Theorem footexALT

Description: Alternative version of footex which minimization requires a notably long time. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2019) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	isperp.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
	isperp.d	⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
	isperp.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
	isperp.l	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
	isperp.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
	isperp.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿 )
	foot.x	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 )
	foot.y	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴 )
Assertion	footexALT	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝐶 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐴 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isperp.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2		isperp.d	⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
3		isperp.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
4		isperp.l	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
5		isperp.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
6		isperp.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿 )
7		foot.x	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 )
8		foot.y	⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴 )
9		eqid	⊢ ( pInvG ‘ 𝐺 ) = ( pInvG ‘ 𝐺 )
10	5	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
11	10	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
12	11	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
13	12	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
14	13	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
15	14	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
16		eqid	⊢ ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 )
17	7	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 )
18	17	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 )
19	18	ad6antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 )
20	19	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 )
21		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → 𝑑 ∈ 𝑃 )
22		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) → 𝑦 ∈ 𝑃 )
23	22	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝑃 )
24	23	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝑃 )
25	24	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝑃 )
26		simprr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) )
27	26	eqcomd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝑦 − 𝐶 ) = ( 𝑦 − 𝑑 ) )
28	1 2 3 4 9 15 16 20 21 25 27	midexlem	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) )
29	15	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
30	25	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝑃 )
31		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝑃 )
32	31	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝑃 )
33		simprl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑃 )
34		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) → 𝑝 ∈ 𝑃 )
35	34	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → 𝑝 ∈ 𝑃 )
36	35	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑝 ∈ 𝑃 )
37		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) )
38	37	simprd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) )
39	38	eqcomd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝑦 − 𝑝 ) = ( 𝑦 − 𝑧 ) )
40	39	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑦 − 𝑝 ) = ( 𝑦 − 𝑧 ) )
41		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) )
42	41	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) )
43		simpllr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑎 ∈ 𝑃 )
44	43	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) → 𝑎 ∈ 𝑃 )
45	44	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) → 𝑎 ∈ 𝑃 )
46	45	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) → 𝑎 ∈ 𝑃 )
47	46	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → 𝑎 ∈ 𝑃 )
48		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → 𝑏 ∈ 𝑃 )
49	48	ad10antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → 𝑏 ∈ 𝑃 )
50		simp-11r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) )
51	50	simprd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → 𝑎 ≠ 𝑏 )
52	51	necomd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → 𝑏 ≠ 𝑎 )
53		simp-9r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) )
54	53	simpld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) )
55	1 3 4 15 49 47 25 52 54	btwnlng3	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝑏 𝐿 𝑎 ) )
56	1 3 4 15 47 49 25 51 55	lncom	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) )
57	50	simpld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) )
58	56 57	eleqtrrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝐴 )
59	58	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝐴 )
60	8	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴 )
61	60	ad10antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴 )
62	61	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴 )
63		nelne2	⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴 ) → 𝑦 ≠ 𝐶 )
64	59 62 63	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑦 ≠ 𝐶 )
