| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
chnind.1 |
⊢ ( 𝑐 = ∅ → ( 𝜓 ↔ 𝜒 ) ) |
| 2 |
|
chnind.2 |
⊢ ( 𝑐 = 𝑑 → ( 𝜓 ↔ 𝜃 ) ) |
| 3 |
|
chnind.3 |
⊢ ( 𝑐 = ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) → ( 𝜓 ↔ 𝜏 ) ) |
| 4 |
|
chnind.4 |
⊢ ( 𝑐 = 𝐶 → ( 𝜓 ↔ 𝜂 ) ) |
| 5 |
|
chnind.6 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( < Chain 𝐴 ) ) |
| 6 |
|
chnind.7 |
⊢ ( 𝜑 → 𝜒 ) |
| 7 |
|
chnind.8 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( < Chain 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑑 = ∅ ∨ ( lastS ‘ 𝑑 ) < 𝑥 ) ) ∧ 𝜃 ) → 𝜏 ) |
| 8 |
5
|
chnwrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝐴 ) |
| 9 |
|
id |
⊢ ( 𝜑 → 𝜑 ) |
| 10 |
|
ischn |
⊢ ( 𝐶 ∈ ( < Chain 𝐴 ) ↔ ( 𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom 𝐶 ∖ { 0 } ) ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) |
| 11 |
5 10
|
sylib |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom 𝐶 ∖ { 0 } ) ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) |
| 12 |
11
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ ( dom 𝐶 ∖ { 0 } ) ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) |
| 13 |
|
dmeq |
⊢ ( 𝑐 = ∅ → dom 𝑐 = dom ∅ ) |
| 14 |
13
|
difeq1d |
⊢ ( 𝑐 = ∅ → ( dom 𝑐 ∖ { 0 } ) = ( dom ∅ ∖ { 0 } ) ) |
| 15 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑐 = ∅ → ( 𝑐 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) = ( ∅ ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) |
| 16 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑐 = ∅ → ( 𝑐 ‘ 𝑖 ) = ( ∅ ‘ 𝑖 ) ) |
| 17 |
15 16
|
breq12d |
⊢ ( 𝑐 = ∅ → ( ( 𝑐 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝑐 ‘ 𝑖 ) ↔ ( ∅ ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ∅ ‘ 𝑖 ) ) ) |
| 18 |
14 17
|
raleqbidv |
⊢ ( 𝑐 = ∅ → ( ∀ 𝑖 ∈ ( dom 𝑐 ∖ { 0 } ) ( 𝑐 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝑐 ‘ 𝑖 ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ∅ ∖ { 0 } ) ( ∅ ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ∅ ‘ 𝑖 ) ) ) |
| 19 |
18
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑐 = ∅ → ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom 𝑐 ∖ { 0 } ) ( 𝑐 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝑐 ‘ 𝑖 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ∅ ∖ { 0 } ) ( ∅ ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ∅ ‘ 𝑖 ) ) ) ) |
| 20 |
19 1
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑐 = ∅ → ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom 𝑐 ∖ { 0 } ) ( 𝑐 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝑐 ‘ 𝑖 ) ) → 𝜓 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ∅ ∖ { 0 } ) ( ∅ ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ∅ ‘ 𝑖 ) ) → 𝜒 ) ) ) |
| 21 |
|
dmeq |
⊢ ( 𝑐 = 𝑑 → dom 𝑐 = dom 𝑑 ) |
| 22 |
21
|
difeq1d |
⊢ ( 𝑐 = 𝑑 → ( dom 𝑐 ∖ { 0 } ) = ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ) |
| 23 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑐 = 𝑑 → ( 𝑐 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) |
| 24 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑐 = 𝑑 → ( 𝑐 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ) |
| 25 |
23 24
|
breq12d |
⊢ ( 𝑐 = 𝑑 → ( ( 𝑐 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝑐 ‘ 𝑖 ) ↔ ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ) ) |
| 26 |
22 25
|
raleqbidv |
⊢ ( 𝑐 = 𝑑 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( dom 𝑐 ∖ { 0 } ) ( 𝑐 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝑐 ‘ 𝑖 ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ) ) |
| 27 |
26
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑐 = 𝑑 → ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom 𝑐 ∖ { 0 } ) ( 𝑐 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝑐 ‘ 𝑖 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ) ) ) |
| 28 |
27 2
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑐 = 𝑑 → ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom 𝑐 ∖ { 0 } ) ( 𝑐 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝑐 ‘ 𝑖 ) ) → 𝜓 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ) → 𝜃 ) ) ) |
| 29 |
|
dmeq |
⊢ ( 𝑐 = ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) → dom 𝑐 = dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ) |
| 30 |
29
|
difeq1d |
⊢ ( 𝑐 = ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) → ( dom 𝑐 ∖ { 0 } ) = ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ) |
| 31 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑐 = ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) → ( 𝑐 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) = ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) |
| 32 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑐 = ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) → ( 𝑐 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) |
| 33 |
31 32
|
breq12d |
⊢ ( 𝑐 = ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) → ( ( 𝑐 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝑐 ‘ 𝑖 ) ↔ ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) ) |
| 34 |
30 33
|
raleqbidv |
⊢ ( 𝑐 = ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( dom 𝑐 ∖ { 0 } ) ( 𝑐 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝑐 ‘ 𝑖 ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) ) |
| 35 |
34
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑐 = ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) → ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom 𝑐 ∖ { 0 } ) ( 𝑐 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝑐 ‘ 𝑖 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) ) ) |
