Metamath Proof Explorer

Theorem mplvrpmmhm

Description: The action of permuting variables in a multivariate polynomial is a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2026)

Ref Expression
Hypotheses mplvrpmga.1 
|- S = ( SymGrp ` I )
mplvrpmga.2 
|- P = ( Base ` S )
mplvrpmga.3 
|- M = ( Base ` ( I mPoly R ) )
mplvrpmga.4 
|- A = ( d e. P , f e. M |-> ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( f ` ( x o. d ) ) ) )
mplvrpmga.5 
|- ( ph -> I e. V )
mplvrpmmhm.f 
|- F = ( f e. M |-> ( D A f ) )
mplvrpmmhm.w 
|- W = ( I mPoly R )
mplvrpmmhm.1 
|- ( ph -> R e. Ring )
mplvrpmmhm.2 
|- ( ph -> D e. P )
Assertion mplvrpmmhm 
|- ( ph -> F e. ( W MndHom W ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mplvrpmga.1 
 |-  S = ( SymGrp ` I )
2 mplvrpmga.2 
 |-  P = ( Base ` S )
3 mplvrpmga.3 
 |-  M = ( Base ` ( I mPoly R ) )
4 mplvrpmga.4 
 |-  A = ( d e. P , f e. M |-> ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( f ` ( x o. d ) ) ) )
5 mplvrpmga.5 
 |-  ( ph -> I e. V )
6 mplvrpmmhm.f 
 |-  F = ( f e. M |-> ( D A f ) )
7 mplvrpmmhm.w 
 |-  W = ( I mPoly R )
8 mplvrpmmhm.1 
 |-  ( ph -> R e. Ring )
9 mplvrpmmhm.2 
 |-  ( ph -> D e. P )
10 7 fveq2i 
 |-  ( Base ` W ) = ( Base ` ( I mPoly R ) )
11 3 10 eqtr4i 
 |-  M = ( Base ` W )
12 eqid 
 |-  ( +g ` W ) = ( +g ` W )
13 eqid 
 |-  ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
14 7 5 8 mplringd 
 |-  ( ph -> W e. Ring )
15 14 ringgrpd 
 |-  ( ph -> W e. Grp )
16 15 grpmndd 
 |-  ( ph -> W e. Mnd )
17 1 2 3 4 5 mplvrpmga 
 |-  ( ph -> A e. ( S GrpAct M ) )
18 2 gaf 
 |-  ( A e. ( S GrpAct M ) -> A : ( P X. M ) --> M )
19 17 18 syl 
 |-  ( ph -> A : ( P X. M ) --> M )
20 19 fovcld 
 |-  ( ( ph /\ D e. P /\ f e. M ) -> ( D A f ) e. M )
21 20 3expa 
 |-  ( ( ( ph /\ D e. P ) /\ f e. M ) -> ( D A f ) e. M )
22 21 an32s 
 |-  ( ( ( ph /\ f e. M ) /\ D e. P ) -> ( D A f ) e. M )
23 9 22 mpidan 
 |-  ( ( ph /\ f e. M ) -> ( D A f ) e. M )
24 23 6 fmptd 
 |-  ( ph -> F : M --> M )
25 eqid 
 |-  ( Base ` R ) = ( Base ` R )
26 eqid 
 |-  { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } = { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 }
27 26 psrbasfsupp 
 |-  { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
28 simplr 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> i e. M )
29 7 25 11 27 28 mplelf 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> i : { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } --> ( Base ` R ) )
30 29 adantr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> i : { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } --> ( Base ` R ) )
31 30 ffnd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> i Fn { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } )
32 simpr 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> j e. M )
33 7 25 11 27 32 mplelf 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> j : { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } --> ( Base ` R ) )
34 33 adantr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> j : { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } --> ( Base ` R ) )
35 34 ffnd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> j Fn { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } )
36 ovex 
 |-  ( NN0 ^m I ) e. _V
37 36 rabex 
 |-  { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } e. _V
38 37 a1i 
 |-  ( ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } e. _V )
39 breq1 
 |-  ( h = ( x o. D ) -> ( h finSupp 0 <-> ( x o. D ) finSupp 0 ) )
40 nn0ex 
 |-  NN0 e. _V
41 40 a1i 
 |-  ( ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> NN0 e. _V )
42 5 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> I e. V )
43 breq1 
 |-  ( h = x -> ( h finSupp 0 <-> x finSupp 0 ) )
