Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elioore |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
2 |
1
|
recoscld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( cos ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
3 |
1 2
|
remulcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 𝐴 · ( cos ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
4 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
5 |
|
rehalfcl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 𝐴 / 2 ) ∈ ℝ ) |
6 |
1 5
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 𝐴 / 2 ) ∈ ℝ ) |
7 |
6
|
resqcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
8 |
|
3nn |
⊢ 3 ∈ ℕ |
9 |
|
nndivre |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ∈ ℝ ) |
10 |
7 8 9
|
sylancl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ∈ ℝ ) |
11 |
|
resubcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ∈ ℝ ) → ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ∈ ℝ ) |
12 |
4 10 11
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ∈ ℝ ) |
13 |
1 12
|
remulcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 𝐴 · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ∈ ℝ ) |
14 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
15 |
|
remulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ∈ ℝ ) → ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ∈ ℝ ) |
16 |
14 10 15
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ∈ ℝ ) |
17 |
|
resubcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ∈ ℝ ) → ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ∈ ℝ ) |
18 |
4 16 17
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ∈ ℝ ) |
19 |
13 18
|
remulcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 𝐴 · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) · ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
20 |
1
|
resincld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( sin ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
21 |
12
|
resqcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
22 |
|
remulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) → ( 2 · ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
23 |
14 21 22
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 2 · ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
24 |
|
resubcl |
⊢ ( ( ( 2 · ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ) → ( ( 2 · ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ↑ 2 ) ) − 1 ) ∈ ℝ ) |
25 |
23 4 24
|
sylancl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 2 · ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ↑ 2 ) ) − 1 ) ∈ ℝ ) |
26 |
12 18
|
remulcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) · ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
27 |
1
|
recnd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
28 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
29 |
28
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 2 ∈ ℂ ) |
30 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
31 |
30
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 2 ≠ 0 ) |
32 |
27 29 31
|
divcan2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 2 · ( 𝐴 / 2 ) ) = 𝐴 ) |
33 |
32
|
fveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( cos ‘ ( 2 · ( 𝐴 / 2 ) ) ) = ( cos ‘ 𝐴 ) ) |
34 |
6
|
recnd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 𝐴 / 2 ) ∈ ℂ ) |
35 |
|
cos2t |
⊢ ( ( 𝐴 / 2 ) ∈ ℂ → ( cos ‘ ( 2 · ( 𝐴 / 2 ) ) ) = ( ( 2 · ( ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ↑ 2 ) ) − 1 ) ) |
36 |
34 35
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( cos ‘ ( 2 · ( 𝐴 / 2 ) ) ) = ( ( 2 · ( ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ↑ 2 ) ) − 1 ) ) |
37 |
33 36
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( cos ‘ 𝐴 ) = ( ( 2 · ( ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ↑ 2 ) ) − 1 ) ) |
38 |
6
|
recoscld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
39 |
38
|
resqcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
40 |
|
remulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ ( ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) → ( 2 · ( ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
41 |
14 39 40
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 2 · ( ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
42 |
4
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 1 ∈ ℝ ) |
43 |
14
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 2 ∈ ℝ ) |
44 |
|
eliooord |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < ( π / 2 ) ) ) |
45 |
44
|
simpld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 0 < 𝐴 ) |
46 |
|
2pos |
⊢ 0 < 2 |
47 |
46
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 0 < 2 ) |
48 |
1 43 45 47
|
divgt0d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 0 < ( 𝐴 / 2 ) ) |
49 |
|
pire |
⊢ π ∈ ℝ |
50 |
|
rehalfcl |
⊢ ( π ∈ ℝ → ( π / 2 ) ∈ ℝ ) |
51 |
49 50
|
mp1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( π / 2 ) ∈ ℝ ) |
52 |
44
|
simprd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 𝐴 < ( π / 2 ) ) |
53 |
|
pigt2lt4 |
⊢ ( 2 < π ∧ π < 4 ) |
54 |
53
|
simpri |
⊢ π < 4 |
55 |
|
2t2e4 |
⊢ ( 2 · 2 ) = 4 |
56 |
54 55
|
breqtrri |
⊢ π < ( 2 · 2 ) |
57 |
14 46
|
pm3.2i |
⊢ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) |
58 |
|
ltdivmul |
⊢ ( ( π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) → ( ( π / 2 ) < 2 ↔ π < ( 2 · 2 ) ) ) |
59 |
49 14 57 58
|
mp3an |
⊢ ( ( π / 2 ) < 2 ↔ π < ( 2 · 2 ) ) |
60 |
56 59
|
mpbir |
⊢ ( π / 2 ) < 2 |
61 |
60
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( π / 2 ) < 2 ) |
62 |
1 51 43 52 61
|
lttrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 𝐴 < 2 ) |
63 |
28
|
mulid2i |
⊢ ( 1 · 2 ) = 2 |
64 |
62 63
|
breqtrrdi |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 𝐴 < ( 1 · 2 ) ) |
65 |
|
ltdivmul2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) → ( ( 𝐴 / 2 ) < 1 ↔ 𝐴 < ( 1 · 2 ) ) ) |
66 |
1 42 43 47 65
|
syl112anc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 𝐴 / 2 ) < 1 ↔ 𝐴 < ( 1 · 2 ) ) ) |
67 |
64 66
|
mpbird |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 𝐴 / 2 ) < 1 ) |
68 |
6 42 67
|
ltled |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 𝐴 / 2 ) ≤ 1 ) |
69 |
|
0xr |
⊢ 0 ∈ ℝ* |
70 |
|
elioc2 |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 / 2 ) ∈ ( 0 (,] 1 ) ↔ ( ( 𝐴 / 2 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( 𝐴 / 2 ) ∧ ( 𝐴 / 2 ) ≤ 1 ) ) ) |
71 |
69 4 70
|
mp2an |
⊢ ( ( 𝐴 / 2 ) ∈ ( 0 (,] 1 ) ↔ ( ( 𝐴 / 2 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( 𝐴 / 2 ) ∧ ( 𝐴 / 2 ) ≤ 1 ) ) |
72 |
6 48 68 71
|
syl3anbrc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 𝐴 / 2 ) ∈ ( 0 (,] 1 ) ) |
73 |
|
cos01bnd |
⊢ ( ( 𝐴 / 2 ) ∈ ( 0 (,] 1 ) → ( ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ∧ ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) < ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) |
74 |
72 73
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ∧ ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) < ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) |
75 |
74
|
simprd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) < ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) |
76 |
|
cos01gt0 |
⊢ ( ( 𝐴 / 2 ) ∈ ( 0 (,] 1 ) → 0 < ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) |
77 |
72 76
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 0 < ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) |
78 |
|
0re |
⊢ 0 ∈ ℝ |
79 |
|
ltle |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ∈ ℝ ) → ( 0 < ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) → 0 ≤ ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) ) |
80 |
78 38 79
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 0 < ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) → 0 ≤ ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) ) |
81 |
77 80
|
mpd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 0 ≤ ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) |
82 |
78
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 0 ∈ ℝ ) |
83 |
82 38 12 77 75
|
lttrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 0 < ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) |
84 |
82 12 83
|
ltled |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 0 ≤ ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) |
85 |
38 12 81 84
|
lt2sqd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) < ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ↔ ( ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ↑ 2 ) < ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
86 |
75 85
|
mpbid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ↑ 2 ) < ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ↑ 2 ) ) |
87 |
|
ltmul2 |
⊢ ( ( ( ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ∧ ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) → ( ( ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ↑ 2 ) < ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ↑ 2 ) ↔ ( 2 · ( ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ↑ 2 ) ) < ( 2 · ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
88 |
39 21 43 47 87
|
syl112anc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ↑ 2 ) < ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ↑ 2 ) ↔ ( 2 · ( ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ↑ 2 ) ) < ( 2 · ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
89 |
86 88
|
mpbid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 2 · ( ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ↑ 2 ) ) < ( 2 · ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
90 |
41 23 42 89
|
ltsub1dd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 2 · ( ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ↑ 2 ) ) − 1 ) < ( ( 2 · ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ↑ 2 ) ) − 1 ) ) |
91 |
37 90
|
eqbrtrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( cos ‘ 𝐴 ) < ( ( 2 · ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ↑ 2 ) ) − 1 ) ) |
92 |
|
3re |
⊢ 3 ∈ ℝ |
93 |
|
remulcl |
⊢ ( ( 3 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ∈ ℝ ) → ( 3 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ∈ ℝ ) |
94 |
92 10 93
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 3 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ∈ ℝ ) |
95 |
|
4re |
⊢ 4 ∈ ℝ |
96 |
|
remulcl |
⊢ ( ( 4 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ∈ ℝ ) → ( 4 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ∈ ℝ ) |
97 |
95 10 96
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 4 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ∈ ℝ ) |
98 |
10
|
resqcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
99 |
|
remulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) → ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
100 |
14 98 99
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
101 |
|
readdcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) → ( 1 + ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
102 |
4 100 101
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 1 + ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
103 |
|
3lt4 |
⊢ 3 < 4 |
104 |
92
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 3 ∈ ℝ ) |
105 |
95
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 4 ∈ ℝ ) |
106 |
48
|
gt0ne0d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 𝐴 / 2 ) ≠ 0 ) |
107 |
6 106
|
sqgt0d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 0 < ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) ) |
108 |
|
3pos |
⊢ 0 < 3 |
109 |
108
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 0 < 3 ) |
110 |
7 104 107 109
|
divgt0d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 0 < ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) |
111 |
|
ltmul1 |
⊢ ( ( 3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) → ( 3 < 4 ↔ ( 3 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) < ( 4 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) |
112 |
104 105 10 110 111
|
syl112anc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 3 < 4 ↔ ( 3 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) < ( 4 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) |
113 |
103 112
|
mpbii |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 3 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) < ( 4 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) |
114 |
94 97 102 113
|
ltsub2dd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 1 + ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) − ( 4 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) < ( ( 1 + ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) − ( 3 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) |
115 |
42
|
recnd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 1 ∈ ℂ ) |
116 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
117 |
100
|
recnd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
118 |
|
addcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) → ( 1 + ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
119 |
116 117 118
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 1 + ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
120 |
97
|
recnd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 4 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ∈ ℂ ) |
121 |
119 120
|
subcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 1 + ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) − ( 4 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ∈ ℂ ) |
122 |
|
sq1 |
⊢ ( 1 ↑ 2 ) = 1 |
123 |
122
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 1 ↑ 2 ) = 1 ) |
124 |
10
|
recnd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ∈ ℂ ) |
125 |
124
|
mulid2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 1 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) = ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) |
126 |
125
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 2 · ( 1 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) |
127 |
123 126
|
oveq12d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 1 ↑ 2 ) − ( 2 · ( 1 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) |
128 |
127
|
oveq1d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( ( 1 ↑ 2 ) − ( 2 · ( 1 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) + ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) = ( ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) + ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) |
129 |
|
binom2sub |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ∈ ℂ ) → ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 1 ↑ 2 ) − ( 2 · ( 1 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) + ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) |
130 |
116 124 129
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 1 ↑ 2 ) − ( 2 · ( 1 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) + ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) |
131 |
98
|
recnd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
132 |
16
|
recnd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ∈ ℂ ) |
133 |
115 131 132
|
addsubd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 1 + ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) + ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) |
134 |
128 130 133
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ↑ 2 ) = ( ( 1 + ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) |
135 |
134
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 2 · ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · ( ( 1 + ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) |
136 |
|
addcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) → ( 1 + ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
137 |
116 131 136
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 1 + ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
138 |
29 137 132
|
subdid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 2 · ( ( 1 + ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( 2 · ( 1 + ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) − ( 2 · ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) |
139 |
29 115 131
|
adddid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 2 · ( 1 + ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( 2 · 1 ) + ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) ) |
140 |
116
|
2timesi |
⊢ ( 2 · 1 ) = ( 1 + 1 ) |
141 |
140
|
oveq1i |
⊢ ( ( 2 · 1 ) + ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( 1 + 1 ) + ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) |
142 |
115 115 117
|
addassd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 1 + 1 ) + ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) = ( 1 + ( 1 + ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) ) ) |
143 |
141 142
|
syl5eq |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 2 · 1 ) + ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) = ( 1 + ( 1 + ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) ) ) |
144 |
139 143
|
eqtrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 2 · ( 1 + ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) = ( 1 + ( 1 + ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) ) ) |
145 |
29 29 124
|
mulassd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 2 · 2 ) · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) = ( 2 · ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) |
146 |
55
|
oveq1i |
⊢ ( ( 2 · 2 ) · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) = ( 4 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) |
147 |
145 146
|
eqtr3di |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 2 · ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 4 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) |
148 |
144 147
|
oveq12d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 2 · ( 1 + ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) − ( 2 · ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( 1 + ( 1 + ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) ) − ( 4 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) |
149 |
115 119 120 148
|
assraddsubd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 2 · ( 1 + ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) − ( 2 · ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( 1 + ( ( 1 + ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) − ( 4 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) |
150 |
135 138 149
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 2 · ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ↑ 2 ) ) = ( 1 + ( ( 1 + ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) − ( 4 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) |
151 |
115 121 150
|
mvrladdd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 2 · ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ↑ 2 ) ) − 1 ) = ( ( 1 + ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) − ( 4 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) |
152 |
|
subcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ∈ ℂ ) → ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ∈ ℂ ) |
153 |
116 124 152
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ∈ ℂ ) |
154 |
153 115 132
|
subdid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) · ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) · 1 ) − ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) · ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) |
155 |
153
|
mulid1d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) · 1 ) = ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) |
156 |
115 124 132
|
subdird |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) · ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( 1 · ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) − ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) · ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) |
157 |
132
|
mulid2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 1 · ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) |
158 |
124 29 124
|
mul12d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) · ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) |
159 |
124
|
sqvald |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) = ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) |
160 |
159
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) = ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) |
161 |
158 160
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) · ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) |
162 |
157 161
|
oveq12d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 1 · ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) − ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) · ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) − ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) ) |
163 |
156 162
|
eqtrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) · ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) − ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) ) |
164 |
155 163
|
oveq12d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) · 1 ) − ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) · ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) − ( ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) − ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) ) ) |
165 |
115 124 132 117
|
subadd4d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) − ( ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) − ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) ) = ( ( 1 + ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) − ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) + ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) |
166 |
|
df-3 |
⊢ 3 = ( 2 + 1 ) |
167 |
28 116
|
addcomi |
⊢ ( 2 + 1 ) = ( 1 + 2 ) |
168 |
166 167
|
eqtri |
⊢ 3 = ( 1 + 2 ) |
169 |
168
|
oveq1i |
⊢ ( 3 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) = ( ( 1 + 2 ) · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) |
170 |
125
|
oveq1d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 1 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) + ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) + ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) |
171 |
115 124 29 170
|
joinlmuladdmuld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 1 + 2 ) · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) = ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) + ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) |
172 |
169 171
|
syl5eq |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 3 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) = ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) + ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) |
173 |
172
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 1 + ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) − ( 3 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( 1 + ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) − ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) + ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) |
174 |
165 173
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) − ( ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) − ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) ) = ( ( 1 + ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) − ( 3 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) |
175 |
154 164 174
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) · ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( ( 1 + ( 2 · ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ↑ 2 ) ) ) − ( 3 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) |
176 |
114 151 175
|
3brtr4d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 2 · ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ↑ 2 ) ) − 1 ) < ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) · ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) |
177 |
2 25 26 91 176
|
lttrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( cos ‘ 𝐴 ) < ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) · ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) |
178 |
|
ltmul2 |
⊢ ( ( ( cos ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) · ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ) → ( ( cos ‘ 𝐴 ) < ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) · ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) ↔ ( 𝐴 · ( cos ‘ 𝐴 ) ) < ( 𝐴 · ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) · ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) ) ) |
179 |
2 26 1 45 178
|
syl112anc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( cos ‘ 𝐴 ) < ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) · ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) ↔ ( 𝐴 · ( cos ‘ 𝐴 ) ) < ( 𝐴 · ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) · ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) ) ) |
180 |
177 179
|
mpbid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 𝐴 · ( cos ‘ 𝐴 ) ) < ( 𝐴 · ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) · ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) ) |
181 |
18
|
