Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x e. ( ~P y i^i Fin ) ) |
2 |
|
elin |
|- ( x e. ( ~P y i^i Fin ) <-> ( x e. ~P y /\ x e. Fin ) ) |
3 |
1 2
|
sylib |
|- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> ( x e. ~P y /\ x e. Fin ) ) |
4 |
3
|
simpld |
|- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x e. ~P y ) |
5 |
|
elpwi |
|- ( x e. ~P y -> x C_ y ) |
6 |
4 5
|
syl |
|- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x C_ y ) |
7 |
|
elpwi |
|- ( y e. ~P j -> y C_ j ) |
8 |
7
|
ad4antlr |
|- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> y C_ j ) |
9 |
6 8
|
sstrd |
|- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x C_ j ) |
10 |
|
velpw |
|- ( x e. ~P j <-> x C_ j ) |
11 |
9 10
|
sylibr |
|- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x e. ~P j ) |
12 |
3
|
simprd |
|- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x e. Fin ) |
13 |
11 12
|
elind |
|- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x e. ( ~P j i^i Fin ) ) |
14 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> U. j = U. x ) |
15 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> U. j = U. y ) |
16 |
14 15
|
eqtr3d |
|- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> U. x = U. y ) |
17 |
|
eqid |
|- U. x = U. x |
18 |
|
eqid |
|- U. y = U. y |
19 |
17 18
|
ssref |
|- ( ( x e. ~P j /\ x C_ y /\ U. x = U. y ) -> x Ref y ) |
20 |
11 6 16 19
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x Ref y ) |
21 |
|
breq1 |
|- ( z = x -> ( z Ref y <-> x Ref y ) ) |
22 |
21
|
rspcev |
|- ( ( x e. ( ~P j i^i Fin ) /\ x Ref y ) -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) |
23 |
13 20 22
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) |
24 |
23
|
r19.29an |
|- ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) |
25 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> z e. ( ~P j i^i Fin ) ) |
26 |
|
vex |
|- z e. _V |
27 |
|
eqid |
|- U. z = U. z |
28 |
27 18
|
isref |
|- ( z e. _V -> ( z Ref y <-> ( U. y = U. z /\ A. u e. z E. v e. y u C_ v ) ) ) |
29 |
26 28
|
ax-mp |
|- ( z Ref y <-> ( U. y = U. z /\ A. u e. z E. v e. y u C_ v ) ) |
30 |
29
|
simprbi |
|- ( z Ref y -> A. u e. z E. v e. y u C_ v ) |
31 |
30
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> A. u e. z E. v e. y u C_ v ) |
32 |
|
sseq2 |
|- ( v = ( f ` u ) -> ( u C_ v <-> u C_ ( f ` u ) ) ) |
33 |
32
|
ac6sg |
|- ( z e. ( ~P j i^i Fin ) -> ( A. u e. z E. v e. y u C_ v -> E. f ( f : z --> y /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) ) ) |
34 |
25 31 33
|
sylc |
|- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> E. f ( f : z --> y /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) ) |
35 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> f : z --> y ) |
36 |
35
|
frnd |
|- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ran f C_ y ) |
37 |
|
vex |
|- f e. _V |
38 |
37
|
rnex |
|- ran f e. _V |
39 |
38
|
elpw |
|- ( ran f e. ~P y <-> ran f C_ y ) |
40 |
36 39
|
sylibr |
|- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ran f e. ~P y ) |
41 |
35
|
ffnd |
|- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> f Fn z ) |
42 |
|
elin |
|- ( z e. ( ~P j i^i Fin ) <-> ( z e. ~P j /\ z e. Fin ) ) |
43 |
42
|
simprbi |
|- ( z e. ( ~P j i^i Fin ) -> z e. Fin ) |
44 |
43
|
ad4antlr |
|- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> z e. Fin ) |
45 |
|
fnfi |
|- ( ( f Fn z /\ z e. Fin ) -> f e. Fin ) |
46 |
41 44 45
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> f e. Fin ) |
47 |
|
rnfi |
|- ( f e. Fin -> ran f e. Fin ) |
48 |
46 47
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ran f e. Fin ) |
49 |
40 48
|
elind |
|- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ran f e. ( ~P y i^i Fin ) ) |
50 |
|
simp-5r |
|- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. j = U. y ) |
51 |
27 18
|
refbas |
|- ( z Ref y -> U. y = U. z ) |
52 |
51
|
ad3antlr |
|- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. y = U. z ) |
53 |
|
nfv |
|- F/ u ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) |
54 |
|
nfra1 |
|- F/ u A. u e. z u C_ ( f ` u ) |
55 |
53 54
|
nfan |
|- F/ u ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) |
56 |
|
rspa |
|- ( ( A. u e. z u C_ ( f ` u ) /\ u e. z ) -> u C_ ( f ` u ) ) |
57 |
56
|
adantll |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) /\ u e. z ) -> u C_ ( f ` u ) ) |
58 |
57
|
sseld |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) /\ u e. z ) -> ( x e. u -> x e. ( f ` u ) ) ) |
59 |
58
|
ex |
|- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ( u e. z -> ( x e. u -> x e. ( f ` u ) ) ) ) |
60 |
55 59
|
reximdai |
|- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ( E. u e. z x e. u -> E. u e. z x e. ( f ` u ) ) ) |
61 |
|
eluni2 |
|- ( x e. U. z <-> E. u e. z x e. u ) |
62 |
61
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ( x e. U. z <-> E. u e. z x e. u ) ) |
63 |
|
fnunirn |
|- ( f Fn z -> ( x e. U. ran f <-> E. u e. z x e. ( f ` u ) ) ) |
64 |
41 63
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ( x e. U. ran f <-> E. u e. z x e. ( f ` u ) ) ) |
65 |
60 62 64
|
3imtr4d |
|- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ( x e. U. z -> x e. U. ran f ) ) |
66 |
65
|
ssrdv |
|- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. z C_ U. ran f ) |
67 |
52 66
|
eqsstrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. y C_ U. ran f ) |
68 |
36
|
unissd |
|- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. ran f C_ U. y ) |
69 |
67 68
|
eqssd |
|- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. y = U. ran f ) |
70 |
50 69
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. j = U. ran f ) |
71 |
|
unieq |
|- ( x = ran f -> U. x = U. ran f ) |
72 |
71
|
rspceeqv |
|- ( ( ran f e. ( ~P y i^i Fin ) /\ U. j = U. ran f ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) |
73 |
49 70 72
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) |
74 |
73
|
expl |
|- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> ( ( f : z --> y /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) ) |
75 |
74
|
exlimdv |
|- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> ( E. f ( f : z --> y /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) ) |
76 |
34 75
|
mpd |
|- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) |
77 |
76
|
r19.29an |
|- ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) |
78 |
24 77
|
impbida |
|- ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) -> ( E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x <-> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) ) |
79 |
78
|
pm5.74da |
|- ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) -> ( ( U. j = U. y -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) <-> ( U. j = U. y -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) ) ) |
80 |
79
|
ralbidva |
|- ( j e. Top -> ( A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) <-> A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) ) ) |
81 |
80
|
pm5.32i |
|- ( ( j e. Top /\ A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) ) <-> ( j e. Top /\ A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) ) ) |
82 |
|
eqid |
|- U. j = U. j |
83 |
82
|
iscmp |
|- ( j e. Comp <-> ( j e. Top /\ A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) ) ) |
84 |
82
|
iscref |
|- ( j e. CovHasRef Fin <-> ( j e. Top /\ A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) ) ) |
85 |
81 83 84
|
3bitr4i |
|- ( j e. Comp <-> j e. CovHasRef Fin ) |
86 |
85
|
eqriv |
|- Comp = CovHasRef Fin |