44 43 elrab 
 |-  ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } <-> ( x e. ( NN0 ^m I ) /\ x finSupp 0 ) )
45 44 bilani 
 |-  ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> ( x e. ( NN0 ^m I ) /\ x finSupp 0 ) )
46 45 simpld 
 |-  ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> x e. ( NN0 ^m I ) )
47 46 elmaprd 
 |-  ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> x : I --> NN0 )
48 47 ad4ant14 
 |-  ( ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> x : I --> NN0 )
49 1 2 symgbasf1o 
 |-  ( D e. P -> D : I -1-1-onto-> I )
50 9 49 syl 
 |-  ( ph -> D : I -1-1-onto-> I )
51 f1of 
 |-  ( D : I -1-1-onto-> I -> D : I --> I )
52 50 51 syl 
 |-  ( ph -> D : I --> I )
53 52 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> D : I --> I )
54 48 53 fcod 
 |-  ( ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> ( x o. D ) : I --> NN0 )
55 41 42 54 elmapdd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> ( x o. D ) e. ( NN0 ^m I ) )
56 45 simprd 
 |-  ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> x finSupp 0 )
57 50 adantr 
 |-  ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> D : I -1-1-onto-> I )
58 f1of1 
 |-  ( D : I -1-1-onto-> I -> D : I -1-1-> I )
59 57 58 syl 
 |-  ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> D : I -1-1-> I )
60 0nn0 
 |-  0 e. NN0
61 60 a1i 
 |-  ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> 0 e. NN0 )
62 simpr 
 |-  ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } )
63 56 59 61 62 fsuppco 
 |-  ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> ( x o. D ) finSupp 0 )
64 63 ad4ant14 
 |-  ( ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> ( x o. D ) finSupp 0 )
65 39 55 64 elrabd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> ( x o. D ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } )
66 fnfvof 
 |-  ( ( ( i Fn { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } /\ j Fn { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) /\ ( { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } e. _V /\ ( x o. D ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) ) -> ( ( i oF ( +g ` R ) j ) ` ( x o. D ) ) = ( ( i ` ( x o. D ) ) ( +g ` R ) ( j ` ( x o. D ) ) ) )
67 31 35 38 65 66 syl22anc 
 |-  ( ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> ( ( i oF ( +g ` R ) j ) ` ( x o. D ) ) = ( ( i ` ( x o. D ) ) ( +g ` R ) ( j ` ( x o. D ) ) ) )
68 oveq2 
 |-  ( f = i -> ( D A f ) = ( D A i ) )
69 4 a1i 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> A = ( d e. P , f e. M |-> ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( f ` ( x o. d ) ) ) ) )
70 simpr 
 |-  ( ( d = D /\ f = i ) -> f = i )
71 coeq2 
 |-  ( d = D -> ( x o. d ) = ( x o. D ) )
72 71 adantr 
 |-  ( ( d = D /\ f = i ) -> ( x o. d ) = ( x o. D ) )
73 70 72 fveq12d 
 |-  ( ( d = D /\ f = i ) -> ( f ` ( x o. d ) ) = ( i ` ( x o. D ) ) )
74 73 mpteq2dv 
 |-  ( ( d = D /\ f = i ) -> ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( f ` ( x o. d ) ) ) = ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( i ` ( x o. D ) ) ) )
75 74 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) /\ ( d = D /\ f = i ) ) -> ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( f ` ( x o. d ) ) ) = ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( i ` ( x o. D ) ) ) )
76 9 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> D e. P )
77 37 a1i 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } e. _V )
78 77 mptexd 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( i ` ( x o. D ) ) ) e. _V )
79 69 75 76 28 78 ovmpod 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> ( D A i ) = ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( i ` ( x o. D ) ) ) )
80 68 79 sylan9eqr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) /\ f = i ) -> ( D A f ) = ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( i ` ( x o. D ) ) ) )
81 6 80 28 78 fvmptd2 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> ( F ` i ) = ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( i ` ( x o. D ) ) ) )
82 fvexd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> ( i ` ( x o. D ) ) e. _V )
83 81 82 fvmpt2d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> ( ( F ` i ) ` x ) = ( i ` ( x o. D ) ) )
84 oveq2 
 |-  ( f = j -> ( D A f ) = ( D A j ) )
85 simpr 
 |-  ( ( d = D /\ f = j ) -> f = j )
86 71 adantr 
 |-  ( ( d = D /\ f = j ) -> ( x o. d ) = ( x o. D ) )
87 85 86 fveq12d 
 |-  ( ( d = D /\ f = j ) -> ( f ` ( x o. d ) ) = ( j ` ( x o. D ) ) )
88 87 mpteq2dv 
 |-  ( ( d = D /\ f = j ) -> ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( f ` ( x o. d ) ) ) = ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( j ` ( x o. D ) ) ) )
89 88 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) /\ ( d = D /\ f = j ) ) -> ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( f ` ( x o. d ) ) ) = ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( j ` ( x o. D ) ) ) )
90 77 mptexd 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( j ` ( x o. D ) ) ) e. _V )
91 69 89 76 32 90 ovmpod 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> ( D A j ) = ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( j ` ( x o. D ) ) ) )
92 84 91 sylan9eqr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) /\ f = j ) -> ( D A f ) = ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( j ` ( x o. D ) ) ) )
93 6 92 32 90 fvmptd2 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> ( F ` j ) = ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( j ` ( x o. D ) ) ) )
94 fvexd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> ( j ` ( x o. D ) ) e. _V )
95 93 94 fvmpt2d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> ( ( F ` j ) ` x ) = ( j ` ( x o. D ) ) )
96 83 95 oveq12d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> ( ( ( F ` i ) ` x ) ( +g ` R ) ( ( F ` j ) ` x ) ) = ( ( i ` ( x o. D ) ) ( +g ` R ) ( j ` ( x o. D ) ) ) )
97 67 96 eqtr4d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> ( ( i oF ( +g ` R ) j ) ` ( x o. D ) ) = ( ( ( F ` i ) ` x ) ( +g ` R ) ( ( F ` j ) ` x ) ) )
98 97 mpteq2dva 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( ( i oF ( +g ` R ) j ) ` ( x o. D ) ) ) = ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( ( ( F ` i ) ` x ) ( +g ` R ) ( ( F ` j ) ` x ) ) ) )
99 24 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> F : M --> M )
100 99 28 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> ( F ` i ) e. M )
101 7 25 11 27 100 mplelf 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> ( F ` i ) : { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } --> ( Base ` R ) )
102 101 ffnd 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> ( F ` i ) Fn { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } )
103 99 32 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> ( F ` j ) e. M )
104 7 25 11 27 103 mplelf 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> ( F ` j ) : { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } --> ( Base ` R ) )
105 104 ffnd 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> ( F ` j ) Fn { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } )
106 77 102 105 offvalfv 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> ( ( F ` i ) oF ( +g ` R ) ( F ` j ) ) = ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( ( ( F ` i ) ` x ) ( +g ` R ) ( ( F ` j ) ` x ) ) ) )
107 98 106 eqtr4d 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( ( i oF ( +g ` R ) j ) ` ( x o. D ) ) ) = ( ( F ` i ) oF ( +g ` R ) ( F ` j ) ) )
