t \in L \exists u \in S (z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))) \leftrightarrow (\exists t \in L \exists u \in S z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
443	442	exbii	$⊢ \exists z \exists t \in L \exists u \in S (z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))) \leftrightarrow \exists z (\exists t \in L \exists u \in S z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
444		rexcom4	$⊢ \exists t \in L \exists z \exists u \in S (z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))) \leftrightarrow \exists z \exists t \in L \exists u \in S (z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
445		rexcom4	$⊢ \exists u \in S \exists z (z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))) \leftrightarrow \exists z \exists u \in S (z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
446		ovex	$⊢ ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \in V$
447		breq1	$⊢ z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \to (z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)) \leftrightarrow (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
448	446 447	ceqsexv	$⊢ \exists z (z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))) \leftrightarrow (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
449	448	rexbii	$⊢ \exists u \in S \exists z (z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))) \leftrightarrow \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
450	445 449	bitr3i	$⊢ \exists z \exists u \in S (z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))) \leftrightarrow \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
451	450	rexbii	$⊢ \exists t \in L \exists z \exists u \in S (z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))) \leftrightarrow \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
452	444 451	bitr3i	$⊢ \exists z \exists t \in L \exists u \in S (z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))) \leftrightarrow \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
453	441 443 452	3bitr2i	$⊢ \exists z \in \{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)) \leftrightarrow \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
454		ssun1	$⊢ \{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \subseteq \{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\}$
455		ssrexv	$⊢ \{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \subseteq \{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\} \to (\exists z \in \{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)) \to \exists z \in (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\}) z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
456	454 455	ax-mp	$⊢ \exists z \in \{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)) \to \exists z \in (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\}) z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
457	453 456	sylbir	$⊢ \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)) \to \exists z \in (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\}) z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
458	457	2ralimi	$⊢ \forall l \in L (A) \forall m \in R (B) \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)) \to \forall l \in L (A) \forall m \in R (B) \exists z \in (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\}) z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
459	438 458	syl	$⊢ φ \to \forall l \in L (A) \forall m \in R (B) \exists z \in (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\}) z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
460	1 3	cofcutr2d	$⊢ φ \to \forall x \in R (A) \exists v \in R v \leq_{s} x$
461	2 4	cofcutr1d	$⊢ φ \to \forall y \in L (B) \exists w \in M y \leq_{s} w$
462	461	adantr	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land \exists v \in R v \leq_{s} x)) \to \forall y \in L (B) \exists w \in M y \leq_{s} w$
463		reeanv	$⊢ \exists v \in R \exists w \in M (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w) \leftrightarrow (\exists v \in R v \leq_{s} x \land \exists w \in M y \leq_{s} w)$
464	170	adantr	$⊢ (φ \land (v \in R \land w \in M)) \to R \subseteq No$
465		simprl	$⊢ (φ \land (v \in R \land w \in M)) \to v \in R$
466	464 465	sseldd	$⊢ (φ \land (v \in R \land w \in M)) \to v \in No$
467	8	adantr	$⊢ (φ \land (v \in R \land w \in M)) \to B \in No$
468	466 467	mulscld	$⊢ (φ \land (v \in R \land w \in M)) \to v \cdot_{s} B \in No$
469	468	adantrl	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to v \cdot_{s} B \in No$
470	6	adantr	$⊢ (φ \land (v \in R \land w \in M)) \to A \in No$
471	44	adantr	$⊢ (φ \land (v \in R \land w \in M)) \to M \subseteq No$
472		simprr	$⊢ (φ \land (v \in R \land w \in M)) \to w \in M$
473	471 472	sseldd	$⊢ (φ \land (v \in R \land w \in M)) \to w \in No$
474	470 473	mulscld	$⊢ (φ \land (v \in R \land w \in M)) \to A \cdot_{s} w \in No$
475	474	adantrl	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to A \cdot_{s} w \in No$
476	469 475	addscld	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to (v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w) \in No$
477	466 473	mulscld	$⊢ (φ \land (v \in R \land w \in M)) \to v \cdot_{s} w \in No$
478	477	adantrl	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to v \cdot_{s} w \in No$
479	476 478	subscld	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \in No$
480	479	adantrrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \in No$
481	6	adantr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to A \in No$
482		simprr	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to y \in L (B)$
483	23 482	sselid	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to y \in No$
484	483	adantrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to y \in No$
