Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mretopd.m |
|- ( ph -> M e. ( Moore ` B ) ) |
2 |
|
mretopd.z |
|- ( ph -> (/) e. M ) |
3 |
|
mretopd.u |
|- ( ( ph /\ x e. M /\ y e. M ) -> ( x u. y ) e. M ) |
4 |
|
mretopd.j |
|- J = { z e. ~P B | ( B \ z ) e. M } |
5 |
|
unieq |
|- ( a = (/) -> U. a = U. (/) ) |
6 |
|
uni0 |
|- U. (/) = (/) |
7 |
5 6
|
eqtrdi |
|- ( a = (/) -> U. a = (/) ) |
8 |
7
|
eleq1d |
|- ( a = (/) -> ( U. a e. J <-> (/) e. J ) ) |
9 |
4
|
ssrab3 |
|- J C_ ~P B |
10 |
|
sstr |
|- ( ( a C_ J /\ J C_ ~P B ) -> a C_ ~P B ) |
11 |
9 10
|
mpan2 |
|- ( a C_ J -> a C_ ~P B ) |
12 |
11
|
adantl |
|- ( ( ph /\ a C_ J ) -> a C_ ~P B ) |
13 |
|
sspwuni |
|- ( a C_ ~P B <-> U. a C_ B ) |
14 |
12 13
|
sylib |
|- ( ( ph /\ a C_ J ) -> U. a C_ B ) |
15 |
|
vuniex |
|- U. a e. _V |
16 |
15
|
elpw |
|- ( U. a e. ~P B <-> U. a C_ B ) |
17 |
14 16
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ a C_ J ) -> U. a e. ~P B ) |
18 |
17
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ a C_ J ) /\ a =/= (/) ) -> U. a e. ~P B ) |
19 |
|
uniiun |
|- U. a = U_ b e. a b |
20 |
19
|
difeq2i |
|- ( B \ U. a ) = ( B \ U_ b e. a b ) |
21 |
|
iindif2 |
|- ( a =/= (/) -> |^|_ b e. a ( B \ b ) = ( B \ U_ b e. a b ) ) |
22 |
21
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ a C_ J ) /\ a =/= (/) ) -> |^|_ b e. a ( B \ b ) = ( B \ U_ b e. a b ) ) |
23 |
1
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ a C_ J ) /\ a =/= (/) ) -> M e. ( Moore ` B ) ) |
24 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ a C_ J ) /\ a =/= (/) ) -> a =/= (/) ) |
25 |
|
difeq2 |
|- ( z = b -> ( B \ z ) = ( B \ b ) ) |
26 |
25
|
eleq1d |
|- ( z = b -> ( ( B \ z ) e. M <-> ( B \ b ) e. M ) ) |
27 |
26 4
|
elrab2 |
|- ( b e. J <-> ( b e. ~P B /\ ( B \ b ) e. M ) ) |
28 |
27
|
simprbi |
|- ( b e. J -> ( B \ b ) e. M ) |
29 |
28
|
rgen |
|- A. b e. J ( B \ b ) e. M |
30 |
|
ssralv |
|- ( a C_ J -> ( A. b e. J ( B \ b ) e. M -> A. b e. a ( B \ b ) e. M ) ) |
31 |
30
|
adantl |
|- ( ( ph /\ a C_ J ) -> ( A. b e. J ( B \ b ) e. M -> A. b e. a ( B \ b ) e. M ) ) |
32 |
29 31
|
mpi |
|- ( ( ph /\ a C_ J ) -> A. b e. a ( B \ b ) e. M ) |
33 |
32
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ a C_ J ) /\ a =/= (/) ) -> A. b e. a ( B \ b ) e. M ) |
34 |
|
mreiincl |
|- ( ( M e. ( Moore ` B ) /\ a =/= (/) /\ A. b e. a ( B \ b ) e. M ) -> |^|_ b e. a ( B \ b ) e. M ) |
35 |
23 24 33 34
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ a C_ J ) /\ a =/= (/) ) -> |^|_ b e. a ( B \ b ) e. M ) |
36 |
22 35
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( ph /\ a C_ J ) /\ a =/= (/) ) -> ( B \ U_ b e. a b ) e. M ) |
