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Theorem dvmulbr

Description: The product rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvmul . (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016) Avoid ax-mulf and remove unnecessary hypotheses. (Revised by GG, 16-Mar-2025)

Ref Expression
Hypotheses dvadd.f 
|- ( ph -> F : X --> CC )
dvadd.x 
|- ( ph -> X C_ S )
dvadd.g 
|- ( ph -> G : Y --> CC )
dvadd.y 
|- ( ph -> Y C_ S )
dvaddbr.s 
|- ( ph -> S C_ CC )
dvadd.bf 
|- ( ph -> C ( S _D F ) K )
dvadd.bg 
|- ( ph -> C ( S _D G ) L )
dvadd.j 
|- J = ( TopOpen ` CCfld )
Assertion dvmulbr 
|- ( ph -> C ( S _D ( F oF x. G ) ) ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dvadd.f 
 |-  ( ph -> F : X --> CC )
2 dvadd.x 
 |-  ( ph -> X C_ S )
3 dvadd.g 
 |-  ( ph -> G : Y --> CC )
4 dvadd.y 
 |-  ( ph -> Y C_ S )
5 dvaddbr.s 
 |-  ( ph -> S C_ CC )
6 dvadd.bf 
 |-  ( ph -> C ( S _D F ) K )
7 dvadd.bg 
 |-  ( ph -> C ( S _D G ) L )
8 dvadd.j 
 |-  J = ( TopOpen ` CCfld )
9 eqid 
 |-  ( J |`t S ) = ( J |`t S )
10 eqid 
 |-  ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) )
11 9 8 10 5 1 2 eldv 
 |-  ( ph -> ( C ( S _D F ) K <-> ( C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) ) ) )
12 6 11 mpbid 
 |-  ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) ) )
13 12 simpld 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) )
14 eqid 
 |-  ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) )
15 9 8 14 5 3 4 eldv 
 |-  ( ph -> ( C ( S _D G ) L <-> ( C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) ) ) )
16 7 15 mpbid 
 |-  ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) ) )
17 16 simpld 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) )
18 13 17 elind 
 |-  ( ph -> C e. ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) i^i ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) ) )
19 8 cnfldtopon 
 |-  J e. ( TopOn ` CC )
20 resttopon 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( J |`t S ) e. ( TopOn ` S ) )
21 19 5 20 sylancr 
 |-  ( ph -> ( J |`t S ) e. ( TopOn ` S ) )
22 topontop 
 |-  ( ( J |`t S ) e. ( TopOn ` S ) -> ( J |`t S ) e. Top )
23 21 22 syl 
 |-  ( ph -> ( J |`t S ) e. Top )
24 toponuni 
 |-  ( ( J |`t S ) e. ( TopOn ` S ) -> S = U. ( J |`t S ) )
25 21 24 syl 
 |-  ( ph -> S = U. ( J |`t S ) )
26 2 25 sseqtrd 
 |-  ( ph -> X C_ U. ( J |`t S ) )
27 4 25 sseqtrd 
 |-  ( ph -> Y C_ U. ( J |`t S ) )
28 eqid 
 |-  U. ( J |`t S ) = U. ( J |`t S )
29 28 ntrin 
 |-  ( ( ( J |`t S ) e. Top /\ X C_ U. ( J |`t S ) /\ Y C_ U. ( J |`t S ) ) -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) i^i ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) ) )
30 23 26 27 29 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) i^i ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) ) )
31 18 30 eleqtrrd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
32 1 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> F : X --> CC )
33 inss1 
 |-  ( X i^i Y ) C_ X
34 eldifi 
 |-  ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) -> z e. ( X i^i Y ) )
35 34 adantl 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. ( X i^i Y ) )
36 33 35 sselid 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. X )
37 32 36 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
38 5 1 2 dvbss 
 |-  ( ph -> dom ( S _D F ) C_ X )
39 reldv 
 |-  Rel ( S _D F )
40 releldm 
 |-  ( ( Rel ( S _D F ) /\ C ( S _D F ) K ) -> C e. dom ( S _D F ) )
41 39 6 40 sylancr 
 |-  ( ph -> C e. dom ( S _D F ) )
42 38 41 sseldd 
 |-  ( ph -> C e. X )
43 1 42 ffvelcdmd 
 |-  ( ph -> ( F ` C ) e. CC )
44 43 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( F ` C ) e. CC )
45 37 44 subcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) e. CC )
46 2 5 sstrd 
 |-  ( ph -> X C_ CC )
47 46 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> X C_ CC )
48 47 36 sseldd 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. CC )
49 46 42 sseldd 
 |-  ( ph -> C e. CC )
50 49 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> C e. CC )
51 48 50 subcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( z - C ) e. CC )
52 eldifsni 
 |-  ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) -> z =/= C )
53 52 adantl 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z =/= C )
54 48 50 53 subne0d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( z - C ) =/= 0 )
55 45 51 54 divcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
56 3 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> G : Y --> CC )
57 inss2 
 |-  ( X i^i Y ) C_ Y
58 57 35 sselid 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. Y )
59 56 58 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
60 55 59 mulcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