108 oveq2 
 |-  ( f = ( i ( +g ` W ) j ) -> ( D A f ) = ( D A ( i ( +g ` W ) j ) ) )
109 simpr 
 |-  ( ( d = D /\ f = ( i ( +g ` W ) j ) ) -> f = ( i ( +g ` W ) j ) )
110 71 adantr 
 |-  ( ( d = D /\ f = ( i ( +g ` W ) j ) ) -> ( x o. d ) = ( x o. D ) )
111 109 110 fveq12d 
 |-  ( ( d = D /\ f = ( i ( +g ` W ) j ) ) -> ( f ` ( x o. d ) ) = ( ( i ( +g ` W ) j ) ` ( x o. D ) ) )
112 111 mpteq2dv 
 |-  ( ( d = D /\ f = ( i ( +g ` W ) j ) ) -> ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( f ` ( x o. d ) ) ) = ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( ( i ( +g ` W ) j ) ` ( x o. D ) ) ) )
113 112 adantl 
 |-  ( ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) /\ ( d = D /\ f = ( i ( +g ` W ) j ) ) ) -> ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( f ` ( x o. d ) ) ) = ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( ( i ( +g ` W ) j ) ` ( x o. D ) ) ) )
114 15 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> W e. Grp )
115 11 12 114 28 32 grpcld 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> ( i ( +g ` W ) j ) e. M )
116 77 mptexd 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( ( i ( +g ` W ) j ) ` ( x o. D ) ) ) e. _V )
117 69 113 76 115 116 ovmpod 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> ( D A ( i ( +g ` W ) j ) ) = ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( ( i ( +g ` W ) j ) ` ( x o. D ) ) ) )
118 108 117 sylan9eqr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) /\ f = ( i ( +g ` W ) j ) ) -> ( D A f ) = ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( ( i ( +g ` W ) j ) ` ( x o. D ) ) ) )
119 6 118 115 116 fvmptd2 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> ( F ` ( i ( +g ` W ) j ) ) = ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( ( i ( +g ` W ) j ) ` ( x o. D ) ) ) )
120 eqid 
 |-  ( +g ` R ) = ( +g ` R )
121 7 11 120 12 28 32 mpladd 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> ( i ( +g ` W ) j ) = ( i oF ( +g ` R ) j ) )
122 121 fveq1d 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> ( ( i ( +g ` W ) j ) ` ( x o. D ) ) = ( ( i oF ( +g ` R ) j ) ` ( x o. D ) ) )
123 122 mpteq2dv 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( ( i ( +g ` W ) j ) ` ( x o. D ) ) ) = ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( ( i oF ( +g ` R ) j ) ` ( x o. D ) ) ) )
124 119 123 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> ( F ` ( i ( +g ` W ) j ) ) = ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( ( i oF ( +g ` R ) j ) ` ( x o. D ) ) ) )
125 7 11 120 12 100 103 mpladd 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> ( ( F ` i ) ( +g ` W ) ( F ` j ) ) = ( ( F ` i ) oF ( +g ` R ) ( F ` j ) ) )
126 107 124 125 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( ph /\ i e. M ) /\ j e. M ) -> ( F ` ( i ( +g ` W ) j ) ) = ( ( F ` i ) ( +g ` W ) ( F ` j ) ) )
127 126 anasss 
 |-  ( ( ph /\ ( i e. M /\ j e. M ) ) -> ( F ` ( i ( +g ` W ) j ) ) = ( ( F ` i ) ( +g ` W ) ( F ` j ) ) )
128 simpr 
 |-  ( ( ph /\ f = ( 0g ` W ) ) -> f = ( 0g ` W ) )
129 128 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ f = ( 0g ` W ) ) -> ( D A f ) = ( D A ( 0g ` W ) ) )
130 4 a1i 
 |-  ( ph -> A = ( d e. P , f e. M |-> ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( f ` ( x o. d ) ) ) ) )
131 simplrr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( d = D /\ f = ( 0g ` W ) ) ) /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> f = ( 0g ` W ) )
132 eqid 
 |-  ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
133 8 ringgrpd 
 |-  ( ph -> R e. Grp )
134 7 27 132 13 5 133 mpl0 
 |-  ( ph -> ( 0g ` W ) = ( { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } X. { ( 0g ` R ) } ) )
