Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝐴 = 0 → ( ℜ ‘ 𝐴 ) = ( ℜ ‘ 0 ) ) |
2 |
|
re0 |
⊢ ( ℜ ‘ 0 ) = 0 |
3 |
1 2
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝐴 = 0 → ( ℜ ‘ 𝐴 ) = 0 ) |
4 |
3
|
necon3i |
⊢ ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0 ) |
5 |
|
logcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( log ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
6 |
4 5
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( log ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
7 |
6
|
imcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
8 |
7
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
9 |
|
sqcl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝐴 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
10 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( 𝐴 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
11 |
|
abscl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( abs ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
12 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( abs ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
13 |
12
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( abs ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
14 |
13
|
sqcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
15 |
|
absrpcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( abs ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ+ ) |
16 |
4 15
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( abs ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ+ ) |
17 |
16
|
rpne0d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( abs ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) |
18 |
|
sqne0 |
⊢ ( ( abs ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ → ( ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ≠ 0 ↔ ( abs ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) ) |
19 |
13 18
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ≠ 0 ↔ ( abs ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) ) |
20 |
17 19
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ≠ 0 ) |
21 |
10 14 14 20
|
divdird |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) / ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) / ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) + ( ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) / ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) ) |
22 |
|
ax-icn |
⊢ i ∈ ℂ |
23 |
|
mulcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) → ( i · ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ) |
24 |
22 8 23
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( i · ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ) |
25 |
|
2z |
⊢ 2 ∈ ℤ |
26 |
|
efexp |
⊢ ( ( ( i · ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ ) → ( exp ‘ ( 2 · ( i · ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) = ( ( exp ‘ ( i · ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) |
27 |
24 25 26
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( exp ‘ ( 2 · ( i · ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) = ( ( exp ‘ ( i · ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) |
28 |
|
efiarg |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( exp ‘ ( i · ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) = ( 𝐴 / ( abs ‘ 𝐴 ) ) ) |
29 |
4 28
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( exp ‘ ( i · ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) = ( 𝐴 / ( abs ‘ 𝐴 ) ) ) |
30 |
29
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( exp ‘ ( i · ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) ↑ 2 ) = ( ( 𝐴 / ( abs ‘ 𝐴 ) ) ↑ 2 ) ) |
31 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
32 |
31 13 17
|
sqdivd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 / ( abs ‘ 𝐴 ) ) ↑ 2 ) = ( ( 𝐴 ↑ 2 ) / ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) |
33 |
27 30 32
|
3eqtrrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) / ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = ( exp ‘ ( 2 · ( i · ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
34 |
14 20
|
dividd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) / ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = 1 ) |
35 |
33 34
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) / ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) + ( ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) / ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( exp ‘ ( 2 · ( i · ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) + 1 ) ) |
36 |
21 35
|
eqtr2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( exp ‘ ( 2 · ( i · ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) + 1 ) = ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) / ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) |
37 |
10 14
|
addcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
38 |
22
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → i ∈ ℂ ) |
39 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
40 |
|
recl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
41 |
40
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
42 |
41
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
43 |
42
|
sqcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
44 |
|
mulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) → ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
45 |
39 43 44
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
46 |
39
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → 2 ∈ ℂ ) |
47 |
|
imcl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ℑ ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
48 |
47
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ℑ ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
49 |
48
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ℑ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
50 |
42 49
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
51 |
38 46 50
|
mul12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( i · ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) = ( 2 · ( i · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
52 |
38 42 49
|
mul12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( i · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) = ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
53 |
52
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( 2 · ( i · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) = ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
54 |
51 53
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( i · ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) = ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
55 |
|
mulcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ ( ℑ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) → ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
56 |
22 49 55
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
57 |
42 56
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ) |
58 |
|
mulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ) → ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
59 |
39 57 58
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
60 |
54 59
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( i · ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
61 |
38 45 60
|
adddid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( i · ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) + ( i · ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( ( i · ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) + ( i · ( i · ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
62 |
|
mulcl |
⊢ ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ) → ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ∈ ℂ ) |
63 |
42 22 62
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ∈ ℂ ) |
64 |
46 63 42
|
mulassd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) = ( 2 · ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
65 |
42
|
sqvald |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) = ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) |
66 |
65
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) · i ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · i ) ) |
67 |
|
mulcom |
⊢ ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ) → ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) · i ) = ( i · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) |
68 |
43 22 67
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) · i ) = ( i · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) |
69 |
42 42 38
|
mul32d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · i ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) |
70 |
66 68 69
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( i · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) |
71 |
70
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( 2 · ( i · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) = ( 2 · ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
72 |
46 38 43
|
mul12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( 2 · ( i · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) = ( i · ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) ) |
73 |
64 71 72
|
3eqtr2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) = ( i · ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) ) |
74 |
|
ixi |
⊢ ( i · i ) = - 1 |
75 |
74
|
oveq1i |
⊢ ( ( i · i ) · ( ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) = ( - 1 · ( ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) |
76 |
|
mulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ ( ℑ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) → ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
77 |
39 49 76
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
78 |
77 42
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
79 |
38 38 78
|
