Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lptre2pt.j |
⊢ 𝐽 = ( topGen ‘ ran (,) ) |
2 |
|
lptre2pt.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ ) |
3 |
|
lptre2pt.x |
⊢ ( 𝜑 → ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ≠ ∅ ) |
4 |
|
lptre2pt.e |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+ ) |
5 |
|
n0 |
⊢ ( ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑤 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) |
6 |
3 5
|
sylib |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑤 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) |
7 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) |
8 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) → 𝐴 ⊆ ℝ ) |
9 |
|
retop |
⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top |
10 |
1 9
|
eqeltri |
⊢ 𝐽 ∈ Top |
11 |
|
uniretop |
⊢ ℝ = ∪ ( topGen ‘ ran (,) ) |
12 |
1
|
unieqi |
⊢ ∪ 𝐽 = ∪ ( topGen ‘ ran (,) ) |
13 |
11 12
|
eqtr4i |
⊢ ℝ = ∪ 𝐽 |
14 |
13
|
lpss |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ) → ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ℝ ) |
15 |
10 8 14
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) → ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ℝ ) |
16 |
15 7
|
sseldd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) → 𝑤 ∈ ℝ ) |
17 |
1 8 16
|
islptre |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ↔ ∀ 𝑎 ∈ ℝ* ∀ 𝑏 ∈ ℝ* ( 𝑤 ∈ ( 𝑎 (,) 𝑏 ) → ( ( 𝑎 (,) 𝑏 ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) ) ) |
18 |
7 17
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) → ∀ 𝑎 ∈ ℝ* ∀ 𝑏 ∈ ℝ* ( 𝑤 ∈ ( 𝑎 (,) 𝑏 ) → ( ( 𝑎 (,) 𝑏 ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) ) |
19 |
4
|
rpred |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ ) |
20 |
19
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) → 𝐸 ∈ ℝ ) |
21 |
20
|
rehalfcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝐸 / 2 ) ∈ ℝ ) |
22 |
16 21
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
23 |
22
|
rexrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) ∈ ℝ* ) |
24 |
16 21
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
25 |
24
|
rexrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ∈ ℝ* ) |
26 |
4
|
rphalfcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 / 2 ) ∈ ℝ+ ) |
27 |
26
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝐸 / 2 ) ∈ ℝ+ ) |
28 |
16 27
|
ltsubrpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) < 𝑤 ) |
29 |
16 27
|
ltaddrpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) → 𝑤 < ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) |
30 |
23 25 16 28 29
|
eliood |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) |
31 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) → ( 𝑎 (,) 𝑏 ) = ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) 𝑏 ) ) |
32 |
31
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) → ( 𝑤 ∈ ( 𝑎 (,) 𝑏 ) ↔ 𝑤 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) 𝑏 ) ) ) |
33 |
31
|
ineq1d |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) → ( ( 𝑎 (,) 𝑏 ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) = ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) 𝑏 ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) |
34 |
33
|
neeq1d |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) → ( ( ( 𝑎 (,) 𝑏 ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ↔ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) 𝑏 ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) ) |
35 |
32 34
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) → ( ( 𝑤 ∈ ( 𝑎 (,) 𝑏 ) → ( ( 𝑎 (,) 𝑏 ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) ↔ ( 𝑤 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) 𝑏 ) → ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) 𝑏 ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) ) ) |
36 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) → ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) 𝑏 ) = ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) |
37 |
36
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) → ( 𝑤 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) 𝑏 ) ↔ 𝑤 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) ) |
38 |
36
|
ineq1d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) → ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) 𝑏 ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) = ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) |
39 |
38
|
neeq1d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) → ( ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) 𝑏 ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ↔ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) ) |
40 |
37 39
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) → ( ( 𝑤 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) 𝑏 ) → ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) 𝑏 ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) ↔ ( 𝑤 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) → ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) ) ) |
41 |
35 40
|
rspc2v |
⊢ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ∈ ℝ* ) → ( ∀ 𝑎 ∈ ℝ* ∀ 𝑏 ∈ ℝ* ( 𝑤 ∈ ( 𝑎 (,) 𝑏 ) → ( ( 𝑎 (,) 𝑏 ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) → ( 𝑤 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) → ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) ) ) |
