mulsuniflem

Description: Lemma for mulsunif . State the theorem with some extra distinct variable conditions. (Contributed by Scott Fenton, 8-Mar-2025)

	Ref	Expression
Hypotheses	mulsuniflem.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐿 <<s 𝑅 )
	mulsuniflem.2	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 <<s 𝑆 )
	mulsuniflem.3	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 = ( 𝐿 \|s 𝑅 ) )
	mulsuniflem.4	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( 𝑀 \|s 𝑆 ) )
Assertion	mulsuniflem	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ·_s 𝐵 ) = ( ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) \|s ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulsuniflem.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐿 <<s 𝑅 )
2		mulsuniflem.2	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 <<s 𝑆 )
3		mulsuniflem.3	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 = ( 𝐿 \|s 𝑅 ) )
4		mulsuniflem.4	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( 𝑀 \|s 𝑆 ) )
5	1	scutcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐿 \|s 𝑅 ) ∈ No )
6	3 5	eqeltrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ No )
7	2	scutcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 \|s 𝑆 ) ∈ No )
8	4 7	eqeltrd	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ No )
9		mulsval	⊢ ( ( 𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ( 𝐴 ·_s 𝐵 ) = ( ( { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∪ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ) \|s ( { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∪ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ) ) )
10	6 8 9	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ·_s 𝐵 ) = ( ( { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∪ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ) \|s ( { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∪ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ) ) )
11	6 8	mulscut2	⊢ ( 𝜑 → ( { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∪ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ) <<s ( { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∪ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ) )
12	1 3	cofcutr1d	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 𝑓 ≤s 𝑝 )
13	2 4	cofcutr1d	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑔 ≤s 𝑞 )
14	13	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 𝑓 ≤s 𝑝 ) ) → ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑔 ≤s 𝑞 )
15		reeanv	⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ↔ ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑔 ≤s 𝑞 ) )
16		leftssno	⊢ ( L ‘ 𝐴 ) ⊆ No
17		simprl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) )
18	16 17	sselid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑓 ∈ No )
19	18	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝑓 ∈ No )
20	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝐵 ∈ No )
21	19 20	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) ∈ No )
22	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝐴 ∈ No )
23		leftssno	⊢ ( L ‘ 𝐵 ) ⊆ No
24		simprr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) )
25	23 24	sselid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑔 ∈ No )
26	25	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝑔 ∈ No )
27	22 26	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ∈ No )
28	21 27	addscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) ∈ No )
29	19 26	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ∈ No )
30	28 29	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ∈ No )
31	30	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ∈ No )
32		ssltss1	⊢ ( 𝐿 <<s 𝑅 → 𝐿 ⊆ No )
33	1 32	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ⊆ No )
34	33	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) → 𝐿 ⊆ No )
35		simprl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) → 𝑝 ∈ 𝐿 )
36	34 35	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) → 𝑝 ∈ No )
37	36	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝑝 ∈ No )
38	37 20	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) ∈ No )
39	38 27	addscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) ∈ No )
40	37 26	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ∈ No )
41	39 40	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ∈ No )
42	41	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ∈ No )
43		ssltss1	⊢ ( 𝑀 <<s 𝑆 → 𝑀 ⊆ No )
44	2 43	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ⊆ No )
45	44	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) → 𝑀 ⊆ No )
46		simprr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) → 𝑞 ∈ 𝑀 )
47	45 46	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) → 𝑞 ∈ No )
48	47	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝑞 ∈ No )
49	22 48	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ∈ No )
50	38 49	addscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) ∈ No )
51	37 48	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ∈ No )
52	50 51	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∈ No )
53	52	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∈ No )
54	18	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ No )
55	37	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → 𝑝 ∈ No )
56	25	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → 𝑔 ∈ No )
57	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ No )
58		simprrl	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) → 𝑓 ≤s 𝑝 )
59	58	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → 𝑓 ≤s 𝑝 )
60	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝐵 ∈ No )
61		ssltleft	⊢ ( 𝐵 ∈ No → ( L ‘ 𝐵 ) <<s { 𝐵 } )
62	8 61	syl	⊢ ( 𝜑 → ( L ‘ 𝐵 ) <<s { 𝐵 } )
63	62	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → ( L ‘ 𝐵 ) <<s { 𝐵 } )
64		snidg	⊢ ( 𝐵 ∈ No → 𝐵 ∈ { 𝐵 } )
65	8 64	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ { 𝐵 } )
66	65	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝐵 ∈ { 𝐵 } )
67	63 24 66	ssltsepcd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑔 <s 𝐵 )
68	25 60 67	sltled	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑔 ≤s 𝐵 )
69	68	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → 𝑔 ≤s 𝐵 )
70	54 55 56 57 59 69	slemuld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) )
71	21 29	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ∈ No )
72	38 40	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ∈ No )
73	71 72 27	sleadd1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ↔ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) ) )
74	73	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ↔ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) ) )
75	70 74	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) )
76	21 27 29	addsubsd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) )
77	76	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) )
78	38 27 40	addsubsd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) )
79	78	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) )
80	75 77 79	3brtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) )
81	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ No )
82	48	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → 𝑞 ∈ No )
83	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) → 𝐴 ∈ No )
84		scutcut	⊢ ( 𝐿 <<s 𝑅 → ( ( 𝐿 \|s 𝑅 ) ∈ No ∧ 𝐿 <<s { ( 𝐿 \|s 𝑅 ) } ∧ { ( 𝐿 \|s 𝑅 ) } <<s 𝑅 ) )
85	1 84	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐿 \|s 𝑅 ) ∈ No ∧ 𝐿 <<s { ( 𝐿 \|s 𝑅 ) } ∧ { ( 𝐿 \|s 𝑅 ) } <<s 𝑅 ) )
86	85	simp2d	⊢ ( 𝜑 → 𝐿 <<s { ( 𝐿 \|s 𝑅 ) } )
87	86	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) → 𝐿 <<s { ( 𝐿 \|s 𝑅 ) } )
88		ovex	⊢ ( 𝐿 \|s 𝑅 ) ∈ V
89	88	snid	⊢ ( 𝐿 \|s 𝑅 ) ∈ { ( 𝐿 \|s 𝑅 ) }
90	3 89	eqeltrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ { ( 𝐿 \|s 𝑅 ) } )
91	90	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) → 𝐴 ∈ { ( 𝐿 \|s 𝑅 ) } )
92	87 35 91	ssltsepcd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) → 𝑝 <s 𝐴 )
93	36 83 92	sltled	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) → 𝑝 ≤s 𝐴 )
94	93	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝑝 ≤s 𝐴 )
95	94	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → 𝑝 ≤s 𝐴 )
96		simprrr	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) → 𝑔 ≤s 𝑞 )
97	96	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → 𝑔 ≤s 𝑞 )
98	55 81 56 82 95 97	slemuld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) )
