mulsuniflem

Description: Lemma for mulsunif . State the theorem with some extra distinct variable conditions. (Contributed by Scott Fenton, 8-Mar-2025)

	Ref	Expression
Hypotheses	mulsuniflem.1	$⊢ φ \to L ≪_{s} R$
	mulsuniflem.2	$⊢ φ \to M ≪_{s} S$
	mulsuniflem.3	$⊢ φ \to A = L \|_{s} R$
	mulsuniflem.4	$⊢ φ \to B = M \|_{s} S$
Assertion	mulsuniflem	$⊢ φ \to A \cdot_{s} B = (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) \|_{s} (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\})$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulsuniflem.1	$⊢ φ \to L ≪_{s} R$
2		mulsuniflem.2	$⊢ φ \to M ≪_{s} S$
3		mulsuniflem.3	$⊢ φ \to A = L \|_{s} R$
4		mulsuniflem.4	$⊢ φ \to B = M \|_{s} S$
5	1	cutscld	$⊢ φ \to L \|_{s} R \in No$
6	3 5	eqeltrd	$⊢ φ \to A \in No$
7	2	cutscld	$⊢ φ \to M \|_{s} S \in No$
8	4 7	eqeltrd	$⊢ φ \to B \in No$
9		mulsval	$⊢ (A \in No \land B \in No) \to A \cdot_{s} B = (\{e \| \exists f \in L (A) \exists g \in L (B) e = ((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)\} \cup \{h \| \exists i \in R (A) \exists j \in R (B) h = ((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)\}) \|_{s} (\{k \| \exists l \in L (A) \exists m \in R (B) k = ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)\} \cup \{n \| \exists x \in R (A) \exists y \in L (B) n = ((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)\})$
10	6 8 9	syl2anc	$⊢ φ \to A \cdot_{s} B = (\{e \| \exists f \in L (A) \exists g \in L (B) e = ((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)\} \cup \{h \| \exists i \in R (A) \exists j \in R (B) h = ((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)\}) \|_{s} (\{k \| \exists l \in L (A) \exists m \in R (B) k = ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)\} \cup \{n \| \exists x \in R (A) \exists y \in L (B) n = ((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)\})$
11	6 8	mulcut2	$⊢ φ \to (\{e \| \exists f \in L (A) \exists g \in L (B) e = ((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)\} \cup \{h \| \exists i \in R (A) \exists j \in R (B) h = ((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)\}) ≪_{s} (\{k \| \exists l \in L (A) \exists m \in R (B) k = ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)\} \cup \{n \| \exists x \in R (A) \exists y \in L (B) n = ((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)\})$
12	1 3	cofcutr1d	$⊢ φ \to \forall f \in L (A) \exists p \in L f \leq_{s} p$
13	2 4	cofcutr1d	$⊢ φ \to \forall g \in L (B) \exists q \in M g \leq_{s} q$
14	13	adantr	$⊢ (φ \land (f \in L (A) \land \exists p \in L f \leq_{s} p)) \to \forall g \in L (B) \exists q \in M g \leq_{s} q$
15		reeanv	$⊢ \exists p \in L \exists q \in M (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q) \leftrightarrow (\exists p \in L f \leq_{s} p \land \exists q \in M g \leq_{s} q)$
16		simprl	$⊢ (φ \land (f \in L (A) \land g \in L (B))) \to f \in L (A)$
17	16	leftnod	$⊢ (φ \land (f \in L (A) \land g \in L (B))) \to f \in No$
18	17	adantrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to f \in No$
19	8	adantr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to B \in No$
20	18 19	mulscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to f \cdot_{s} B \in No$
21	6	adantr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to A \in No$
22		simprr	$⊢ (φ \land (f \in L (A) \land g \in L (B))) \to g \in L (B)$
23	22	leftnod	$⊢ (φ \land (f \in L (A) \land g \in L (B))) \to g \in No$
24	23	adantrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to g \in No$
25	21 24	mulscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to A \cdot_{s} g \in No$
26	20 25	addscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to (f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g) \in No$
27	18 24	mulscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to f \cdot_{s} g \in No$
28	26 27	subscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to ((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g) \in No$
29	28	adantrrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to ((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g) \in No$
30		sltsss1	$⊢ L ≪_{s} R \to L \subseteq No$
31	1 30	syl	$⊢ φ \to L \subseteq No$
32	31	adantr	$⊢ (φ \land (p \in L \land q \in M)) \to L \subseteq No$
33		simprl	$⊢ (φ \land (p \in L \land q \in M)) \to p \in L$
34	32 33	sseldd	$⊢ (φ \land (p \in L \land q \in M)) \to p \in No$
35	34	adantrl	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to p \in No$
36	35 19	mulscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to p \cdot_{s} B \in No$
37	36 25	addscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to (p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g) \in No$
38	35 24	mulscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to p \cdot_{s} g \in No$
39	37 38	subscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (p \cdot_{s} g) \in No$
40	39	adantrrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (p \cdot_{s} g) \in No$
41		sltsss1	$⊢ M ≪_{s} S \to M \subseteq No$
42	2 41	syl	$⊢ φ \to M \subseteq No$
43	42	adantr	$⊢ (φ \land (p \in L \land q \in M)) \to M \subseteq No$
44		simprr	$⊢ (φ \land (p \in L \land q \in M)) \to q \in M$
45	43 44	sseldd	$⊢ (φ \land (p \in L \land q \in M)) \to q \in No$
46	45	adantrl	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to q \in No$
47	21 46	mulscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to A \cdot_{s} q \in No$
48	36 47	addscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to (p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q) \in No$
49	35 46	mulscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to p \cdot_{s} q \in No$
50	48 49	subscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \in No$
51	50	adantrrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \in No$
52	17	adantrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to f \in No$
53	35	adantrrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to p \in No$
54	23	adantrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to g \in No$
55	8	adantr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to B \in No$
56		simprrl	$⊢ ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q))) \to f \leq_{s} p$
57	56	adantl	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to f \leq_{s} p$
58	8	adantr	$⊢ (φ \land (f \in L (A) \land g \in L (B))) \to B \in No$
59		sltsleft	$⊢ B \in No \to L (B) ≪_{s} \{B\}$
60	8 59	syl	$⊢ φ \to L (B) ≪_{s} \{B\}$
61	60	adantr	$⊢ (φ \land (f \in L (A) \land g \in L (B))) \to L (B) ≪_{s} \{B\}$
62		snidg	$⊢ B \in No \to B \in \{B\}$
63	8 62	syl	$⊢ φ \to B \in \{B\}$
64	63	adantr	$⊢ (φ \land (f \in L (A) \land g \in L (B))) \to B \in \{B\}$
65	61 22 64	sltssepcd	$⊢ (φ \land (f \in L (A) \land g \in L (B))) \to g <_{s} B$
66	23 58 65	ltlesd	$⊢ (φ \land (f \in L (A) \land g \in L (B))) \to g \leq_{s} B$
67	66	adantrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to g \leq_{s} B$
68	52 53 54 55 57 67	lemulsd	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to ((f \cdot_{s} B) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} ((p \cdot_{s} B) -_{s} (p \cdot_{s} g))$
69	20 27	subscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to (f \cdot_{s} B) -_{s} (f \cdot_{s} g) \in No$
70	36 38	subscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to (p \cdot_{s} B) -_{s} (p \cdot_{s} g) \in No$
71	69 70 25	leadds1d	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to (((f \cdot_{s} B) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} ((p \cdot_{s} B) -_{s} (p \cdot_{s} g)) \leftrightarrow (((f \cdot_{s} B) -_{s} (f \cdot_{s} g)) +_{s} (A \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) -_{s} (p \cdot_{s} g)) +_{s} (A \cdot_{s} g)))$
72	71	adantrrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to (((f \cdot_{s} B) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} ((p \cdot_{s} B) -_{s} (p \cdot_{s} g)) \leftrightarrow (((f \cdot_{s} B) -_{s} (f \cdot_{s} g)) +_{s} (A \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) -_{s} (p \cdot_{s} g)) +_{s} (A \cdot_{s} g)))$
73	68 72	mpbid	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to (((f \cdot_{s} B) -_{s} (f \cdot_{s} g)) +_{s} (A \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) -_{s} (p \cdot_{s} g)) +_{s} (A \cdot_{s} g))$
74	20 25 27	addsubsd	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to ((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g) = ((f \cdot_{s} B) -_{s} (f \cdot_{s} g)) +_{s} (A \cdot_{s} g)$
75	74	adantrrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to ((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g) = ((f \cdot_{s} B) -_{s} (f \cdot_{s} g)) +_{s} (A \cdot_{s} g)$
76	36 25 38	addsubsd	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (p \cdot_{s} g) = ((p \cdot_{s} B) -_{s} (p \cdot_{s} g)) +_{s} (A \cdot_{s} g)$
77	76	adantrrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (p \cdot_{s} g) = ((p \cdot_{s} B) -_{s} (p \cdot_{s} g)) +_{s} (A \cdot_{s} g)$
78	73 75 77	3brtr4d	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (p \cdot_{s} g))$
79	6	adantr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to A \in No$
80	46	adantrrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to q \in No$
81	6	adantr	$⊢ (φ \land (p \in L \land q \in M)) \to A \in No$
82		cutcuts	$⊢ L ≪_{s} R \to (L \|_{s} R \in No \land L ≪_{s} \{L \|_{s} R\} \land \{L \|_{s} R\} ≪_{s} R)$
83	1 82	syl	$⊢ φ \to (L \|_{s} R \in No \land L ≪_{s} \{L \|_{s} R\} \land \{L \|_{s} R\} ≪_{s} R)$
84	83	simp2d	$⊢ φ \to L ≪_{s} \{L \|_{s} R\}$
85	84	adantr	$⊢ (φ \land (p \in L \land q \in M)) \to L ≪_{s} \{L \|_{s} R\}$
86		ovex	$⊢ L \|_{s} R \in V$
87	86	snid	$⊢ L \|_{s} R \in \{L \|_{s} R\}$
88	3 87	eqeltrdi	$⊢ φ \to A \in \{L \|_{s} R\}$
89	88	adantr	$⊢ (φ \land (p \in L \land q \in M)) \to A \in \{L \|_{s} R\}$
90	85 33 89	sltssepcd	$⊢ (φ \land (p \in L \land q \in M)) \to p <_{s} A$
91	34 81 90	ltlesd	$⊢ (φ \land (p \in L \land q \in M)) \to p \leq_{s} A$
92	91	adantrl	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to p \leq_{s} A$
93	92	adantrrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to p \leq_{s} A$
94		simprrr	$⊢ ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q))) \to g \leq_{s} q$
95	94	adantl	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to g \leq_{s} q$
96	53 79 54 80 93 95	lemulsd	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to ((p \cdot_{s} q) -_{s} (p \cdot_{s} g)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} q) -_{s} (A \cdot_{s} g))$
97	49 47 38 25	lesubsubs3bd	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to (((p \cdot_{s} q) -_{s} (p \cdot_{s} g)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} q) -_{s} (A \cdot_{s} g)) \leftrightarrow ((A \cdot_{s} g) -_{s} (p \cdot_{s} g)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} q) -_{s} (p \cdot_{s} q)))$
98	25 38	subscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to (A \cdot_{s} g) -_{s} (p \cdot_{s} g) \in No$
99	47 49	subscld	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to (A \cdot_{s} q) -_{s} (p \cdot_{s} q) \in No$
100	98 99 36	leadds2d	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to (((A \cdot_{s} g) -_{s} (p \cdot_{s} g)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} q) -_{s} (p \cdot_{s} q)) \leftrightarrow ((p \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} g) -_{s} (p \cdot_{s} g))) \leq_{s} ((p \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} q) -_{s} (p \cdot_{s} q))))$
101	97 100	bitrd	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to (((p \cdot_{s} q) -_{s} (p \cdot_{s} g)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} q) -_{s} (A \cdot_{s} g)) \leftrightarrow ((p \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} g) -_{s} (p \cdot_{s} g))) \leq_{s} ((p \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} q) -_{s} (p \cdot_{s} q))))$
102	101	adantrrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to (((p \cdot_{s} q) -_{s} (p \cdot_{s} g)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} q) -_{s} (A \cdot_{s} g)) \leftrightarrow ((p \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} g) -_{s} (p \cdot_{s} g))) \leq_{s} ((p \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} q) -_{s} (p \cdot_{s} q))))$
103	96 102	mpbid	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to ((p \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} g) -_{s} (p \cdot_{s} g))) \leq_{s} ((p \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} q) -_{s} (p \cdot_{s} q)))$
104	36 25 38	addsubsassd	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (p \cdot_{s} g) = (p \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} g) -_{s} (p \cdot_{s} g))$
105	104	adantrrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (p \cdot_{s} g) = (p \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} g) -_{s} (p \cdot_{s} g))$