485	481 484	mulscld	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to A \cdot_{s} y \in No$
486	469 485	addscld	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to (v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y) \in No$
487	466	adantrl	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to v \in No$
488	487 484	mulscld	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to v \cdot_{s} y \in No$
489	486 488	subscld	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (v \cdot_{s} y) \in No$
490	489	adantrrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (v \cdot_{s} y) \in No$
491		simprl	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to x \in R (A)$
492	153 491	sselid	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to x \in No$
493	8	adantr	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to B \in No$
494	492 493	mulscld	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to x \cdot_{s} B \in No$
495	494	adantrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to x \cdot_{s} B \in No$
496	495 485	addscld	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to (x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y) \in No$
497	492 483	mulscld	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to x \cdot_{s} y \in No$
498	497	adantrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to x \cdot_{s} y \in No$
499	496 498	subscld	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to ((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y) \in No$
500	499	adantrrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to ((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y) \in No$
501	6	adantr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to A \in No$
502	487	adantrrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to v \in No$
503	483	adantrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to y \in No$
504	473	adantrl	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to w \in No$
505	504	adantrrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to w \in No$
506	3	sneqd	$⊢ φ \to \{A\} = \{L \|_{s} R\}$
507	506 222	eqbrtrd	$⊢ φ \to \{A\} ≪_{s} R$
508	507	adantr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to \{A\} ≪_{s} R$
509	481 401	syl	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to A \in \{A\}$
510		simprrl	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to v \in R$
511	508 509 510	ssltsepcd	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to A <_{s} v$
512	481 487 511	sltled	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to A \leq_{s} v$
513	512	adantrrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to A \leq_{s} v$
514		simprrr	$⊢ ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w))) \to y \leq_{s} w$
515	514	adantl	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to y \leq_{s} w$
516	501 502 503 505 513 515	slemuld	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to ((A \cdot_{s} w) -_{s} (A \cdot_{s} y)) \leq_{s} ((v \cdot_{s} w) -_{s} (v \cdot_{s} y))$
517	475 478 485 488	slesubsubbd	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to (((A \cdot_{s} w) -_{s} (A \cdot_{s} y)) \leq_{s} ((v \cdot_{s} w) -_{s} (v \cdot_{s} y)) \leftrightarrow ((A \cdot_{s} w) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} y) -_{s} (v \cdot_{s} y)))$
518	475 478	subscld	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to (A \cdot_{s} w) -_{s} (v \cdot_{s} w) \in No$
519	485 488	subscld	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to (A \cdot_{s} y) -_{s} (v \cdot_{s} y) \in No$
520	518 519 469	sleadd2d	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to (((A \cdot_{s} w) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} y) -_{s} (v \cdot_{s} y)) \leftrightarrow ((v \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} w) -_{s} (v \cdot_{s} w))) \leq_{s} ((v \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} y) -_{s} (v \cdot_{s} y))))$
521	517 520	bitrd	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to (((A \cdot_{s} w) -_{s} (A \cdot_{s} y)) \leq_{s} ((v \cdot_{s} w) -_{s} (v \cdot_{s} y)) \leftrightarrow ((v \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} w) -_{s} (v \cdot_{s} w))) \leq_{s} ((v \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} y) -_{s} (v \cdot_{s} y))))$
522	521	adantrrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to (((A \cdot_{s} w) -_{s} (A \cdot_{s} y)) \leq_{s} ((v \cdot_{s} w) -_{s} (v \cdot_{s} y)) \leftrightarrow ((v \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} w) -_{s} (v \cdot_{s} w))) \leq_{s} ((v \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} y) -_{s} (v \cdot_{s} y))))$
523	516 522	mpbid	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to ((v \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} w) -_{s} (v \cdot_{s} w))) \leq_{s} ((v \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} y) -_{s} (v \cdot_{s} y)))$
524	469 475 478	addsubsassd	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) = (v \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} w) -_{s} (v \cdot_{s} w))$
525	524	adantrrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) = (v \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} w) -_{s} (v \cdot_{s} w))$
526	469 485 488	addsubsassd	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (v \cdot_{s} y) = (v \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} y) -_{s} (v \cdot_{s} y))$
527	526	adantrrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (v \cdot_{s} y) = (v \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} y) -_{s} (v \cdot_{s} y))$
528	523 525 527	3brtr4d	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (v \cdot_{s} y))$
529	492	adantrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to x \in No$