61 ssdif 
 |-  ( ( X i^i Y ) C_ Y -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( Y \ { C } ) )
62 57 61 mp1i 
 |-  ( ph -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( Y \ { C } ) )
63 62 sselda 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. ( Y \ { C } ) )
64 4 5 sstrd 
 |-  ( ph -> Y C_ CC )
65 5 3 4 dvbss 
 |-  ( ph -> dom ( S _D G ) C_ Y )
66 reldv 
 |-  Rel ( S _D G )
67 releldm 
 |-  ( ( Rel ( S _D G ) /\ C ( S _D G ) L ) -> C e. dom ( S _D G ) )
68 66 7 67 sylancr 
 |-  ( ph -> C e. dom ( S _D G ) )
69 65 68 sseldd 
 |-  ( ph -> C e. Y )
70 3 64 69 dvlem 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
71 63 70 syldan 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
72 71 44 mulcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) e. CC )
73 ssidd 
 |-  ( ph -> CC C_ CC )
74 txtopon 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` CC ) /\ J e. ( TopOn ` CC ) ) -> ( J tX J ) e. ( TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
75 19 19 74 mp2an 
 |-  ( J tX J ) e. ( TopOn ` ( CC X. CC ) )
76 75 toponrestid 
 |-  ( J tX J ) = ( ( J tX J ) |`t ( CC X. CC ) )
77 12 simprd 
 |-  ( ph -> K e. ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
78 1 46 42 dvlem 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( X \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
79 78 fmpttd 
 |-  ( ph -> ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) : ( X \ { C } ) --> CC )
80 ssdif 
 |-  ( ( X i^i Y ) C_ X -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( X \ { C } ) )
81 33 80 mp1i 
 |-  ( ph -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( X \ { C } ) )
82 46 ssdifssd 
 |-  ( ph -> ( X \ { C } ) C_ CC )
83 eqid 
 |-  ( J |`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) = ( J |`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) )
84 33 2 sstrid 
 |-  ( ph -> ( X i^i Y ) C_ S )
85 84 25 sseqtrd 
 |-  ( ph -> ( X i^i Y ) C_ U. ( J |`t S ) )
86 difssd 
 |-  ( ph -> ( U. ( J |`t S ) \ X ) C_ U. ( J |`t S ) )
87 85 86 unssd 
 |-  ( ph -> ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) C_ U. ( J |`t S ) )
88 ssun1 
 |-  ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) )
89 88 a1i 
 |-  ( ph -> ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) )
90 28 ntrss 
 |-  ( ( ( J |`t S ) e. Top /\ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) C_ U. ( J |`t S ) /\ ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) C_ ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) )
91 23 87 89 90 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) C_ ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) )
92 eqid 
 |-  ( x e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` x ) - ( F ` C ) ) / ( x - C ) ) ) = ( x e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` x ) - ( F ` C ) ) / ( x - C ) ) )
93 9 8 92 5 1 2 eldv 
 |-  ( ph -> ( C ( S _D F ) K <-> ( C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( x e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` x ) - ( F ` C ) ) / ( x - C ) ) ) limCC C ) ) ) )
94 6 93 mpbid 
 |-  ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( x e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` x ) - ( F ` C ) ) / ( x - C ) ) ) limCC C ) ) )
95 94 simpld 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) )
96 eqid 
 |-  ( x e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` x ) - ( G ` C ) ) / ( x - C ) ) ) = ( x e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` x ) - ( G ` C ) ) / ( x - C ) ) )
97 9 8 96 5 3 4 eldv 
 |-  ( ph -> ( C ( S _D G ) L <-> ( C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( x e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` x ) - ( G ` C ) ) / ( x - C ) ) ) limCC C ) ) ) )
98 7 97 mpbid 
 |-  ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( x e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` x ) - ( G ` C ) ) / ( x - C ) ) ) limCC C ) ) )
99 98 simpld 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) )
100 95 99 elind 
 |-  ( ph -> C e. ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) i^i ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) ) )
101 100 30 eleqtrrd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
102 91 101 sseldd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) )
103 102 42 elind 
 |-  ( ph -> C e. ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) i^i X ) )
104 33 a1i 
 |-  ( ph -> ( X i^i Y ) C_ X )
105 eqid 
 |-  ( ( J |`t S ) |`t X ) = ( ( J |`t S ) |`t X )
106 28 105 restntr 
 |-  ( ( ( J |`t S ) e. Top /\ X C_ U. ( J |`t S ) /\ ( X i^i Y ) C_ X ) -> ( ( int ` ( ( J |`t S ) |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) i^i X ) )