99	51 49 40 27	slesubsub3bd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) ↔ ( ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
100	27 40	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ∈ No )
101	49 51	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∈ No )
102	100 101 38	sleadd2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ↔ ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ) ≤s ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) ) )
103	99 102	bitrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) ↔ ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ) ≤s ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) ) )
104	103	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) ↔ ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ) ≤s ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) ) )
105	98 104	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ) ≤s ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
106	38 27 40	addsubsassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) = ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ) )
107	106	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) = ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ) )
108	38 49 51	addsubsassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) = ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
109	108	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) = ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
110	105 107 109	3brtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) )
111	31 42 53 80 110	sletrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) )
112	111	anassrs	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) )
113	112	expr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) → ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
114	113	reximdvva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
115	114	expcom	⊢ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) → ( 𝜑 → ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) ) )
116	115	com23	⊢ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) ) )
117	116	imp	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
118	15 117	sylan2br	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 𝑓 ≤s 𝑝 ∧ ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
119	118	an4s	⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 𝑓 ≤s 𝑝 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
120	119	impcom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 𝑓 ≤s 𝑝 ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) )
121	120	anassrs	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 𝑓 ≤s 𝑝 ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑔 ≤s 𝑞 ) ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) )
122	121	expr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 𝑓 ≤s 𝑝 ) ) ∧ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) → ( ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑔 ≤s 𝑞 → ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
123	122	ralimdva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 𝑓 ≤s 𝑝 ) ) → ( ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑔 ≤s 𝑞 → ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
124	14 123	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 𝑓 ≤s 𝑝 ) ) → ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) )
125	124	expr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 𝑓 ≤s 𝑝 → ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
126	125	ralimdva	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 𝑓 ≤s 𝑝 → ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
127	12 126	mpd	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) )
128		eqeq1	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ↔ 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
129	128	2rexbidv	⊢ ( 𝑎 = 𝑧 → ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ↔ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
130	129	rexab	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ↔ ∃ 𝑧 ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) )
131		r19.41vv	⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) )
132	131	exbii	⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑧 ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) )
133		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) )
134		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ∃ 𝑧 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) )
135		ovex	⊢ ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∈ V
136		breq2	⊢ ( 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) → ( ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ↔ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ) )
137	135 136	ceqsexv	⊢ ( ∃ 𝑧 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) )
138	137	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ∃ 𝑧 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) )
139	134 138	bitr3i	⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) )
140	139	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑧 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) )
141	133 140	bitr3i	⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) ∧ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) )
142	130 132 141	3bitr2i	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ↔ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) )
143		ssun1	⊢ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ⊆ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } )
144		ssrexv	⊢ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ⊆ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) → ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) )
145	143 144	ax-mp	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 )
146	142 145	sylbir	⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 )
147	146	2ralimi	⊢ ( ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) → ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 )
148	127 147	syl	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 )
149	1 3	cofcutr2d	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 𝑟 ≤s 𝑖 )
150	2 4	cofcutr2d	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑠 ≤s 𝑗 )
151	150	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 𝑟 ≤s 𝑖 ) ) → ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑠 ≤s 𝑗 )
152		reeanv	⊢ ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ↔ ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑠 ≤s 𝑗 ) )
153		rightssno	⊢ ( R ‘ 𝐴 ) ⊆ No
154		simprl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) )
155	153 154	sselid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑖 ∈ No )
156	155	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → 𝑖 ∈ No )
157	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → 𝐵 ∈ No )
158	156 157	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) ∈ No )
159	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → 𝐴 ∈ No )
160		rightssno	⊢ ( R ‘ 𝐵 ) ⊆ No
161		simprr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) )
162	160 161	sselid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑗 ∈ No )
163	162	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → 𝑗 ∈ No )
164	159 163	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ∈ No )
165	158 164	addscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) ∈ No )
166	156 163	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ∈ No )
167	165 166	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ∈ No )
168	167	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ∈ No )
169		ssltss2	⊢ ( 𝐿 <<s 𝑅 → 𝑅 ⊆ No )
170	1 169	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ⊆ No )
171	170	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) → 𝑅 ⊆ No )
172		simprl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) → 𝑟 ∈ 𝑅 )
173	171 172	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) → 𝑟 ∈ No )
174	173	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → 𝑟 ∈ No )
175	174 157	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) ∈ No )
176	175 164	addscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) ∈ No )
177	174 163	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ∈ No )
178	176 177	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ∈ No )
179	178	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ∈ No )
180		ssltss2	⊢ ( 𝑀 <<s 𝑆 → 𝑆 ⊆ No )
181	2 180	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ⊆ No )
