Metamath Proof Explorer


Theorem cmpcref

Description: Equivalent definition of compact space in terms of open cover refinements. Compact spaces are topologies with finite open cover refinements. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jan-2020)

Ref Expression
Assertion cmpcref
|- Comp = CovHasRef Fin

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simplr
 |-  ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x e. ( ~P y i^i Fin ) )
2 elin
 |-  ( x e. ( ~P y i^i Fin ) <-> ( x e. ~P y /\ x e. Fin ) )
3 1 2 sylib
 |-  ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> ( x e. ~P y /\ x e. Fin ) )
4 3 simpld
 |-  ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x e. ~P y )
5 elpwi
 |-  ( x e. ~P y -> x C_ y )
6 4 5 syl
 |-  ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x C_ y )
7 elpwi
 |-  ( y e. ~P j -> y C_ j )
8 7 ad4antlr
 |-  ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> y C_ j )
9 6 8 sstrd
 |-  ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x C_ j )
10 velpw
 |-  ( x e. ~P j <-> x C_ j )
11 9 10 sylibr
 |-  ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x e. ~P j )
12 3 simprd
 |-  ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x e. Fin )
13 11 12 elind
 |-  ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x e. ( ~P j i^i Fin ) )
14 simpr
 |-  ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> U. j = U. x )
15 simpllr
 |-  ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> U. j = U. y )
16 14 15 eqtr3d
 |-  ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> U. x = U. y )
17 eqid
 |-  U. x = U. x
18 eqid
 |-  U. y = U. y
19 17 18 ssref
 |-  ( ( x e. ~P j /\ x C_ y /\ U. x = U. y ) -> x Ref y )
20 11 6 16 19 syl3anc
 |-  ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x Ref y )
21 breq1
 |-  ( z = x -> ( z Ref y <-> x Ref y ) )
22 21 rspcev
 |-  ( ( x e. ( ~P j i^i Fin ) /\ x Ref y ) -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y )
23 13 20 22 syl2anc
 |-  ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y )
24 23 r19.29an
 |-  ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y )
25 simplr
 |-  ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> z e. ( ~P j i^i Fin ) )
26 vex
 |-  z e. _V
27 eqid
 |-  U. z = U. z
28 27 18 isref
 |-  ( z e. _V -> ( z Ref y <-> ( U. y = U. z /\ A. u e. z E. v e. y u C_ v ) ) )
29 26 28 ax-mp
 |-  ( z Ref y <-> ( U. y = U. z /\ A. u e. z E. v e. y u C_ v ) )
30 29 simprbi
 |-  ( z Ref y -> A. u e. z E. v e. y u C_ v )
31 30 adantl
 |-  ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> A. u e. z E. v e. y u C_ v )
32 sseq2
 |-  ( v = ( f ` u ) -> ( u C_ v <-> u C_ ( f ` u ) ) )
33 32 ac6sg
 |-  ( z e. ( ~P j i^i Fin ) -> ( A. u e. z E. v e. y u C_ v -> E. f ( f : z --> y /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) ) )
34 25 31 33 sylc
 |-  ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> E. f ( f : z --> y /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) )
35 simplr
 |-  ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> f : z --> y )
36 35 frnd
 |-  ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ran f C_ y )
37 vex
 |-  f e. _V
38 37 rnex
 |-  ran f e. _V
39 38 elpw
 |-  ( ran f e. ~P y <-> ran f C_ y )
40 36 39 sylibr
 |-  ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ran f e. ~P y )
41 35 ffnd
 |-  ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> f Fn z )
42 elin
 |-  ( z e. ( ~P j i^i Fin ) <-> ( z e. ~P j /\ z e. Fin ) )
43 42 simprbi
 |-  ( z e. ( ~P j i^i Fin ) -> z e. Fin )
44 43 ad4antlr
 |-  ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> z e. Fin )
45 fnfi
 |-  ( ( f Fn z /\ z e. Fin ) -> f e. Fin )
46 41 44 45 syl2anc
 |-  ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> f e. Fin )
47 rnfi
 |-  ( f e. Fin -> ran f e. Fin )
48 46 47 syl
 |-  ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ran f e. Fin )
49 40 48 elind
 |-  ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ran f e. ( ~P y i^i Fin ) )
50 simp-5r
 |-  ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. j = U. y )
51 27 18 refbas
 |-  ( z Ref y -> U. y = U. z )
52 51 ad3antlr
 |-  ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. y = U. z )
53 nfv
 |-  F/ u ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y )
54 nfra1
 |-  F/ u A. u e. z u C_ ( f ` u )
55 53 54 nfan
 |-  F/ u ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) )
56 rspa
 |-  ( ( A. u e. z u C_ ( f ` u ) /\ u e. z ) -> u C_ ( f ` u ) )
57 56 adantll
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) /\ u e. z ) -> u C_ ( f ` u ) )
58 57 sseld
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) /\ u e. z ) -> ( x e. u -> x e. ( f ` u ) ) )
59 58 ex
 |-  ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ( u e. z -> ( x e. u -> x e. ( f ` u ) ) ) )
60 55 59 reximdai
 |-  ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ( E. u e. z x e. u -> E. u e. z x e. ( f ` u ) ) )
61 eluni2
 |-  ( x e. U. z <-> E. u e. z x e. u )
62 61 a1i
 |-  ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ( x e. U. z <-> E. u e. z x e. u ) )
63 fnunirn
 |-  ( f Fn z -> ( x e. U. ran f <-> E. u e. z x e. ( f ` u ) ) )
64 41 63 syl
 |-  ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ( x e. U. ran f <-> E. u e. z x e. ( f ` u ) ) )
65 60 62 64 3imtr4d
 |-  ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ( x e. U. z -> x e. U. ran f ) )
66 65 ssrdv
 |-  ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. z C_ U. ran f )
67 52 66 eqsstrd
 |-  ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. y C_ U. ran f )
68 36 unissd
 |-  ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. ran f C_ U. y )
69 67 68 eqssd
 |-  ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. y = U. ran f )
70 50 69 eqtrd
 |-  ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. j = U. ran f )
71 unieq
 |-  ( x = ran f -> U. x = U. ran f )
72 71 rspceeqv
 |-  ( ( ran f e. ( ~P y i^i Fin ) /\ U. j = U. ran f ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x )
73 49 70 72 syl2anc
 |-  ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x )
74 73 expl
 |-  ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> ( ( f : z --> y /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) )
75 74 exlimdv
 |-  ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> ( E. f ( f : z --> y /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) )
76 34 75 mpd
 |-  ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x )
77 76 r19.29an
 |-  ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x )
78 24 77 impbida
 |-  ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) -> ( E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x <-> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) )
79 78 pm5.74da
 |-  ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) -> ( ( U. j = U. y -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) <-> ( U. j = U. y -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) ) )
80 79 ralbidva
 |-  ( j e. Top -> ( A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) <-> A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) ) )
81 80 pm5.32i
 |-  ( ( j e. Top /\ A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) ) <-> ( j e. Top /\ A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) ) )
82 eqid
 |-  U. j = U. j
83 82 iscmp
 |-  ( j e. Comp <-> ( j e. Top /\ A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) ) )
84 82 iscref
 |-  ( j e. CovHasRef Fin <-> ( j e. Top /\ A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) ) )
85 81 83 84 3bitr4i
 |-  ( j e. Comp <-> j e. CovHasRef Fin )
86 85 eqriv
 |-  Comp = CovHasRef Fin