107 23 26 104 106 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( ( J |`t S ) |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) i^i X ) )
108 8 cnfldtop 
 |-  J e. Top
109 108 a1i 
 |-  ( ph -> J e. Top )
110 cnex 
 |-  CC e. _V
111 ssexg 
 |-  ( ( S C_ CC /\ CC e. _V ) -> S e. _V )
112 5 110 111 sylancl 
 |-  ( ph -> S e. _V )
113 restabs 
 |-  ( ( J e. Top /\ X C_ S /\ S e. _V ) -> ( ( J |`t S ) |`t X ) = ( J |`t X ) )
114 109 2 112 113 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( J |`t S ) |`t X ) = ( J |`t X ) )
115 114 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( int ` ( ( J |`t S ) |`t X ) ) = ( int ` ( J |`t X ) ) )
116 115 fveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( ( J |`t S ) |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( int ` ( J |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
117 107 116 eqtr3d 
 |-  ( ph -> ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) i^i X ) = ( ( int ` ( J |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
118 103 117 eleqtrd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
119 undif1 
 |-  ( ( X \ { C } ) u. { C } ) = ( X u. { C } )
120 42 snssd 
 |-  ( ph -> { C } C_ X )
121 ssequn2 
 |-  ( { C } C_ X <-> ( X u. { C } ) = X )
122 120 121 sylib 
 |-  ( ph -> ( X u. { C } ) = X )
123 119 122 eqtrid 
 |-  ( ph -> ( ( X \ { C } ) u. { C } ) = X )
124 123 oveq2d 
 |-  ( ph -> ( J |`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) = ( J |`t X ) )
125 124 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( int ` ( J |`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) ) = ( int ` ( J |`t X ) ) )
126 undif1 
 |-  ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) = ( ( X i^i Y ) u. { C } )
127 42 69 elind 
 |-  ( ph -> C e. ( X i^i Y ) )
128 127 snssd 
 |-  ( ph -> { C } C_ ( X i^i Y ) )
129 ssequn2 
 |-  ( { C } C_ ( X i^i Y ) <-> ( ( X i^i Y ) u. { C } ) = ( X i^i Y ) )
130 128 129 sylib 
 |-  ( ph -> ( ( X i^i Y ) u. { C } ) = ( X i^i Y ) )
131 126 130 eqtrid 
 |-  ( ph -> ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) = ( X i^i Y ) )
132 125 131 fveq12d 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( J |`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) = ( ( int ` ( J |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
133 118 132 eleqtrrd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) )
134 79 81 82 8 83 133 limcres 
 |-  ( ph -> ( ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
135 81 resmptd 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
136 135 oveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
137 134 136 eqtr3d 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
138 77 137 eleqtrd 
 |-  ( ph -> K e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
139 eqid 
 |-  ( J |`t Y ) = ( J |`t Y )
140 139 8 dvcnp2 
 |-  ( ( ( S C_ CC /\ G : Y --> CC /\ Y C_ S ) /\ C e. dom ( S _D G ) ) -> G e. ( ( ( J |`t Y ) CnP J ) ` C ) )
141 5 3 4 68 140 syl31anc 
 |-  ( ph -> G e. ( ( ( J |`t Y ) CnP J ) ` C ) )
142 8 139 cnplimc 
 |-  ( ( Y C_ CC /\ C e. Y ) -> ( G e. ( ( ( J |`t Y ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G limCC C ) ) ) )
143 64 69 142 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( G e. ( ( ( J |`t Y ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G limCC C ) ) ) )
144 141 143 mpbid 
 |-  ( ph -> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G limCC C ) ) )
145 144 simprd 
 |-  ( ph -> ( G ` C ) e. ( G limCC C ) )
146 difss 
 |-  ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( X i^i Y )
147 146 57 sstri 
 |-  ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ Y
148 147 a1i 
 |-  ( ph -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ Y )
149 eqid 
 |-  ( J |`t ( Y u. { C } ) ) = ( J |`t ( Y u. { C } ) )
150 difssd 
 |-  ( ph -> ( U. ( J |`t S ) \ Y ) C_ U. ( J |`t S ) )
151 85 150 unssd 
 |-  ( ph -> ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) C_ U. ( J |`t S ) )
152 ssun1 
 |-  ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) )
153 152 a1i 
 |-  ( ph -> ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) )
154 28 ntrss 
 |-  ( ( ( J |`t S ) e. Top /\ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) C_ U. ( J |`t S ) /\ ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) C_ ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) )
155 23 151 153 154 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) C_ ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) )
156 155 101 sseldd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) )
157 156 69 elind 
 |-  ( ph -> C e. ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) i^i Y ) )
158 57 a1i 
 |-  ( ph -> ( X i^i Y ) C_ Y )
159 eqid 
 |-  ( ( J |`t S ) |`t Y ) = ( ( J |`t S ) |`t Y )
