Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
supmul1.1 |
⊢ 𝐶 = { 𝑧 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝐵 𝑧 = ( 𝐴 · 𝑣 ) } |
2 |
|
supmul1.2 |
⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥 ) ) ) |
3 |
|
vex |
⊢ 𝑤 ∈ V |
4 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑣 = 𝑏 → ( 𝐴 · 𝑣 ) = ( 𝐴 · 𝑏 ) ) |
5 |
4
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑣 = 𝑏 → ( 𝑧 = ( 𝐴 · 𝑣 ) ↔ 𝑧 = ( 𝐴 · 𝑏 ) ) ) |
6 |
5
|
cbvrexvw |
⊢ ( ∃ 𝑣 ∈ 𝐵 𝑧 = ( 𝐴 · 𝑣 ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = ( 𝐴 · 𝑏 ) ) |
7 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( 𝑧 = ( 𝐴 · 𝑏 ) ↔ 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) ) ) |
8 |
7
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 𝑧 = ( 𝐴 · 𝑏 ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) ) ) |
9 |
6 8
|
syl5bb |
⊢ ( 𝑧 = 𝑤 → ( ∃ 𝑣 ∈ 𝐵 𝑧 = ( 𝐴 · 𝑣 ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) ) ) |
10 |
3 9 1
|
elab2 |
⊢ ( 𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) ) |
11 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥 ) ) → ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥 ) ) |
12 |
2 11
|
sylbi |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥 ) ) |
13 |
12
|
simp1d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ ) |
14 |
13
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → 𝑏 ∈ ℝ ) |
15 |
|
suprcl |
⊢ ( ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥 ) → sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ∈ ℝ ) |
16 |
12 15
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ∈ ℝ ) |
17 |
16
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ∈ ℝ ) |
18 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
19 |
2 18
|
sylbi |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
20 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥 ) ) → 0 ≤ 𝐴 ) |
21 |
2 20
|
sylbi |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ 𝐴 ) |
22 |
19 21
|
jca |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ) |
23 |
22
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ) |
24 |
|
suprub |
⊢ ( ( ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → 𝑏 ≤ sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) |
25 |
12 24
|
sylan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → 𝑏 ≤ sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) |
26 |
|
lemul2a |
⊢ ( ( ( 𝑏 ∈ ℝ ∧ sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ) ) ∧ 𝑏 ≤ sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) → ( 𝐴 · 𝑏 ) ≤ ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) |
27 |
14 17 23 25 26
|
syl31anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐴 · 𝑏 ) ≤ ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) |
28 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) → ( 𝑤 ≤ ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ↔ ( 𝐴 · 𝑏 ) ≤ ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) ) |
29 |
27 28
|
syl5ibrcom |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) → 𝑤 ≤ ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) ) |
30 |
29
|
rexlimdva |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) → 𝑤 ≤ ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) ) |
31 |
10 30
|
syl5bi |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ≤ ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) ) |
32 |
31
|
ralrimiv |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) |
33 |
19
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
34 |
33 14
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐴 · 𝑏 ) ∈ ℝ ) |
35 |
|
eleq1a |
⊢ ( ( 𝐴 · 𝑏 ) ∈ ℝ → ( 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) → 𝑤 ∈ ℝ ) ) |
36 |
34 35
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) → 𝑤 ∈ ℝ ) ) |
37 |
36
|
rexlimdva |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) → 𝑤 ∈ ℝ ) ) |
38 |
10 37
|
syl5bi |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑤 ∈ 𝐶 → 𝑤 ∈ ℝ ) ) |
39 |
38
|
ssrdv |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ⊆ ℝ ) |
40 |
|
simpr2 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥 ) ) → 𝐵 ≠ ∅ ) |
41 |
2 40
|
sylbi |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≠ ∅ ) |
42 |
|
ovex |
⊢ ( 𝐴 · 𝑏 ) ∈ V |
43 |
42
|
isseti |
⊢ ∃ 𝑤 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) |
44 |
43
|
rgenw |
⊢ ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ∃ 𝑤 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) |
45 |
|
r19.2z |
⊢ ( ( 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ∃ 𝑤 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) ) → ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 ∃ 𝑤 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) ) |
46 |
41 44 45
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 ∃ 𝑤 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) ) |
47 |
10
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑤 𝑤 ∈ 𝐶 ↔ ∃ 𝑤 ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) ) |
48 |
|
n0 |
⊢ ( 𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑤 𝑤 ∈ 𝐶 ) |
49 |
|
rexcom4 |
⊢ ( ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 ∃ 𝑤 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) ↔ ∃ 𝑤 ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) ) |
50 |
47 48 49
|
3bitr4i |
⊢ ( 𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 ∃ 𝑤 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) ) |
51 |
46 50
|
sylibr |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ≠ ∅ ) |
52 |
19 16
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ∈ ℝ ) |
53 |
|
brralrspcev |
⊢ ( ( ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ∈ ℝ ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥 ) |
54 |
52 32 53
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥 ) |
55 |
39 51 54
|
3jca |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥 ) ) |
56 |
|
suprleub |
⊢ ( ( ( 𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥 ) ∧ ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ∈ ℝ ) → ( sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ≤ ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ↔ ∀ 𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) ) |
57 |
55 52 56
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ≤ ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ↔ ∀ 𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) ) |
58 |
32 57
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ≤ ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) |
59 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) → sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) |
60 |
|
suprcl |
⊢ ( ( 𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥 ) → sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ∈ ℝ ) |
61 |
55 60
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ∈ ℝ ) |
62 |
61
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) → sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ∈ ℝ ) |
63 |
16
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) → sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ∈ ℝ ) |
64 |
19
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
65 |
|
n0 |
⊢ ( 𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑏 𝑏 ∈ 𝐵 ) |
66 |
|
0red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → 0 ∈ ℝ ) |
67 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥 ) |
68 |
2 67
|
sylbi |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥 ) |
69 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ( 0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑏 ) ) |
70 |
69
|
rspccva |
⊢ ( ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → 0 ≤ 𝑏 ) |
71 |
68 70
|
sylan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → 0 ≤ 𝑏 ) |
72 |
66 14 17 71 25
|
letrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → 0 ≤ sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) |
73 |
72
|
ex |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑏 ∈ 𝐵 → 0 ≤ sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) |
74 |
73
|
exlimdv |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑏 𝑏 ∈ 𝐵 → 0 ≤ sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) |
75 |
65 74
|
syl5bi |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ≠ ∅ → 0 ≤ sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) |
76 |
41 75
|
mpd |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) |
77 |
76
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) → 0 ≤ sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) |
78 |
|
0red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶 ) → 0 ∈ ℝ ) |
79 |
38
|
imp |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶 ) → 𝑤 ∈ ℝ ) |
80 |
61
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶 ) → sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ∈ ℝ ) |
81 |
21
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → 0 ≤ 𝐴 ) |
82 |
33 14 81 71
|
mulge0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → 0 ≤ ( 𝐴 · 𝑏 ) ) |
83 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) → ( 0 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ ( 𝐴 · 𝑏 ) ) ) |
84 |
82 83
|
syl5ibrcom |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) → 0 ≤ 𝑤 ) ) |
85 |
84
|
rexlimdva |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) → 0 ≤ 𝑤 ) ) |
86 |
10 85
|
syl5bi |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑤 ∈ 𝐶 → 0 ≤ 𝑤 ) ) |
87 |
86
|
imp |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶 ) → 0 ≤ 𝑤 ) |
88 |
|
suprub |
⊢ ( ( ( 𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑤 ∈ 𝐶 𝑤 ≤ 𝑥 ) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶 ) → 𝑤 ≤ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ) |
89 |
55 88
|
sylan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶 ) → 𝑤 ≤ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ) |
90 |
78 79 80 87 89
|
letrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐶 ) → 0 ≤ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ) |
91 |
90
|
ex |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑤 ∈ 𝐶 → 0 ≤ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ) ) |
92 |
91
|
exlimdv |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑤 𝑤 ∈ 𝐶 → 0 ≤ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ) ) |
93 |
48 92
|
syl5bi |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ≠ ∅ → 0 ≤ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ) ) |
94 |
51 93
|
mpd |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ) |
95 |
94
|
anim1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) → ( 0 ≤ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) ) |
96 |
|
0red |
⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℝ ) |
97 |
|
lelttr |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ∈ ℝ ) → ( ( 0 ≤ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) → 0 < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) ) |
98 |
96 61 52 97
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 ≤ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) → 0 < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) ) |
99 |
98
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) → ( ( 0 ≤ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) → 0 < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) ) |
100 |
95 99