106	36 47 49	addsubsassd	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (p \in L \land q \in M))) \to ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) = (p \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} q) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
107	106	adantrrr	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) = (p \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} q) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
108	103 105 107	3brtr4d	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (p \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
109	29 40 51 78 108	lestrd	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)))) \to (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
110	109	anassrs	$⊢ ((φ \land (f \in L (A) \land g \in L (B))) \land ((p \in L \land q \in M) \land (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q))) \to (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
111	110	expr	$⊢ ((φ \land (f \in L (A) \land g \in L (B))) \land (p \in L \land q \in M)) \to ((f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q) \to (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)))$
112	111	reximdvva	$⊢ (φ \land (f \in L (A) \land g \in L (B))) \to (\exists p \in L \exists q \in M (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q) \to \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)))$
113	112	expcom	$⊢ (f \in L (A) \land g \in L (B)) \to (φ \to (\exists p \in L \exists q \in M (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q) \to \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))))$
114	113	com23	$⊢ (f \in L (A) \land g \in L (B)) \to (\exists p \in L \exists q \in M (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q) \to (φ \to \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))))$
115	114	imp	$⊢ ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land \exists p \in L \exists q \in M (f \leq_{s} p \land g \leq_{s} q)) \to (φ \to \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)))$
116	15 115	sylan2br	$⊢ ((f \in L (A) \land g \in L (B)) \land (\exists p \in L f \leq_{s} p \land \exists q \in M g \leq_{s} q)) \to (φ \to \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)))$
117	116	an4s	$⊢ ((f \in L (A) \land \exists p \in L f \leq_{s} p) \land (g \in L (B) \land \exists q \in M g \leq_{s} q)) \to (φ \to \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)))$
118	117	impcom	$⊢ (φ \land ((f \in L (A) \land \exists p \in L f \leq_{s} p) \land (g \in L (B) \land \exists q \in M g \leq_{s} q))) \to \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
119	118	anassrs	$⊢ ((φ \land (f \in L (A) \land \exists p \in L f \leq_{s} p)) \land (g \in L (B) \land \exists q \in M g \leq_{s} q)) \to \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
120	119	expr	$⊢ ((φ \land (f \in L (A) \land \exists p \in L f \leq_{s} p)) \land g \in L (B)) \to (\exists q \in M g \leq_{s} q \to \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)))$
121	120	ralimdva	$⊢ (φ \land (f \in L (A) \land \exists p \in L f \leq_{s} p)) \to (\forall g \in L (B) \exists q \in M g \leq_{s} q \to \forall g \in L (B) \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)))$
122	14 121	mpd	$⊢ (φ \land (f \in L (A) \land \exists p \in L f \leq_{s} p)) \to \forall g \in L (B) \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
123	122	expr	$⊢ (φ \land f \in L (A)) \to (\exists p \in L f \leq_{s} p \to \forall g \in L (B) \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)))$
124	123	ralimdva	$⊢ φ \to (\forall f \in L (A) \exists p \in L f \leq_{s} p \to \forall f \in L (A) \forall g \in L (B) \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)))$
125	12 124	mpd	$⊢ φ \to \forall f \in L (A) \forall g \in L (B) \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
126		eqeq1	$⊢ a = z \to (a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \leftrightarrow z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
127	126	2rexbidv	$⊢ a = z \to (\exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \leftrightarrow \exists p \in L \exists q \in M z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
128	127	rexab	$⊢ \exists z \in \{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z \leftrightarrow \exists z (\exists p \in L \exists q \in M z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z)$
129		r19.41vv	$⊢ \exists p \in L \exists q \in M (z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z) \leftrightarrow (\exists p \in L \exists q \in M z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z)$
130	129	exbii	$⊢ \exists z \exists p \in L \exists q \in M (z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists z (\exists p \in L \exists q \in M z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z)$
131		rexcom4	$⊢ \exists p \in L \exists z \exists q \in M (z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists z \exists p \in L \exists q \in M (z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z)$
132		rexcom4	$⊢ \exists q \in M \exists z (z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists z \exists q \in M (z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z)$
133		ovex	$⊢ ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \in V$
134		breq2	$⊢ z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \to ((((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z \leftrightarrow (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)))$
135	133 134	ceqsexv	$⊢ \exists z (z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z) \leftrightarrow (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
136	135	rexbii	$⊢ \exists q \in M \exists z (z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
137	132 136	bitr3i	$⊢ \exists z \exists q \in M (z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
138	137	rexbii	$⊢ \exists p \in L \exists z \exists q \in M (z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
139	131 138	bitr3i	$⊢ \exists z \exists p \in L \exists q \in M (z = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q) \land (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
140	128 130 139	3bitr2i	$⊢ \exists z \in \{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z \leftrightarrow \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q))$
141		ssun1	$⊢ \{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \subseteq \{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}$
142		ssrexv	$⊢ \{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \subseteq \{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\} \to (\exists z \in \{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z \to \exists z \in (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z)$
143	141 142	ax-mp	$⊢ \exists z \in \{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z \to \exists z \in (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z$
144	140 143	sylbir	$⊢ \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)) \to \exists z \in (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z$
145	144	2ralimi	$⊢ \forall f \in L (A) \forall g \in L (B) \exists p \in L \exists q \in M (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} (((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)) \to \forall f \in L (A) \forall g \in L (B) \exists z \in (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z$
146	125 145	syl	$⊢ φ \to \forall f \in L (A) \forall g \in L (B) \exists z \in (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) (((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)) \leq_{s} z$
147	1 3	cofcutr2d	$⊢ φ \to \forall i \in R (A) \exists r \in R r \leq_{s} i$
148	2 4	cofcutr2d	$⊢ φ \to \forall j \in R (B) \exists s \in S s \leq_{s} j$
149	148	adantr	$⊢ (φ \land (i \in R (A) \land \exists r \in R r \leq_{s} i)) \to \forall j \in R (B) \exists s \in S s \leq_{s} j$
150		reeanv	$⊢ \exists r \in R \exists s \in S (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j) \leftrightarrow (\exists r \in R r \leq_{s} i \land \exists s \in S s \leq_{s} j)$
151		simprl	$⊢ (φ \land (i \in R (A) \land j \in R (B))) \to i \in R (A)$
152	151	rightnod	$⊢ (φ \land (i \in R (A) \land j \in R (B))) \to i \in No$
153	152	adantrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to i \in No$
154	8	adantr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to B \in No$
155	153 154	mulscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to i \cdot_{s} B \in No$
156	6	adantr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to A \in No$
157		simprr	$⊢ (φ \land (i \in R (A) \land j \in R (B))) \to j \in R (B)$
158	157	rightnod	$⊢ (φ \land (i \in R (A) \land j \in R (B))) \to j \in No$
159	158	adantrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to j \in No$
160	156 159	mulscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to A \cdot_{s} j \in No$
161	155 160	addscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to (i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j) \in No$
162	153 159	mulscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to i \cdot_{s} j \in No$
163	161 162	subscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to ((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j) \in No$
164	163	adantrrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to ((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j) \in No$
165		sltsss2	$⊢ L ≪_{s} R \to R \subseteq No$
166	1 165	syl	$⊢ φ \to R \subseteq No$
167	166	adantr	$⊢ (φ \land (r \in R \land s \in S)) \to R \subseteq No$
168		simprl	$⊢ (φ \land (r \in R \land s \in S)) \to r \in R$
169	167 168	sseldd	$⊢ (φ \land (r \in R \land s \in S)) \to r \in No$
170	169	adantrl	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to r \in No$
171	170 154	mulscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to r \cdot_{s} B \in No$
172	171 160	addscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to (r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j) \in No$
173	170 159	mulscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to r \cdot_{s} j \in No$
174	172 173	subscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (r \cdot_{s} j) \in No$
175	174	adantrrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (r \cdot_{s} j) \in No$
176		sltsss2	$⊢ M ≪_{s} S \to S \subseteq No$
177	2 176	syl	$⊢ φ \to S \subseteq No$
178	177	adantr	$⊢ (φ \land (r \in R \land s \in S)) \to S \subseteq No$
179		simprr	$⊢ (φ \land (r \in R \land s \in S)) \to s \in S$
180	178 179	sseldd	$⊢ (φ \land (r \in R \land s \in S)) \to s \in No$
181	180	adantrl	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to s \in No$
182	156 181	mulscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to A \cdot_{s} s \in No$
183	171 182	addscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to (r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s) \in No$
184	169 180	mulscld	$⊢ (φ \land (r \in R \land s \in S)) \to r \cdot_{s} s \in No$
185	184	adantrl	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to r \cdot_{s} s \in No$
186	183 185	subscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \in No$
187	186	adantrrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \in No$
188	170	adantrrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to r \in No$
189	152	adantrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to i \in No$
190	8	adantr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to B \in No$
191	158	adantrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to j \in No$
192		simprrl	$⊢ ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j))) \to r \leq_{s} i$
193	192	adantl	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to r \leq_{s} i$
194	8	adantr	$⊢ (φ \land (i \in R (A) \land j \in R (B))) \to B \in No$
195		sltsright	$⊢ B \in No \to \{B\} ≪_{s} R (B)$
196	8 195	syl	$⊢ φ \to \{B\} ≪_{s} R (B)$
197	196	adantr	$⊢ (φ \land (i \in R (A) \land j \in R (B))) \to \{B\} ≪_{s} R (B)$
198	63	adantr	$⊢ (φ \land (i \in R (A) \land j \in R (B))) \to B \in \{B\}$
199	197 198 157	sltssepcd	$⊢ (φ \land (i \in R (A) \land j \in R (B))) \to B <_{s} j$
200	194 158 199	ltlesd	$⊢ (φ \land (i \in R (A) \land j \in R (B))) \to B \leq_{s} j$
201	200	adantrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to B \leq_{s} j$
202	188 189 190 191 193 201	lemulsd	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to ((r \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} B)) \leq_{s} ((i \cdot_{s} j) -_{s} (i \cdot_{s} B))$
203	173 171 162 155	lesubsubs2bd	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to (((r \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} B)) \leq_{s} ((i \cdot_{s} j) -_{s} (i \cdot_{s} B)) \leftrightarrow ((i \cdot_{s} B) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} ((r \cdot_{s} B) -_{s} (r \cdot_{s} j)))$