182	181	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) → 𝑆 ⊆ No )
183		simprr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) → 𝑠 ∈ 𝑆 )
184	182 183	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) → 𝑠 ∈ No )
185	184	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → 𝑠 ∈ No )
186	159 185	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ∈ No )
187	175 186	addscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) ∈ No )
188	173 184	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) → ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ∈ No )
189	188	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ∈ No )
190	187 189	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∈ No )
191	190	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∈ No )
192	174	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ No )
193	155	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → 𝑖 ∈ No )
194	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ No )
195	162	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → 𝑗 ∈ No )
196		simprrl	⊢ ( ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) → 𝑟 ≤s 𝑖 )
197	196	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → 𝑟 ≤s 𝑖 )
198	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝐵 ∈ No )
199		ssltright	⊢ ( 𝐵 ∈ No → { 𝐵 } <<s ( R ‘ 𝐵 ) )
200	8 199	syl	⊢ ( 𝜑 → { 𝐵 } <<s ( R ‘ 𝐵 ) )
201	200	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → { 𝐵 } <<s ( R ‘ 𝐵 ) )
202	65	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝐵 ∈ { 𝐵 } )
203	201 202 161	ssltsepcd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝐵 <s 𝑗 )
204	198 162 203	sltled	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝐵 ≤s 𝑗 )
205	204	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → 𝐵 ≤s 𝑗 )
206	192 193 194 195 197 205	slemuld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) ) ≤s ( ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) ) )
207	177 175 166 158	slesubsub2bd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) ) ≤s ( ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ) )
208	158 166	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ∈ No )
209	175 177	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ∈ No )
210	208 209 164	sleadd1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ↔ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) ) )
211	207 210	bitrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) ) ≤s ( ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) ) ↔ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) ) )
212	211	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) ) ≤s ( ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) ) ↔ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) ) )
213	206 212	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) )
214	158 164 166	addsubsd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) )
215	214	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) )
216	175 164 177	addsubsd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) )
217	216	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) )
218	213 215 217	3brtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) )
219	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ No )
220	185	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → 𝑠 ∈ No )
221	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) → 𝐴 ∈ No )
222	85	simp3d	⊢ ( 𝜑 → { ( 𝐿 \|s 𝑅 ) } <<s 𝑅 )
223	222	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) → { ( 𝐿 \|s 𝑅 ) } <<s 𝑅 )
224	90	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) → 𝐴 ∈ { ( 𝐿 \|s 𝑅 ) } )
225	223 224 172	ssltsepcd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) → 𝐴 <s 𝑟 )
226	221 173 225	sltled	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) → 𝐴 ≤s 𝑟 )
227	226	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → 𝐴 ≤s 𝑟 )
228	227	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → 𝐴 ≤s 𝑟 )
229		simprrr	⊢ ( ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) → 𝑠 ≤s 𝑗 )
230	229	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → 𝑠 ≤s 𝑗 )
231	219 192 220 195 228 230	slemuld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) ≤s ( ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
232	164 177 186 189	slesubsubbd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) ≤s ( ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ↔ ( ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
233	164 177	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ∈ No )
234	186 189	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∈ No )
235	233 234 175	sleadd2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ↔ ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ) ≤s ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) ) )
236	232 235	bitrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) ≤s ( ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ↔ ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ) ≤s ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) ) )
237	236	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) ≤s ( ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ↔ ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ) ≤s ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) ) )
238	231 237	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ) ≤s ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
239	175 164 177	addsubsassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) = ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ) )
240	239	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) = ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ) )
241	175 186 189	addsubsassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) = ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
242	241	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) = ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
243	238 240 242	3brtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
244	168 179 191 218 243	sletrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
245	244	anassrs	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) → ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
246	245	expr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) → ( ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) → ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
247	246	reximdvva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) → ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
248	247	expcom	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) → ( 𝜑 → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) → ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) ) )
249	248	com23	⊢ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) ) )
250	249	imp	⊢ ( ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
251	152 250	sylan2br	⊢ ( ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 𝑟 ≤s 𝑖 ∧ ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
252	251	an4s	⊢ ( ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 𝑟 ≤s 𝑖 ) ∧ ( 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
253	252	impcom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 𝑟 ≤s 𝑖 ) ∧ ( 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) ) → ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
254	253	anassrs	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 𝑟 ≤s 𝑖 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑠 ≤s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
255	254	expr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 𝑟 ≤s 𝑖 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) → ( ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑠 ≤s 𝑗 → ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
256	255	ralimdva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 𝑟 ≤s 𝑖 ) ) → ( ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑠 ≤s 𝑗 → ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
257	151 256	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 𝑟 ≤s 𝑖 ) ) → ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
258	257	expr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ) → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 𝑟 ≤s 𝑖 → ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
259	258	ralimdva	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 𝑟 ≤s 𝑖 → ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