|
mpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) → 0 < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) |
101 |
|
prodgt02 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ∈ ℝ ) ∧ ( 0 ≤ sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ∧ 0 < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) ) → 0 < 𝐴 ) |
102 |
64 63 77 100 101
|
syl22anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) → 0 < 𝐴 ) |
103 |
|
ltdivmul |
⊢ ( ( sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ∈ ℝ ∧ sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ) → ( ( sup ( 𝐶 , ℝ , < ) / 𝐴 ) < sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ↔ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) ) |
104 |
62 63 64 102 103
|
syl112anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) → ( ( sup ( 𝐶 , ℝ , < ) / 𝐴 ) < sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ↔ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) ) |
105 |
59 104
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) → ( sup ( 𝐶 , ℝ , < ) / 𝐴 ) < sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) |
106 |
12
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) → ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥 ) ) |
107 |
102
|
gt0ne0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) → 𝐴 ≠ 0 ) |
108 |
62 64 107
|
redivcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) → ( sup ( 𝐶 , ℝ , < ) / 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
109 |
|
suprlub |
⊢ ( ( ( 𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃ 𝑥 ∈ ℝ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ≤ 𝑥 ) ∧ ( sup ( 𝐶 , ℝ , < ) / 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( ( sup ( 𝐶 , ℝ , < ) / 𝐴 ) < sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 ( sup ( 𝐶 , ℝ , < ) / 𝐴 ) < 𝑏 ) ) |
110 |
106 108 109
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) → ( ( sup ( 𝐶 , ℝ , < ) / 𝐴 ) < sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 ( sup ( 𝐶 , ℝ , < ) / 𝐴 ) < 𝑏 ) ) |
111 |
105 110
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) → ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 ( sup ( 𝐶 , ℝ , < ) / 𝐴 ) < 𝑏 ) |
112 |
34
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐴 · 𝑏 ) ∈ ℝ ) |
113 |
61
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ∈ ℝ ) |
114 |
|
rspe |
⊢ ( ( 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) ) → ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) ) |
115 |
114 10
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) ) → 𝑤 ∈ 𝐶 ) |
116 |
115
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) ) ) → 𝑤 ∈ 𝐶 ) |
117 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶 ) → 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) ) |
118 |
89
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶 ) → 𝑤 ≤ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ) |
119 |
117 118
|
eqbrtrrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶 ) → ( 𝐴 · 𝑏 ) ≤ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ) |
120 |
116 119
|
mpdan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) ) ) → ( 𝐴 · 𝑏 ) ≤ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ) |
121 |
120
|
expr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) → ( 𝐴 · 𝑏 ) ≤ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ) ) |
122 |
121
|
exlimdv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑤 𝑤 = ( 𝐴 · 𝑏 ) → ( 𝐴 · 𝑏 ) ≤ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ) ) |
123 |
43 122
|
mpi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐴 · 𝑏 ) ≤ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ) |
124 |
123
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐴 · 𝑏 ) ≤ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ) |
125 |
112 113 124
|
lensymd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → ¬ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · 𝑏 ) ) |
126 |
14
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → 𝑏 ∈ ℝ ) |
127 |
19
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
128 |
102
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → 0 < 𝐴 ) |
129 |
|
ltdivmul |
⊢ ( ( sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ) → ( ( sup ( 𝐶 , ℝ , < ) / 𝐴 ) < 𝑏 ↔ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · 𝑏 ) ) ) |
130 |
113 126 127 128 129
|
syl112anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → ( ( sup ( 𝐶 , ℝ , < ) / 𝐴 ) < 𝑏 ↔ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · 𝑏 ) ) ) |
131 |
125 130
|
mtbird |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → ¬ ( sup ( 𝐶 , ℝ , < ) / 𝐴 ) < 𝑏 ) |
132 |
131
|
nrexdv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) → ¬ ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 ( sup ( 𝐶 , ℝ , < ) / 𝐴 ) < 𝑏 ) |
133 |
111 132
|
pm2.65da |
⊢ ( 𝜑 → ¬ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) |
134 |
58 133
|
jca |
⊢ ( 𝜑 → ( sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ≤ ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ∧ ¬ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) ) |
135 |
61 52
|
eqleltd |
⊢ ( 𝜑 → ( sup ( 𝐶 , ℝ , < ) = ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ↔ ( sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ≤ ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ∧ ¬ sup ( 𝐶 , ℝ , < ) < ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) ) ) |
136 |
134 135
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → sup ( 𝐶 , ℝ , < ) = ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) ) |
137 |
136
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 · sup ( 𝐵 , ℝ , < ) ) = sup ( 𝐶 , ℝ , < ) ) |