65	64	necomd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝐶 ≠ 𝑦 )
66	42 65	eqnetrrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 )
67		eqid	⊢ ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) = ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 )
68	1 2 3 4 9 29 36 67 30	mirinv	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) = 𝑦 ↔ 𝑝 = 𝑦 ) )
69	68	necon3bid	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ≠ 𝑦 ↔ 𝑝 ≠ 𝑦 ) )
70	66 69	mpbid	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑝 ≠ 𝑦 )
71	70	necomd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑦 ≠ 𝑝 )
72	1 2 3 29 30 36 30 32 40 71	tgcgrneq	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑦 ≠ 𝑧 )
73	72	necomd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑧 ≠ 𝑦 )
74		eqid	⊢ ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) = ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 )
75		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → 𝑞 ∈ 𝑃 )
76	75	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑞 ∈ 𝑃 )
77		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝑃 )
78		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) → 𝑞 ∈ 𝑃 )
79	1 2 3 4 9 14 77 74 78	mircl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) → ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) ∈ 𝑃 )
80	79	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) ∈ 𝑃 )
81	20	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 )
82		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑑 ∈ 𝑃 )
83	1 2 3 4 9 29 36 67 30	mirbtwn	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) 𝐼 𝑦 ) )
84	42	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 𝐶 𝐼 𝑦 ) = ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) 𝐼 𝑦 ) )
85	83 84	eleqtrrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝑦 ) )
86		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) )
87	86	simpld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) )
88	87	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) )
89	1 2 3 29 81 36 30 76 70 85 88	tgbtwnouttr2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝑞 ) )
90	1 2 3 29 81 30 76 89	tgbtwncom	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝑞 𝐼 𝐶 ) )
91		simplrl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) )
92		eqid	⊢ ( cgrG ‘ 𝐺 ) = ( cgrG ‘ 𝐺 )
93	53	simprd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) )
94	41	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝑎 − 𝐶 ) = ( 𝑎 − ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) )
95	93 94	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) )
96	1 2 3 4 9 15 47 35 25	israg	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ( ⟨“ 𝑎 𝑝 𝑦 ”⟩ ∈ ( ∟G ‘ 𝐺 ) ↔ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ) )
97	95 96	mpbird	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ⟨“ 𝑎 𝑝 𝑦 ”⟩ ∈ ( ∟G ‘ 𝐺 ) )
98	86	simprd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) )
99	1 2 3 15 47 25 47 20 93	tgcgrcomlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝑦 − 𝑎 ) = ( 𝐶 − 𝑎 ) )
100	98 99	eqtr2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝐶 − 𝑎 ) = ( 𝑦 − 𝑞 ) )
101	1 3 4 15 47 49 51	tglinerflx1	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → 𝑎 ∈ ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) )
102	101 57	eleqtrrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → 𝑎 ∈ 𝐴 )
103		nelne2	⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴 ) → 𝑎 ≠ 𝐶 )
104	102 61 103	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → 𝑎 ≠ 𝐶 )
105	104	necomd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → 𝐶 ≠ 𝑎 )
106	1 2 3 15 20 47 25 75 100 105	tgcgrneq	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → 𝑦 ≠ 𝑞 )
107	106	necomd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → 𝑞 ≠ 𝑦 )
108	1 2 3 15 35 25 75 87	tgbtwncom	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝑞 𝐼 𝑝 ) )
109	37	simpld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) )
110	1 2 3 15 25 75 25 47 98	tgcgrcomlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝑞 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝑦 ) )
111	1 2 3 15 75 47	axtgcgrrflx	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝑞 − 𝑎 ) = ( 𝑎 − 𝑞 ) )
112	98	eqcomd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝑦 − 𝑎 ) = ( 𝑦 − 𝑞 ) )
113	1 2 3 15 75 25 35 47 25 31 47 75 107 108 109 110 39 111 112	axtg5seg	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝑝 − 𝑎 ) = ( 𝑧 − 𝑞 ) )
114	1 2 3 15 35 47 31 75 113	tgcgrcomlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝑎 − 𝑝 ) = ( 𝑞 − 𝑧 ) )
115	1 2 3 15 25 35 25 31 39	tgcgrcomlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝑝 − 𝑦 ) = ( 𝑧 − 𝑦 ) )
116	1 2 92 15 47 35 25 75 31 25 114 115 112	trgcgr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ⟨“ 𝑎 𝑝 𝑦 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑞 𝑧 𝑦 ”⟩ )
117	1 2 3 4 9 15 47 35 25 92 75 31 25 97 116	ragcgr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ⟨“ 𝑞 𝑧 𝑦 ”⟩ ∈ ( ∟G ‘ 𝐺 ) )
118	1 2 3 4 9 15 75 31 25 117	ragcom	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ⟨“ 𝑦 𝑧 𝑞 ”⟩ ∈ ( ∟G ‘ 𝐺 ) )
119	1 2 3 4 9 15 25 31 75	israg	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ( ⟨“ 𝑦 𝑧 𝑞 ”⟩ ∈ ( ∟G ‘ 𝐺 ) ↔ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) ) ) )