mulassd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( i · i ) · ( ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) = ( i · ( i · ( ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
80 |
75 79
|
eqtr3id |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( - 1 · ( ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) = ( i · ( i · ( ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
81 |
78
|
mulm1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( - 1 · ( ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) = - ( ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) |
82 |
46 49 42
|
mulassd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) = ( 2 · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
83 |
49 42
|
mulcomd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) = ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) |
84 |
83
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( 2 · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) = ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
85 |
82 84
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) = ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
86 |
85
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( i · ( ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) = ( i · ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
87 |
86
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( i · ( i · ( ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) ) = ( i · ( i · ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
88 |
80 81 87
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → - ( ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) = ( i · ( i · ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
89 |
73 88
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + - ( ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) = ( ( i · ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) + ( i · ( i · ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
90 |
|
mulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ∈ ℂ ) → ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) ∈ ℂ ) |
91 |
39 63 90
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) ∈ ℂ ) |
92 |
91 42
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
93 |
92 78
|
negsubd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + - ( ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) = ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) − ( ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
94 |
61 89 93
|
3eqtr2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( i · ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) + ( i · ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) − ( ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
95 |
49
|
sqcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
96 |
59 95
|
subcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
97 |
43 96 43 95
|
add4d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) + ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) + ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) + ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) + ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) ) |
98 |
|
replim |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
99 |
98
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → 𝐴 = ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
100 |
99
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( 𝐴 ↑ 2 ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) ) |
101 |
|
binom2 |
⊢ ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) + ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) + ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
102 |
42 56 101
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) + ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) + ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
103 |
|
sqmul |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ ( ℑ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) → ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ↑ 2 ) = ( ( i ↑ 2 ) · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) |
104 |
22 49 103
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ↑ 2 ) = ( ( i ↑ 2 ) · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) |
105 |
|
i2 |
⊢ ( i ↑ 2 ) = - 1 |
106 |
105
|
oveq1i |
⊢ ( ( i ↑ 2 ) · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = ( - 1 · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) |
107 |
104 106
|
eqtrdi |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ↑ 2 ) = ( - 1 · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) |
108 |
95
|
mulm1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( - 1 · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = - ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) |
109 |
107 108
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ↑ 2 ) = - ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) |
110 |
109
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) + ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) + ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) + ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) + - ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) |
111 |
43 59
|
addcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) + ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
112 |
111 95
|
negsubd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) + ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) + - ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) + ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) |
113 |
102 110 112
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) + ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) |
114 |
43 59 95
|
addsubassd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) + ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) + ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) ) |
115 |
100 113 114
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( 𝐴 ↑ 2 ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) + ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) ) |
116 |
|
absvalsq2 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) |
117 |
116
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) |
118 |
115 117
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) + ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) + ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) ) |
119 |
43
|
2timesd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) + ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) |
120 |
59 95
|
npcand |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
121 |
53 51 120
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( i · ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) = ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) |
122 |
119 121
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) + ( i · ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) + ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) + ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) ) |
123 |
97 118 122
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) + ( i · ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
124 |
123
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( i · ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) = ( i · ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) + ( i · ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
125 |
91 77 42
|
subdird |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) − ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) = ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) − ( ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
126 |
94 124 125
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( i · ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) − ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) |
127 |
91 77
|
subcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) − ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ) |
128 |
|
mulcom |
⊢ ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ) → ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) = ( i · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) |
129 |
42 22 128
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) = ( i · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) |
130 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) |
131 |
|
eleq1 |
⊢ ( ( i · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) = ( ℑ ‘ 𝐴 ) → ( ( i · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ↔ ( ℑ ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) ) |
132 |
48 131
|
syl5ibrcom |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( i · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) = ( ℑ ‘ 𝐴 ) → ( i · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) ) |
133 |
|
rimul |
⊢ ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ ( i · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) → ( ℜ ‘ 𝐴 ) = 0 ) |
134 |
41 132 133
|
syl6an |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( i · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) = ( ℑ ‘ 𝐴 ) → ( ℜ ‘ 𝐴 ) = 0 ) ) |
135 |
134
|
necon3d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 → ( i · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ≠ ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) |
136 |
130 135
|
mpd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( i · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ≠ ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) |
137 |
129 136
|
eqnetrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ≠ ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) |
138 |
91 77
|
subeq0ad |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) − ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) = 0 ↔ ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) = ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