204	155 162	subscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to (i \cdot_{s} B) -_{s} (i \cdot_{s} j) \in No$
205	171 173	subscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to (r \cdot_{s} B) -_{s} (r \cdot_{s} j) \in No$
206	204 205 160	leadds1d	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to (((i \cdot_{s} B) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} ((r \cdot_{s} B) -_{s} (r \cdot_{s} j)) \leftrightarrow (((i \cdot_{s} B) -_{s} (i \cdot_{s} j)) +_{s} (A \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) -_{s} (r \cdot_{s} j)) +_{s} (A \cdot_{s} j)))$
207	203 206	bitrd	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to (((r \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} B)) \leq_{s} ((i \cdot_{s} j) -_{s} (i \cdot_{s} B)) \leftrightarrow (((i \cdot_{s} B) -_{s} (i \cdot_{s} j)) +_{s} (A \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) -_{s} (r \cdot_{s} j)) +_{s} (A \cdot_{s} j)))$
208	207	adantrrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to (((r \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} B)) \leq_{s} ((i \cdot_{s} j) -_{s} (i \cdot_{s} B)) \leftrightarrow (((i \cdot_{s} B) -_{s} (i \cdot_{s} j)) +_{s} (A \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) -_{s} (r \cdot_{s} j)) +_{s} (A \cdot_{s} j)))$
209	202 208	mpbid	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to (((i \cdot_{s} B) -_{s} (i \cdot_{s} j)) +_{s} (A \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) -_{s} (r \cdot_{s} j)) +_{s} (A \cdot_{s} j))$
210	155 160 162	addsubsd	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to ((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j) = ((i \cdot_{s} B) -_{s} (i \cdot_{s} j)) +_{s} (A \cdot_{s} j)$
211	210	adantrrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to ((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j) = ((i \cdot_{s} B) -_{s} (i \cdot_{s} j)) +_{s} (A \cdot_{s} j)$
212	171 160 173	addsubsd	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (r \cdot_{s} j) = ((r \cdot_{s} B) -_{s} (r \cdot_{s} j)) +_{s} (A \cdot_{s} j)$
213	212	adantrrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (r \cdot_{s} j) = ((r \cdot_{s} B) -_{s} (r \cdot_{s} j)) +_{s} (A \cdot_{s} j)$
214	209 211 213	3brtr4d	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (r \cdot_{s} j))$
215	6	adantr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to A \in No$
216	181	adantrrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to s \in No$
217	6	adantr	$⊢ (φ \land (r \in R \land s \in S)) \to A \in No$
218	83	simp3d	$⊢ φ \to \{L \|_{s} R\} ≪_{s} R$
219	218	adantr	$⊢ (φ \land (r \in R \land s \in S)) \to \{L \|_{s} R\} ≪_{s} R$
220	88	adantr	$⊢ (φ \land (r \in R \land s \in S)) \to A \in \{L \|_{s} R\}$
221	219 220 168	sltssepcd	$⊢ (φ \land (r \in R \land s \in S)) \to A <_{s} r$
222	217 169 221	ltlesd	$⊢ (φ \land (r \in R \land s \in S)) \to A \leq_{s} r$
223	222	adantrl	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to A \leq_{s} r$
224	223	adantrrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to A \leq_{s} r$
225		simprrr	$⊢ ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j))) \to s \leq_{s} j$
226	225	adantl	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to s \leq_{s} j$
227	215 188 216 191 224 226	lemulsd	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to ((A \cdot_{s} j) -_{s} (A \cdot_{s} s)) \leq_{s} ((r \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
228	160 173 182 185	lesubsubsbd	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to (((A \cdot_{s} j) -_{s} (A \cdot_{s} s)) \leq_{s} ((r \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} s)) \leftrightarrow ((A \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} j)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} s) -_{s} (r \cdot_{s} s)))$
229	160 173	subscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to (A \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} j) \in No$
230	182 185	subscld	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to (A \cdot_{s} s) -_{s} (r \cdot_{s} s) \in No$
231	229 230 171	leadds2d	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to (((A \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} j)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} s) -_{s} (r \cdot_{s} s)) \leftrightarrow ((r \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} j))) \leq_{s} ((r \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} s) -_{s} (r \cdot_{s} s))))$
232	228 231	bitrd	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to (((A \cdot_{s} j) -_{s} (A \cdot_{s} s)) \leq_{s} ((r \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} s)) \leftrightarrow ((r \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} j))) \leq_{s} ((r \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} s) -_{s} (r \cdot_{s} s))))$
233	232	adantrrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to (((A \cdot_{s} j) -_{s} (A \cdot_{s} s)) \leq_{s} ((r \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} s)) \leftrightarrow ((r \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} j))) \leq_{s} ((r \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} s) -_{s} (r \cdot_{s} s))))$
234	227 233	mpbid	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to ((r \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} j))) \leq_{s} ((r \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} s) -_{s} (r \cdot_{s} s)))$
235	171 160 173	addsubsassd	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (r \cdot_{s} j) = (r \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} j))$
236	235	adantrrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (r \cdot_{s} j) = (r \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} j) -_{s} (r \cdot_{s} j))$
237	171 182 185	addsubsassd	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (r \in R \land s \in S))) \to ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) = (r \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} s) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
238	237	adantrrr	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) = (r \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} s) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
239	234 236 238	3brtr4d	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (r \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
240	164 175 187 214 239	lestrd	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)))) \to (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
241	240	anassrs	$⊢ ((φ \land (i \in R (A) \land j \in R (B))) \land ((r \in R \land s \in S) \land (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j))) \to (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
242	241	expr	$⊢ ((φ \land (i \in R (A) \land j \in R (B))) \land (r \in R \land s \in S)) \to ((r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j) \to (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)))$
243	242	reximdvva	$⊢ (φ \land (i \in R (A) \land j \in R (B))) \to (\exists r \in R \exists s \in S (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j) \to \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)))$
244	243	expcom	$⊢ (i \in R (A) \land j \in R (B)) \to (φ \to (\exists r \in R \exists s \in S (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j) \to \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))))$
245	244	com23	$⊢ (i \in R (A) \land j \in R (B)) \to (\exists r \in R \exists s \in S (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j) \to (φ \to \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))))$
246	245	imp	$⊢ ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land \exists r \in R \exists s \in S (r \leq_{s} i \land s \leq_{s} j)) \to (φ \to \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)))$
247	150 246	sylan2br	$⊢ ((i \in R (A) \land j \in R (B)) \land (\exists r \in R r \leq_{s} i \land \exists s \in S s \leq_{s} j)) \to (φ \to \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)))$
248	247	an4s	$⊢ ((i \in R (A) \land \exists r \in R r \leq_{s} i) \land (j \in R (B) \land \exists s \in S s \leq_{s} j)) \to (φ \to \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)))$
249	248	impcom	$⊢ (φ \land ((i \in R (A) \land \exists r \in R r \leq_{s} i) \land (j \in R (B) \land \exists s \in S s \leq_{s} j))) \to \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
250	249	anassrs	$⊢ ((φ \land (i \in R (A) \land \exists r \in R r \leq_{s} i)) \land (j \in R (B) \land \exists s \in S s \leq_{s} j)) \to \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
251	250	expr	$⊢ ((φ \land (i \in R (A) \land \exists r \in R r \leq_{s} i)) \land j \in R (B)) \to (\exists s \in S s \leq_{s} j \to \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)))$
252	251	ralimdva	$⊢ (φ \land (i \in R (A) \land \exists r \in R r \leq_{s} i)) \to (\forall j \in R (B) \exists s \in S s \leq_{s} j \to \forall j \in R (B) \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)))$
253	149 252	mpd	$⊢ (φ \land (i \in R (A) \land \exists r \in R r \leq_{s} i)) \to \forall j \in R (B) \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
254	253	expr	$⊢ (φ \land i \in R (A)) \to (\exists r \in R r \leq_{s} i \to \forall j \in R (B) \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)))$
255	254	ralimdva	$⊢ φ \to (\forall i \in R (A) \exists r \in R r \leq_{s} i \to \forall i \in R (A) \forall j \in R (B) \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)))$
256	147 255	mpd	$⊢ φ \to \forall i \in R (A) \forall j \in R (B) \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
257		eqeq1	$⊢ b = z \to (b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \leftrightarrow z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
258	257	2rexbidv	$⊢ b = z \to (\exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \leftrightarrow \exists r \in R \exists s \in S z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
259	258	rexab	$⊢ \exists z \in \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\} (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z \leftrightarrow \exists z (\exists r \in R \exists s \in S z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z)$
260		r19.41vv	$⊢ \exists r \in R \exists s \in S (z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z) \leftrightarrow (\exists r \in R \exists s \in S z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z)$
261	260	exbii	$⊢ \exists z \exists r \in R \exists s \in S (z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists z (\exists r \in R \exists s \in S z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z)$
262		rexcom4	$⊢ \exists r \in R \exists z \exists s \in S (z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists z \exists r \in R \exists s \in S (z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z)$
263		rexcom4	$⊢ \exists s \in S \exists z (z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists z \exists s \in S (z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z)$
264		ovex	$⊢ ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \in V$
265		breq2	$⊢ z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \to ((((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z \leftrightarrow (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)))$
266	264 265	ceqsexv	$⊢ \exists z (z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z) \leftrightarrow (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
267	266	rexbii	$⊢ \exists s \in S \exists z (z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
268	263 267	bitr3i	$⊢ \exists z \exists s \in S (z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
269	268	rexbii	$⊢ \exists r \in R \exists z \exists s \in S (z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
270	262 269	bitr3i	$⊢ \exists z \exists r \in R \exists s \in S (z = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s) \land (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z) \leftrightarrow \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
271	259 261 270	3bitr2i	$⊢ \exists z \in \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\} (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z \leftrightarrow \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s))$
272		ssun2	$⊢ \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\} \subseteq \{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}$
273		ssrexv	$⊢ \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\} \subseteq \{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\} \to (\exists z \in \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\} (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z \to \exists z \in (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z)$