135 134 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( d = D /\ f = ( 0g ` W ) ) ) /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> ( 0g ` W ) = ( { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } X. { ( 0g ` R ) } ) )
136 131 135 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ ( d = D /\ f = ( 0g ` W ) ) ) /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> f = ( { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } X. { ( 0g ` R ) } ) )
137 71 ad2antrl 
 |-  ( ( ph /\ ( d = D /\ f = ( 0g ` W ) ) ) -> ( x o. d ) = ( x o. D ) )
138 137 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ ( d = D /\ f = ( 0g ` W ) ) ) /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> ( x o. d ) = ( x o. D ) )
139 136 138 fveq12d 
 |-  ( ( ( ph /\ ( d = D /\ f = ( 0g ` W ) ) ) /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> ( f ` ( x o. d ) ) = ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } X. { ( 0g ` R ) } ) ` ( x o. D ) ) )
140 139 mpteq2dva 
 |-  ( ( ph /\ ( d = D /\ f = ( 0g ` W ) ) ) -> ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( f ` ( x o. d ) ) ) = ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } X. { ( 0g ` R ) } ) ` ( x o. D ) ) ) )
141 40 a1i 
 |-  ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> NN0 e. _V )
142 5 adantr 
 |-  ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> I e. V )
143 52 adantr 
 |-  ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> D : I --> I )
144 47 143 fcod 
 |-  ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> ( x o. D ) : I --> NN0 )
145 141 142 144 elmapdd 
 |-  ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> ( x o. D ) e. ( NN0 ^m I ) )
146 39 145 63 elrabd 
 |-  ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> ( x o. D ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } )
147 fvex 
 |-  ( 0g ` R ) e. _V
148 147 fvconst2 
 |-  ( ( x o. D ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } -> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } X. { ( 0g ` R ) } ) ` ( x o. D ) ) = ( 0g ` R ) )
149 146 148 syl 
 |-  ( ( ph /\ x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } ) -> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } X. { ( 0g ` R ) } ) ` ( x o. D ) ) = ( 0g ` R ) )
150 149 mpteq2dva 
 |-  ( ph -> ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } X. { ( 0g ` R ) } ) ` ( x o. D ) ) ) = ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( 0g ` R ) ) )
151 fconstmpt 
 |-  ( { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } X. { ( 0g ` R ) } ) = ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( 0g ` R ) )
152 134 151 eqtrdi 
 |-  ( ph -> ( 0g ` W ) = ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( 0g ` R ) ) )
153 150 152 eqtr4d 
 |-  ( ph -> ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } X. { ( 0g ` R ) } ) ` ( x o. D ) ) ) = ( 0g ` W ) )
154 153 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( d = D /\ f = ( 0g ` W ) ) ) -> ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } X. { ( 0g ` R ) } ) ` ( x o. D ) ) ) = ( 0g ` W ) )
155 140 154 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ ( d = D /\ f = ( 0g ` W ) ) ) -> ( x e. { h e. ( NN0 ^m I ) | h finSupp 0 } |-> ( f ` ( x o. d ) ) ) = ( 0g ` W ) )
156 11 13 15 grpidcld 
 |-  ( ph -> ( 0g ` W ) e. M )
157 130 155 9 156 156 ovmpod 
 |-  ( ph -> ( D A ( 0g ` W ) ) = ( 0g ` W ) )
158 157 adantr 
 |-  ( ( ph /\ f = ( 0g ` W ) ) -> ( D A ( 0g ` W ) ) = ( 0g ` W ) )
159 129 158 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ f = ( 0g ` W ) ) -> ( D A f ) = ( 0g ` W ) )
160 6 159 156 156 fvmptd2 
 |-  ( ph -> ( F ` ( 0g ` W ) ) = ( 0g ` W ) )
161 11 11 12 12 13 13 16 16 24 127 160 ismhmd 
 |-  ( ph -> F e. ( W MndHom W ) )