260	149 259	mpd	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
261		eqeq1	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ↔ 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
262	261	2rexbidv	⊢ ( 𝑏 = 𝑧 → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
263	262	rexab	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ↔ ∃ 𝑧 ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) )
264		r19.41vv	⊢ ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) )
265	264	exbii	⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑧 ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) )
266		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑧 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) )
267		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ∃ 𝑧 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) )
268		ovex	⊢ ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∈ V
269		breq2	⊢ ( 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) → ( ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ↔ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ) )
270	268 269	ceqsexv	⊢ ( ∃ 𝑧 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
271	270	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ∃ 𝑧 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
272	267 271	bitr3i	⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
273	272	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑧 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
274	266 273	bitr3i	⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
275	263 265 274	3bitr2i	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ↔ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) )
276		ssun2	⊢ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ⊆ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } )
277		ssrexv	⊢ ( { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ⊆ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) → ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) )
278	276 277	ax-mp	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 )
279	275 278	sylbir	⊢ ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 )
280	279	2ralimi	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 )
281	260 280	syl	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 )
282		ralunb	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ ( { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∪ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ↔ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ∧ ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
283		eqeq1	⊢ ( 𝑒 = 𝑥_𝑂 → ( 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ↔ 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ) )
284	283	2rexbidv	⊢ ( 𝑒 = 𝑥_𝑂 → ( ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ) )
285	284	ralab	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ( ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
286		r19.23v	⊢ ( ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ( ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
287	286	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ( ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
288		r19.23v	⊢ ( ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ( ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ( ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
289	287 288	bitri	⊢ ( ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ( ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
290	289	albii	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ( ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
291		ralcom4	⊢ ( ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
292		ralcom4	⊢ ( ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∀ 𝑥_𝑂 ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
293		ovex	⊢ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ∈ V
294		breq1	⊢ ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ( 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ↔ ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) )
295	294	rexbidv	⊢ ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ↔ ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ) )
296	293 295	ceqsalv	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 )
297	296	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∀ 𝑥_𝑂 ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 )
298	292 297	bitr3i	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 )
299	298	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 )
300	291 299	bitr3i	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 )
301	285 290 300	3bitr2i	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ↔ ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 )
302		eqeq1	⊢ ( ℎ = 𝑥_𝑂 → ( ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ↔ 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ) )
303	302	2rexbidv	⊢ ( ℎ = 𝑥_𝑂 → ( ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ) )
304	303	ralab	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ( ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
305		r19.23v	⊢ ( ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ( ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
306	305	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ( ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
307		r19.23v	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ( ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ( ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
308	306 307	bitri	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ( ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
309	308	albii	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ( ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
310		ralcom4	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
311		ralcom4	⊢ ( ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∀ 𝑥_𝑂 ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) )
312		ovex	⊢ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ∈ V
313		breq1	⊢ ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ( 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ↔ ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) )
314	313	rexbidv	⊢ ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ↔ ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) )
315	312 314	ceqsalv	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 )
316	315	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∀ 𝑥_𝑂 ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 )
317	311 316	bitr3i	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 )
318	317	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 )
319	310 318	bitr3i	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 )
320	304 309 319	3bitr2i	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 )
321	301 320	anbi12i	⊢ ( ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ∧ ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ) ↔ ( ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) )
322	282 321	bitri	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ ( { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∪ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 ↔ ( ∀ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) ≤s 𝑧 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) ≤s 𝑧 ) )
323	148 281 322	sylanbrc	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥_𝑂 ∈ ( { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∪ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) 𝑥_𝑂 ≤s 𝑧 )
324	1 3	cofcutr1d	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 𝑙 ≤s 𝑡 )
325	2 4	cofcutr2d	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑢 ≤s 𝑚 )
326	325	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 𝑙 ≤s 𝑡 ) ) → ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑢 ≤s 𝑚 )
327		reeanv	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ↔ ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑢 ≤s 𝑚 ) )
328	33	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) → 𝐿 ⊆ No )
329		simprl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) → 𝑡 ∈ 𝐿 )
330	328 329	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) → 𝑡 ∈ No )
331	330	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → 𝑡 ∈ No )
332	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → 𝐵 ∈ No )
333	331 332	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) ∈ No )
334	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → 𝐴 ∈ No )