274	272 273	ax-mp	$⊢ \exists z \in \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\} (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z \to \exists z \in (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z$
275	271 274	sylbir	$⊢ \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)) \to \exists z \in (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z$
276	275	2ralimi	$⊢ \forall i \in R (A) \forall j \in R (B) \exists r \in R \exists s \in S (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} (((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)) \to \forall i \in R (A) \forall j \in R (B) \exists z \in (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z$
277	256 276	syl	$⊢ φ \to \forall i \in R (A) \forall j \in R (B) \exists z \in (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) (((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)) \leq_{s} z$
278		ralunb	Could not format ( A. xO e. ( { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } u. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> ( A. xO e. { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z /\ A. xO e. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO e. ( { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } u. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> ( A. xO e. { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z /\ A. xO e. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
279		eqeq1	Could not format ( e = xO -> ( e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <-> xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( e = xO -> ( e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <-> xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) ) ) with typecode \|-
280	279	2rexbidv	Could not format ( e = xO -> ( E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <-> E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( e = xO -> ( E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <-> E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) ) ) with typecode \|-
281	280	ralab	Could not format ( A. xO e. { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> A. xO ( E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO e. { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> A. xO ( E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
282		r19.23v	Could not format ( A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
283	282	ralbii	Could not format ( A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. f e. ( _Left ` A ) ( E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. f e. ( _Left ` A ) ( E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
284		r19.23v	Could not format ( A. f e. ( _Left ` A ) ( E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. f e. ( _Left ` A ) ( E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
285	283 284	bitri	Could not format ( A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
286	285	albii	Could not format ( A. xO A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. xO ( E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. xO ( E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
287		ralcom4	Could not format ( A. f e. ( _Left ` A ) A. xO A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. xO A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. f e. ( _Left ` A ) A. xO A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. xO A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
288		ralcom4	Could not format ( A. g e. ( _Left ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. xO A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. g e. ( _Left ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. xO A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
289		ovex	$⊢ ((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g) \in V$
290		breq1	Could not format ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> ( xO <_s z <-> ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> ( xO <_s z <-> ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) ) with typecode \|-
291	290	rexbidv	Could not format ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> ( E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> ( E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) ) with typecode \|-
292	289 291	ceqsalv	Could not format ( A. xO ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) : No typesetting found for \|- ( A. xO ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) with typecode \|-
293	292	ralbii	Could not format ( A. g e. ( _Left ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) : No typesetting found for \|- ( A. g e. ( _Left ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) with typecode \|-
294	288 293	bitr3i	Could not format ( A. xO A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) : No typesetting found for \|- ( A. xO A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) with typecode \|-
295	294	ralbii	Could not format ( A. f e. ( _Left ` A ) A. xO A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) : No typesetting found for \|- ( A. f e. ( _Left ` A ) A. xO A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) with typecode \|-
296	287 295	bitr3i	Could not format ( A. xO A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) : No typesetting found for \|- ( A. xO A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) with typecode \|-
297	281 286 296	3bitr2i	Could not format ( A. xO e. { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) : No typesetting found for \|- ( A. xO e. { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z ) with typecode \|-
298		eqeq1	Could not format ( h = xO -> ( h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <-> xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( h = xO -> ( h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <-> xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) ) ) with typecode \|-
299	298	2rexbidv	Could not format ( h = xO -> ( E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <-> E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( h = xO -> ( E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <-> E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) ) ) with typecode \|-
300	299	ralab	Could not format ( A. xO e. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> A. xO ( E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO e. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> A. xO ( E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
301		r19.23v	Could not format ( A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
302	301	ralbii	Could not format ( A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. i e. ( _Right ` A ) ( E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. i e. ( _Right ` A ) ( E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
303		r19.23v	Could not format ( A. i e. ( _Right ` A ) ( E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. i e. ( _Right ` A ) ( E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
304	302 303	bitri	Could not format ( A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
305	304	albii	Could not format ( A. xO A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. xO ( E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. xO ( E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
306		ralcom4	Could not format ( A. i e. ( _Right ` A ) A. xO A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. xO A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. i e. ( _Right ` A ) A. xO A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. xO A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
307		ralcom4	Could not format ( A. j e. ( _Right ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. xO A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. j e. ( _Right ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. xO A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) ) with typecode \|-
308		ovex	$⊢ ((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j) \in V$
309		breq1	Could not format ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> ( xO <_s z <-> ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> ( xO <_s z <-> ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) ) with typecode \|-
310	309	rexbidv	Could not format ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> ( E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> ( E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) ) with typecode \|-
311	308 310	ceqsalv	Could not format ( A. xO ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) : No typesetting found for \|- ( A. xO ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) with typecode \|-
312	311	ralbii	Could not format ( A. j e. ( _Right ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) : No typesetting found for \|- ( A. j e. ( _Right ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) with typecode \|-
313	307 312	bitr3i	Could not format ( A. xO A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) : No typesetting found for \|- ( A. xO A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) with typecode \|-
314	313	ralbii	Could not format ( A. i e. ( _Right ` A ) A. xO A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) : No typesetting found for \|- ( A. i e. ( _Right ` A ) A. xO A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) with typecode \|-
315	306 314	bitr3i	Could not format ( A. xO A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) : No typesetting found for \|- ( A. xO A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) -> E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) with typecode \|-
316	300 305 315	3bitr2i	Could not format ( A. xO e. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) : No typesetting found for \|- ( A. xO e. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) with typecode \|-
317	297 316	anbi12i	Could not format ( ( A. xO e. { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z /\ A. xO e. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z /\ A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( ( A. xO e. { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z /\ A. xO e. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) <-> ( A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z /\ A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) ) with typecode \|-
318	278 317	bitri	Could not format ( A. xO e. ( { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } u. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> ( A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z /\ A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO e. ( { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } u. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z <-> ( A. f e. ( _Left ` A ) A. g e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) <_s z /\ A. i e. ( _Right ` A ) A. j e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) <_s z ) ) with typecode \|-
319	146 277 318	sylanbrc	Could not format ( ph -> A. xO e. ( { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } u. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) : No typesetting found for \|- ( ph -> A. xO e. ( { e \| E. f e. ( _Left ` A ) E. g e. ( _Left ` B ) e = ( ( ( f x.s B ) +s ( A x.s g ) ) -s ( f x.s g ) ) } u. { h \| E. i e. ( _Right ` A ) E. j e. ( _Right ` B ) h = ( ( ( i x.s B ) +s ( A x.s j ) ) -s ( i x.s j ) ) } ) E. z e. ( { a \| E. p e. L E. q e. M a = ( ( ( p x.s B ) +s ( A x.s q ) ) -s ( p x.s q ) ) } u. { b \| E. r e. R E. s e. S b = ( ( ( r x.s B ) +s ( A x.s s ) ) -s ( r x.s s ) ) } ) xO <_s z ) with typecode \|-
320	1 3	cofcutr1d	$⊢ φ \to \forall l \in L (A) \exists t \in L l \leq_{s} t$
321	2 4	cofcutr2d	$⊢ φ \to \forall m \in R (B) \exists u \in S u \leq_{s} m$
322	321	adantr	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land \exists t \in L l \leq_{s} t)) \to \forall m \in R (B) \exists u \in S u \leq_{s} m$
323		reeanv	$⊢ \exists t \in L \exists u \in S (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m) \leftrightarrow (\exists t \in L l \leq_{s} t \land \exists u \in S u \leq_{s} m)$
324	31	adantr	$⊢ (φ \land (t \in L \land u \in S)) \to L \subseteq No$
325		simprl	$⊢ (φ \land (t \in L \land u \in S)) \to t \in L$
326	324 325	sseldd	$⊢ (φ \land (t \in L \land u \in S)) \to t \in No$
327	326	adantrl	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to t \in No$
328	8	adantr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to B \in No$
329	327 328	mulscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to t \cdot_{s} B \in No$