recnd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ∈ ℂ ) |
182 |
27 153 181
|
mulassd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 𝐴 · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) · ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( 𝐴 · ( ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) · ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) ) |
183 |
180 182
|
breqtrrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 𝐴 · ( cos ‘ 𝐴 ) ) < ( ( 𝐴 · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) · ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) |
184 |
13 38
|
remulcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 𝐴 · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) · ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
185 |
74
|
simpld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) |
186 |
1 12 45 83
|
mulgt0d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 0 < ( 𝐴 · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) |
187 |
|
ltmul2 |
⊢ ( ( ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝐴 · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( 𝐴 · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) → ( ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ↔ ( ( 𝐴 · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) · ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) < ( ( 𝐴 · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) · ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) ) ) |
188 |
18 38 13 186 187
|
syl112anc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) < ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ↔ ( ( 𝐴 · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) · ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) < ( ( 𝐴 · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) · ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) ) ) |
189 |
185 188
|
mpbid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 𝐴 · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) · ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) < ( ( 𝐴 · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) · ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) ) |
190 |
29 34 153
|
mulassd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 2 · ( 𝐴 / 2 ) ) · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 · ( ( 𝐴 / 2 ) · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) ) |
191 |
32
|
oveq1d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 2 · ( 𝐴 / 2 ) ) · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 𝐴 · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) |
192 |
34 115 124
|
subdid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 𝐴 / 2 ) · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 / 2 ) · 1 ) − ( ( 𝐴 / 2 ) · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) |
193 |
34
|
mulid1d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 𝐴 / 2 ) · 1 ) = ( 𝐴 / 2 ) ) |
194 |
166
|
oveq2i |
⊢ ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 3 ) = ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ ( 2 + 1 ) ) |
195 |
|
2nn0 |
⊢ 2 ∈ ℕ0 |
196 |
|
expp1 |
⊢ ( ( ( 𝐴 / 2 ) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ ( 2 + 1 ) ) = ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) · ( 𝐴 / 2 ) ) ) |
197 |
34 195 196
|
sylancl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ ( 2 + 1 ) ) = ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) · ( 𝐴 / 2 ) ) ) |
198 |
194 197
|
syl5eq |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 3 ) = ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) · ( 𝐴 / 2 ) ) ) |
199 |
7
|
recnd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
200 |
199 34
|
mulcomd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) · ( 𝐴 / 2 ) ) = ( ( 𝐴 / 2 ) · ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) ) ) |
201 |
198 200
|
eqtrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 3 ) = ( ( 𝐴 / 2 ) · ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) ) ) |
202 |
201
|
oveq1d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 3 ) / 3 ) = ( ( ( 𝐴 / 2 ) · ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) ) / 3 ) ) |
203 |
|
3cn |
⊢ 3 ∈ ℂ |
204 |
203
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 3 ∈ ℂ ) |
205 |
|
3ne0 |
⊢ 3 ≠ 0 |
206 |
205
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 3 ≠ 0 ) |
207 |
34 199 204 206
|
divassd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( ( 𝐴 / 2 ) · ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) ) / 3 ) = ( ( 𝐴 / 2 ) · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) |
208 |
202 207
|
eqtr2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 𝐴 / 2 ) · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) = ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 3 ) / 3 ) ) |
209 |
193 208
|
oveq12d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( ( 𝐴 / 2 ) · 1 ) − ( ( 𝐴 / 2 ) · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( 𝐴 / 2 ) − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 3 ) / 3 ) ) ) |
210 |
192 209
|
eqtrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 𝐴 / 2 ) · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) = ( ( 𝐴 / 2 ) − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 3 ) / 3 ) ) ) |
211 |
210
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 2 · ( ( 𝐴 / 2 ) · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) = ( 2 · ( ( 𝐴 / 2 ) − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 3 ) / 3 ) ) ) ) |
212 |
190 191 211
|
3eqtr3d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 𝐴 · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) = ( 2 · ( ( 𝐴 / 2 ) − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 3 ) / 3 ) ) ) ) |
213 |
|
sin01bnd |
⊢ ( ( 𝐴 / 2 ) ∈ ( 0 (,] 1 ) → ( ( ( 𝐴 / 2 ) − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ∧ ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) < ( 𝐴 / 2 ) ) ) |
214 |
72 213
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( ( 𝐴 / 2 ) − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ∧ ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) < ( 𝐴 / 2 ) ) ) |
215 |
214
|
simpld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 𝐴 / 2 ) − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) |
216 |
|
3nn0 |
⊢ 3 ∈ ℕ0 |
217 |
|
reexpcl |