335	181	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) → 𝑆 ⊆ No )
336		simprr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) → 𝑢 ∈ 𝑆 )
337	335 336	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) → 𝑢 ∈ No )
338	337	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → 𝑢 ∈ No )
339	334 338	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ∈ No )
340	333 339	addscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) ∈ No )
341	331 338	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ∈ No )
342	340 341	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∈ No )
343	342	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∈ No )
344		simprl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) )
345	16 344	sselid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑙 ∈ No )
346	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝐵 ∈ No )
347	345 346	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) ∈ No )
348	347	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) ∈ No )
349	348 339	addscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) ∈ No )
350	345	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → 𝑙 ∈ No )
351	350 338	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ∈ No )
352	349 351	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ∈ No )
353	352	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ∈ No )
354	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝐴 ∈ No )
355		simprr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) )
356	160 355	sselid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑚 ∈ No )
357	354 356	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ∈ No )
358	357	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ∈ No )
359	348 358	addscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) ∈ No )
360	345 356	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ∈ No )
361	360	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ∈ No )
362	359 361	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ∈ No )
363	362	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ∈ No )
364	345	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → 𝑙 ∈ No )
365	331	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → 𝑡 ∈ No )
366	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ No )
367	338	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → 𝑢 ∈ No )
368		simprrl	⊢ ( ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) → 𝑙 ≤s 𝑡 )
369	368	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → 𝑙 ≤s 𝑡 )
370	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) → 𝐵 ∈ No )
371		scutcut	⊢ ( 𝑀 <<s 𝑆 → ( ( 𝑀 \|s 𝑆 ) ∈ No ∧ 𝑀 <<s { ( 𝑀 \|s 𝑆 ) } ∧ { ( 𝑀 \|s 𝑆 ) } <<s 𝑆 ) )
372	2 371	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 \|s 𝑆 ) ∈ No ∧ 𝑀 <<s { ( 𝑀 \|s 𝑆 ) } ∧ { ( 𝑀 \|s 𝑆 ) } <<s 𝑆 ) )
373	372	simp3d	⊢ ( 𝜑 → { ( 𝑀 \|s 𝑆 ) } <<s 𝑆 )
374	373	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) → { ( 𝑀 \|s 𝑆 ) } <<s 𝑆 )
375		ovex	⊢ ( 𝑀 \|s 𝑆 ) ∈ V
376	375	snid	⊢ ( 𝑀 \|s 𝑆 ) ∈ { ( 𝑀 \|s 𝑆 ) }
377	4 376	eqeltrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ { ( 𝑀 \|s 𝑆 ) } )
378	377	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) → 𝐵 ∈ { ( 𝑀 \|s 𝑆 ) } )
379	374 378 336	ssltsepcd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) → 𝐵 <s 𝑢 )
380	370 337 379	sltled	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) → 𝐵 ≤s 𝑢 )
381	380	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → 𝐵 ≤s 𝑢 )
382	381	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → 𝐵 ≤s 𝑢 )
383	364 365 366 367 369 382	slemuld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) ) ≤s ( ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) ) )
384	351 348 341 333	slesubsub2bd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) ) ≤s ( ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ) )
385	333 341	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∈ No )
386	348 351	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ∈ No )
387	385 386 339	sleadd1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ↔ ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) ) )
388	384 387	bitrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) ) ≤s ( ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) ) ↔ ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) ) )
389	388	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) ) ≤s ( ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) ) ↔ ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) ) )
390	383 389	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) )
391	333 339 341	addsubsd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) )
392	391	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) )
393	348 339 351	addsubsd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) )
394	393	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) )
395	390 392 394	3brtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) )
396	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ No )
397	356	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → 𝑚 ∈ No )
398		ssltleft	⊢ ( 𝐴 ∈ No → ( L ‘ 𝐴 ) <<s { 𝐴 } )
399	6 398	syl	⊢ ( 𝜑 → ( L ‘ 𝐴 ) <<s { 𝐴 } )
400	399	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → ( L ‘ 𝐴 ) <<s { 𝐴 } )
401		snidg	⊢ ( 𝐴 ∈ No → 𝐴 ∈ { 𝐴 } )
402	6 401	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ { 𝐴 } )
403	402	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝐴 ∈ { 𝐴 } )
404	400 344 403	ssltsepcd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑙 <s 𝐴 )
405	345 354 404	sltled	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑙 ≤s 𝐴 )
406	405	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → 𝑙 ≤s 𝐴 )
407		simprrr	⊢ ( ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) → 𝑢 ≤s 𝑚 )
408	407	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → 𝑢 ≤s 𝑚 )
409	364 396 367 397 406 408	slemuld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) )
410	361 358 351 339	slesubsub3bd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) ↔ ( ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
411	339 351	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ∈ No )
412	358 361	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ∈ No )
413	411 412 348	sleadd2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ↔ ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ) ≤s ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ) )
414	410 413	bitrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) ↔ ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ) ≤s ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ) )
415	414	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) ↔ ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ) ≤s ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ) )
416	409 415	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ) ≤s ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
417	348 339 351	addsubsassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) = ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ) )
418	417	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) = ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ) )
419	348 358 361	addsubsassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) = ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
420	419	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) = ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
421	416 418 420	3brtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
422	343 353 363 395 421	sletrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
423	422	anassrs	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) → ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
424	423	expr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ) ) → ( ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) → ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
425	424	reximdvva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ) → ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) → ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
426	425	expcom	⊢ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) → ( 𝜑 → ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) → ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ) )
427	426	com23	⊢ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) → ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ) )
428	427	imp	⊢ ( ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