530	8	adantr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to B \in No$
531		simprrl	$⊢ ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w))) \to v \leq_{s} x$
532	531	adantl	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to v \leq_{s} x$
533	493 61	syl	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to L (B) ≪_{s} \{B\}$
534	65	adantr	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to B \in \{B\}$
535	533 482 534	ssltsepcd	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to y <_{s} B$
536	483 493 535	sltled	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to y \leq_{s} B$
537	536	adantrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to y \leq_{s} B$
538	502 529 503 530 532 537	slemuld	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to ((v \cdot_{s} B) -_{s} (v \cdot_{s} y)) \leq_{s} ((x \cdot_{s} B) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
539	469 488	subscld	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to (v \cdot_{s} B) -_{s} (v \cdot_{s} y) \in No$
540	539	adantrrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to (v \cdot_{s} B) -_{s} (v \cdot_{s} y) \in No$
541	495 498	subscld	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to (x \cdot_{s} B) -_{s} (x \cdot_{s} y) \in No$
542	541	adantrrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to (x \cdot_{s} B) -_{s} (x \cdot_{s} y) \in No$
543	485	adantrrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to A \cdot_{s} y \in No$
544	540 542 543	sleadd1d	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to (((v \cdot_{s} B) -_{s} (v \cdot_{s} y)) \leq_{s} ((x \cdot_{s} B) -_{s} (x \cdot_{s} y)) \leftrightarrow (((v \cdot_{s} B) -_{s} (v \cdot_{s} y)) +_{s} (A \cdot_{s} y)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) -_{s} (x \cdot_{s} y)) +_{s} (A \cdot_{s} y)))$
545	538 544	mpbid	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to (((v \cdot_{s} B) -_{s} (v \cdot_{s} y)) +_{s} (A \cdot_{s} y)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) -_{s} (x \cdot_{s} y)) +_{s} (A \cdot_{s} y))$
546	469 485 488	addsubsd	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (v \cdot_{s} y) = ((v \cdot_{s} B) -_{s} (v \cdot_{s} y)) +_{s} (A \cdot_{s} y)$
547	546	adantrrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (v \cdot_{s} y) = ((v \cdot_{s} B) -_{s} (v \cdot_{s} y)) +_{s} (A \cdot_{s} y)$
548	6	adantr	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to A \in No$
549	548 483	mulscld	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to A \cdot_{s} y \in No$
550	494 549 497	addsubsd	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to ((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y) = ((x \cdot_{s} B) -_{s} (x \cdot_{s} y)) +_{s} (A \cdot_{s} y)$
551	550	adantrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to ((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y) = ((x \cdot_{s} B) -_{s} (x \cdot_{s} y)) +_{s} (A \cdot_{s} y)$
552	545 547 551	3brtr4d	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (v \cdot_{s} y)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
553	480 490 500 528 552	sletrd	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
554	553	anassrs	$⊢ ((φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w))) \to (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
555	554	expr	$⊢ ((φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \land (v \in R \land w \in M)) \to ((v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w) \to (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
556	555	reximdvva	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to (\exists v \in R \exists w \in M (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w) \to \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
557	556	expcom	$⊢ (x \in R (A) \land y \in L (B)) \to (φ \to (\exists v \in R \exists w \in M (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w) \to \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))))$
558	557	com23	$⊢ (x \in R (A) \land y \in L (B)) \to (\exists v \in R \exists w \in M (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w) \to (φ \to \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))))$
559	558	imp	$⊢ ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land \exists v \in R \exists w \in M (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)) \to (φ \to \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
560	463 559	sylan2br	$⊢ ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (\exists v \in R v \leq_{s} x \land \exists w \in M y \leq_{s} w)) \to (φ \to \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
561	560	an4s	$⊢ ((x \in R (A) \land \exists v \in R v \leq_{s} x) \land (y \in L (B) \land \exists w \in M y \leq_{s} w)) \to (φ \to \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
562	561	impcom	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land \exists v \in R v \leq_{s} x) \land (y \in L (B) \land \exists w \in M y \leq_{s} w))) \to \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
563	562	anassrs	$⊢ ((φ \land (x \in R (A) \land \exists v \in R v \leq_{s} x)) \land (y \in L (B) \land \exists w \in M y \leq_{s} w)) \to \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
564	563	expr	$⊢ ((φ \land (x \in R (A) \land \exists v \in R v \leq_{s} x)) \land y \in L (B)) \to (\exists w \in M y \leq_{s} w \to \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
565	564	ralimdva	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land \exists v \in R v \leq_{s} x)) \to (\forall y \in L (B) \exists w \in M y \leq_{s} w \to \forall y \in L (B) \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