120	118 119	mpbid	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) ) )
121	120	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) ) )
122	27	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑦 − 𝐶 ) = ( 𝑦 − 𝑑 ) )
123		eqidd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) )
124		simprr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) )
125	1 2 3 4 9 29 74 16 76 80 30 81 82 32 33 90 91 121 122 123 124	krippen	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑥 ) )
126	1 3 4 29 32 30 33 73 125	btwnlng3	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐿 𝑦 ) )
127	1 3 4 29 30 32 33 72 126	lncom	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) )
128	6	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) → 𝐴 ∈ ran 𝐿 )
129	128	ad9antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝐴 ∈ ran 𝐿 )
130	47	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑎 ∈ 𝑃 )
131	93	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) )
132	131	eqcomd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑎 − 𝐶 ) = ( 𝑎 − 𝑦 ) )
133	104	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑎 ≠ 𝐶 )
134	1 2 3 29 130 81 130 30 132 133	tgcgrneq	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑎 ≠ 𝑦 )
135	109	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) )
136	1 3 4 29 130 30 32 134 135	btwnlng3	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝑎 𝐿 𝑦 ) )
137	102	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑎 ∈ 𝐴 )
138	1 3 4 29 130 30 134 134 129 137 59	tglinethru	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑦 ) )
139	136 138	eleqtrrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝐴 )
140	1 3 4 29 30 32 72 72 129 59 139	tglinethru	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝐴 = ( 𝑦 𝐿 𝑧 ) )
141	127 140	eleqtrrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝐴 )
142		nelne2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴 ) → 𝑥 ≠ 𝐶 )
143	141 62 142	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑥 ≠ 𝐶 )
144	143	necomd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝐶 ≠ 𝑥 )
145	1 3 4 29 81 33 144	tgelrnln	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 𝐶 𝐿 𝑥 ) ∈ ran 𝐿 )
146	1 3 4 29 81 33 144	tglinerflx2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐿 𝑥 ) )
147	146 141	elind	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝐶 𝐿 𝑥 ) ∩ 𝐴 ) )
148	1 3 4 29 81 33 144	tglinerflx1	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝐶 𝐿 𝑥 ) )
149	29	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
150	130	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → 𝑎 ∈ 𝑃 )
151	30	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → 𝑦 ∈ 𝑃 )
152	36	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → 𝑝 ∈ 𝑃 )
153	81	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → 𝐶 ∈ 𝑃 )
154		eqidd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → 𝐶 = 𝐶 )
155		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → 𝑦 = 𝑥 )
156		eqidd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → 𝑎 = 𝑎 )
157	154 155 156	s3eqd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → ⟨“ 𝐶 𝑦 𝑎 ”⟩ = ⟨“ 𝐶 𝑥 𝑎 ”⟩ )
158	33	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → 𝑥 ∈ 𝑃 )
159	32	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → 𝑧 ∈ 𝑃 )
160	107	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑞 ≠ 𝑦 )
161	1 2 3 29 30 76 30 80 121	tgcgrcomlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑞 − 𝑦 ) = ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) − 𝑦 ) )
162	1 2 3 4 9 29 32 74 76	mircgr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑧 − ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) ) = ( 𝑧 − 𝑞 ) )
163	162	eqcomd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑧 − 𝑞 ) = ( 𝑧 − ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) ) )
164	1 2 3 29 32 76 32 80 163	tgcgrcomlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑞 − 𝑧 ) = ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) − 𝑧 ) )
165		eqidd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑧 ) )
166	1 2 3 29 76 30 81 80 30 82 32 32 160 90 91 161 122 164 165	axtg5seg	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 𝐶 − 𝑧 ) = ( 𝑑 − 𝑧 ) )
167	1 2 3 29 81 32 82 32 166	tgcgrcomlr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑧 − 𝐶 ) = ( 𝑧 − 𝑑 ) )
168	124	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑧 − 𝑑 ) = ( 𝑧 − ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) )
169	167 168	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑧 − 𝐶 ) = ( 𝑧 − ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) )
170	1 2 3 4 9 29 32 33 81	israg	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ⟨“ 𝑧 𝑥 𝐶 ”⟩ ∈ ( ∟G ‘ 𝐺 ) ↔ ( 𝑧 − 𝐶 ) = ( 𝑧 − ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) )
171	169 170	mpbird	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ⟨“ 𝑧 𝑥 𝐶 ”⟩ ∈ ( ∟G ‘ 𝐺 ) )
172	171	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → ⟨“ 𝑧 𝑥 𝐶 ”⟩ ∈ ( ∟G ‘ 𝐺 ) )
173	73	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → 𝑧 ≠ 𝑦 )
174	173 155	neeqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → 𝑧 ≠ 𝑥 )
175	132	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → ( 𝑎 − 𝐶 ) = ( 𝑎 − 𝑦 ) )
176	133	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → 𝑎 ≠ 𝐶 )