| 36 |
35 3
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑐 = ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom 𝑐 ∖ { 0 } ) ( 𝑐 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝑐 ‘ 𝑖 ) ) → 𝜓 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → 𝜏 ) ) ) |
| 37 |
|
dmeq |
⊢ ( 𝑐 = 𝐶 → dom 𝑐 = dom 𝐶 ) |
| 38 |
37
|
difeq1d |
⊢ ( 𝑐 = 𝐶 → ( dom 𝑐 ∖ { 0 } ) = ( dom 𝐶 ∖ { 0 } ) ) |
| 39 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑐 = 𝐶 → ( 𝑐 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) = ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) ) |
| 40 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑐 = 𝐶 → ( 𝑐 ‘ 𝑖 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) |
| 41 |
39 40
|
breq12d |
⊢ ( 𝑐 = 𝐶 → ( ( 𝑐 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝑐 ‘ 𝑖 ) ↔ ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) |
| 42 |
38 41
|
raleqbidv |
⊢ ( 𝑐 = 𝐶 → ( ∀ 𝑖 ∈ ( dom 𝑐 ∖ { 0 } ) ( 𝑐 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝑐 ‘ 𝑖 ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( dom 𝐶 ∖ { 0 } ) ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) |
| 43 |
42
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑐 = 𝐶 → ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom 𝑐 ∖ { 0 } ) ( 𝑐 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝑐 ‘ 𝑖 ) ) ↔ ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom 𝐶 ∖ { 0 } ) ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) |
| 44 |
43 4
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑐 = 𝐶 → ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom 𝑐 ∖ { 0 } ) ( 𝑐 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝑐 ‘ 𝑖 ) ) → 𝜓 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom 𝐶 ∖ { 0 } ) ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) → 𝜂 ) ) ) |
| 45 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ∅ ∖ { 0 } ) ( ∅ ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ∅ ‘ 𝑖 ) ) → 𝜒 ) |
| 46 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) ∧ 𝜃 ) → 𝜑 ) |
| 47 |
|
simp-4l |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) ∧ 𝜃 ) → 𝑑 ∈ Word 𝐴 ) |
| 48 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) → 𝑑 ∈ Word 𝐴 ) |
| 49 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) → 𝑥 ∈ 𝐴 ) |
| 50 |
49
|
s1cld |
⊢ ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) → ⟨“ 𝑥 ”⟩ ∈ Word 𝐴 ) |
| 51 |
48 50
|
ccatdmss |
⊢ ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) → dom 𝑑 ⊆ dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ) |
| 52 |
51
|
ssdifd |
⊢ ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) → ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ⊆ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ) |
| 53 |
52
|
sselda |
⊢ ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ) → 𝑗 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ) |
| 54 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) = ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) ) |
| 55 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑗 ) ) |
| 56 |
54 55
|
breq12d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ↔ ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑗 ) ) ) |
| 57 |
56
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ) ∧ 𝑖 = 𝑗 ) → ( ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ↔ ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑗 ) ) ) |
| 58 |
53 57
|
rspcdv |
⊢ ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) → ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑗 ) ) ) |
| 59 |
58
|
imp |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑗 ) ) |
| 60 |
|
simp-4l |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → 𝑑 ∈ Word 𝐴 ) |
| 61 |
50
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ⟨“ 𝑥 ”⟩ ∈ Word 𝐴 ) |
| 62 |
|
lencl |
⊢ ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 → ( ♯ ‘ 𝑑 ) ∈ ℕ0 ) |
| 63 |
60 62
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ( ♯ ‘ 𝑑 ) ∈ ℕ0 ) |
| 64 |
63
|
nn0zd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ( ♯ ‘ 𝑑 ) ∈ ℤ ) |
| 65 |
|
fzossrbm1 |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) ∈ ℤ → ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) − 1 ) ) ⊆ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) ) |
| 66 |
64 65
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) − 1 ) ) ⊆ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) ) |
| 67 |
|
fzossz |
⊢ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) ⊆ ℤ |
| 68 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ) |
| 69 |
68
|
eldifad |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → 𝑗 ∈ dom 𝑑 ) |
| 70 |
|
eqidd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ( ♯ ‘ 𝑑 ) = ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) |
| 71 |
70 60
|
wrdfd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → 𝑑 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) ⟶ 𝐴 ) |
| 72 |
71
|
fdmd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → dom 𝑑 = ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) ) |
| 73 |
69 72
|
eleqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) ) |
| 74 |
67 73
|
sselid |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ ) |
| 75 |
|
eldifsni |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) → 𝑗 ≠ 0 ) |
| 76 |
68 75
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → 𝑗 ≠ 0 ) |
| 77 |
|