139 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
140 |
139
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → 2 ≠ 0 ) |
141 |
63 49 46 140
|
mulcand |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) = ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ↔ ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) = ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) |
142 |
138 141
|
bitrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) − ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) = 0 ↔ ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) = ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) |
143 |
142
|
necon3bid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) − ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ≠ ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) |
144 |
137 143
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) − ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ≠ 0 ) |
145 |
127 42 144 130
|
mulne0d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) − ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0 ) |
146 |
126 145
|
eqnetrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( i · ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) ≠ 0 ) |
147 |
|
oveq2 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = 0 → ( i · ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) = ( i · 0 ) ) |
148 |
|
it0e0 |
⊢ ( i · 0 ) = 0 |
149 |
147 148
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = 0 → ( i · ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) = 0 ) |
150 |
149
|
necon3i |
⊢ ( ( i · ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) ≠ 0 → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ≠ 0 ) |
151 |
146 150
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ≠ 0 ) |
152 |
37 14 151 20
|
divne0d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) / ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ≠ 0 ) |
153 |
36 152
|
eqnetrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( exp ‘ ( 2 · ( i · ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) + 1 ) ≠ 0 ) |
154 |
|
tanval3 |
⊢ ( ( ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ∧ ( ( exp ‘ ( 2 · ( i · ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) + 1 ) ≠ 0 ) → ( tan ‘ ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) = ( ( ( exp ‘ ( 2 · ( i · ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) − 1 ) / ( i · ( ( exp ‘ ( 2 · ( i · ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) + 1 ) ) ) ) |
155 |
8 153 154
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( tan ‘ ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) = ( ( ( exp ‘ ( 2 · ( i · ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) − 1 ) / ( i · ( ( exp ‘ ( 2 · ( i · ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) + 1 ) ) ) ) |
156 |
10 14 14 20
|
divsubdird |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) / ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) / ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) − ( ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) / ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) ) |
157 |
33 34
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) / ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) − ( ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) / ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( exp ‘ ( 2 · ( i · ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) − 1 ) ) |
158 |
156 157
|
eqtr2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( exp ‘ ( 2 · ( i · ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) − 1 ) = ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) / ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) |
159 |
36
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( i · ( ( exp ‘ ( 2 · ( i · ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) + 1 ) ) = ( i · ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) / ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) ) |
160 |
38 37 14 20
|
divassd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( i · ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) / ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = ( i · ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) / ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) ) |
161 |
159 160
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( i · ( ( exp ‘ ( 2 · ( i · ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) + 1 ) ) = ( ( i · ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) / ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) |
162 |
158 161
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( exp ‘ ( 2 · ( i · ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) − 1 ) / ( i · ( ( exp ‘ ( 2 · ( i · ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) / ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) / ( ( i · ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) / ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) ) |
163 |
10 14
|
subcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
164 |
|
mulcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) → ( i · ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
165 |
22 37 164
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( i · ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
166 |
163 165 14 146 20
|
divcan7d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) / ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) / ( ( i · ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) / ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) / ( i · ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) ) ) |
167 |
115 117
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) + ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) − ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) ) |
168 |
43 96 95
|
pnpcand |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) + ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) − ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) |
169 |
59 95 95
|
subsub4d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) − ( ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) ) |
170 |
95
|
2timesd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( 2 · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) |
171 |
170
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) − ( 2 · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) − ( ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) ) |
172 |
46 63 49
|
mulassd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) = ( 2 · ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
173 |
42 38 49
|
mulassd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) = ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
174 |
173
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( 2 · ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) = ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
175 |
172 174
|
eqtr2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) = ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) |
176 |
49
|
sqvald |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) = ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) |
177 |
176
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( 2 · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
178 |
46 49 49
|
mulassd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) = ( 2 · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
179 |
177 178
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( 2 · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = ( ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) |
180 |
175 179
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) − ( 2 · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) − ( ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
181 |
91 77 49
|
subdird |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) − ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) = ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) − ( ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
182 |
180 181
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) − ( 2 · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) − ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) |
183 |
169 171 182
|
3eqtr2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) − ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) |
184 |
167 168 183
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) − ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) |
185 |
184 126
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) / ( i · ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) − ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) / ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) − ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
186 |
49 42 127 130 144
|
divcan5d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) − ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) / ( ( ( 2 · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · i ) ) − ( 2 · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) · ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) = ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) / ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) |
187 |
166 185 186
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) / ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) / ( ( i · ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) / ( ( abs ‘ 𝐴 ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) / ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) |
188 |
155 162 187
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( tan ‘ ( ℑ ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) = ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) / ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) |