37 |
20 36
|
eqeltrid |
|- ( ( ( ph /\ a C_ J ) /\ a =/= (/) ) -> ( B \ U. a ) e. M ) |
38 |
|
difeq2 |
|- ( z = U. a -> ( B \ z ) = ( B \ U. a ) ) |
39 |
38
|
eleq1d |
|- ( z = U. a -> ( ( B \ z ) e. M <-> ( B \ U. a ) e. M ) ) |
40 |
39 4
|
elrab2 |
|- ( U. a e. J <-> ( U. a e. ~P B /\ ( B \ U. a ) e. M ) ) |
41 |
18 37 40
|
sylanbrc |
|- ( ( ( ph /\ a C_ J ) /\ a =/= (/) ) -> U. a e. J ) |
42 |
|
0elpw |
|- (/) e. ~P B |
43 |
42
|
a1i |
|- ( ph -> (/) e. ~P B ) |
44 |
|
mre1cl |
|- ( M e. ( Moore ` B ) -> B e. M ) |
45 |
1 44
|
syl |
|- ( ph -> B e. M ) |
46 |
|
difeq2 |
|- ( z = (/) -> ( B \ z ) = ( B \ (/) ) ) |
47 |
|
dif0 |
|- ( B \ (/) ) = B |
48 |
46 47
|
eqtrdi |
|- ( z = (/) -> ( B \ z ) = B ) |
49 |
48
|
eleq1d |
|- ( z = (/) -> ( ( B \ z ) e. M <-> B e. M ) ) |
50 |
49 4
|
elrab2 |
|- ( (/) e. J <-> ( (/) e. ~P B /\ B e. M ) ) |
51 |
43 45 50
|
sylanbrc |
|- ( ph -> (/) e. J ) |
52 |
51
|
adantr |
|- ( ( ph /\ a C_ J ) -> (/) e. J ) |
53 |
8 41 52
|
pm2.61ne |
|- ( ( ph /\ a C_ J ) -> U. a e. J ) |
54 |
53
|
ex |
|- ( ph -> ( a C_ J -> U. a e. J ) ) |
55 |
54
|
alrimiv |
|- ( ph -> A. a ( a C_ J -> U. a e. J ) ) |
56 |
|
inss1 |
|- ( a i^i b ) C_ a |
57 |
|
difeq2 |
|- ( z = a -> ( B \ z ) = ( B \ a ) ) |
58 |
57
|
eleq1d |
|- ( z = a -> ( ( B \ z ) e. M <-> ( B \ a ) e. M ) ) |
59 |
58 4
|
elrab2 |
|- ( a e. J <-> ( a e. ~P B /\ ( B \ a ) e. M ) ) |
60 |
59
|
simplbi |
|- ( a e. J -> a e. ~P B ) |
61 |
60
|
elpwid |
|- ( a e. J -> a C_ B ) |
62 |
61
|
ad2antrl |
|- ( ( ph /\ ( a e. J /\ b e. J ) ) -> a C_ B ) |
63 |
56 62
|
sstrid |
|- ( ( ph /\ ( a e. J /\ b e. J ) ) -> ( a i^i b ) C_ B ) |
64 |
|
vex |
|- a e. _V |
65 |
64
|
inex1 |
|- ( a i^i b ) e. _V |
66 |
65
|
elpw |
|- ( ( a i^i b ) e. ~P B <-> ( a i^i b ) C_ B ) |
67 |
63 66
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ ( a e. J /\ b e. J ) ) -> ( a i^i b ) e. ~P B ) |
68 |
|
difindi |
|- ( B \ ( a i^i b ) ) = ( ( B \ a ) u. ( B \ b ) ) |
69 |
59
|
simprbi |
|- ( a e. J -> ( B \ a ) e. M ) |
70 |
69
|
ad2antrl |
|- ( ( ph /\ ( a e. J /\ b e. J ) ) -> ( B \ a ) e. M ) |
71 |
28
|
ad2antll |
|- ( ( ph /\ ( a e. J /\ b e. J ) ) -> ( B \ b ) e. M ) |
72 |
|
simpl |
|- ( ( ph /\ ( a e. J /\ b e. J ) ) -> ph ) |
73 |
|
uneq1 |
|- ( x = ( B \ a ) -> ( x u. y ) = ( ( B \ a ) u. y ) ) |
74 |
73
|
eleq1d |
|- ( x = ( B \ a ) -> ( ( x u. y ) e. M <-> ( ( B \ a ) u. y ) e. M ) ) |
75 |
74
|
imbi2d |
|- ( x = ( B \ a ) -> ( ( ph -> ( x u. y ) e. M ) <-> ( ph -> ( ( B \ a ) u. y ) e. M ) ) ) |
76 |
|
uneq2 |
|- ( y = ( B \ b ) -> ( ( B \ a ) u. y ) = ( ( B \ a ) u. ( B \ b ) ) ) |
77 |
76
|
eleq1d |
|- ( y = ( B \ b ) -> ( ( ( B \ a ) u. y ) e. M <-> ( ( B \ a ) u. ( B \ b ) ) e. M ) ) |
78 |
77
|
imbi2d |
|- ( y = ( B \ b ) -> ( ( ph -> ( ( B \ a ) u. y ) e. M ) <-> ( ph -> ( ( B \ a ) u. ( B \ b ) ) e. M ) ) ) |
79 |
3
|
3expb |
|- ( ( ph /\ ( x e. M /\ y e. M ) ) -> ( x u. y ) e. M ) |
80 |
79
|
expcom |
|- ( ( x e. M /\ y e. M ) -> ( ph -> ( x u. y ) e. M ) ) |
81 |
75 78 80
|
vtocl2ga |
|- ( ( ( B \ a ) e. M /\ ( B \ b ) e. M ) -> ( ph -> ( ( B \ a ) u. ( B \ b ) ) e. M ) ) |
82 |
81
|
imp |
|- ( ( ( ( B \ a ) e. M /\ ( B \ b ) e. M ) /\ ph ) -> ( ( B \ a ) u. ( B \ b ) ) e. M ) |
83 |
70 71 72 82
|
syl21anc |
|- ( ( ph /\ ( a e. J /\ b e. J ) ) -> ( ( B \ a ) u. ( B \ b ) ) e. M ) |
84 |
68 83
|
eqeltrid |
|- ( ( ph /\ ( a e. J /\ b e. J ) ) -> ( B \ ( a i^i b ) ) e. M ) |
85 |
|
difeq2 |
|- ( z = ( a i^i b ) -> ( B \ z ) = ( B \ ( a i^i b ) ) ) |
86 |
85
|
eleq1d |
|- ( z = ( a i^i b ) -> ( ( B \ z ) e. M <-> ( B \ ( a i^i b ) ) e. M ) ) |
87 |
86 4
|
elrab2 |
|- ( ( a i^i b ) e. J <-> ( ( a i^i b ) e. ~P B /\ ( B \ ( a i^i b ) ) e. M ) ) |
88 |
67 84 87
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ ( a e. J /\ b e. J ) ) -> ( a i^i b ) e. J ) |
89 |
88
|
ralrimivva |
|- ( ph -> A. a e. J A. b e. J ( a i^i b ) e. J ) |
90 |
45
|
pwexd |
|- ( ph -> ~P B e. _V ) |
91 |
4 90
|
rabexd |
|- ( ph -> J e. _V ) |
92 |
|
istopg |
|- ( J e. _V -> ( J e. Top <-> ( A. a ( a C_ J -> U. a e. J ) /\ A. a e. J A. b e. J ( a i^i b ) e. J ) ) ) |
93 |
91 92
|
syl |
|- ( ph -> ( J e. Top <-> ( A. a ( a C_ J -> U. a e. J ) /\ A. a e. J A. b e. J ( a i^i b ) e. J ) ) ) |
94 |
55 89 93
|
mpbir2and |
|- ( ph -> J e. Top ) |
95 |
9
|
unissi |
|- U. J C_ U. ~P B |
96 |
|
unipw |
|- U. ~P B = B |
97 |
95 96
|
sseqtri |
|- U. J C_ B |
98 |
|
pwidg |
|- ( B e. M -> B e. ~P B ) |
99 |
45 98
|
syl |
|- ( ph -> B e. ~P B ) |
100 |
|
difid |
|- ( B \ B ) = (/) |
101 |
100 2
|
eqeltrid |
|- ( ph -> ( B \ B ) e. M ) |
102 |
|
difeq2 |
|- ( z = B -> ( B \ z ) = ( B \ B ) ) |
103 |
102
|
eleq1d |
|- ( z = B -> ( ( B \ z ) e. M <-> ( B \ B ) e. M ) ) |
104 |
103 4
|
elrab2 |
|- ( B e. J <-> ( B e. ~P B /\ ( B \ B ) e. M ) ) |
105 |
99 101 104
|
sylanbrc |
|- ( ph -> B e. J ) |
106 |
|
unissel |
|- ( ( U. J C_ B /\ B e. J ) -> U. J = B ) |
107 |
97 105 106
|
sylancr |
|- ( ph -> U. J = B ) |
108 |
107
|
eqcomd |
|- ( ph -> B = U. J ) |
109 |
|
istopon |
|- ( J e. ( TopOn ` B ) <-> ( J e. Top /\ B = U. J ) ) |
110 |
94 108 109
|
sylanbrc |
|- ( ph -> J e. ( TopOn ` B ) ) |
111 |
|
eqid |
|- U. J = U. J |
112 |
111
|
cldval |
|- ( J e. Top -> ( Clsd ` J ) = { x e. ~P U. J | ( U. J \ x ) e. J } ) |