177	1 2 3 149 150 153 150 151 175 176	tgcgrneq	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → 𝑎 ≠ 𝑦 )
178	177	necomd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → 𝑦 ≠ 𝑎 )
179	136	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → 𝑧 ∈ ( 𝑎 𝐿 𝑦 ) )
180	1 3 4 149 151 150 159 178 179	lncom	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → 𝑧 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑎 ) )
181	155	oveq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → ( 𝑦 𝐿 𝑎 ) = ( 𝑥 𝐿 𝑎 ) )
182	180 181	eleqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐿 𝑎 ) )
183	182	orcd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐿 𝑎 ) ∨ 𝑥 = 𝑎 ) )
184	1 2 3 4 9 149 159 158 153 150 172 174 183	ragcol	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → ⟨“ 𝑎 𝑥 𝐶 ”⟩ ∈ ( ∟G ‘ 𝐺 ) )
185	1 2 3 4 9 149 150 158 153 184	ragcom	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → ⟨“ 𝐶 𝑥 𝑎 ”⟩ ∈ ( ∟G ‘ 𝐺 ) )
186	157 185	eqeltrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → ⟨“ 𝐶 𝑦 𝑎 ”⟩ ∈ ( ∟G ‘ 𝐺 ) )
187	65	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → 𝐶 ≠ 𝑦 )
188	1 2 3 29 81 36 30 85	tgbtwncom	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝐶 ) )
189	1 4 3 29 30 36 81 188	btwncolg3	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 𝐶 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑝 ) ∨ 𝑦 = 𝑝 ) )
190	189	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → ( 𝐶 ∈ ( 𝑦 𝐿 𝑝 ) ∨ 𝑦 = 𝑝 ) )
191	1 2 3 4 9 149 153 151 150 152 186 187 190	ragcol	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → ⟨“ 𝑝 𝑦 𝑎 ”⟩ ∈ ( ∟G ‘ 𝐺 ) )
192	1 2 3 4 9 149 152 151 150 191	ragcom	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → ⟨“ 𝑎 𝑦 𝑝 ”⟩ ∈ ( ∟G ‘ 𝐺 ) )
193	97	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → ⟨“ 𝑎 𝑝 𝑦 ”⟩ ∈ ( ∟G ‘ 𝐺 ) )
194	1 2 3 4 9 149 150 151 152 192 193	ragflat	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → 𝑦 = 𝑝 )
195	71	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → 𝑦 ≠ 𝑝 )
196	195	neneqd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → ¬ 𝑦 = 𝑝 )
197	194 196	pm2.65da	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ¬ 𝑦 = 𝑥 )
198	197	neqned	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝑦 ≠ 𝑥 )
199	124	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) )
200	122 199	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑦 − 𝐶 ) = ( 𝑦 − ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) )
201	1 2 3 4 9 29 30 33 81	israg	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ⟨“ 𝑦 𝑥 𝐶 ”⟩ ∈ ( ∟G ‘ 𝐺 ) ↔ ( 𝑦 − 𝐶 ) = ( 𝑦 − ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) )
202	200 201	mpbird	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ⟨“ 𝑦 𝑥 𝐶 ”⟩ ∈ ( ∟G ‘ 𝐺 ) )
203	1 2 3 4 9 29 30 33 81 202	ragcom	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ⟨“ 𝐶 𝑥 𝑦 ”⟩ ∈ ( ∟G ‘ 𝐺 ) )
204	1 2 3 4 29 145 129 147 148 59 144 198 203	ragperp	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑥 ) ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 𝐶 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐴 )
205	28 141 204	reximssdv	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝐶 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐴 )
206	1 2 3 14 79 24 24 19	axtgsegcon	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) → ∃ 𝑑 ∈ 𝑃 ( 𝑦 ∈ ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑧 ) ‘ 𝑞 ) 𝐼 𝑑 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑑 ) = ( 𝑦 − 𝐶 ) ) )
207	205 206	r19.29a	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝐶 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐴 )
208	1 2 3 13 34 23 23 46	axtgsegcon	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝑃 ( 𝑦 ∈ ( 𝑝 𝐼 𝑞 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑞 ) = ( 𝑦 − 𝑎 ) ) )
209	207 208	r19.29a	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝐶 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐴 )
210		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) → 𝑝 ∈ 𝑃 )
211	1 2 3 12 45 22 22 210	axtgsegcon	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑦 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝑝 ) ) )
212	209 211	r19.29a	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝐶 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐴 )
213		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝑃 )
214		simprr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) → ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) )
215	1 2 3 4 9 11 67 213 18 44 214	midexlem	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝑃 𝐶 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) ‘ 𝑦 ) )
216	212 215	r19.29a	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝐶 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐴 )
217	1 2 3 10 48 43 43 17	axtgsegcon	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑎 ∈ ( 𝑏 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑎 − 𝑦 ) = ( 𝑎 − 𝐶 ) ) )
218	216 217	r19.29a	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝐶 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐴 )
219	1 3 4 5 6	tgisline	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑎 ∈ 𝑃 ∃ 𝑏 ∈ 𝑃 ( 𝐴 = ( 𝑎 𝐿 𝑏 ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ) )
220	218 219	r19.29vva	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝐶 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐴 )