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Theorem dvaddbr

Description: The sum rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvadd . (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016) Remove unnecessary hypotheses. (Revised by GG, 10-Apr-2025)

Ref Expression
Hypotheses dvadd.f 
|- ( ph -> F : X --> CC )
dvadd.x 
|- ( ph -> X C_ S )
dvadd.g 
|- ( ph -> G : Y --> CC )
dvadd.y 
|- ( ph -> Y C_ S )
dvaddbr.s 
|- ( ph -> S C_ CC )
dvadd.bf 
|- ( ph -> C ( S _D F ) K )
dvadd.bg 
|- ( ph -> C ( S _D G ) L )
dvadd.j 
|- J = ( TopOpen ` CCfld )
Assertion dvaddbr 
|- ( ph -> C ( S _D ( F oF + G ) ) ( K + L ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dvadd.f 
 |-  ( ph -> F : X --> CC )
2 dvadd.x 
 |-  ( ph -> X C_ S )
3 dvadd.g 
 |-  ( ph -> G : Y --> CC )
4 dvadd.y 
 |-  ( ph -> Y C_ S )
5 dvaddbr.s 
 |-  ( ph -> S C_ CC )
6 dvadd.bf 
 |-  ( ph -> C ( S _D F ) K )
7 dvadd.bg 
 |-  ( ph -> C ( S _D G ) L )
8 dvadd.j 
 |-  J = ( TopOpen ` CCfld )
9 eqid 
 |-  ( J |`t S ) = ( J |`t S )
10 eqid 
 |-  ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) )
11 9 8 10 5 1 2 eldv 
 |-  ( ph -> ( C ( S _D F ) K <-> ( C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) ) ) )
12 6 11 mpbid 
 |-  ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) ) )
13 12 simpld 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) )
14 eqid 
 |-  ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) )
15 9 8 14 5 3 4 eldv 
 |-  ( ph -> ( C ( S _D G ) L <-> ( C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) ) ) )
16 7 15 mpbid 
 |-  ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) ) )
17 16 simpld 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) )
18 13 17 elind 
 |-  ( ph -> C e. ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) i^i ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) ) )
19 8 cnfldtopon 
 |-  J e. ( TopOn ` CC )
20 resttopon 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( J |`t S ) e. ( TopOn ` S ) )
21 19 5 20 sylancr 
 |-  ( ph -> ( J |`t S ) e. ( TopOn ` S ) )
22 topontop 
 |-  ( ( J |`t S ) e. ( TopOn ` S ) -> ( J |`t S ) e. Top )
23 21 22 syl 
 |-  ( ph -> ( J |`t S ) e. Top )
24 toponuni 
 |-  ( ( J |`t S ) e. ( TopOn ` S ) -> S = U. ( J |`t S ) )
25 21 24 syl 
 |-  ( ph -> S = U. ( J |`t S ) )
26 2 25 sseqtrd 
 |-  ( ph -> X C_ U. ( J |`t S ) )
27 4 25 sseqtrd 
 |-  ( ph -> Y C_ U. ( J |`t S ) )
28 eqid 
 |-  U. ( J |`t S ) = U. ( J |`t S )
29 28 ntrin 
 |-  ( ( ( J |`t S ) e. Top /\ X C_ U. ( J |`t S ) /\ Y C_ U. ( J |`t S ) ) -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) i^i ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) ) )
30 23 26 27 29 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) i^i ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) ) )
31 18 30 eleqtrrd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
32 inss1 
 |-  ( X i^i Y ) C_ X
33 ssdif 
 |-  ( ( X i^i Y ) C_ X -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( X \ { C } ) )
34 32 33 mp1i 
 |-  ( ph -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( X \ { C } ) )
35 34 sselda 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. ( X \ { C } ) )
36 2 5 sstrd 
 |-  ( ph -> X C_ CC )
37 28 ntrss2 
 |-  ( ( ( J |`t S ) e. Top /\ X C_ U. ( J |`t S ) ) -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) C_ X )
38 23 26 37 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) C_ X )
39 38 13 sseldd 
 |-  ( ph -> C e. X )
40 1 36 39 dvlem 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( X \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
41 35 40 syldan 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
42 inss2 
 |-  ( X i^i Y ) C_ Y
43 ssdif 
 |-  ( ( X i^i Y ) C_ Y -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( Y \ { C } ) )
44 42 43 mp1i 
 |-  ( ph -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( Y \ { C } ) )
45 44 sselda 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. ( Y \ { C } ) )
46 4 5 sstrd 
 |-  ( ph -> Y C_ CC )
47 28 ntrss2 
 |-  ( ( ( J |`t S ) e. Top /\ Y C_ U. ( J |`t S ) ) -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) C_ Y )
48 23 27 47 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) C_ Y )
49 48 17 sseldd 
 |-  ( ph -> C e. Y )
50 3 46 49 dvlem 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
51 45 50 syldan 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
52 ssidd 
 |-  ( ph -> CC C_ CC )
53 txtopon 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` CC ) /\ J e. ( TopOn ` CC ) ) -> ( J tX J ) e. ( TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
54 19 19 53 mp2an 
 |-  ( J tX J ) e. ( TopOn ` ( CC X. CC ) )
55 54 toponrestid 
 |-  ( J tX J ) = ( ( J tX J ) |`t ( CC X. CC ) )
56 12 simprd 
 |-  ( ph -> K e. ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
57 40 fmpttd 
 |-  ( ph -> ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) : ( X \ { C } ) --> CC )
58 36 ssdifssd 
 |-  ( ph -> ( X \ { C } ) C_ CC )
59 eqid 
 |-  ( J |`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) = ( J |`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) )
60 32 2 sstrid 
 |-  ( ph -> ( X i^i Y ) C_ S )
61 60 25 sseqtrd 
 |-  ( ph -> ( X i^i Y ) C_ U. ( J |`t S ) )
62 difssd 
 |-  ( ph -> ( U. ( J |`t S ) \ X ) C_ U. ( J |`t S ) )
63 61 62 unssd 
 |-  ( ph -> ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) C_ U. ( J |`t S ) )
64 ssun1 
 |-  ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) )
65 64 a1i 
 |-  ( ph -> ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) )
66 28 ntrss 
 |-  ( ( ( J |`t S ) e. Top /\ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) C_ U. ( J |`t S ) /\ ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) C_ ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) )
67 23 63 65 66 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) C_ ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) )
68 67 31 sseldd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) )
69 68 39 elind 
 |-  ( ph -> C e. ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) i^i X ) )
70 32 a1i 
 |-  ( ph -> ( X i^i Y ) C_ X )
71 eqid 
 |-  ( ( J |`t S ) |`t X ) = ( ( J |`t S ) |`t X )
72 28 71 restntr 
 |-  ( ( ( J |`t S ) e. Top /\ X C_ U. ( J |`t S ) /\ ( X i^i Y ) C_ X ) -> ( ( int ` ( ( J |`t S ) |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) i^i X ) )
73 23 26 70 72 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( ( J |`t S ) |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) i^i X ) )
74 8 cnfldtop 
 |-  J e. Top
75 74 a1i 
 |-  ( ph -> J e. Top )
76 cnex 
 |-  CC e. _V
77 ssexg 
 |-  ( ( S C_ CC /\ CC e. _V ) -> S e. _V )
78 5 76 77 sylancl 
 |-  ( ph -> S e. _V )
79 restabs 
 |-  ( ( J e. Top /\ X C_ S /\ S e. _V ) -> ( ( J |`t S ) |`t X ) = ( J |`t X ) )
80 75 2 78 79 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( J |`t S ) |`t X ) = ( J |`t X ) )
81 80 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( int ` ( ( J |`t S ) |`t X ) ) = ( int ` ( J |`t X ) ) )
82 81 fveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( ( J |`t S ) |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( int ` ( J |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
83 73 82 eqtr3d 
 |-  ( ph -> ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) i^i X ) = ( ( int ` ( J |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
84 69 83 eleqtrd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
85 undif1 
 |-  ( ( X \ { C } ) u. { C } ) = ( X u. { C } )
86 39 snssd 
 |-  ( ph -> { C } C_ X )
87 ssequn2 
 |-  ( { C } C_ X <-> ( X u. { C } ) = X )
88 86 87 sylib 
 |-  ( ph -> ( X u. { C } ) = X )
89 85 88 eqtrid 
 |-  ( ph -> ( ( X \ { C } ) u. { C } ) = X )
90 89 oveq2d 
 |-  ( ph -> ( J |`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) = ( J |`t X ) )
91 90 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( int ` ( J |`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) ) = ( int ` ( J |`t X ) ) )
92 undif1 
 |-  ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) = ( ( X i^i Y ) u. { C } )
93 39 49 elind 
 |-  ( ph -> C e. ( X i^i Y ) )
94 93 snssd 
 |-  ( ph -> { C } C_ ( X i^i Y ) )
95 ssequn2 
 |-  ( { C } C_ ( X i^i Y ) <-> ( ( X i^i Y ) u. { C } ) = ( X i^i Y ) )
96 94 95 sylib 
 |-  ( ph -> ( ( X i^i Y ) u. { C } ) = ( X i^i Y ) )
97 92 96 eqtrid 
 |-  ( ph -> ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) = ( X i^i Y ) )
98 91 97 fveq12d 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( J |`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) = ( ( int ` ( J |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
99 84 98 eleqtrrd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) )
100 57 34 58 8 59 99 limcres 
 |-  ( ph -> ( ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
101 34 resmptd 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
102 101 oveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
103 100 102 eqtr3d 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
104 56 103 eleqtrd 
 |-  ( ph -> K e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
105 16 simprd 
 |-  ( ph -> L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
106 50 fmpttd 
 |-  ( ph -> ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) : ( Y \ { C } ) --> CC )
107 46 ssdifssd 
 |-  ( ph -> ( Y \ { C } ) C_ CC )
108 eqid 
 |-  ( J |`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) = ( J |`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) )
109 difssd 
 |-  ( ph -> ( U. ( J |`t S ) \ Y ) C_ U. ( J |`t S ) )
110 61 109 unssd 
 |-  ( ph -> ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) C_ U. ( J |`t S ) )
111 ssun1 
 |-  ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) )
112 111 a1i 
 |-  ( ph -> ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) )
113 28 ntrss 
 |-  ( ( ( J |`t S ) e. Top /\ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) C_ U. ( J |`t S ) /\ ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) C_ ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) )
114 23 110 112 113 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) C_ ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) )
115 114 31 sseldd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) )
116 115 49 elind 
 |-  ( ph -> C e. ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) i^i Y ) )
117 42 a1i 
 |-  ( ph -> ( X i^i Y ) C_ Y )
118 eqid 
 |-  ( ( J |`t S ) |`t Y ) = ( ( J |`t S ) |`t Y )
119 28 118 restntr 
 |-  ( ( ( J |`t S ) e. Top /\ Y C_ U. ( J |`t S ) /\ ( X i^i Y ) C_ Y ) -> ( ( int ` ( ( J |`t S ) |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) i^i Y ) )
120 23 27 117 119 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( ( J |`t S ) |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) i^i Y ) )
121 restabs 
 |-  ( ( J e. Top /\ Y C_ S /\ S e. _V ) -> ( ( J |`t S ) |`t Y ) = ( J |`t Y ) )
122 75 4 78 121 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( J |`t S ) |`t Y ) = ( J |`t Y ) )
123 122 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( int ` ( ( J |`t S ) |`t Y ) ) = ( int ` ( J |`t Y ) ) )
124 123 fveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( ( J |`t S ) |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( int ` ( J |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
125 120 124 eqtr3d 
 |-  ( ph -> ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) i^i Y ) = ( ( int ` ( J |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
126 116 125 eleqtrd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
127 undif1 
 |-  ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) = ( Y u. { C } )
128 49 snssd 
 |-  ( ph -> { C } C_ Y )
129 ssequn2 
 |-  ( { C } C_ Y <-> ( Y u. { C } ) = Y )
130 128 129 sylib 
 |-  ( ph -> ( Y u. { C } ) = Y )
131 127 130 eqtrid 
 |-  ( ph -> ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) = Y )
132 131 oveq2d 
 |-  ( ph -> ( J |`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) = ( J |`t Y ) )
133 132 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( int ` ( J |`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) ) = ( int ` ( J |`t Y ) ) )
134 133 97 fveq12d 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( J |`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) = ( ( int ` ( J |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
135 126 134 eleqtrrd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) )
136 106 44 107 8 108 135 limcres 
 |-  ( ph -> ( ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
137 44 resmptd 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
138 137 oveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
139 136 138 eqtr3d 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
140 105 139 eleqtrd 
 |-  ( ph -> L e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
141 8 addcn 
 |-  + e. ( ( J tX J ) Cn J )
142 5 1 2 dvcl 
 |-  ( ( ph /\ C ( S _D F ) K ) -> K e. CC )
143 6 142 mpdan 
 |-  ( ph -> K e. CC )
144 5 3 4 dvcl 
 |-  ( ( ph /\ C ( S _D G ) L ) -> L e. CC )
145 7 144 mpdan 
 |-  ( ph -> L e. CC )
146 143 145 opelxpd 
 |-  ( ph -> <. K , L >. e. ( CC X. CC ) )
147 54 toponunii 
 |-  ( CC X. CC ) = U. ( J tX J )
148 147 cncnpi 
 |-  ( ( + e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. K , L >. e. ( CC X. CC ) ) -> + e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
149 141 146 148 sylancr 
 |-  ( ph -> + e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
150 41 51 52 52 8 55 104 140 149 limccnp2 
 |-  ( ph -> ( K + L ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) limCC C ) )
151 eldifi 
 |-  ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) -> z e. ( X i^i Y ) )
152 151 adantl 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. ( X i^i Y ) )
153 1 ffnd 
 |-  ( ph -> F Fn X )
154 153 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> F Fn X )
155 3 ffnd 
 |-  ( ph -> G Fn Y )