113 |
94 112
|
syl |
|- ( ph -> ( Clsd ` J ) = { x e. ~P U. J | ( U. J \ x ) e. J } ) |
114 |
107
|
pweqd |
|- ( ph -> ~P U. J = ~P B ) |
115 |
107
|
difeq1d |
|- ( ph -> ( U. J \ x ) = ( B \ x ) ) |
116 |
115
|
eleq1d |
|- ( ph -> ( ( U. J \ x ) e. J <-> ( B \ x ) e. J ) ) |
117 |
114 116
|
rabeqbidv |
|- ( ph -> { x e. ~P U. J | ( U. J \ x ) e. J } = { x e. ~P B | ( B \ x ) e. J } ) |
118 |
4
|
eleq2i |
|- ( ( B \ x ) e. J <-> ( B \ x ) e. { z e. ~P B | ( B \ z ) e. M } ) |
119 |
|
difss |
|- ( B \ x ) C_ B |
120 |
|
elpw2g |
|- ( B e. M -> ( ( B \ x ) e. ~P B <-> ( B \ x ) C_ B ) ) |
121 |
45 120
|
syl |
|- ( ph -> ( ( B \ x ) e. ~P B <-> ( B \ x ) C_ B ) ) |
122 |
119 121
|
mpbiri |
|- ( ph -> ( B \ x ) e. ~P B ) |
123 |
|
difeq2 |
|- ( z = ( B \ x ) -> ( B \ z ) = ( B \ ( B \ x ) ) ) |
124 |
123
|
eleq1d |
|- ( z = ( B \ x ) -> ( ( B \ z ) e. M <-> ( B \ ( B \ x ) ) e. M ) ) |
125 |
124
|
elrab3 |
|- ( ( B \ x ) e. ~P B -> ( ( B \ x ) e. { z e. ~P B | ( B \ z ) e. M } <-> ( B \ ( B \ x ) ) e. M ) ) |
126 |
122 125
|
syl |
|- ( ph -> ( ( B \ x ) e. { z e. ~P B | ( B \ z ) e. M } <-> ( B \ ( B \ x ) ) e. M ) ) |
127 |
126
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. ~P B ) -> ( ( B \ x ) e. { z e. ~P B | ( B \ z ) e. M } <-> ( B \ ( B \ x ) ) e. M ) ) |
128 |
118 127
|
syl5bb |
|- ( ( ph /\ x e. ~P B ) -> ( ( B \ x ) e. J <-> ( B \ ( B \ x ) ) e. M ) ) |
129 |
|
elpwi |
|- ( x e. ~P B -> x C_ B ) |
130 |
|
dfss4 |
|- ( x C_ B <-> ( B \ ( B \ x ) ) = x ) |
131 |
129 130
|
sylib |
|- ( x e. ~P B -> ( B \ ( B \ x ) ) = x ) |
132 |
131
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x e. ~P B ) -> ( B \ ( B \ x ) ) = x ) |
133 |
132
|
eleq1d |
|- ( ( ph /\ x e. ~P B ) -> ( ( B \ ( B \ x ) ) e. M <-> x e. M ) ) |
134 |
128 133
|
bitrd |
|- ( ( ph /\ x e. ~P B ) -> ( ( B \ x ) e. J <-> x e. M ) ) |
135 |
134
|
rabbidva |
|- ( ph -> { x e. ~P B | ( B \ x ) e. J } = { x e. ~P B | x e. M } ) |
136 |
|
incom |
|- ( M i^i ~P B ) = ( ~P B i^i M ) |
137 |
|
dfin5 |
|- ( ~P B i^i M ) = { x e. ~P B | x e. M } |
138 |
136 137
|
eqtri |
|- ( M i^i ~P B ) = { x e. ~P B | x e. M } |
139 |
|
mresspw |
|- ( M e. ( Moore ` B ) -> M C_ ~P B ) |
140 |
1 139
|
syl |
|- ( ph -> M C_ ~P B ) |
141 |
|
df-ss |
|- ( M C_ ~P B <-> ( M i^i ~P B ) = M ) |
142 |
140 141
|
sylib |
|- ( ph -> ( M i^i ~P B ) = M ) |
143 |
138 142
|
eqtr3id |
|- ( ph -> { x e. ~P B | x e. M } = M ) |
144 |
135 143
|
eqtrd |
|- ( ph -> { x e. ~P B | ( B \ x ) e. J } = M ) |
145 |
113 117 144
|
3eqtrrd |
|- ( ph -> M = ( Clsd ` J ) ) |
146 |
110 145
|
jca |
|- ( ph -> ( J e. ( TopOn ` B ) /\ M = ( Clsd ` J ) ) ) |