566	462 565	mpd	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land \exists v \in R v \leq_{s} x)) \to \forall y \in L (B) \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
567	566	expr	$⊢ (φ \land x \in R (A)) \to (\exists v \in R v \leq_{s} x \to \forall y \in L (B) \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
568	567	ralimdva	$⊢ φ \to (\forall x \in R (A) \exists v \in R v \leq_{s} x \to \forall x \in R (A) \forall y \in L (B) \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
569	460 568	mpd	$⊢ φ \to \forall x \in R (A) \forall y \in L (B) \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
570		eqeq1	$⊢ d = z \to (d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \leftrightarrow z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w))$
571	570	2rexbidv	$⊢ d = z \to (\exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \leftrightarrow \exists v \in R \exists w \in M z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w))$
572	571	rexab	$⊢ \exists z \in \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\} z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)) \leftrightarrow \exists z (\exists v \in R \exists w \in M z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
573		r19.41vv	$⊢ \exists v \in R \exists w \in M (z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))) \leftrightarrow (\exists v \in R \exists w \in M z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
574	573	exbii	$⊢ \exists z \exists v \in R \exists w \in M (z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))) \leftrightarrow \exists z (\exists v \in R \exists w \in M z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
575		rexcom4	$⊢ \exists v \in R \exists z \exists w \in M (z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))) \leftrightarrow \exists z \exists v \in R \exists w \in M (z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
576		rexcom4	$⊢ \exists w \in M \exists z (z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))) \leftrightarrow \exists z \exists w \in M (z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
577		ovex	$⊢ ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \in V$
578		breq1	$⊢ z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \to (z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)) \leftrightarrow (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
579	577 578	ceqsexv	$⊢ \exists z (z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))) \leftrightarrow (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
580	579	rexbii	$⊢ \exists w \in M \exists z (z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))) \leftrightarrow \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
581	576 580	bitr3i	$⊢ \exists z \exists w \in M (z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))) \leftrightarrow \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
582	581	rexbii	$⊢ \exists v \in R \exists z \exists w \in M (z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))) \leftrightarrow \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
583	575 582	bitr3i	$⊢ \exists z \exists v \in R \exists w \in M (z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))) \leftrightarrow \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
584	572 574 583	3bitr2i	$⊢ \exists z \in \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\} z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)) \leftrightarrow \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
585		ssun2	$⊢ \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\} \subseteq \{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\}$
586		ssrexv	$⊢ \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\} \subseteq \{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\} \to (\exists z \in \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\} z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)) \to \exists z \in (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\}) z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
587	585 586	ax-mp	$⊢ \exists z \in \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\} z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)) \to \exists z \in (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\}) z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
588	584 587	sylbir	$⊢ \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)) \to \exists z \in (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\}) z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
589	588	2ralimi	$⊢ \forall x \in R (A) \forall y \in L (B) \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)) \to \forall x \in R (A) \forall y \in L (B) \exists z \in (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\}) z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
590	569 589	syl	$⊢ φ \to \forall x \in R (A) \forall y \in L (B) \exists z \in (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\}) z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
591		ralunb	Could not format ( A. xO e. ( { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } u. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> ( A. xO e. { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO /\ A. xO e. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO e. ( { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } u. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> ( A. xO e. { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO /\ A. xO e. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
592		eqeq1	Could not format ( k = xO -> ( k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) <-> xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( k = xO -> ( k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) <-> xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) ) with typecode \|-