42 |
23 25 41
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) → ( ∀ 𝑎 ∈ ℝ* ∀ 𝑏 ∈ ℝ* ( 𝑤 ∈ ( 𝑎 (,) 𝑏 ) → ( ( 𝑎 (,) 𝑏 ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) → ( 𝑤 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) → ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) ) ) |
43 |
18 30 42
|
mp2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) |
44 |
|
n0 |
⊢ ( ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑥 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) |
45 |
43 44
|
sylib |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) → ∃ 𝑥 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) |
46 |
|
elinel2 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) |
47 |
46
|
eldifad |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) → 𝑥 ∈ 𝐴 ) |
48 |
47
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝐴 ) |
49 |
|
elinel1 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) |
50 |
49
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) |
51 |
46
|
eldifbd |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) → ¬ 𝑥 ∈ { 𝑤 } ) |
52 |
51
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → ¬ 𝑥 ∈ { 𝑤 } ) |
53 |
50 52
|
eldifd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) |
54 |
48 53
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ) |
55 |
54
|
ex |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ) ) |
56 |
55
|
eximdv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) → ( ∃ 𝑥 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) → ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ) ) |
57 |
45 56
|
mpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) → ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ) |
58 |
|
df-rex |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ↔ ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ) |
59 |
57 58
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) |
60 |
18
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) → ∀ 𝑎 ∈ ℝ* ∀ 𝑏 ∈ ℝ* ( 𝑤 ∈ ( 𝑎 (,) 𝑏 ) → ( ( 𝑎 (,) 𝑏 ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) ) |
61 |
|
eldifi |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) |
62 |
|
elioore |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
63 |
61 62
|
syl |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
64 |
63
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
65 |
16
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) → 𝑤 ∈ ℝ ) |
66 |
|
eldifsni |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) → 𝑥 ≠ 𝑤 ) |
67 |
66
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) → 𝑥 ≠ 𝑤 ) |
68 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) → 𝑤 ∈ ℝ ) |
69 |
|
resubcl |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 − 𝑤 ) ∈ ℝ ) |
70 |
69
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 − 𝑤 ) ∈ ℂ ) |
71 |
70
|
abscld |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ∈ ℝ ) |
72 |
68 71
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) → ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ∈ ℝ ) |
73 |
72
|
rexrd |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) → ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ∈ ℝ* ) |
74 |
73
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑤 ) → ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ∈ ℝ* ) |
75 |
68 71
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) → ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ∈ ℝ ) |
76 |
75
|
rexrd |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ) → ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ∈ ℝ* ) |
77 |
76
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑤 ) → ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ∈ ℝ* ) |
78 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑤 ) → 𝑤 ∈ ℝ ) |
79 |
70
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑤 ) → ( 𝑥 − 𝑤 ) ∈ ℂ ) |
80 |
|
recn |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ ) |
81 |
80
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑤 ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
82 |
78
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑤 ) → 𝑤 ∈ ℂ ) |
83 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑤 ) → 𝑥 ≠ 𝑤 ) |
84 |
81 82 83
|
subne0d |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑤 ) → ( 𝑥 − 𝑤 ) ≠ 0 ) |
85 |
79 84
|
absrpcld |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑤 ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ∈ ℝ+ ) |
86 |
78 85
|
ltsubrpd |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑤 ) → ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) < 𝑤 ) |
87 |
78 85
|
ltaddrpd |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑤 ) → 𝑤 < ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) |
88 |
74 77 78 86 87
|
eliood |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 𝑤 ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) |
89 |
64 65 67 88
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) → 𝑤 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) |
90 |
63
|
recnd |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
91 |
90
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
92 |
65