160 28 159 restntr 
 |-  ( ( ( J |`t S ) e. Top /\ Y C_ U. ( J |`t S ) /\ ( X i^i Y ) C_ Y ) -> ( ( int ` ( ( J |`t S ) |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) i^i Y ) )
161 23 27 158 160 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( ( J |`t S ) |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) i^i Y ) )
162 restabs 
 |-  ( ( J e. Top /\ Y C_ S /\ S e. _V ) -> ( ( J |`t S ) |`t Y ) = ( J |`t Y ) )
163 109 4 112 162 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( J |`t S ) |`t Y ) = ( J |`t Y ) )
164 163 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( int ` ( ( J |`t S ) |`t Y ) ) = ( int ` ( J |`t Y ) ) )
165 164 fveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( ( J |`t S ) |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( int ` ( J |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
166 161 165 eqtr3d 
 |-  ( ph -> ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) i^i Y ) = ( ( int ` ( J |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
167 157 166 eleqtrd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
168 69 snssd 
 |-  ( ph -> { C } C_ Y )
169 ssequn2 
 |-  ( { C } C_ Y <-> ( Y u. { C } ) = Y )
170 168 169 sylib 
 |-  ( ph -> ( Y u. { C } ) = Y )
171 170 oveq2d 
 |-  ( ph -> ( J |`t ( Y u. { C } ) ) = ( J |`t Y ) )
172 171 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( int ` ( J |`t ( Y u. { C } ) ) ) = ( int ` ( J |`t Y ) ) )
173 172 131 fveq12d 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( J |`t ( Y u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) = ( ( int ` ( J |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
174 167 173 eleqtrrd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t ( Y u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) )
175 3 148 64 8 149 174 limcres 
 |-  ( ph -> ( ( G |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( G limCC C ) )
176 3 148 feqresmpt 
 |-  ( ph -> ( G |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) )
177 176 oveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( G |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) limCC C ) )
178 175 177 eqtr3d 
 |-  ( ph -> ( G limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) limCC C ) )
179 145 178 eleqtrd 
 |-  ( ph -> ( G ` C ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) limCC C ) )
180 8 mpomulcn 
 |-  ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) e. ( ( J tX J ) Cn J )
181 5 1 2 dvcl 
 |-  ( ( ph /\ C ( S _D F ) K ) -> K e. CC )
182 6 181 mpdan 
 |-  ( ph -> K e. CC )
183 3 69 ffvelcdmd 
 |-  ( ph -> ( G ` C ) e. CC )
184 182 183 opelxpd 
 |-  ( ph -> <. K , ( G ` C ) >. e. ( CC X. CC ) )
185 75 toponunii 
 |-  ( CC X. CC ) = U. ( J tX J )
186 185 cncnpi 
 |-  ( ( ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. K , ( G ` C ) >. e. ( CC X. CC ) ) -> ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , ( G ` C ) >. ) )
187 180 184 186 sylancr 
 |-  ( ph -> ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , ( G ` C ) >. ) )
188 55 59 73 73 8 76 138 179 187 limccnp2 
 |-  ( ph -> ( K ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( G ` C ) ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( G ` z ) ) ) limCC C ) )
189 df-mpt 
 |-  ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( G ` z ) ) ) = { <. z , w >. | ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) /\ w = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( G ` z ) ) ) }
190 189 oveq1i 
 |-  ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( G ` z ) ) ) limCC C ) = ( { <. z , w >. | ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) /\ w = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( G ` z ) ) ) } limCC C )
191 188 190 eleqtrdi 
 |-  ( ph -> ( K ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( G ` C ) ) e. ( { <. z , w >. | ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) /\ w = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( G ` z ) ) ) } limCC C ) )
192 ovmpot 
 |-  ( ( K e. CC /\ ( G ` C ) e. CC ) -> ( K ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( G ` C ) ) = ( K x. ( G ` C ) ) )
193 182 183 192 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( K ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( G ` C ) ) = ( K x. ( G ` C ) ) )
194 ovmpot 
 |-  ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC /\ ( G ` z ) e. CC ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( G ` z ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) )
195 55 59 194 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( G ` z ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) )
196 195 eqeq2d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( w = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( G ` z ) ) <-> w = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) ) )
197 196 pm5.32da 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) /\ w = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( G ` z ) ) ) <-> ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) /\ w = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) ) ) )
198 197 opabbidv 
 |-  ( ph -> { <. z , w >. | ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) /\ w = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( G ` z ) ) ) } = { <. z , w >. | ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) /\ w = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) ) } )
199 df-mpt 
 |-  ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) ) = { <. z , w >. | ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) /\ w = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) ) }
200 198 199 eqtr4di 
 |-  ( ph -> { <. z , w >. | ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) /\ w = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( G ` z ) ) ) } = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) ) )
201 200 oveq1d 
 |-  ( ph -> ( { <. z , w >. | ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) /\ w = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( G ` z ) ) ) } limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) ) limCC C ) )
202 191 193 201 3eltr3d 
 |-  ( ph -> ( K x. ( G ` C ) ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) ) limCC C ) )
203 16 simprd 
 |-  ( ph -> L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
204 70 fmpttd 
 |-  ( ph -> ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) : ( Y \ { C } ) --> CC )
205 64 ssdifssd 
 |-  ( ph -> ( Y \ { C } ) C_ CC )
206 eqid 
 |-  ( J |`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) = ( J |`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) )
207 undif1 
 |-  ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) = ( Y u. { C } )
208 207 170 eqtrid 
 |-  ( ph -> ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) = Y )
209 208 oveq2d 
 |-  ( ph -> ( J |`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) = ( J |`t Y ) )
210 209 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( int ` ( J |`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) ) = ( int ` ( J |`t Y ) ) )
211 210 131 fveq12d 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( J |`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) = ( ( int ` ( J |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
212 167 211 eleqtrrd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) )
213 204 62 205 8 206 212 limcres 
 |-  ( ph -> ( ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
214 62 resmptd 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
215 214 oveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
216 213 215 eqtr3d 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
217 203 216 eleqtrd 
 |-  ( ph -> L e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
218 84 5 sstrd 
 |-  ( ph -> ( X i^i Y ) C_ CC )
219 cncfmptc 
 |-  ( ( ( F ` C ) e. CC /\ ( X i^i Y ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) e. ( ( X i^i Y ) -cn-> CC ) )
220 43 218 73 219 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) e. ( ( X i^i Y ) -cn-> CC ) )
221 eqidd 
 |-  ( z = C -> ( F ` C ) = ( F ` C ) )
222 220 127 221 cnmptlimc 
 |-  ( ph -> ( F ` C ) e. ( ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) limCC C ) )
223 43 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( X i^i Y ) ) -> ( F ` C ) e. CC )
224 223 fmpttd 
 |-  ( ph -> ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) : ( X i^i Y ) --> CC )
225 224 limcdif 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) limCC C ) = ( ( ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) )
226 resmpt 
 |-  ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( X i^i Y ) -> ( ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( F ` C ) ) )
227 146 226 mp1i 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( F ` C ) ) )
228 227 oveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( F ` C ) ) limCC C ) )
229 225 228 eqtrd 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( F ` C ) ) limCC C ) )
230 222 229 eleqtrd 
 |-  ( ph -> ( F ` C ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( F ` C ) ) limCC C ) )
231 5 3 4 dvcl 
 |-  ( ( ph /\ C ( S _D G ) L ) -> L e. CC )
232 7 231 mpdan 
 |-  ( ph -> L e. CC )
233 232 43 opelxpd 
 |-  ( ph -> <. L , ( F ` C ) >. e. ( CC X. CC ) )
234 185 cncnpi 
 |-  ( ( ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. L , ( F ` C ) >. e. ( CC X. CC ) ) -> ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. L , ( F ` C ) >. ) )
235 180 233 234 sylancr 