330	6	adantr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to A \in No$
331	177	adantr	$⊢ (φ \land (t \in L \land u \in S)) \to S \subseteq No$
332		simprr	$⊢ (φ \land (t \in L \land u \in S)) \to u \in S$
333	331 332	sseldd	$⊢ (φ \land (t \in L \land u \in S)) \to u \in No$
334	333	adantrl	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to u \in No$
335	330 334	mulscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to A \cdot_{s} u \in No$
336	329 335	addscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to (t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u) \in No$
337	327 334	mulscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to t \cdot_{s} u \in No$
338	336 337	subscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \in No$
339	338	adantrrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \in No$
340		simprl	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to l \in L (A)$
341	340	leftnod	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to l \in No$
342	8	adantr	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to B \in No$
343	341 342	mulscld	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to l \cdot_{s} B \in No$
344	343	adantrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to l \cdot_{s} B \in No$
345	344 335	addscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to (l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u) \in No$
346	341	adantrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to l \in No$
347	346 334	mulscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to l \cdot_{s} u \in No$
348	345 347	subscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (l \cdot_{s} u) \in No$
349	348	adantrrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (l \cdot_{s} u) \in No$
350	6	adantr	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to A \in No$
351		simprr	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to m \in R (B)$
352	351	rightnod	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to m \in No$
353	350 352	mulscld	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to A \cdot_{s} m \in No$
354	353	adantrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to A \cdot_{s} m \in No$
355	344 354	addscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to (l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m) \in No$
356	341 352	mulscld	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to l \cdot_{s} m \in No$
357	356	adantrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to l \cdot_{s} m \in No$
358	355 357	subscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m) \in No$
359	358	adantrrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m) \in No$
360	341	adantrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to l \in No$
361	327	adantrrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to t \in No$
362	8	adantr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to B \in No$
363	334	adantrrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to u \in No$
364		simprrl	$⊢ ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m))) \to l \leq_{s} t$
365	364	adantl	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to l \leq_{s} t$
366	8	adantr	$⊢ (φ \land (t \in L \land u \in S)) \to B \in No$
367		cutcuts	$⊢ M ≪_{s} S \to (M \|_{s} S \in No \land M ≪_{s} \{M \|_{s} S\} \land \{M \|_{s} S\} ≪_{s} S)$
368	2 367	syl	$⊢ φ \to (M \|_{s} S \in No \land M ≪_{s} \{M \|_{s} S\} \land \{M \|_{s} S\} ≪_{s} S)$
369	368	simp3d	$⊢ φ \to \{M \|_{s} S\} ≪_{s} S$
370	369	adantr	$⊢ (φ \land (t \in L \land u \in S)) \to \{M \|_{s} S\} ≪_{s} S$
371		ovex	$⊢ M \|_{s} S \in V$
372	371	snid	$⊢ M \|_{s} S \in \{M \|_{s} S\}$
373	4 372	eqeltrdi	$⊢ φ \to B \in \{M \|_{s} S\}$
374	373	adantr	$⊢ (φ \land (t \in L \land u \in S)) \to B \in \{M \|_{s} S\}$
375	370 374 332	sltssepcd	$⊢ (φ \land (t \in L \land u \in S)) \to B <_{s} u$
376	366 333 375	ltlesd	$⊢ (φ \land (t \in L \land u \in S)) \to B \leq_{s} u$
377	376	adantrl	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to B \leq_{s} u$
378	377	adantrrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to B \leq_{s} u$
379	360 361 362 363 365 378	lemulsd	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to ((l \cdot_{s} u) -_{s} (l \cdot_{s} B)) \leq_{s} ((t \cdot_{s} u) -_{s} (t \cdot_{s} B))$
380	347 344 337 329	lesubsubs2bd	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to (((l \cdot_{s} u) -_{s} (l \cdot_{s} B)) \leq_{s} ((t \cdot_{s} u) -_{s} (t \cdot_{s} B)) \leftrightarrow ((t \cdot_{s} B) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} ((l \cdot_{s} B) -_{s} (l \cdot_{s} u)))$
381	329 337	subscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to (t \cdot_{s} B) -_{s} (t \cdot_{s} u) \in No$
382	344 347	subscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to (l \cdot_{s} B) -_{s} (l \cdot_{s} u) \in No$
383	381 382 335	leadds1d	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to (((t \cdot_{s} B) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} ((l \cdot_{s} B) -_{s} (l \cdot_{s} u)) \leftrightarrow (((t \cdot_{s} B) -_{s} (t \cdot_{s} u)) +_{s} (A \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) -_{s} (l \cdot_{s} u)) +_{s} (A \cdot_{s} u)))$
384	380 383	bitrd	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to (((l \cdot_{s} u) -_{s} (l \cdot_{s} B)) \leq_{s} ((t \cdot_{s} u) -_{s} (t \cdot_{s} B)) \leftrightarrow (((t \cdot_{s} B) -_{s} (t \cdot_{s} u)) +_{s} (A \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) -_{s} (l \cdot_{s} u)) +_{s} (A \cdot_{s} u)))$
385	384	adantrrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to (((l \cdot_{s} u) -_{s} (l \cdot_{s} B)) \leq_{s} ((t \cdot_{s} u) -_{s} (t \cdot_{s} B)) \leftrightarrow (((t \cdot_{s} B) -_{s} (t \cdot_{s} u)) +_{s} (A \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) -_{s} (l \cdot_{s} u)) +_{s} (A \cdot_{s} u)))$
386	379 385	mpbid	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to (((t \cdot_{s} B) -_{s} (t \cdot_{s} u)) +_{s} (A \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) -_{s} (l \cdot_{s} u)) +_{s} (A \cdot_{s} u))$
387	329 335 337	addsubsd	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) = ((t \cdot_{s} B) -_{s} (t \cdot_{s} u)) +_{s} (A \cdot_{s} u)$
388	387	adantrrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) = ((t \cdot_{s} B) -_{s} (t \cdot_{s} u)) +_{s} (A \cdot_{s} u)$
389	344 335 347	addsubsd	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (l \cdot_{s} u) = ((l \cdot_{s} B) -_{s} (l \cdot_{s} u)) +_{s} (A \cdot_{s} u)$
390	389	adantrrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (l \cdot_{s} u) = ((l \cdot_{s} B) -_{s} (l \cdot_{s} u)) +_{s} (A \cdot_{s} u)$
391	386 388 390	3brtr4d	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (l \cdot_{s} u))$
392	6	adantr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to A \in No$
393	352	adantrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to m \in No$
394		sltsleft	$⊢ A \in No \to L (A) ≪_{s} \{A\}$
395	6 394	syl	$⊢ φ \to L (A) ≪_{s} \{A\}$
396	395	adantr	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to L (A) ≪_{s} \{A\}$
397		snidg	$⊢ A \in No \to A \in \{A\}$
398	6 397	syl	$⊢ φ \to A \in \{A\}$
399	398	adantr	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to A \in \{A\}$
400	396 340 399	sltssepcd	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to l <_{s} A$
401	341 350 400	ltlesd	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to l \leq_{s} A$
402	401	adantrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to l \leq_{s} A$
403		simprrr	$⊢ ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m))) \to u \leq_{s} m$
404	403	adantl	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to u \leq_{s} m$
405	360 392 363 393 402 404	lemulsd	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to ((l \cdot_{s} m) -_{s} (l \cdot_{s} u)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} m) -_{s} (A \cdot_{s} u))$
406	357 354 347 335	lesubsubs3bd	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to (((l \cdot_{s} m) -_{s} (l \cdot_{s} u)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} m) -_{s} (A \cdot_{s} u)) \leftrightarrow ((A \cdot_{s} u) -_{s} (l \cdot_{s} u)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} m) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
407	335 347	subscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to (A \cdot_{s} u) -_{s} (l \cdot_{s} u) \in No$
408	354 357	subscld	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to (A \cdot_{s} m) -_{s} (l \cdot_{s} m) \in No$
409	407 408 344	leadds2d	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to (((A \cdot_{s} u) -_{s} (l \cdot_{s} u)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} m) -_{s} (l \cdot_{s} m)) \leftrightarrow ((l \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} u) -_{s} (l \cdot_{s} u))) \leq_{s} ((l \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} m) -_{s} (l \cdot_{s} m))))$
410	406 409	bitrd	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to (((l \cdot_{s} m) -_{s} (l \cdot_{s} u)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} m) -_{s} (A \cdot_{s} u)) \leftrightarrow ((l \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} u) -_{s} (l \cdot_{s} u))) \leq_{s} ((l \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} m) -_{s} (l \cdot_{s} m))))$
411	410	adantrrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to (((l \cdot_{s} m) -_{s} (l \cdot_{s} u)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} m) -_{s} (A \cdot_{s} u)) \leftrightarrow ((l \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} u) -_{s} (l \cdot_{s} u))) \leq_{s} ((l \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} m) -_{s} (l \cdot_{s} m))))$
412	405 411	mpbid	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to ((l \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} u) -_{s} (l \cdot_{s} u))) \leq_{s} ((l \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} m) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
413	344 335 347	addsubsassd	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (l \cdot_{s} u) = (l \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} u) -_{s} (l \cdot_{s} u))$
414	413	adantrrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (l \cdot_{s} u) = (l \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} u) -_{s} (l \cdot_{s} u))$
415	344 354 357	addsubsassd	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (t \in L \land u \in S))) \to ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m) = (l \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} m) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
416	415	adantrrr	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m) = (l \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} m) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
417	412 414 416	3brtr4d	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (l \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
418	339 349 359 391 417	lestrd	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)))) \to (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
419	418	anassrs	$⊢ ((φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \land ((t \in L \land u \in S) \land (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m))) \to (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
420	419	expr	$⊢ ((φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \land (t \in L \land u \in S)) \to ((l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m) \to (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
421	420	reximdvva	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land m \in R (B))) \to (\exists t \in L \exists u \in S (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m) \to \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
422	421	expcom	$⊢ (l \in L (A) \land m \in R (B)) \to (φ \to (\exists t \in L \exists u \in S (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m) \to \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))))$
423	422	com23	$⊢ (l \in L (A) \land m \in R (B)) \to (\exists t \in L \exists u \in S (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m) \to (φ \to \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))))$
424	423	imp	$⊢ ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land \exists t \in L \exists u \in S (l \leq_{s} t \land u \leq_{s} m)) \to (φ \to \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
425	323 424	sylan2br	$⊢ ((l \in L (A) \land m \in R (B)) \land (\exists t \in L l \leq_{s} t \land \exists u \in S u \leq_{s} m)) \to (φ \to \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
426	425	an4s	$⊢ ((l \in L (A) \land \exists t \in L l \leq_{s} t) \land (m \in R (B) \land \exists u \in S u \leq_{s} m)) \to (φ \to \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