fzo1fzo0n0 |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) ↔ ( 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) ∧ 𝑗 ≠ 0 ) ) |
| 78 |
73 76 77
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) ) |
| 79 |
|
elfzom1b |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ♯ ‘ 𝑑 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) ↔ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) − 1 ) ) ) ) |
| 80 |
79
|
biimpa |
⊢ ( ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ ( ♯ ‘ 𝑑 ) ∈ ℤ ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ..^ ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) − 1 ) ) ) |
| 81 |
74 64 78 80
|
syl21anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) − 1 ) ) ) |
| 82 |
66 81
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) ) |
| 83 |
|
ccatval1 |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ∈ Word 𝐴 ∧ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) ) → ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) ) |
| 84 |
60 61 82 83
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) ) |
| 85 |
|
ccatval1 |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) ) → ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑗 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ) |
| 86 |
60 61 73 85
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑗 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ) |
| 87 |
59 84 86
|
3brtr3d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ) |
| 88 |
87
|
an32s |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ) |
| 89 |
88
|
adantllr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝜃 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ) → ( 𝑑 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ) |
| 90 |
89
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ 𝜃 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ∀ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ( 𝑑 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ) |
| 91 |
90
|
an32s |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) ∧ 𝜃 ) → ∀ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ( 𝑑 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ) |
| 92 |
|
ischn |
⊢ ( 𝑑 ∈ ( < Chain 𝐴 ) ↔ ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ ∀ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ( 𝑑 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ) ) |
| 93 |
47 91 92
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) ∧ 𝜃 ) → 𝑑 ∈ ( < Chain 𝐴 ) ) |
| 94 |
46 93
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) ∧ 𝜃 ) → ( 𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ( < Chain 𝐴 ) ) ) |
| 95 |
|
simp-4r |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) ∧ 𝜃 ) → 𝑥 ∈ 𝐴 ) |
| 96 |
|
lsw |
⊢ ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 → ( lastS ‘ 𝑑 ) = ( 𝑑 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) − 1 ) ) ) |
| 97 |
96
|
ad5antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ( lastS ‘ 𝑑 ) = ( 𝑑 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) − 1 ) ) ) |
| 98 |
|
simp-4l |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) → 𝑑 ∈ Word 𝐴 ) |
| 99 |
|
fzonn0p1 |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) ∈ ℕ0 → ( ♯ ‘ 𝑑 ) ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) + 1 ) ) ) |
| 100 |
98 62 99
|
3syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) → ( ♯ ‘ 𝑑 ) ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) + 1 ) ) ) |
| 101 |
|
ccatws1len |
⊢ ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 → ( ♯ ‘ ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) + 1 ) ) |
| 102 |
101
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) → ( ♯ ‘ ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) + 1 ) ) |
| 103 |
102
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) + 1 ) = ( ♯ ‘ ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ) ) |
| 104 |
|
ccatws1cl |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∈ Word 𝐴 ) |
| 105 |
104
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) → ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∈ Word 𝐴 ) |
| 106 |
103 105
|
wrdfd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) → ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) : ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) + 1 ) ) ⟶ 𝐴 ) |
| 107 |
106
|
fdmd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) → dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) = ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) + 1 ) ) ) |
| 108 |
100 107
|
eleqtrrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) → ( ♯ ‘ 𝑑 ) ∈ dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ) |
| 109 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) → ¬ 𝑑 = ∅ ) |
| 110 |
109
|
neqned |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) → 𝑑 ≠ ∅ ) |
| 111 |
|
hasheq0 |
⊢ ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 → ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) = 0 ↔ 𝑑 = ∅ ) ) |
| 112 |
111
|
necon3bid |
⊢ ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 → ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) ≠ 0 ↔ 𝑑 ≠ ∅ ) ) |
| 113 |
112
|
biimpar |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑑 ≠ ∅ ) → ( ♯ ‘ 𝑑 ) ≠ 0 ) |
| 114 |
98 110 113
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) → ( ♯ ‘ 𝑑 ) ≠ 0 ) |
| 115 |
108 114
|
eldifsnd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) → ( ♯ ‘ 𝑑 ) ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ) |