429	327 428	sylan2br	⊢ ( ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 𝑙 ≤s 𝑡 ∧ ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
430	429	an4s	⊢ ( ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 𝑙 ≤s 𝑡 ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
431	430	impcom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 𝑙 ≤s 𝑡 ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) ) → ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
432	431	anassrs	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 𝑙 ≤s 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑢 ≤s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
433	432	expr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 𝑙 ≤s 𝑡 ) ) ∧ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ) → ( ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑢 ≤s 𝑚 → ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
434	433	ralimdva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 𝑙 ≤s 𝑡 ) ) → ( ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑢 ≤s 𝑚 → ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
435	326 434	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 𝑙 ≤s 𝑡 ) ) → ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
436	435	expr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ) → ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 𝑙 ≤s 𝑡 → ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
437	436	ralimdva	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 𝑙 ≤s 𝑡 → ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
438	324 437	mpd	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
439		eqeq1	⊢ ( 𝑐 = 𝑧 → ( 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ↔ 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ) )
440	439	2rexbidv	⊢ ( 𝑐 = 𝑧 → ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ) )
441	440	rexab	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ↔ ∃ 𝑧 ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
442		r19.41vv	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
443	442	exbii	⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧 ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
444		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑧 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
445		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ∃ 𝑧 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
446		ovex	⊢ ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∈ V
447		breq1	⊢ ( 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) → ( 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ↔ ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
448	446 447	ceqsexv	⊢ ( ∃ 𝑧 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
449	448	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ∃ 𝑧 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
450	445 449	bitr3i	⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
451	450	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑧 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
452	444 451	bitr3i	⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
453	441 443 452	3bitr2i	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
454		ssun1	⊢ { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ⊆ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } )
455		ssrexv	⊢ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ⊆ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) → ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
456	454 455	ax-mp	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
457	453 456	sylbir	⊢ ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
458	457	2ralimi	⊢ ( ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
459	438 458	syl	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
460	1 3	cofcutr2d	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 𝑣 ≤s 𝑥 )
461	2 4	cofcutr1d	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑦 ≤s 𝑤 )
462	461	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 𝑣 ≤s 𝑥 ) ) → ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑦 ≤s 𝑤 )
463		reeanv	⊢ ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ↔ ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑦 ≤s 𝑤 ) )
464	170	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) → 𝑅 ⊆ No )
465		simprl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) → 𝑣 ∈ 𝑅 )
466	464 465	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) → 𝑣 ∈ No )
467	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) → 𝐵 ∈ No )
468	466 467	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) → ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) ∈ No )
469	468	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) ∈ No )
470	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) → 𝐴 ∈ No )
471	44	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) → 𝑀 ⊆ No )
472		simprr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) → 𝑤 ∈ 𝑀 )
473	471 472	sseldd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) → 𝑤 ∈ No )
474	470 473	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ∈ No )
475	474	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ∈ No )
476	469 475	addscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) ∈ No )
477	466 473	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) → ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ∈ No )
478	477	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ∈ No )
479	476 478	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∈ No )
480	479	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∈ No )
481	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝐴 ∈ No )
482		simprr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) )
483	23 482	sselid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑦 ∈ No )
484	483	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝑦 ∈ No )
485	481 484	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ∈ No )
486	469 485	addscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) ∈ No )
487	466	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝑣 ∈ No )
488	487 484	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ∈ No )
489	486 488	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ∈ No )
490	489	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ∈ No )
491		simprl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) )
492	153 491	sselid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑥 ∈ No )
493	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝐵 ∈ No )
494	492 493	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) ∈ No )
495	494	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) ∈ No )
496	495 485	addscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) ∈ No )
497	492 483	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ∈ No )
498	497	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ∈ No )
499	496 498	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ∈ No )
500	499	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ∈ No )
501	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ No )
502	487	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → 𝑣 ∈ No )
503	483	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ No )
504	473	adantrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝑤 ∈ No )
505	504	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ No )
506	3	sneqd	⊢ ( 𝜑 → { 𝐴 } = { ( 𝐿 \|s 𝑅 ) } )
507	506 222	eqbrtrd	⊢ ( 𝜑 → { 𝐴 } <<s 𝑅 )
508	507	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → { 𝐴 } <<s 𝑅 )
509	481 401	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝐴 ∈ { 𝐴 } )
510		simprrl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝑣 ∈ 𝑅 )
511	508 509 510	ssltsepcd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝐴 <s 𝑣 )
512	481 487 511	sltled	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → 𝐴 ≤s 𝑣 )
513	512	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → 𝐴 ≤s 𝑣 )
514		simprrr	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) → 𝑦 ≤s 𝑤 )
515	514	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → 𝑦 ≤s 𝑤 )
516	501 502 503 505 513 515	slemuld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) ≤s ( ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) )
517	475 478 485 488	slesubsubbd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) ≤s ( ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ↔ ( ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ) )