427	426	impcom	$⊢ (φ \land ((l \in L (A) \land \exists t \in L l \leq_{s} t) \land (m \in R (B) \land \exists u \in S u \leq_{s} m))) \to \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
428	427	anassrs	$⊢ ((φ \land (l \in L (A) \land \exists t \in L l \leq_{s} t)) \land (m \in R (B) \land \exists u \in S u \leq_{s} m)) \to \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
429	428	expr	$⊢ ((φ \land (l \in L (A) \land \exists t \in L l \leq_{s} t)) \land m \in R (B)) \to (\exists u \in S u \leq_{s} m \to \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
430	429	ralimdva	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land \exists t \in L l \leq_{s} t)) \to (\forall m \in R (B) \exists u \in S u \leq_{s} m \to \forall m \in R (B) \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
431	322 430	mpd	$⊢ (φ \land (l \in L (A) \land \exists t \in L l \leq_{s} t)) \to \forall m \in R (B) \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
432	431	expr	$⊢ (φ \land l \in L (A)) \to (\exists t \in L l \leq_{s} t \to \forall m \in R (B) \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
433	432	ralimdva	$⊢ φ \to (\forall l \in L (A) \exists t \in L l \leq_{s} t \to \forall l \in L (A) \forall m \in R (B) \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
434	320 433	mpd	$⊢ φ \to \forall l \in L (A) \forall m \in R (B) \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
435		eqeq1	$⊢ c = z \to (c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \leftrightarrow z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u))$
436	435	2rexbidv	$⊢ c = z \to (\exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \leftrightarrow \exists t \in L \exists u \in S z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u))$
437	436	rexab	$⊢ \exists z \in \{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)) \leftrightarrow \exists z (\exists t \in L \exists u \in S z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
438		r19.41vv	$⊢ \exists t \in L \exists u \in S (z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))) \leftrightarrow (\exists t \in L \exists u \in S z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
439	438	exbii	$⊢ \exists z \exists t \in L \exists u \in S (z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))) \leftrightarrow \exists z (\exists t \in L \exists u \in S z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
440		rexcom4	$⊢ \exists t \in L \exists z \exists u \in S (z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))) \leftrightarrow \exists z \exists t \in L \exists u \in S (z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
441		rexcom4	$⊢ \exists u \in S \exists z (z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))) \leftrightarrow \exists z \exists u \in S (z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
442		ovex	$⊢ ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \in V$
443		breq1	$⊢ z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \to (z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)) \leftrightarrow (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
444	442 443	ceqsexv	$⊢ \exists z (z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))) \leftrightarrow (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
445	444	rexbii	$⊢ \exists u \in S \exists z (z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))) \leftrightarrow \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
446	441 445	bitr3i	$⊢ \exists z \exists u \in S (z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))) \leftrightarrow \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
447	446	rexbii	$⊢ \exists t \in L \exists z \exists u \in S (z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))) \leftrightarrow \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
448	440 447	bitr3i	$⊢ \exists z \exists t \in L \exists u \in S (z = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u) \land z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))) \leftrightarrow \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
449	437 439 448	3bitr2i	$⊢ \exists z \in \{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)) \leftrightarrow \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
450		ssun1	$⊢ \{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \subseteq \{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\}$
451		ssrexv	$⊢ \{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \subseteq \{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\} \to (\exists z \in \{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)) \to \exists z \in (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\}) z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)))$
452	450 451	ax-mp	$⊢ \exists z \in \{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)) \to \exists z \in (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\}) z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
453	449 452	sylbir	$⊢ \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)) \to \exists z \in (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\}) z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
454	453	2ralimi	$⊢ \forall l \in L (A) \forall m \in R (B) \exists t \in L \exists u \in S (((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)) \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)) \to \forall l \in L (A) \forall m \in R (B) \exists z \in (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\}) z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
455	434 454	syl	$⊢ φ \to \forall l \in L (A) \forall m \in R (B) \exists z \in (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\}) z \leq_{s} (((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m))$
456	1 3	cofcutr2d	$⊢ φ \to \forall x \in R (A) \exists v \in R v \leq_{s} x$
457	2 4	cofcutr1d	$⊢ φ \to \forall y \in L (B) \exists w \in M y \leq_{s} w$
458	457	adantr	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land \exists v \in R v \leq_{s} x)) \to \forall y \in L (B) \exists w \in M y \leq_{s} w$
459		reeanv	$⊢ \exists v \in R \exists w \in M (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w) \leftrightarrow (\exists v \in R v \leq_{s} x \land \exists w \in M y \leq_{s} w)$
460	166	adantr	$⊢ (φ \land (v \in R \land w \in M)) \to R \subseteq No$
461		simprl	$⊢ (φ \land (v \in R \land w \in M)) \to v \in R$
462	460 461	sseldd	$⊢ (φ \land (v \in R \land w \in M)) \to v \in No$
463	8	adantr	$⊢ (φ \land (v \in R \land w \in M)) \to B \in No$
464	462 463	mulscld	$⊢ (φ \land (v \in R \land w \in M)) \to v \cdot_{s} B \in No$
465	464	adantrl	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to v \cdot_{s} B \in No$
466	6	adantr	$⊢ (φ \land (v \in R \land w \in M)) \to A \in No$
467	42	adantr	$⊢ (φ \land (v \in R \land w \in M)) \to M \subseteq No$
468		simprr	$⊢ (φ \land (v \in R \land w \in M)) \to w \in M$
469	467 468	sseldd	$⊢ (φ \land (v \in R \land w \in M)) \to w \in No$
470	466 469	mulscld	$⊢ (φ \land (v \in R \land w \in M)) \to A \cdot_{s} w \in No$
471	470	adantrl	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to A \cdot_{s} w \in No$
472	465 471	addscld	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to (v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w) \in No$
473	462 469	mulscld	$⊢ (φ \land (v \in R \land w \in M)) \to v \cdot_{s} w \in No$
474	473	adantrl	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to v \cdot_{s} w \in No$
475	472 474	subscld	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \in No$
476	475	adantrrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \in No$
477	6	adantr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to A \in No$
478		simprr	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to y \in L (B)$
479	478	leftnod	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to y \in No$
480	479	adantrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to y \in No$
481	477 480	mulscld	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to A \cdot_{s} y \in No$
482	465 481	addscld	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to (v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y) \in No$
483	462	adantrl	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to v \in No$
484	483 480	mulscld	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to v \cdot_{s} y \in No$
485	482 484	subscld	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (v \cdot_{s} y) \in No$
486	485	adantrrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (v \cdot_{s} y) \in No$
487		simprl	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to x \in R (A)$
488	487	rightnod	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to x \in No$
489	8	adantr	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to B \in No$
490	488 489	mulscld	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to x \cdot_{s} B \in No$
491	490	adantrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to x \cdot_{s} B \in No$
492	491 481	addscld	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to (x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y) \in No$
493	488 479	mulscld	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to x \cdot_{s} y \in No$
494	493	adantrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to x \cdot_{s} y \in No$
495	492 494	subscld	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to ((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y) \in No$
496	495	adantrrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to ((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y) \in No$
497	6	adantr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to A \in No$
498	483	adantrrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to v \in No$
499	479	adantrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to y \in No$
500	469	adantrl	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to w \in No$
501	500	adantrrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to w \in No$
502	3	sneqd	$⊢ φ \to \{A\} = \{L \|_{s} R\}$
503	502 218	eqbrtrd	$⊢ φ \to \{A\} ≪_{s} R$
504	503	adantr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to \{A\} ≪_{s} R$
505	477 397	syl	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to A \in \{A\}$
506		simprrl	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to v \in R$
507	504 505 506	sltssepcd	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to A <_{s} v$
508	477 483 507	ltlesd	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to A \leq_{s} v$
509	508	adantrrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to A \leq_{s} v$
510		simprrr	$⊢ ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w))) \to y \leq_{s} w$
511	510	adantl	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to y \leq_{s} w$
512	497 498 499 501 509 511	lemulsd	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to ((A \cdot_{s} w) -_{s} (A \cdot_{s} y)) \leq_{s} ((v \cdot_{s} w) -_{s} (v \cdot_{s} y))$
513	471 474 481 484	lesubsubsbd	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to (((A \cdot_{s} w) -_{s} (A \cdot_{s} y)) \leq_{s} ((v \cdot_{s} w) -_{s} (v \cdot_{s} y)) \leftrightarrow ((A \cdot_{s} w) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} y) -_{s} (v \cdot_{s} y)))$
514	471 474	subscld	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to (A \cdot_{s} w) -_{s} (v \cdot_{s} w) \in No$
515	481 484	subscld	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to (A \cdot_{s} y) -_{s} (v \cdot_{s} y) \in No$
516	514 515 465	leadds2d	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to (((A \cdot_{s} w) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} ((A \cdot_{s} y) -_{s} (v \cdot_{s} y)) \leftrightarrow ((v \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} w) -_{s} (v \cdot_{s} w))) \leq_{s} ((v \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} y) -_{s} (v \cdot_{s} y))))$
517	513 516	bitrd	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to (((A \cdot_{s} w) -_{s} (A \cdot_{s} y)) \leq_{s} ((v \cdot_{s} w) -_{s} (v \cdot_{s} y)) \leftrightarrow ((v \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} w) -_{s} (v \cdot_{s} w))) \leq_{s} ((v \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} y) -_{s} (v \cdot_{s} y))))$
518	517	adantrrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to (((A \cdot_{s} w) -_{s} (A \cdot_{s} y)) \leq_{s} ((v \cdot_{s} w) -_{s} (v \cdot_{s} y)) \leftrightarrow ((v \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} w) -_{s} (v \cdot_{s} w))) \leq_{s} ((v \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} y) -_{s} (v \cdot_{s} y))))$
519	512 518	mpbid	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to ((v \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} w) -_{s} (v \cdot_{s} w))) \leq_{s} ((v \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} y) -_{s} (v \cdot_{s} y)))$