| 116 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑖 = ( ♯ ‘ 𝑑 ) → ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) = ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) − 1 ) ) ) |
| 117 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = ( ♯ ‘ 𝑑 ) → ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) ) |
| 118 |
116 117
|
breq12d |
⊢ ( 𝑖 = ( ♯ ‘ 𝑑 ) → ( ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ↔ ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) ) ) |
| 119 |
118
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) ∧ 𝑖 = ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) → ( ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ↔ ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) ) ) |
| 120 |
115 119
|
rspcdv |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) → ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) ) ) |
| 121 |
120
|
imp |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) ) |
| 122 |
48
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → 𝑑 ∈ Word 𝐴 ) |
| 123 |
50
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ⟨“ 𝑥 ”⟩ ∈ Word 𝐴 ) |
| 124 |
122 62
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ( ♯ ‘ 𝑑 ) ∈ ℕ0 ) |
| 125 |
114
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ( ♯ ‘ 𝑑 ) ≠ 0 ) |
| 126 |
|
elnnne0 |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) ∈ ℕ ↔ ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) ∈ ℕ0 ∧ ( ♯ ‘ 𝑑 ) ≠ 0 ) ) |
| 127 |
124 125 126
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ( ♯ ‘ 𝑑 ) ∈ ℕ ) |
| 128 |
|
fzo0end |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) ∈ ℕ → ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) − 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) ) |
| 129 |
127 128
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) − 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) ) |
| 130 |
|
ccatval1 |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ∈ Word 𝐴 ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) − 1 ) ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) ) → ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) − 1 ) ) ) |
| 131 |
122 123 129 130
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) − 1 ) ) ) |
| 132 |
49
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → 𝑥 ∈ 𝐴 ) |
| 133 |
|
eqidd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ( ♯ ‘ 𝑑 ) = ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) |
| 134 |
|
ccats1val2 |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( ♯ ‘ 𝑑 ) = ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) → ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) = 𝑥 ) |
| 135 |
122 132 133 134
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( ♯ ‘ 𝑑 ) ) = 𝑥 ) |
| 136 |
121 131 135
|
3brtr3d |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ( 𝑑 ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑑 ) − 1 ) ) < 𝑥 ) |
| 137 |
97 136
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) ∧ 𝜃 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ( lastS ‘ 𝑑 ) < 𝑥 ) |
| 138 |
137
|
an42ds |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) ∧ 𝜃 ) ∧ ¬ 𝑑 = ∅ ) → ( lastS ‘ 𝑑 ) < 𝑥 ) |
| 139 |
138
|
ex |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) ∧ 𝜃 ) → ( ¬ 𝑑 = ∅ → ( lastS ‘ 𝑑 ) < 𝑥 ) ) |
| 140 |
139
|
orrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) ∧ 𝜃 ) → ( 𝑑 = ∅ ∨ ( lastS ‘ 𝑑 ) < 𝑥 ) ) |
| 141 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) ∧ 𝜃 ) → 𝜃 ) |
| 142 |
94 95 140 141 7
|
syl1111anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) ∧ 𝜃 ) → 𝜏 ) |
| 143 |
142
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ( 𝜃 → 𝜏 ) ) |
| 144 |
143
|
expl |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ( 𝜃 → 𝜏 ) ) ) |
| 145 |
88
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ∀ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ( 𝑑 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ) |
| 146 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) = ( 𝑑 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) ) |
| 147 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) = ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ) |
| 148 |
146 147
|
breq12d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ↔ ( 𝑑 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ) ) |
| 149 |
148
|
cbvralvw |
⊢ ( ∀ 𝑖 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ( 𝑑 ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) ) |
| 150 |
145 149
|
sylibr |
⊢ ( ( ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝜑 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ) |
| 151 |
150
|
expl |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ) ) |
| 152 |
144 151
|
a2and |
⊢ ( ( 𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom 𝑑 ∖ { 0 } ) ( 𝑑 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝑑 ‘ 𝑖 ) ) → 𝜃 ) → ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ∖ { 0 } ) ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( ( 𝑑 ++ ⟨“ 𝑥 ”⟩ ) ‘ 𝑖 ) ) → 𝜏 ) ) ) |
| 153 |
20 28 36 44 45 152
|
wrdind |
⊢ ( 𝐶 ∈ Word 𝐴 → ( ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom 𝐶 ∖ { 0 } ) ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) → 𝜂 ) ) |
| 154 |
153
|
imp |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ ( 𝜑 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( dom 𝐶 ∖ { 0 } ) ( 𝐶 ‘ ( 𝑖 − 1 ) ) < ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) → 𝜂 ) |
| 155 |
8 9 12 154
|
syl12anc |
⊢ ( 𝜑 → 𝜂 ) |