518	475 478	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∈ No )
519	485 488	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ∈ No )
520	518 519 469	sleadd2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ↔ ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ) ≤s ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ) ) )
521	517 520	bitrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) ≤s ( ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ↔ ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ) ≤s ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ) ) )
522	521	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) ≤s ( ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ↔ ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ) ≤s ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ) ) )
523	516 522	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ) ≤s ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ) )
524	469 475 478	addsubsassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) = ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ) )
525	524	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) = ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ) )
526	469 485 488	addsubsassd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) = ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ) )
527	526	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) = ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ) )
528	523 525 527	3brtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) )
529	492	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ No )
530	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ No )
531		simprrl	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) → 𝑣 ≤s 𝑥 )
532	531	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → 𝑣 ≤s 𝑥 )
533	493 61	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → ( L ‘ 𝐵 ) <<s { 𝐵 } )
534	65	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝐵 ∈ { 𝐵 } )
535	533 482 534	ssltsepcd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑦 <s 𝐵 )
536	483 493 535	sltled	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝑦 ≤s 𝐵 )
537	536	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → 𝑦 ≤s 𝐵 )
538	502 529 503 530 532 537	slemuld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ≤s ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
539	469 488	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ∈ No )
540	539	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ∈ No )
541	495 498	subscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ∈ No )
542	541	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ∈ No )
543	485	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ∈ No )
544	540 542 543	sleadd1d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ≤s ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ↔ ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) ) )
545	538 544	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) )
546	469 485 488	addsubsd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) )
547	546	adantrrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) )
548	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → 𝐴 ∈ No )
549	548 483	mulscld	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ∈ No )
550	494 549 497	addsubsd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) )
551	550	adantrr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) )
552	545 547 551	3brtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑦 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
553	480 490 500 528 552	sletrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
554	553	anassrs	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ∧ ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
555	554	expr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑤 ∈ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) → ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
556	555	reximdvva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ) → ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) → ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
557	556	expcom	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) → ( 𝜑 → ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) → ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) ) )
558	557	com23	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) → ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) ) )
559	558	imp	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
560	463 559	sylan2br	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) ∧ ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 𝑣 ≤s 𝑥 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
561	560	an4s	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 𝑣 ≤s 𝑥 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) → ( 𝜑 → ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
562	561	impcom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 𝑣 ≤s 𝑥 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) ) → ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
563	562	anassrs	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 𝑣 ≤s 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑦 ≤s 𝑤 ) ) → ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
564	563	expr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 𝑣 ≤s 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ) → ( ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑦 ≤s 𝑤 → ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
565	564	ralimdva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 𝑣 ≤s 𝑥 ) ) → ( ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑦 ≤s 𝑤 → ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
566	462 565	mpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 𝑣 ≤s 𝑥 ) ) → ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
567	566	expr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ) → ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 𝑣 ≤s 𝑥 → ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
568	567	ralimdva	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 𝑣 ≤s 𝑥 → ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
569	460 568	mpd	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
570		eqeq1	⊢ ( 𝑑 = 𝑧 → ( 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ↔ 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ) )
571	570	2rexbidv	⊢ ( 𝑑 = 𝑧 → ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ) )
572	571	rexab	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ↔ ∃ 𝑧 ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
573		r19.41vv	⊢ ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
574	573	exbii	⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧 ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
575		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑧 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
576		rexcom4	⊢ ( ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ∃ 𝑧 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
577		ovex	⊢ ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∈ V
578		breq1	⊢ ( 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) → ( 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ↔ ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
579	577 578	ceqsexv	⊢ ( ∃ 𝑧 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
580	579	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ∃ 𝑧 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) ↔ ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
581	576 580	bitr3i	⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) ↔ ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
582	581	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑧 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
583	575 582	bitr3i	⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( 𝑧 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ∧ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
584	572 574 583	3bitr2i	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
585		ssun2	⊢ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ⊆ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } )
586		ssrexv	⊢ ( { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ⊆ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) → ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