⊢ ( ( ( 𝐴 / 2 ) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 3 ) ∈ ℝ ) |
218 |
6 216 217
|
sylancl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 3 ) ∈ ℝ ) |
219 |
|
nndivre |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 3 ) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ ) → ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 3 ) / 3 ) ∈ ℝ ) |
220 |
218 8 219
|
sylancl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 3 ) / 3 ) ∈ ℝ ) |
221 |
6 220
|
resubcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 𝐴 / 2 ) − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 3 ) / 3 ) ) ∈ ℝ ) |
222 |
6
|
resincld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
223 |
|
ltmul2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 / 2 ) − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 3 ) / 3 ) ) ∈ ℝ ∧ ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) → ( ( ( 𝐴 / 2 ) − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ↔ ( 2 · ( ( 𝐴 / 2 ) − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 3 ) / 3 ) ) ) < ( 2 · ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) ) ) |
224 |
221 222 43 47 223
|
syl112anc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( ( 𝐴 / 2 ) − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ↔ ( 2 · ( ( 𝐴 / 2 ) − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 3 ) / 3 ) ) ) < ( 2 · ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) ) ) |
225 |
215 224
|
mpbid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 2 · ( ( 𝐴 / 2 ) − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 3 ) / 3 ) ) ) < ( 2 · ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) ) |
226 |
212 225
|
eqbrtrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 𝐴 · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) < ( 2 · ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) ) |
227 |
|
remulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ∈ ℝ ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
228 |
14 222 227
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 2 · ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
229 |
|
ltmul1 |
⊢ ( ( ( 𝐴 · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( 2 · ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) ) → ( ( 𝐴 · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) < ( 2 · ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) ↔ ( ( 𝐴 · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) · ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) < ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) · ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) ) ) |
230 |
13 228 38 77 229
|
syl112anc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 𝐴 · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) < ( 2 · ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) ↔ ( ( 𝐴 · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) · ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) < ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) · ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) ) ) |
231 |
226 230
|
mpbid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 𝐴 · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) · ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) < ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) · ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) ) |
232 |
222
|
recnd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
233 |
38
|
recnd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
234 |
29 232 233
|
mulassd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) · ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) = ( 2 · ( ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) ) ) |
235 |
|
sin2t |
⊢ ( ( 𝐴 / 2 ) ∈ ℂ → ( sin ‘ ( 2 · ( 𝐴 / 2 ) ) ) = ( 2 · ( ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) ) ) |
236 |
34 235
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( sin ‘ ( 2 · ( 𝐴 / 2 ) ) ) = ( 2 · ( ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) · ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) ) ) |
237 |
32
|
fveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( sin ‘ ( 2 · ( 𝐴 / 2 ) ) ) = ( sin ‘ 𝐴 ) ) |
238 |
234 236 237
|
3eqtr2rd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( sin ‘ 𝐴 ) = ( ( 2 · ( sin ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) · ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) ) |
239 |
231 238
|
breqtrrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 𝐴 · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) · ( cos ‘ ( 𝐴 / 2 ) ) ) < ( sin ‘ 𝐴 ) ) |
240 |
19 184 20 189 239
|
lttrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 𝐴 · ( 1 − ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) · ( 1 − ( 2 · ( ( ( 𝐴 / 2 ) ↑ 2 ) / 3 ) ) ) ) < ( sin ‘ 𝐴 ) ) |
241 |
3 19 20 183 240
|
lttrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 𝐴 · ( cos ‘ 𝐴 ) ) < ( sin ‘ 𝐴 ) ) |
242 |
|
sincosq1sgn |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( 0 < ( sin ‘ 𝐴 ) ∧ 0 < ( cos ‘ 𝐴 ) ) ) |
243 |
242
|
simprd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 0 < ( cos ‘ 𝐴 ) ) |
244 |
|
ltmuldiv |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( sin ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ ( ( cos ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( cos ‘ 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝐴 · ( cos ‘ 𝐴 ) ) < ( sin ‘ 𝐴 ) ↔ 𝐴 < ( ( sin ‘ 𝐴 ) / ( cos ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
245 |
1 20 2 243 244
|
syl112anc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( ( 𝐴 · ( cos ‘ 𝐴 ) ) < ( sin ‘ 𝐴 ) ↔ 𝐴 < ( ( sin ‘ 𝐴 ) / ( cos ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
246 |
241 245
|
mpbid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 𝐴 < ( ( sin ‘ 𝐴 ) / ( cos ‘ 𝐴 ) ) ) |
247 |
243
|
gt0ne0d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( cos ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) |
248 |
|
tanval |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( cos ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) → ( tan ‘ 𝐴 ) = ( ( sin ‘ 𝐴 ) / ( cos ‘ 𝐴 ) ) ) |
249 |
27 247 248
|
syl2anc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( tan ‘ 𝐴 ) = ( ( sin ‘ 𝐴 ) / ( cos ‘ 𝐴 ) ) ) |
250 |
246 249
|
breqtrrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → 𝐴 < ( tan ‘ 𝐴 ) ) |