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) → 𝑤 ∈ ℂ ) |
93 |
91 92
|
subcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) → ( 𝑥 − 𝑤 ) ∈ ℂ ) |
94 |
93
|
abscld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ∈ ℝ ) |
95 |
65 94
|
resubcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) → ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ∈ ℝ ) |
96 |
95
|
rexrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) → ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ∈ ℝ* ) |
97 |
65 94
|
readdcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) → ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ∈ ℝ ) |
98 |
97
|
rexrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) → ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ∈ ℝ* ) |
99 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) → ( 𝑎 (,) 𝑏 ) = ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) 𝑏 ) ) |
100 |
99
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) → ( 𝑤 ∈ ( 𝑎 (,) 𝑏 ) ↔ 𝑤 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) 𝑏 ) ) ) |
101 |
99
|
ineq1d |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) → ( ( 𝑎 (,) 𝑏 ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) = ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) 𝑏 ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) |
102 |
101
|
neeq1d |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 (,) 𝑏 ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ↔ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) 𝑏 ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) ) |
103 |
100 102
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑎 = ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) → ( ( 𝑤 ∈ ( 𝑎 (,) 𝑏 ) → ( ( 𝑎 (,) 𝑏 ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) ↔ ( 𝑤 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) 𝑏 ) → ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) 𝑏 ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) ) ) |
104 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) → ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) 𝑏 ) = ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) |
105 |
104
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) → ( 𝑤 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) 𝑏 ) ↔ 𝑤 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) ) |
106 |
104
|
ineq1d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) → ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) 𝑏 ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) = ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) |
107 |
106
|
neeq1d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) 𝑏 ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ↔ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) ) |
108 |
105 107
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) → ( ( 𝑤 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) 𝑏 ) → ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) 𝑏 ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) ↔ ( 𝑤 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) ) ) |
109 |
103 108
|
rspc2v |
⊢ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ∈ ℝ* ) → ( ∀ 𝑎 ∈ ℝ* ∀ 𝑏 ∈ ℝ* ( 𝑤 ∈ ( 𝑎 (,) 𝑏 ) → ( ( 𝑎 (,) 𝑏 ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) → ( 𝑤 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) ) ) |
110 |
96 98 109
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) → ( ∀ 𝑎 ∈ ℝ* ∀ 𝑏 ∈ ℝ* ( 𝑤 ∈ ( 𝑎 (,) 𝑏 ) → ( ( 𝑎 (,) 𝑏 ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) → ( 𝑤 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) ) ) |
111 |
60 89 110
|
mp2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) → ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ) |
112 |
|
n0 |
⊢ ( ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑦 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) |
113 |
111 112
|
sylib |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) → ∃ 𝑦 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) |
114 |
|
elinel2 |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) |
115 |
114
|
eldifad |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) → 𝑦 ∈ 𝐴 ) |
116 |
115
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝐴 ) |
117 |
65
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → 𝑤 ∈ ℝ ) |
118 |
64
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
119 |
|
elinel1 |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) |
120 |
119
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) |
121 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) ∧ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → 𝑤 ∈ ℝ ) |
122 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) ∧ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
123 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) ∧ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) |
124 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) ∧ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) |
125 |
122 121
|
subge0d |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) ∧ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → ( 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ↔ 𝑤 ≤ 𝑥 ) ) |
126 |
124 125
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) ∧ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → 𝑤 ≤ 𝑥 ) |