587	585 586	ax-mp	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
588	584 587	sylbir	⊢ ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
589	588	2ralimi	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
590	569 589	syl	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
591		ralunb	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ ( { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∪ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ↔ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ∧ ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
592		eqeq1	⊢ ( 𝑘 = 𝑥_𝑂 → ( 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ↔ 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
593	592	2rexbidv	⊢ ( 𝑘 = 𝑥_𝑂 → ( ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ↔ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
594	593	ralab	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ( ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
595		r19.23v	⊢ ( ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ( ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
596	595	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ( ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
597		r19.23v	⊢ ( ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ( ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ( ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
598	596 597	bitri	⊢ ( ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ( ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
599	598	albii	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ( ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
600		ralcom4	⊢ ( ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
601		ralcom4	⊢ ( ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∀ 𝑥_𝑂 ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
602		ovex	⊢ ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ∈ V
603		breq2	⊢ ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ( 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ↔ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
604	603	rexbidv	⊢ ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ↔ ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ) )
605	602 604	ceqsalv	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
606	605	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∀ 𝑥_𝑂 ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
607	601 606	bitr3i	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
608	607	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
609	600 608	bitr3i	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
610	594 599 609	3bitr2i	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ↔ ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) )
611		eqeq1	⊢ ( 𝑛 = 𝑥_𝑂 → ( 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ↔ 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
612	611	2rexbidv	⊢ ( 𝑛 = 𝑥_𝑂 → ( ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
613	612	ralab	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ( ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
614		r19.23v	⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ( ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
615	614	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ( ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
616		r19.23v	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ( ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ( ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
617	615 616	bitri	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ( ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
618	617	albii	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ( ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
619		ralcom4	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
620		ralcom4	⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∀ 𝑥_𝑂 ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) )
621		ovex	⊢ ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ∈ V
622		breq2	⊢ ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ( 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ↔ 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
623	622	rexbidv	⊢ ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ↔ ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
624	621 623	ceqsalv	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
625	624	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∀ 𝑥_𝑂 ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
626	620 625	bitr3i	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
627	626	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
628	619 627	bitr3i	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ( 𝑥_𝑂 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
629	613 618 628	3bitr2i	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) )
630	610 629	anbi12i	⊢ ( ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ∧ ∀ 𝑥_𝑂 ∈ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ) ↔ ( ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
631	591 630	bitri	⊢ ( ∀ 𝑥_𝑂 ∈ ( { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∪ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 ↔ ( ∀ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∀ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) ) )
632	459 590 631	sylanbrc	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥_𝑂 ∈ ( { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∪ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ) ∃ 𝑧 ∈ ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) 𝑧 ≤s 𝑥_𝑂 )
633	1 2 3 4	ssltmul1	⊢ ( 𝜑 → ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) <<s { ( 𝐴 ·_s 𝐵 ) } )
634	10	sneqd	⊢ ( 𝜑 → { ( 𝐴 ·_s 𝐵 ) } = { ( ( { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∪ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ) \|s ( { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∪ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ) ) } )
635	633 634	breqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) <<s { ( ( { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∪ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ) \|s ( { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∪ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ) ) } )
636	1 2 3 4	ssltmul2	⊢ ( 𝜑 → { ( 𝐴 ·_s 𝐵 ) } <<s ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) )
637	634 636	eqbrtrrd	⊢ ( 𝜑 → { ( ( { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∪ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ) \|s ( { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∪ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ) ) } <<s ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) )
638	11 323 632 635 637	cofcut1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( { 𝑒 ∣ ∃ 𝑓 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑔 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑒 = ( ( ( 𝑓 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑔 ) ) -_s ( 𝑓 ·_s 𝑔 ) ) } ∪ { ℎ ∣ ∃ 𝑖 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑗 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) ℎ = ( ( ( 𝑖 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑗 ) ) -_s ( 𝑖 ·_s 𝑗 ) ) } ) \|s ( { 𝑘 ∣ ∃ 𝑙 ∈ ( L ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑚 ∈ ( R ‘ 𝐵 ) 𝑘 = ( ( ( 𝑙 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑚 ) ) -_s ( 𝑙 ·_s 𝑚 ) ) } ∪ { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ( R ‘ 𝐴 ) ∃ 𝑦 ∈ ( L ‘ 𝐵 ) 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑦 ) ) -_s ( 𝑥 ·_s 𝑦 ) ) } ) ) = ( ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) \|s ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) ) )
639	10 638	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ·_s 𝐵 ) = ( ( { 𝑎 ∣ ∃ 𝑝 ∈ 𝐿 ∃ 𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = ( ( ( 𝑝 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑞 ) ) -_s ( 𝑝 ·_s 𝑞 ) ) } ∪ { 𝑏 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝑅 ∃ 𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = ( ( ( 𝑟 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑠 ) ) -_s ( 𝑟 ·_s 𝑠 ) ) } ) \|s ( { 𝑐 ∣ ∃ 𝑡 ∈ 𝐿 ∃ 𝑢 ∈ 𝑆 𝑐 = ( ( ( 𝑡 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑢 ) ) -_s ( 𝑡 ·_s 𝑢 ) ) } ∪ { 𝑑 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝑅 ∃ 𝑤 ∈ 𝑀 𝑑 = ( ( ( 𝑣 ·_s 𝐵 ) +_s ( 𝐴 ·_s 𝑤 ) ) -_s ( 𝑣 ·_s 𝑤 ) ) } ) ) )

Metamath Proof Explorer

Theorem mulsuniflem

Proof