593	592	2rexbidv	Could not format ( k = xO -> ( E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) <-> E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( k = xO -> ( E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) <-> E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) ) with typecode \|-
594	593	ralab	Could not format ( A. xO e. { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> A. xO ( E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO e. { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> A. xO ( E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
595		r19.23v	Could not format ( A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
596	595	ralbii	Could not format ( A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. l e. ( _Left ` A ) ( E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. l e. ( _Left ` A ) ( E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
597		r19.23v	Could not format ( A. l e. ( _Left ` A ) ( E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. l e. ( _Left ` A ) ( E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
598	596 597	bitri	Could not format ( A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
599	598	albii	Could not format ( A. xO A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. xO ( E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. xO ( E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
600		ralcom4	Could not format ( A. l e. ( _Left ` A ) A. xO A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. xO A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. l e. ( _Left ` A ) A. xO A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. xO A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
601		ralcom4	Could not format ( A. m e. ( _Right ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. xO A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. m e. ( _Right ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. xO A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
602		ovex	$⊢ ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m) \in V$
603		breq2	Could not format ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> ( z <_s xO <-> z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> ( z <_s xO <-> z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) ) with typecode \|-
604	603	rexbidv	Could not format ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> ( E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> ( E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) ) with typecode \|-
605	602 604	ceqsalv	Could not format ( A. xO ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) with typecode \|-
606	605	ralbii	Could not format ( A. m e. ( _Right ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) : No typesetting found for \|- ( A. m e. ( _Right ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) with typecode \|-
607	601 606	bitr3i	Could not format ( A. xO A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) with typecode \|-
608	607	ralbii	Could not format ( A. l e. ( _Left ` A ) A. xO A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) : No typesetting found for \|- ( A. l e. ( _Left ` A ) A. xO A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) with typecode \|-
609	600 608	bitr3i	Could not format ( A. xO A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) with typecode \|-
610	594 599 609	3bitr2i	Could not format ( A. xO e. { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO e. { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) with typecode \|-
611		eqeq1	Could not format ( n = xO -> ( n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) <-> xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( n = xO -> ( n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) <-> xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) ) with typecode \|-
612	611	2rexbidv	Could not format ( n = xO -> ( E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) <-> E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( n = xO -> ( E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) <-> E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) ) with typecode \|-
613	612	ralab	Could not format ( A. xO e. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> A. xO ( E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO e. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> A. xO ( E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
614		r19.23v	Could not format ( A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
615	614	ralbii	Could not format ( A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. x e. ( _Right ` A ) ( E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. x e. ( _Right ` A ) ( E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
616		r19.23v	Could not format ( A. x e. ( _Right ` A ) ( E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. x e. ( _Right ` A ) ( E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
617	615 616	bitri	Could not format ( A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
618	617	albii	Could not format ( A. xO A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. xO ( E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. xO ( E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
619		ralcom4	Could not format ( A. x e. ( _Right ` A ) A. xO A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. xO A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. x e. ( _Right ` A ) A. xO A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. xO A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