127 |
121 122 126
|
abssubge0d |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) ∧ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) = ( 𝑥 − 𝑤 ) ) |
128 |
127
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) ∧ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) = ( 𝑤 − ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) |
129 |
127
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) ∧ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) = ( 𝑤 + ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) |
130 |
128 129
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) ∧ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) = ( ( 𝑤 − ( 𝑥 − 𝑤 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) |
131 |
123 130
|
eleqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) ∧ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝑥 − 𝑤 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) |
132 |
|
elioore |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝑥 − 𝑤 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
133 |
132
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝑥 − 𝑤 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
134 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑤 ∈ ℝ ) |
135 |
69
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 − 𝑤 ) ∈ ℝ ) |
136 |
134 135
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑤 − ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ∈ ℝ ) |
137 |
136
|
rexrd |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑤 − ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ∈ ℝ* ) |
138 |
137
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝑥 − 𝑤 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) → ( 𝑤 − ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ∈ ℝ* ) |
139 |
134 135
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑤 + ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ∈ ℝ ) |
140 |
139
|
rexrd |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑤 + ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ∈ ℝ* ) |
141 |
140
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝑥 − 𝑤 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ∈ ℝ* ) |
142 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝑥 − 𝑤 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝑥 − 𝑤 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) |
143 |
|
iooltub |
⊢ ( ( ( 𝑤 − ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑤 + ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝑥 − 𝑤 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) → 𝑦 < ( 𝑤 + ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) |
144 |
138 141 142 143
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝑥 − 𝑤 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) → 𝑦 < ( 𝑤 + ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) |
145 |
134
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑤 ∈ ℂ ) |
146 |
80
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
147 |
145 146
|
pncan3d |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑤 + ( 𝑥 − 𝑤 ) ) = 𝑥 ) |
148 |
147
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝑥 − 𝑤 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑥 − 𝑤 ) ) = 𝑥 ) |
149 |
144 148
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝑥 − 𝑤 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) → 𝑦 < 𝑥 ) |
150 |
133 149
|
gtned |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝑥 − 𝑤 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) → 𝑥 ≠ 𝑦 ) |
151 |
121 122 131 150
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) ∧ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → 𝑥 ≠ 𝑦 ) |
152 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) ∧ ¬ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → 𝑤 ∈ ℝ ) |
153 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) ∧ ¬ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
154 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) ∧ ¬ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) |
155 |
135
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → ( 𝑥 − 𝑤 ) ∈ ℝ ) |
156 |
|
0red |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → 0 ∈ ℝ ) |
157 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → ¬ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) |
158 |
155 156
|
ltnled |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → ( ( 𝑥 − 𝑤 ) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) |
159 |
157 158
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → ( 𝑥 − 𝑤 ) < 0 ) |
160 |
155 156 159
|
ltled |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → ( 𝑥 − 𝑤 ) ≤ 0 ) |
161 |
155 160
|
absnidd |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) = - ( 𝑥 − 𝑤 ) ) |
162 |
146
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
163 |
145
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → 𝑤 ∈ ℂ ) |
164 |
162 163
|
negsubdi2d |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → - ( 𝑥 − 𝑤 ) = ( 𝑤 − 𝑥 ) ) |
165 |
161 164
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) = ( 𝑤 − 𝑥 ) ) |
166 |
165
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) = ( 𝑤 − ( 𝑤 − 𝑥 ) ) ) |
167 |
165