156 155 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> G Fn Y )
157 ssexg 
 |-  ( ( X C_ CC /\ CC e. _V ) -> X e. _V )
158 36 76 157 sylancl 
 |-  ( ph -> X e. _V )
159 158 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> X e. _V )
160 ssexg 
 |-  ( ( Y C_ CC /\ CC e. _V ) -> Y e. _V )
161 46 76 160 sylancl 
 |-  ( ph -> Y e. _V )
162 161 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> Y e. _V )
163 eqid 
 |-  ( X i^i Y ) = ( X i^i Y )
164 eqidd 
 |-  ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) )
165 eqidd 
 |-  ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ z e. Y ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
166 154 156 159 162 163 164 165 ofval 
 |-  ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ z e. ( X i^i Y ) ) -> ( ( F oF + G ) ` z ) = ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) )
167 152 166 mpdan 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F oF + G ) ` z ) = ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) )
168 eqidd 
 |-  ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ C e. X ) -> ( F ` C ) = ( F ` C ) )
169 eqidd 
 |-  ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ C e. Y ) -> ( G ` C ) = ( G ` C ) )
170 154 156 159 162 163 168 169 ofval 
 |-  ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ C e. ( X i^i Y ) ) -> ( ( F oF + G ) ` C ) = ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) )
171 93 170 mpidan 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F oF + G ) ` C ) = ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) )
172 167 171 oveq12d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) = ( ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) ) )
173 difss 
 |-  ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( X i^i Y )
174 173 32 sstri 
 |-  ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ X
175 174 sseli 
 |-  ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) -> z e. X )
176 ffvelcdm 
 |-  ( ( F : X --> CC /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. CC )
177 1 175 176 syl2an 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
178 173 42 sstri 
 |-  ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ Y
179 178 sseli 
 |-  ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) -> z e. Y )
180 ffvelcdm 
 |-  ( ( G : Y --> CC /\ z e. Y ) -> ( G ` z ) e. CC )
181 3 179 180 syl2an 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
182 1 39 ffvelcdmd 
 |-  ( ph -> ( F ` C ) e. CC )
183 182 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( F ` C ) e. CC )
184 3 49 ffvelcdmd 
 |-  ( ph -> ( G ` C ) e. CC )
185 184 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( G ` C ) e. CC )
186 177 181 183 185 addsub4d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
187 172 186 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
188 187 oveq1d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
189 177 183 subcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) e. CC )
190 181 185 subcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) e. CC )
191 174 36 sstrid 
 |-  ( ph -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ CC )
192 191 sselda 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. CC )
193 36 39 sseldd 
 |-  ( ph -> C e. CC )
194 193 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> C e. CC )
195 192 194 subcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( z - C ) e. CC )
196 eldifsni 
 |-  ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) -> z =/= C )
197 196 adantl 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z =/= C )
198 192 194 197 subne0d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( z - C ) =/= 0 )
199 189 190 195 198 divdird 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
200 188 199 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
201 200 mpteq2dva 
 |-  ( ph -> ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) )
202 201 oveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) limCC C ) )
203 150 202 eleqtrrd 
 |-  ( ph -> ( K + L ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
204 eqid 
 |-  ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
205 addcl 
 |-  ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
206 205 adantl 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
207 206 1 3 158 161 163 off 
 |-  ( ph -> ( F oF + G ) : ( X i^i Y ) --> CC )
208 9 8 204 5 207 60 eldv 
 |-  ( ph -> ( C ( S _D ( F oF + G ) ) ( K + L ) <-> ( C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) /\ ( K + L ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) ) ) )
209 31 203 208 mpbir2and 
 |-  ( ph -> C ( S _D ( F oF + G ) ) ( K + L ) )