 |-  ( ph -> ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. L , ( F ` C ) >. ) )
236 71 44 73 73 8 76 217 230 235 limccnp2 
 |-  ( ph -> ( L ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( F ` C ) ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( F ` C ) ) ) limCC C ) )
237 df-mpt 
 |-  ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( F ` C ) ) ) = { <. z , w >. | ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) /\ w = ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( F ` C ) ) ) }
238 237 oveq1i 
 |-  ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( F ` C ) ) ) limCC C ) = ( { <. z , w >. | ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) /\ w = ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( F ` C ) ) ) } limCC C )
239 236 238 eleqtrdi 
 |-  ( ph -> ( L ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( F ` C ) ) e. ( { <. z , w >. | ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) /\ w = ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( F ` C ) ) ) } limCC C ) )
240 ovmpot 
 |-  ( ( L e. CC /\ ( F ` C ) e. CC ) -> ( L ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( F ` C ) ) = ( L x. ( F ` C ) ) )
241 232 43 240 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( L ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( F ` C ) ) = ( L x. ( F ` C ) ) )
242 42 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> C e. X )
243 32 242 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( F ` C ) e. CC )
244 ovmpot 
 |-  ( ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC /\ ( F ` C ) e. CC ) -> ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( F ` C ) ) = ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) )
245 71 243 244 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( F ` C ) ) = ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) )
246 245 eqeq2d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( w = ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( F ` C ) ) <-> w = ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) )
247 246 pm5.32da 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) /\ w = ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( F ` C ) ) ) <-> ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) /\ w = ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) ) )
248 247 opabbidv 
 |-  ( ph -> { <. z , w >. | ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) /\ w = ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( F ` C ) ) ) } = { <. z , w >. | ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) /\ w = ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) } )
249 df-mpt 
 |-  ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) = { <. z , w >. | ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) /\ w = ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) }
250 248 249 eqtr4di 
 |-  ( ph -> { <. z , w >. | ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) /\ w = ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( F ` C ) ) ) } = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) )
251 250 oveq1d 
 |-  ( ph -> ( { <. z , w >. | ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) /\ w = ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) ( F ` C ) ) ) } limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) limCC C ) )
252 239 241 251 3eltr3d 
 |-  ( ph -> ( L x. ( F ` C ) ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) limCC C ) )
253 8 addcn 
 |-  + e. ( ( J tX J ) Cn J )
254 182 183 mulcld 
 |-  ( ph -> ( K x. ( G ` C ) ) e. CC )
255 232 43 mulcld 
 |-  ( ph -> ( L x. ( F ` C ) ) e. CC )
256 254 255 opelxpd 
 |-  ( ph -> <. ( K x. ( G ` C ) ) , ( L x. ( F ` C ) ) >. e. ( CC X. CC ) )
257 185 cncnpi 
 |-  ( ( + e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. ( K x. ( G ` C ) ) , ( L x. ( F ` C ) ) >. e. ( CC X. CC ) ) -> + e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. ( K x. ( G ` C ) ) , ( L x. ( F ` C ) ) >. ) )
258 253 256 257 sylancr 
 |-  ( ph -> + e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. ( K x. ( G ` C ) ) , ( L x. ( F ` C ) ) >. ) )
259 60 72 73 73 8 76 202 252 258 limccnp2 
 |-  ( ph -> ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) ) limCC C ) )
260 37 243 subcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) e. CC )
261 260 59 mulcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
262 69 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> C e. Y )
263 56 262 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( G ` C ) e. CC )
264 59 263 subcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) e. CC )
265 264 243 mulcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) e. CC )