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) = ( 𝑤 + ( 𝑤 − 𝑥 ) ) ) |
168 |
166 167
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ¬ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) = ( ( 𝑤 − ( 𝑤 − 𝑥 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝑤 − 𝑥 ) ) ) ) |
169 |
168
|
3adantl3 |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) ∧ ¬ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) = ( ( 𝑤 − ( 𝑤 − 𝑥 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝑤 − 𝑥 ) ) ) ) |
170 |
154 169
|
eleqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) ∧ ¬ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝑤 − 𝑥 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝑤 − 𝑥 ) ) ) ) |
171 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝑤 − 𝑥 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝑤 − 𝑥 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
172 |
171
|
rexrd |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝑤 − 𝑥 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝑤 − 𝑥 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ* ) |
173 |
|
resubcl |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑤 − 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
174 |
134 173
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑤 + ( 𝑤 − 𝑥 ) ) ∈ ℝ ) |
175 |
174
|
rexrd |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑤 + ( 𝑤 − 𝑥 ) ) ∈ ℝ* ) |
176 |
175
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝑤 − 𝑥 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝑤 − 𝑥 ) ) ) ) → ( 𝑤 + ( 𝑤 − 𝑥 ) ) ∈ ℝ* ) |
177 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝑤 − 𝑥 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝑤 − 𝑥 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝑤 − 𝑥 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝑤 − 𝑥 ) ) ) ) |
178 |
145 146
|
nncand |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑤 − ( 𝑤 − 𝑥 ) ) = 𝑥 ) |
179 |
178
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑤 − ( 𝑤 − 𝑥 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝑤 − 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 (,) ( 𝑤 + ( 𝑤 − 𝑥 ) ) ) ) |
180 |
179
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝑤 − 𝑥 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝑤 − 𝑥 ) ) ) ) → ( ( 𝑤 − ( 𝑤 − 𝑥 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝑤 − 𝑥 ) ) ) = ( 𝑥 (,) ( 𝑤 + ( 𝑤 − 𝑥 ) ) ) ) |
181 |
177 180
|
eleqtrd |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝑤 − 𝑥 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝑤 − 𝑥 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝑥 (,) ( 𝑤 + ( 𝑤 − 𝑥 ) ) ) ) |
182 |
|
ioogtlb |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑤 + ( 𝑤 − 𝑥 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 (,) ( 𝑤 + ( 𝑤 − 𝑥 ) ) ) ) → 𝑥 < 𝑦 ) |
183 |
172 176 181 182
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝑤 − 𝑥 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝑤 − 𝑥 ) ) ) ) → 𝑥 < 𝑦 ) |
184 |
171 183
|
ltned |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝑤 − 𝑥 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝑤 − 𝑥 ) ) ) ) → 𝑥 ≠ 𝑦 ) |
185 |
152 153 170 184
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) ∧ ¬ 0 ≤ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) → 𝑥 ≠ 𝑦 ) |
186 |
151 185
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) → 𝑥 ≠ 𝑦 ) |
187 |
117 118 120 186
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → 𝑥 ≠ 𝑦 ) |
188 |
63
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
189 |
|
elioore |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
190 |
119 189
|
syl |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
191 |
190
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
192 |
188 191
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
193 |
192
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑦 ) ∈ ℂ ) |
194 |
193
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑦 ) ∈ ℂ ) |
195 |
194
|
abscld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑦 ) ) ∈ ℝ ) |
196 |
195
|
adantllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑦 ) ) ∈ ℝ ) |
197 |
94
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ∈ ℝ ) |
198 |
16
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → 𝑤 ∈ ℝ ) |
199 |
190
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
200 |
198 199
|
resubcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → ( 𝑤 − 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
201 |
200
|
recnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → ( 𝑤 − 𝑦 ) ∈ ℂ ) |
202 |
201
|
abscld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑦 ) ) ∈ ℝ ) |
203 |
202
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑦 ) ) ∈ ℝ ) |
204 |
197 203
|
readdcld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) + ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑦 ) ) ) ∈ ℝ ) |
205 |
19
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → 𝐸 ∈ ℝ ) |
206 |
118
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
207 |
190
|
recnd |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) → 𝑦 ∈ ℂ ) |
208 |
207
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → 𝑦 ∈ ℂ ) |
209 |
92
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → 𝑤 ∈ ℂ ) |
210 |
