Metamath Proof Explorer

Theorem dihmeetlem1N

Description: Isomorphism H of a conjunction. (Contributed by NM, 21-Mar-2014) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses dihglblem5a.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
dihglblem5a.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
dihglblem5a.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
dihglblem5a.i ⊢ 𝐼 = ( ( DIsoH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
dihglblem5a.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
dihglblem5a.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
dihglblem5a.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
dihglblem5a.p ⊢ 𝑃 = ( ( oc ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
dihglblem5a.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
dihglblem5a.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
dihglblem5a.e ⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
dihglblem5a.g ⊢ 𝐺 = ( ℩ ℎ ∈ 𝑇 ( ℎ ‘ 𝑃 ) = 𝑞 )
dihglblem5a.o ⊢ 0 = ( ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵 ) )
Assertion dihmeetlem1N ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dihglblem5a.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 dihglblem5a.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
3 dihglblem5a.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
4 dihglblem5a.i ⊢ 𝐼 = ( ( DIsoH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
5 dihglblem5a.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
6 dihglblem5a.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
7 dihglblem5a.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
8 dihglblem5a.p ⊢ 𝑃 = ( ( oc ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 dihglblem5a.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
10 dihglblem5a.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
11 dihglblem5a.e ⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
12 dihglblem5a.g ⊢ 𝐺 = ( ℩ ℎ ∈ 𝑇 ( ℎ ‘ 𝑃 ) = 𝑞 )
13 dihglblem5a.o ⊢ 0 = ( ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵 ) )
14 simp1l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
15 14 hllatd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
16 simp2l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
17 simp3l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐵 )
18 1 5 2 latmle1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≤ 𝑋 )
19 15 16 17 18 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≤ 𝑋 )
20 simp1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
21 1 2 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
22 15 16 17 21 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
23 1 5 3 4 dihord ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ↔ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≤ 𝑋 ) )
24 20 22 16 23 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ↔ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≤ 𝑋 ) )
25 19 24 mpbird ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) )
26 1 5 2 latmle2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≤ 𝑌 )
27 15 16 17 26 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≤ 𝑌 )
28 1 5 3 4 dihord ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ↔ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≤ 𝑌 ) )
29 20 22 17 28 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ↔ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≤ 𝑌 ) )
30 27 29 mpbird ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) )
31 25 30 ssind ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ⊆ ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ) )
32 3 4 dihvalrel ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → Rel ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) )
33 relin1 ⊢ ( Rel ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) → Rel ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ) )
34 32 33 syl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → Rel ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ) )
35 34 3ad2ant1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) → Rel ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ) )
36 elin ⊢ ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ) ↔ ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∧ ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ) )
37 1 5 6 2 7 3 lhpmcvr2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) )
38 37 3adant3 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) )
39 simpl1 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
40 simpl2 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) )
41 simprl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ) → 𝑞 ∈ 𝐴 )
42 simprrl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ) → ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 )
43 41 42 jca ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ) → ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) )
44 simprrr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ) → ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 )
45 vex ⊢ 𝑓 ∈ V
46 vex ⊢ 𝑠 ∈ V
47 1 5 6 2 7 3 8 9 10 11 4 12 45 46 dihopelvalc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) → ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ↔ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ) )
48 39 40 43 44 47 syl112anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ) → ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ↔ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) ) )
49 simpr ⊢ ( ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 )
50 48 49 syl6bi ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ) → ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ) )
51 simpl3 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ) → ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) )
52 1 5 3 9 10 13 4 dihopelvalbN ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) → ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ↔ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) )
53 39 51 52 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ) → ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ↔ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) )
54 53 biimpd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ) → ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) → ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) )
55 simprll ⊢ ( ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) → 𝑓 ∈ 𝑇 )
56 55 3ad2ant3 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → 𝑓 ∈ 𝑇 )
57 simp3rr ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → 𝑠 = 0 )
58 57 fveq1d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) = ( 0 ‘ 𝐺 ) )
59 simp11 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
60 5 7 3 8 lhpocnel2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
61 59 60 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
62 simp2l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → 𝑞 ∈ 𝐴 )
63 simp2rl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 )
64 5 7 3 9 12 ltrniotacl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
65 59 61 62 63 64 syl112anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
66 13 1 tendo02 ⊢ ( 𝐺 ∈ 𝑇 → ( 0 ‘ 𝐺 ) = ( I ↾ 𝐵 ) )
67 65 66 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 0 ‘ 𝐺 ) = ( I ↾ 𝐵 ) )
68 58 67 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) = ( I ↾ 𝐵 ) )
69 68 cnveqd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) = ◡ ( I ↾ 𝐵 ) )
70 cnvresid ⊢ ◡ ( I ↾ 𝐵 ) = ( I ↾ 𝐵 )
71 69 70 eqtrdi ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) = ( I ↾ 𝐵 ) )
72 71 coeq2d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) = ( 𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
73 1 3 9 ltrn1o ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) → 𝑓 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
74 59 56 73 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → 𝑓 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
75 f1of ⊢ ( 𝑓 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 → 𝑓 : 𝐵 ⟶ 𝐵 )
76 fcoi1 ⊢ ( 𝑓 : 𝐵 ⟶ 𝐵 → ( 𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) = 𝑓 )
77 74 75 76 3syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) = 𝑓 )
78 72 77 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) = 𝑓 )
79 78 fveq2d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) = ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) )
80 simp3l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 )
81 79 80 eqbrtrrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑋 )
82 simprlr ⊢ ( ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 )
83 82 3ad2ant3 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 )
84 simp11l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
85 84 hllatd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
86 1 3 9 10 trlcl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ∈ 𝐵 )
87 59 56 86 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ∈ 𝐵 )
88 simp12l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
89 simp13l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → 𝑌 ∈ 𝐵 )
90 1 5 2 latlem12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ↔ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) )
91 85 87 88 89 90 syl13anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( ( ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ↔ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) )
92 81 83 91 mpbi2and ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) )
93 56 92 jca ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) )
94 85 88 89 21 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
95 simp11r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
96 1 3 lhpbase ⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵 )
97 95 96 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐵 )
98 85 88 89 26 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≤ 𝑌 )
99 simp13r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → 𝑌 ≤ 𝑊 )
100 1 5 85 94 89 97 98 99 lattrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≤ 𝑊 )
101 1 5 3 9 10 13 4 dihopelvalbN ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≤ 𝑊 ) ) → ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ↔ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) )
102 59 94 100 101 syl12anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ↔ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) )
103 93 57 102 mpbir2and ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) ) → ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) )
104 103 3expia ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ) → ( ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ ( 𝑠 ‘ 𝐺 ) ) ) ≤ 𝑋 ∧ ( ( 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≤ 𝑌 ) ∧ 𝑠 = 0 ) ) → ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) )
105 50 54 104 syl2and ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑞 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑞 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) ) → ( ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∧ ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ) → ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) )
106 38 105 rexlimddv ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∧ ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ) → ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) )
107 36 106 syl5bi ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) → ( ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ) → ⟨ 𝑓 , 𝑠 ⟩ ∈ ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) )
108 35 107 relssdv ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ) ⊆ ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) )
109 31 108 eqssd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ) )