266 47 242 sseldd 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> C e. CC )
267 48 266 subcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( z - C ) e. CC )
268 261 265 267 54 divdird 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
269 37 59 mulcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
270 243 59 mulcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
271 243 263 mulcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) e. CC )
272 269 270 271 npncand 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) ) + ( ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) ) = ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) )
273 37 243 59 subdird 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) = ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) ) )
274 264 243 mulcomd 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) = ( ( F ` C ) x. ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
275 243 59 263 subdid 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F ` C ) x. ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) = ( ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) )
276 274 275 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) = ( ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) )
277 273 276 oveq12d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) ) = ( ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) ) + ( ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) ) )
278 1 ffnd 
 |-  ( ph -> F Fn X )
279 278 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> F Fn X )
280 3 ffnd 
 |-  ( ph -> G Fn Y )
281 280 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> G Fn Y )
282 ssexg 
 |-  ( ( X C_ CC /\ CC e. _V ) -> X e. _V )
283 46 110 282 sylancl 
 |-  ( ph -> X e. _V )
284 283 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> X e. _V )
285 ssexg 
 |-  ( ( Y C_ CC /\ CC e. _V ) -> Y e. _V )
286 64 110 285 sylancl 
 |-  ( ph -> Y e. _V )
287 286 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> Y e. _V )
288 eqid 
 |-  ( X i^i Y ) = ( X i^i Y )
289 eqidd 
 |-  ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) )
290 eqidd 
 |-  ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ z e. Y ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
291 279 281 284 287 288 289 290 ofval 
 |-  ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ z e. ( X i^i Y ) ) -> ( ( F oF x. G ) ` z ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
292 35 291 mpdan 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F oF x. G ) ` z ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
293 eqidd 
 |-  ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ C e. X ) -> ( F ` C ) = ( F ` C ) )
294 eqidd 
 |-  ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ C e. Y ) -> ( G ` C ) = ( G ` C ) )
295 279 281 284 287 288 293 294 ofval 
 |-  ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ C e. ( X i^i Y ) ) -> ( ( F oF x. G ) ` C ) = ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) )
296 127 295 mpidan 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F oF x. G ) ` C ) = ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) )
297 292 296 oveq12d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) = ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) )
298 272 277 297 3eqtr4d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) ) = ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) )
299 298 oveq1d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
300 260 59 267 54 div23d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) )
301 264 243 267 54 div23d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) )
302 300 301 oveq12d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) )
303 268 299 302 3eqtr3d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) )
304 303 mpteq2dva 
 |-  ( ph -> ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) ) )
305 304 oveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) ) limCC C ) )
306 259 305 eleqtrrd 
 |-  ( ph -> ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
307 eqid 
 |-  ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
308 mulcl 
 |-  ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
309 308 adantl 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x x. y ) e. CC )
310 309 1 3 283 286 288 off 
 |-  ( ph -> ( F oF x. G ) : ( X i^i Y ) --> CC )
311 9 8 307 5 310 84 eldv 
 |-  ( ph -> ( C ( S _D ( F oF x. G ) ) ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) <-> ( C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) /\ ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) ) ) )
312 31 306 311 mpbir2and 
 |-  ( ph -> C ( S _D ( F oF x. G ) ) ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) )