520	465 471 474	addsubsassd	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) = (v \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} w) -_{s} (v \cdot_{s} w))$
521	520	adantrrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) = (v \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} w) -_{s} (v \cdot_{s} w))$
522	465 481 484	addsubsassd	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (v \cdot_{s} y) = (v \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} y) -_{s} (v \cdot_{s} y))$
523	522	adantrrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (v \cdot_{s} y) = (v \cdot_{s} B) +_{s} ((A \cdot_{s} y) -_{s} (v \cdot_{s} y))$
524	519 521 523	3brtr4d	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (v \cdot_{s} y))$
525	488	adantrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to x \in No$
526	8	adantr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to B \in No$
527		simprrl	$⊢ ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w))) \to v \leq_{s} x$
528	527	adantl	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to v \leq_{s} x$
529	489 59	syl	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to L (B) ≪_{s} \{B\}$
530	63	adantr	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to B \in \{B\}$
531	529 478 530	sltssepcd	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to y <_{s} B$
532	479 489 531	ltlesd	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to y \leq_{s} B$
533	532	adantrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to y \leq_{s} B$
534	498 525 499 526 528 533	lemulsd	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to ((v \cdot_{s} B) -_{s} (v \cdot_{s} y)) \leq_{s} ((x \cdot_{s} B) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
535	465 484	subscld	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to (v \cdot_{s} B) -_{s} (v \cdot_{s} y) \in No$
536	535	adantrrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to (v \cdot_{s} B) -_{s} (v \cdot_{s} y) \in No$
537	491 494	subscld	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to (x \cdot_{s} B) -_{s} (x \cdot_{s} y) \in No$
538	537	adantrrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to (x \cdot_{s} B) -_{s} (x \cdot_{s} y) \in No$
539	481	adantrrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to A \cdot_{s} y \in No$
540	536 538 539	leadds1d	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to (((v \cdot_{s} B) -_{s} (v \cdot_{s} y)) \leq_{s} ((x \cdot_{s} B) -_{s} (x \cdot_{s} y)) \leftrightarrow (((v \cdot_{s} B) -_{s} (v \cdot_{s} y)) +_{s} (A \cdot_{s} y)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) -_{s} (x \cdot_{s} y)) +_{s} (A \cdot_{s} y)))$
541	534 540	mpbid	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to (((v \cdot_{s} B) -_{s} (v \cdot_{s} y)) +_{s} (A \cdot_{s} y)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) -_{s} (x \cdot_{s} y)) +_{s} (A \cdot_{s} y))$
542	465 481 484	addsubsd	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (v \in R \land w \in M))) \to ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (v \cdot_{s} y) = ((v \cdot_{s} B) -_{s} (v \cdot_{s} y)) +_{s} (A \cdot_{s} y)$
543	542	adantrrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (v \cdot_{s} y) = ((v \cdot_{s} B) -_{s} (v \cdot_{s} y)) +_{s} (A \cdot_{s} y)$
544	6	adantr	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to A \in No$
545	544 479	mulscld	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to A \cdot_{s} y \in No$
546	490 545 493	addsubsd	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to ((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y) = ((x \cdot_{s} B) -_{s} (x \cdot_{s} y)) +_{s} (A \cdot_{s} y)$
547	546	adantrr	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to ((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y) = ((x \cdot_{s} B) -_{s} (x \cdot_{s} y)) +_{s} (A \cdot_{s} y)$
548	541 543 547	3brtr4d	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (v \cdot_{s} y)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
549	476 486 496 524 548	lestrd	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)))) \to (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
550	549	anassrs	$⊢ ((φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \land ((v \in R \land w \in M) \land (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w))) \to (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
551	550	expr	$⊢ ((φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \land (v \in R \land w \in M)) \to ((v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w) \to (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
552	551	reximdvva	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land y \in L (B))) \to (\exists v \in R \exists w \in M (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w) \to \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
553	552	expcom	$⊢ (x \in R (A) \land y \in L (B)) \to (φ \to (\exists v \in R \exists w \in M (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w) \to \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))))$
554	553	com23	$⊢ (x \in R (A) \land y \in L (B)) \to (\exists v \in R \exists w \in M (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w) \to (φ \to \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))))$
555	554	imp	$⊢ ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land \exists v \in R \exists w \in M (v \leq_{s} x \land y \leq_{s} w)) \to (φ \to \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
556	459 555	sylan2br	$⊢ ((x \in R (A) \land y \in L (B)) \land (\exists v \in R v \leq_{s} x \land \exists w \in M y \leq_{s} w)) \to (φ \to \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
557	556	an4s	$⊢ ((x \in R (A) \land \exists v \in R v \leq_{s} x) \land (y \in L (B) \land \exists w \in M y \leq_{s} w)) \to (φ \to \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
558	557	impcom	$⊢ (φ \land ((x \in R (A) \land \exists v \in R v \leq_{s} x) \land (y \in L (B) \land \exists w \in M y \leq_{s} w))) \to \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
559	558	anassrs	$⊢ ((φ \land (x \in R (A) \land \exists v \in R v \leq_{s} x)) \land (y \in L (B) \land \exists w \in M y \leq_{s} w)) \to \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
560	559	expr	$⊢ ((φ \land (x \in R (A) \land \exists v \in R v \leq_{s} x)) \land y \in L (B)) \to (\exists w \in M y \leq_{s} w \to \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
561	560	ralimdva	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land \exists v \in R v \leq_{s} x)) \to (\forall y \in L (B) \exists w \in M y \leq_{s} w \to \forall y \in L (B) \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
562	458 561	mpd	$⊢ (φ \land (x \in R (A) \land \exists v \in R v \leq_{s} x)) \to \forall y \in L (B) \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
563	562	expr	$⊢ (φ \land x \in R (A)) \to (\exists v \in R v \leq_{s} x \to \forall y \in L (B) \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
564	563	ralimdva	$⊢ φ \to (\forall x \in R (A) \exists v \in R v \leq_{s} x \to \forall x \in R (A) \forall y \in L (B) \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
565	456 564	mpd	$⊢ φ \to \forall x \in R (A) \forall y \in L (B) \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
566		eqeq1	$⊢ d = z \to (d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \leftrightarrow z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w))$
567	566	2rexbidv	$⊢ d = z \to (\exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \leftrightarrow \exists v \in R \exists w \in M z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w))$
568	567	rexab	$⊢ \exists z \in \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\} z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)) \leftrightarrow \exists z (\exists v \in R \exists w \in M z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
569		r19.41vv	$⊢ \exists v \in R \exists w \in M (z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))) \leftrightarrow (\exists v \in R \exists w \in M z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
570	569	exbii	$⊢ \exists z \exists v \in R \exists w \in M (z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))) \leftrightarrow \exists z (\exists v \in R \exists w \in M z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
571		rexcom4	$⊢ \exists v \in R \exists z \exists w \in M (z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))) \leftrightarrow \exists z \exists v \in R \exists w \in M (z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
572		rexcom4	$⊢ \exists w \in M \exists z (z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))) \leftrightarrow \exists z \exists w \in M (z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
573		ovex	$⊢ ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \in V$
574		breq1	$⊢ z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \to (z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)) \leftrightarrow (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
575	573 574	ceqsexv	$⊢ \exists z (z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))) \leftrightarrow (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
576	575	rexbii	$⊢ \exists w \in M \exists z (z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))) \leftrightarrow \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
577	572 576	bitr3i	$⊢ \exists z \exists w \in M (z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))) \leftrightarrow \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
578	577	rexbii	$⊢ \exists v \in R \exists z \exists w \in M (z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))) \leftrightarrow \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
579	571 578	bitr3i	$⊢ \exists z \exists v \in R \exists w \in M (z = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w) \land z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))) \leftrightarrow \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
580	568 570 579	3bitr2i	$⊢ \exists z \in \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\} z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)) \leftrightarrow \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
581		ssun2	$⊢ \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\} \subseteq \{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\}$
582		ssrexv	$⊢ \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\} \subseteq \{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\} \to (\exists z \in \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\} z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)) \to \exists z \in (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\}) z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)))$
583	581 582	ax-mp	$⊢ \exists z \in \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\} z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)) \to \exists z \in (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\}) z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
584	580 583	sylbir	$⊢ \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)) \to \exists z \in (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\}) z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
585	584	2ralimi	$⊢ \forall x \in R (A) \forall y \in L (B) \exists v \in R \exists w \in M (((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)) \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)) \to \forall x \in R (A) \forall y \in L (B) \exists z \in (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\}) z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
586	565 585	syl	$⊢ φ \to \forall x \in R (A) \forall y \in L (B) \exists z \in (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\}) z \leq_{s} (((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y))$
587		ralunb	Could not format ( A. xO e. ( { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } u. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> ( A. xO e. { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO /\ A. xO e. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO e. ( { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } u. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> ( A. xO e. { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO /\ A. xO e. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
588		eqeq1	Could not format ( k = xO -> ( k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) <-> xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( k = xO -> ( k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) <-> xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) ) with typecode \|-