206 208 209
|
abs3difd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑦 ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) + ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑦 ) ) ) ) |
211 |
21
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → ( 𝐸 / 2 ) ∈ ℝ ) |
212 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) → 𝜑 ) |
213 |
61
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) |
214 |
62 146
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
215 |
62 145
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ℂ ) |
216 |
214 215
|
abssubd |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑥 ) ) ) |
217 |
216
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑥 ) ) ) |
218 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ℝ ) |
219 |
19
|
rehalfcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 / 2 ) ∈ ℝ ) |
220 |
219
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) → ( 𝐸 / 2 ) ∈ ℝ ) |
221 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) |
222 |
218 220 221
|
iooabslt |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑥 ) ) < ( 𝐸 / 2 ) ) |
223 |
217 222
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) < ( 𝐸 / 2 ) ) |
224 |
212 65 213 223
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) < ( 𝐸 / 2 ) ) |
225 |
224
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) < ( 𝐸 / 2 ) ) |
226 |
212 65 213
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) ) |
227 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ℝ ) |
228 |
189
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
229 |
227 228
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) → ( 𝑤 − 𝑦 ) ∈ ℝ ) |
230 |
229
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) → ( 𝑤 − 𝑦 ) ∈ ℂ ) |
231 |
230
|
abscld |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑦 ) ) ∈ ℝ ) |
232 |
231
|
3ad2antl2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑦 ) ) ∈ ℝ ) |
233 |
220
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) → ( 𝐸 / 2 ) ∈ ℝ ) |
234 |
214 215
|
subcld |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑤 ) ∈ ℂ ) |
235 |
234
|
abscld |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ∈ ℝ ) |
236 |
235
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ∈ ℝ ) |
237 |
236
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ∈ ℝ ) |
238 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) → 𝑤 ∈ ℝ ) |
239 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) |
240 |
238 237 239
|
iooabslt |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑦 ) ) < ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) |
241 |
223
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) < ( 𝐸 / 2 ) ) |
242 |
232 237 233 240 241
|
lttrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑦 ) ) < ( 𝐸 / 2 ) ) |
243 |
232 233 242
|
ltled |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑦 ) ) ≤ ( 𝐸 / 2 ) ) |
244 |
226 119 243
|
syl2an |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑦 ) ) ≤ ( 𝐸 / 2 ) ) |
245 |
197 203 211 211 225 244
|
ltleaddd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) + ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑦 ) ) ) < ( ( 𝐸 / 2 ) + ( 𝐸 / 2 ) ) ) |
246 |
19
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ ) |
247 |
246
|
2halvesd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 / 2 ) + ( 𝐸 / 2 ) ) = 𝐸 ) |
248 |
247
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → ( ( 𝐸 / 2 ) + ( 𝐸 / 2 ) ) = 𝐸 ) |
249 |
245 248
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) + ( abs ‘ ( 𝑤 − 𝑦 ) ) ) < 𝐸 ) |
250 |
196 204 205 210 249
|
lelttrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑦 ) ) < 𝐸 ) |
251 |
116 187 250
|
jca32 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) ) → ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑦 ) ) < 𝐸 ) ) ) |
252 |
251
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) → ( 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) → ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑦 ) ) < 𝐸 ) ) ) ) |
253 |
252
|
eximdv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) → ( ∃ 𝑦 𝑦 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) (,) ( 𝑤 + ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑤 ) ) ) ) ∩ ( 𝐴 ∖ { 𝑤 } ) ) → ∃ 𝑦 ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑦 ) ) < 𝐸 ) ) ) ) |
254 |
113 253
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) → ∃ 𝑦 ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑦 ) ) < 𝐸 ) ) ) |
255 |
|
df-rex |
⊢ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑦 ) ) < 𝐸 ) ↔ ∃ 𝑦 ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑦 ) ) < 𝐸 ) ) ) |
256 |
254 255
|
sylibr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑦 ) ) < 𝐸 ) ) |
257 |
256
|
ex |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑦 ) ) < 𝐸 ) ) ) |
258 |
257
|
reximdv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ( ( ( 𝑤 − ( 𝐸 / 2 ) ) (,) ( 𝑤 + ( 𝐸 / 2 ) ) ) ∖ { 𝑤 } ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑦 ) ) < 𝐸 ) ) ) |
259 |
59 258
|
mpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ( ( limPt ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑦 ) ) < 𝐸 ) ) |
260 |
6 259
|
exlimddv |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑥 − 𝑦 ) ) < 𝐸 ) ) |