620		ralcom4	Could not format ( A. y e. ( _Left ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. xO A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. y e. ( _Left ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. xO A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
621		ovex	$⊢ ((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y) \in V$
622		breq2	Could not format ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> ( z <_s xO <-> z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> ( z <_s xO <-> z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) ) with typecode \|-
623	622	rexbidv	Could not format ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> ( E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> ( E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) ) with typecode \|-
624	621 623	ceqsalv	Could not format ( A. xO ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) with typecode \|-
625	624	ralbii	Could not format ( A. y e. ( _Left ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) : No typesetting found for \|- ( A. y e. ( _Left ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) with typecode \|-
626	620 625	bitr3i	Could not format ( A. xO A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) with typecode \|-
627	626	ralbii	Could not format ( A. x e. ( _Right ` A ) A. xO A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) : No typesetting found for \|- ( A. x e. ( _Right ` A ) A. xO A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) with typecode \|-
628	619 627	bitr3i	Could not format ( A. xO A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) with typecode \|-
629	613 618 628	3bitr2i	Could not format ( A. xO e. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO e. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) with typecode \|-
630	610 629	anbi12i	Could not format ( ( A. xO e. { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO /\ A. xO e. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) /\ A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( ( A. xO e. { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO /\ A. xO e. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) /\ A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) ) with typecode \|-
631	591 630	bitri	Could not format ( A. xO e. ( { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } u. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> ( A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) /\ A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO e. ( { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } u. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> ( A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) /\ A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) ) with typecode \|-
632	459 590 631	sylanbrc	Could not format ( ph -> A. xO e. ( { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } u. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) : No typesetting found for \|- ( ph -> A. xO e. ( { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } u. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) with typecode \|-
633	1 2 3 4	ssltmul1	$⊢ φ \to (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) ≪_{s} \{A \cdot_{s} B\}$
634	10	sneqd	$⊢ φ \to \{A \cdot_{s} B\} = \{(\{e \| \exists f \in L (A) \exists g \in L (B) e = ((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)\} \cup \{h \| \exists i \in R (A) \exists j \in R (B) h = ((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)\}) \|_{s} (\{k \| \exists l \in L (A) \exists m \in R (B) k = ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)\} \cup \{n \| \exists x \in R (A) \exists y \in L (B) n = ((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)\})\}$
635	633 634	breqtrd	$⊢ φ \to (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) ≪_{s} \{(\{e \| \exists f \in L (A) \exists g \in L (B) e = ((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)\} \cup \{h \| \exists i \in R (A) \exists j \in R (B) h = ((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)\}) \|_{s} (\{k \| \exists l \in L (A) \exists m \in R (B) k = ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)\} \cup \{n \| \exists x \in R (A) \exists y \in L (B) n = ((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)\})\}$
636	1 2 3 4	ssltmul2	$⊢ φ \to \{A \cdot_{s} B\} ≪_{s} (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\})$
637	634 636	eqbrtrrd	$⊢ φ \to \{(\{e \| \exists f \in L (A) \exists g \in L (B) e = ((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)\} \cup \{h \| \exists i \in R (A) \exists j \in R (B) h = ((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)\}) \|_{s} (\{k \| \exists l \in L (A) \exists m \in R (B) k = ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)\} \cup \{n \| \exists x \in R (A) \exists y \in L (B) n = ((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)\})\} ≪_{s} (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\})$
638	11 323 632 635 637	cofcut1d	$⊢ φ \to (\{e \| \exists f \in L (A) \exists g \in L (B) e = ((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)\} \cup \{h \| \exists i \in R (A) \exists j \in R (B) h = ((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)\}) \|_{s} (\{k \| \exists l \in L (A) \exists m \in R (B) k = ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)\} \cup \{n \| \exists x \in R (A) \exists y \in L (B) n = ((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)\}) = (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) \|_{s} (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\})$
639	10 638	eqtrd	$⊢ φ \to A \cdot_{s} B = (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) \|_{s} (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\})$

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