589	588	2rexbidv	Could not format ( k = xO -> ( E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) <-> E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( k = xO -> ( E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) <-> E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) ) with typecode \|-
590	589	ralab	Could not format ( A. xO e. { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> A. xO ( E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO e. { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> A. xO ( E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
591		r19.23v	Could not format ( A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
592	591	ralbii	Could not format ( A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. l e. ( _Left ` A ) ( E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. l e. ( _Left ` A ) ( E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
593		r19.23v	Could not format ( A. l e. ( _Left ` A ) ( E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. l e. ( _Left ` A ) ( E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
594	592 593	bitri	Could not format ( A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
595	594	albii	Could not format ( A. xO A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. xO ( E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. xO ( E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
596		ralcom4	Could not format ( A. l e. ( _Left ` A ) A. xO A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. xO A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. l e. ( _Left ` A ) A. xO A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. xO A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
597		ralcom4	Could not format ( A. m e. ( _Right ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. xO A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. m e. ( _Right ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. xO A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
598		ovex	$⊢ ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m) \in V$
599		breq2	Could not format ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> ( z <_s xO <-> z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> ( z <_s xO <-> z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) ) with typecode \|-
600	599	rexbidv	Could not format ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> ( E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> ( E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) ) with typecode \|-
601	598 600	ceqsalv	Could not format ( A. xO ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) with typecode \|-
602	601	ralbii	Could not format ( A. m e. ( _Right ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) : No typesetting found for \|- ( A. m e. ( _Right ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) with typecode \|-
603	597 602	bitr3i	Could not format ( A. xO A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) with typecode \|-
604	603	ralbii	Could not format ( A. l e. ( _Left ` A ) A. xO A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) : No typesetting found for \|- ( A. l e. ( _Left ` A ) A. xO A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) with typecode \|-
605	596 604	bitr3i	Could not format ( A. xO A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) ( xO = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) with typecode \|-
606	590 595 605	3bitr2i	Could not format ( A. xO e. { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO e. { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) ) with typecode \|-
607		eqeq1	Could not format ( n = xO -> ( n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) <-> xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( n = xO -> ( n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) <-> xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) ) with typecode \|-
608	607	2rexbidv	Could not format ( n = xO -> ( E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) <-> E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( n = xO -> ( E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) <-> E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) ) with typecode \|-
609	608	ralab	Could not format ( A. xO e. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> A. xO ( E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO e. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> A. xO ( E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
610		r19.23v	Could not format ( A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
611	610	ralbii	Could not format ( A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. x e. ( _Right ` A ) ( E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. x e. ( _Right ` A ) ( E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
612		r19.23v	Could not format ( A. x e. ( _Right ` A ) ( E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. x e. ( _Right ` A ) ( E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
613	611 612	bitri	Could not format ( A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
614	613	albii	Could not format ( A. xO A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. xO ( E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. xO ( E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
615		ralcom4	Could not format ( A. x e. ( _Right ` A ) A. xO A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. xO A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. x e. ( _Right ` A ) A. xO A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. xO A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
616		ralcom4	Could not format ( A. y e. ( _Left ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. xO A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) : No typesetting found for \|- ( A. y e. ( _Left ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. xO A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) ) with typecode \|-
617		ovex	$⊢ ((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y) \in V$
618		breq2	Could not format ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> ( z <_s xO <-> z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> ( z <_s xO <-> z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) ) with typecode \|-
619	618	rexbidv	Could not format ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> ( E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> ( E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) ) with typecode \|-
620	617 619	ceqsalv	Could not format ( A. xO ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) with typecode \|-
621	620	ralbii	Could not format ( A. y e. ( _Left ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) : No typesetting found for \|- ( A. y e. ( _Left ` B ) A. xO ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) with typecode \|-
622	616 621	bitr3i	Could not format ( A. xO A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) with typecode \|-
623	622	ralbii	Could not format ( A. x e. ( _Right ` A ) A. xO A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) : No typesetting found for \|- ( A. x e. ( _Right ` A ) A. xO A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) with typecode \|-
624	615 623	bitr3i	Could not format ( A. xO A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) ( xO = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) -> E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) with typecode \|-
625	609 614 624	3bitr2i	Could not format ( A. xO e. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO e. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) with typecode \|-
626	606 625	anbi12i	Could not format ( ( A. xO e. { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO /\ A. xO e. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) /\ A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( ( A. xO e. { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO /\ A. xO e. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) <-> ( A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) /\ A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) ) with typecode \|-
627	587 626	bitri	Could not format ( A. xO e. ( { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } u. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> ( A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) /\ A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) ) : No typesetting found for \|- ( A. xO e. ( { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } u. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO <-> ( A. l e. ( _Left ` A ) A. m e. ( _Right ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) /\ A. x e. ( _Right ` A ) A. y e. ( _Left ` B ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) ) ) with typecode \|-
628	455 586 627	sylanbrc	Could not format ( ph -> A. xO e. ( { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } u. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) : No typesetting found for \|- ( ph -> A. xO e. ( { k \| E. l e. ( _Left ` A ) E. m e. ( _Right ` B ) k = ( ( ( l x.s B ) +s ( A x.s m ) ) -s ( l x.s m ) ) } u. { n \| E. x e. ( _Right ` A ) E. y e. ( _Left ` B ) n = ( ( ( x x.s B ) +s ( A x.s y ) ) -s ( x x.s y ) ) } ) E. z e. ( { c \| E. t e. L E. u e. S c = ( ( ( t x.s B ) +s ( A x.s u ) ) -s ( t x.s u ) ) } u. { d \| E. v e. R E. w e. M d = ( ( ( v x.s B ) +s ( A x.s w ) ) -s ( v x.s w ) ) } ) z <_s xO ) with typecode \|-
629	1 2 3 4	sltmuls1	$⊢ φ \to (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) ≪_{s} \{A \cdot_{s} B\}$
630	10	sneqd	$⊢ φ \to \{A \cdot_{s} B\} = \{(\{e \| \exists f \in L (A) \exists g \in L (B) e = ((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)\} \cup \{h \| \exists i \in R (A) \exists j \in R (B) h = ((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)\}) \|_{s} (\{k \| \exists l \in L (A) \exists m \in R (B) k = ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)\} \cup \{n \| \exists x \in R (A) \exists y \in L (B) n = ((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)\})\}$
631	629 630	breqtrd	$⊢ φ \to (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) ≪_{s} \{(\{e \| \exists f \in L (A) \exists g \in L (B) e = ((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)\} \cup \{h \| \exists i \in R (A) \exists j \in R (B) h = ((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)\}) \|_{s} (\{k \| \exists l \in L (A) \exists m \in R (B) k = ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)\} \cup \{n \| \exists x \in R (A) \exists y \in L (B) n = ((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)\})\}$
632	1 2 3 4	sltmuls2	$⊢ φ \to \{A \cdot_{s} B\} ≪_{s} (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\})$
633	630 632	eqbrtrrd	$⊢ φ \to \{(\{e \| \exists f \in L (A) \exists g \in L (B) e = ((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)\} \cup \{h \| \exists i \in R (A) \exists j \in R (B) h = ((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)\}) \|_{s} (\{k \| \exists l \in L (A) \exists m \in R (B) k = ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)\} \cup \{n \| \exists x \in R (A) \exists y \in L (B) n = ((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)\})\} ≪_{s} (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\})$
634	11 319 628 631 633	cofcut1d	$⊢ φ \to (\{e \| \exists f \in L (A) \exists g \in L (B) e = ((f \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} g)) -_{s} (f \cdot_{s} g)\} \cup \{h \| \exists i \in R (A) \exists j \in R (B) h = ((i \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} j)) -_{s} (i \cdot_{s} j)\}) \|_{s} (\{k \| \exists l \in L (A) \exists m \in R (B) k = ((l \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} m)) -_{s} (l \cdot_{s} m)\} \cup \{n \| \exists x \in R (A) \exists y \in L (B) n = ((x \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} y)) -_{s} (x \cdot_{s} y)\}) = (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) \|_{s} (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\})$
635	10 634	eqtrd	$⊢ φ \to A \cdot_{s} B = (\{a \| \exists p \in L \exists q \in M a = ((p \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} q)) -_{s} (p \cdot_{s} q)\} \cup \{b \| \exists r \in R \exists s \in S b = ((r \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} s)) -_{s} (r \cdot_{s} s)\}) \|_{s} (\{c \| \exists t \in L \exists u \in S c = ((t \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} u)) -_{s} (t \cdot_{s} u)\} \cup \{d \| \exists v \in R \exists w \in M d = ((v \cdot_{s} B) +_{s} (A \cdot_{s} w)) -_{s} (v \cdot_{s} w)\})$

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