Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
is2ndc |
|- ( J e. 2ndc <-> E. b e. TopBases ( b ~<_ _om /\ ( topGen ` b ) = J ) ) |
2 |
|
omex |
|- _om e. _V |
3 |
2
|
brdom |
|- ( b ~<_ _om <-> E. f f : b -1-1-> _om ) |
4 |
|
ssrab2 |
|- { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ ran f |
5 |
|
f1f |
|- ( f : b -1-1-> _om -> f : b --> _om ) |
6 |
5
|
frnd |
|- ( f : b -1-1-> _om -> ran f C_ _om ) |
7 |
6
|
adantl |
|- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) -> ran f C_ _om ) |
8 |
4 7
|
sstrid |
|- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ _om ) |
9 |
8
|
adantr |
|- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ _om ) |
10 |
|
eldifsn |
|- ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) <-> ( B e. ( topGen ` b ) /\ B =/= (/) ) ) |
11 |
|
n0 |
|- ( B =/= (/) <-> E. y y e. B ) |
12 |
|
tg2 |
|- ( ( B e. ( topGen ` b ) /\ y e. B ) -> E. z e. b ( y e. z /\ z C_ B ) ) |
13 |
|
omsson |
|- _om C_ On |
14 |
8 13
|
sstrdi |
|- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ On ) |
15 |
14
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ On ) |
16 |
|
f1fn |
|- ( f : b -1-1-> _om -> f Fn b ) |
17 |
16
|
ad3antlr |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> f Fn b ) |
18 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z e. b ) |
19 |
|
fnfvelrn |
|- ( ( f Fn b /\ z e. b ) -> ( f ` z ) e. ran f ) |
20 |
17 18 19
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> ( f ` z ) e. ran f ) |
21 |
|
f1f1orn |
|- ( f : b -1-1-> _om -> f : b -1-1-onto-> ran f ) |
22 |
21
|
ad3antlr |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> f : b -1-1-onto-> ran f ) |
23 |
|
f1ocnvfv1 |
|- ( ( f : b -1-1-onto-> ran f /\ z e. b ) -> ( `' f ` ( f ` z ) ) = z ) |
24 |
22 18 23
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> ( `' f ` ( f ` z ) ) = z ) |
25 |
|
simprrr |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z C_ B ) |
26 |
|
velpw |
|- ( z e. ~P B <-> z C_ B ) |
27 |
25 26
|
sylibr |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z e. ~P B ) |
28 |
|
simprrl |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> y e. z ) |
29 |
28
|
ne0d |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z =/= (/) ) |
30 |
|
eldifsn |
|- ( z e. ( ~P B \ { (/) } ) <-> ( z e. ~P B /\ z =/= (/) ) ) |
31 |
27 29 30
|
sylanbrc |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> z e. ( ~P B \ { (/) } ) ) |
32 |
24 31
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> ( `' f ` ( f ` z ) ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) |
33 |
|
fveq2 |
|- ( n = ( f ` z ) -> ( `' f ` n ) = ( `' f ` ( f ` z ) ) ) |
34 |
33
|
eleq1d |
|- ( n = ( f ` z ) -> ( ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) <-> ( `' f ` ( f ` z ) ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) ) |
35 |
34
|
rspcev |
|- ( ( ( f ` z ) e. ran f /\ ( `' f ` ( f ` z ) ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) -> E. n e. ran f ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) |
36 |
20 32 35
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> E. n e. ran f ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) |
37 |
|
rabn0 |
|- ( { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } =/= (/) <-> E. n e. ran f ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) |
38 |
36 37
|
sylibr |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } =/= (/) ) |
39 |
|
onint |
|- ( ( { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } C_ On /\ { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } =/= (/) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) |
40 |
15 38 39
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ x e. A ) /\ ( z e. b /\ ( y e. z /\ z C_ B ) ) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) |
41 |
40
|
rexlimdvaa |
|- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ x e. A ) -> ( E. z e. b ( y e. z /\ z C_ B ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) ) |
42 |
12 41
|
syl5 |
|- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ x e. A ) -> ( ( B e. ( topGen ` b ) /\ y e. B ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) ) |
43 |
42
|
expdimp |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ x e. A ) /\ B e. ( topGen ` b ) ) -> ( y e. B -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) ) |
44 |
43
|
exlimdv |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ x e. A ) /\ B e. ( topGen ` b ) ) -> ( E. y y e. B -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) ) |
45 |
11 44
|
syl5bi |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ x e. A ) /\ B e. ( topGen ` b ) ) -> ( B =/= (/) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) ) |
46 |
45
|
expimpd |
|- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ x e. A ) -> ( ( B e. ( topGen ` b ) /\ B =/= (/) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) ) |
47 |
10 46
|
syl5bi |
|- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) ) |
48 |
47
|
impr |
|- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) |
49 |
9 48
|
sseldd |
|- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. _om ) |
50 |
49
|
expr |
|- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. _om ) ) |
51 |
50
|
ralimdva |
|- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) -> ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> A. x e. A |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. _om ) ) |
52 |
51
|
imp |
|- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> A. x e. A |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. _om ) |
53 |
52
|
adantrr |
|- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> A. x e. A |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. _om ) |
54 |
|
eqid |
|- ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) = ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) |
55 |
54
|
fmpt |
|- ( A. x e. A |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. _om <-> ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A --> _om ) |
56 |
53 55
|
sylib |
|- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A --> _om ) |
57 |
|
neeq1 |
|- ( ( `' f ` z ) = if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> ( ( `' f ` z ) =/= (/) <-> if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) =/= (/) ) ) |
58 |
|
neeq1 |
|- ( 1o = if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> ( 1o =/= (/) <-> if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) =/= (/) ) ) |
59 |
|
1n0 |
|- 1o =/= (/) |
60 |
57 58 59
|
elimhyp |
|- if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) =/= (/) |
61 |
|
n0 |
|- ( if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) =/= (/) <-> E. y y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) |
62 |
60 61
|
mpbi |
|- E. y y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) |
63 |
|
19.29r |
|- ( ( E. y y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> E. y ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ E* x e. A y e. B ) ) |
64 |
62 63
|
mpan |
|- ( A. y E* x e. A y e. B -> E. y ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ E* x e. A y e. B ) ) |
65 |
|
eleq1 |
|- ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } <-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) ) |
66 |
48 65
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) ) |
67 |
66
|
imp |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) |
68 |
|
fveq2 |
|- ( n = z -> ( `' f ` n ) = ( `' f ` z ) ) |
69 |
68
|
eleq1d |
|- ( n = z -> ( ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) <-> ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) ) |
70 |
69
|
elrab |
|- ( z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } <-> ( z e. ran f /\ ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) ) |
71 |
70
|
simprbi |
|- ( z e. { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) |
72 |
67 71
|
syl |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) ) |
73 |
|
eldifsn |
|- ( ( `' f ` z ) e. ( ~P B \ { (/) } ) <-> ( ( `' f ` z ) e. ~P B /\ ( `' f ` z ) =/= (/) ) ) |
74 |
72 73
|
sylib |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( ( `' f ` z ) e. ~P B /\ ( `' f ` z ) =/= (/) ) ) |
75 |
74
|
simprd |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( `' f ` z ) =/= (/) ) |
76 |
75
|
iftrued |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) = ( `' f ` z ) ) |
77 |
74
|
simpld |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( `' f ` z ) e. ~P B ) |
78 |
77
|
elpwid |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( `' f ` z ) C_ B ) |
79 |
76 78
|
eqsstrd |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) C_ B ) |
80 |
79
|
sseld |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) ) /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> y e. B ) ) |
81 |
80
|
exp31 |
|- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) -> ( ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> y e. B ) ) ) ) |
82 |
81
|
com23 |
|- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( ( x e. A /\ B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> y e. B ) ) ) ) |
83 |
82
|
exp4a |
|- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> ( x e. A -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> y e. B ) ) ) ) ) |
84 |
83
|
com25 |
|- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) -> ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) -> ( x e. A -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) ) ) ) ) |
85 |
84
|
imp31 |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) /\ x e. A ) -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) ) ) |
86 |
85
|
ralimdva |
|- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) -> ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) -> A. x e. A ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) ) ) |
87 |
86
|
imp |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> A. x e. A ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) ) |
88 |
87
|
an32s |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) -> A. x e. A ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) ) |
89 |
|
rmoim |
|- ( A. x e. A ( z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } -> y e. B ) -> ( E* x e. A y e. B -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) ) |
90 |
88 89
|
syl |
|- ( ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) /\ y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) ) -> ( E* x e. A y e. B -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) ) |
91 |
90
|
expimpd |
|- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ E* x e. A y e. B ) -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) ) |
92 |
91
|
exlimdv |
|- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( E. y ( y e. if ( ( `' f ` z ) =/= (/) , ( `' f ` z ) , 1o ) /\ E* x e. A y e. B ) -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) ) |
93 |
64 92
|
syl5 |
|- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) ) -> ( A. y E* x e. A y e. B -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) ) |
94 |
93
|
impr |
|- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) |
95 |
|
nfcv |
|- F/_ x w |
96 |
|
nfmpt1 |
|- F/_ x ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) |
97 |
|
nfcv |
|- F/_ x z |
98 |
95 96 97
|
nfbr |
|- F/ x w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z |
99 |
|
nfv |
|- F/ w ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) |
100 |
|
breq1 |
|- ( w = x -> ( w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> x ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z ) ) |
101 |
|
df-br |
|- ( x ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> <. x , z >. e. ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) ) |
102 |
|
df-mpt |
|- ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) = { <. x , z >. | ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) } |
103 |
102
|
eleq2i |
|- ( <. x , z >. e. ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) <-> <. x , z >. e. { <. x , z >. | ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) } ) |
104 |
|
opabidw |
|- ( <. x , z >. e. { <. x , z >. | ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) } <-> ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) ) |
105 |
101 103 104
|
3bitri |
|- ( x ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) ) |
106 |
100 105
|
bitrdi |
|- ( w = x -> ( w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) ) ) |
107 |
98 99 106
|
cbvmow |
|- ( E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> E* x ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) ) |
108 |
|
df-rmo |
|- ( E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } <-> E* x ( x e. A /\ z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) ) |
109 |
107 108
|
bitr4i |
|- ( E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z <-> E* x e. A z = |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) |
110 |
94 109
|
sylibr |
|- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z ) |
111 |
110
|
alrimiv |
|- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> A. z E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z ) |
112 |
|
dff12 |
|- ( ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A -1-1-> _om <-> ( ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A --> _om /\ A. z E* w w ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) z ) ) |
113 |
56 111 112
|
sylanbrc |
|- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A -1-1-> _om ) |
114 |
|
f1domg |
|- ( _om e. _V -> ( ( x e. A |-> |^| { n e. ran f | ( `' f ` n ) e. ( ~P B \ { (/) } ) } ) : A -1-1-> _om -> A ~<_ _om ) ) |
115 |
2 113 114
|
mpsyl |
|- ( ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) /\ ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) -> A ~<_ _om ) |
116 |
115
|
ex |
|- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) -> ( ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ _om ) ) |
117 |
|
difeq1 |
|- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) = ( J \ { (/) } ) ) |
118 |
117
|
eleq2d |
|- ( ( topGen ` b ) = J -> ( B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) <-> B e. ( J \ { (/) } ) ) ) |
119 |
118
|
ralbidv |
|- ( ( topGen ` b ) = J -> ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) <-> A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) ) ) |
120 |
119
|
anbi1d |
|- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) <-> ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) ) ) |
121 |
120
|
imbi1d |
|- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( ( A. x e. A B e. ( ( topGen ` b ) \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ _om ) <-> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ _om ) ) ) |
122 |
116 121
|
syl5ibcom |
|- ( ( b e. TopBases /\ f : b -1-1-> _om ) -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ _om ) ) ) |
123 |
122
|
ex |
|- ( b e. TopBases -> ( f : b -1-1-> _om -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ _om ) ) ) ) |
124 |
123
|
exlimdv |
|- ( b e. TopBases -> ( E. f f : b -1-1-> _om -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ _om ) ) ) ) |
125 |
3 124
|
syl5bi |
|- ( b e. TopBases -> ( b ~<_ _om -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ _om ) ) ) ) |
126 |
125
|
impd |
|- ( b e. TopBases -> ( ( b ~<_ _om /\ ( topGen ` b ) = J ) -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ _om ) ) ) |
127 |
126
|
rexlimiv |
|- ( E. b e. TopBases ( b ~<_ _om /\ ( topGen ` b ) = J ) -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ _om ) ) |
128 |
1 127
|
sylbi |
|- ( J e. 2ndc -> ( ( A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ _om ) ) |
129 |
128
|
3impib |
|- ( ( J e. 2ndc /\ A. x e. A B e. ( J \ { (/) } ) /\ A. y E* x e. A y e. B ) -> A ~<_ _om ) |