Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
txcnp.4 |
|- ( ph -> J e. ( TopOn ` X ) ) |
2 |
|
txcnp.5 |
|- ( ph -> K e. ( TopOn ` Y ) ) |
3 |
|
txcnp.6 |
|- ( ph -> L e. ( TopOn ` Z ) ) |
4 |
|
txcnp.7 |
|- ( ph -> D e. X ) |
5 |
|
txcnp.8 |
|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP K ) ` D ) ) |
6 |
|
txcnp.9 |
|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( ( J CnP L ) ` D ) ) |
7 |
|
cnpf2 |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP K ) ` D ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> Y ) |
8 |
1 2 5 7
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> Y ) |
9 |
8
|
fvmptelrn |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. Y ) |
10 |
|
cnpf2 |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ L e. ( TopOn ` Z ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( ( J CnP L ) ` D ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> Z ) |
11 |
1 3 6 10
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> Z ) |
12 |
11
|
fvmptelrn |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. Z ) |
13 |
9 12
|
opelxpd |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. A , B >. e. ( Y X. Z ) ) |
14 |
13
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( x e. X |-> <. A , B >. ) : X --> ( Y X. Z ) ) |
15 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X ) |
16 |
|
opex |
|- <. A , B >. e. _V |
17 |
|
eqid |
|- ( x e. X |-> <. A , B >. ) = ( x e. X |-> <. A , B >. ) |
18 |
17
|
fvmpt2 |
|- ( ( x e. X /\ <. A , B >. e. _V ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. A , B >. ) |
19 |
15 16 18
|
sylancl |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. A , B >. ) |
20 |
|
eqid |
|- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A ) |
21 |
20
|
fvmpt2 |
|- ( ( x e. X /\ A e. Y ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A ) |
22 |
15 9 21
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A ) |
23 |
|
eqid |
|- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B ) |
24 |
23
|
fvmpt2 |
|- ( ( x e. X /\ B e. Z ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = B ) |
25 |
15 12 24
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = B ) |
26 |
22 25
|
opeq12d |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. = <. A , B >. ) |
27 |
19 26
|
eqtr4d |
|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) |
28 |
27
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. x e. X ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) |
29 |
|
nffvmpt1 |
|- F/_ x ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) |
30 |
|
nffvmpt1 |
|- F/_ x ( ( x e. X |-> A ) ` D ) |
31 |
|
nffvmpt1 |
|- F/_ x ( ( x e. X |-> B ) ` D ) |
32 |
30 31
|
nfop |
|- F/_ x <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. |
33 |
29 32
|
nfeq |
|- F/ x ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. |
34 |
|
fveq2 |
|- ( x = D -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) ) |
35 |
|
fveq2 |
|- ( x = D -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = ( ( x e. X |-> A ) ` D ) ) |
36 |
|
fveq2 |
|- ( x = D -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = ( ( x e. X |-> B ) ` D ) ) |
37 |
35 36
|
opeq12d |
|- ( x = D -> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. = <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. ) |
38 |
34 37
|
eqeq12d |
|- ( x = D -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. <-> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. ) ) |
39 |
33 38
|
rspc |
|- ( D e. X -> ( A. x e. X ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. ) ) |
40 |
4 28 39
|
sylc |
|- ( ph -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. ) |
41 |
40
|
eleq1d |
|- ( ph -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) <-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. e. ( v X. w ) ) ) |
42 |
41
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) <-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. e. ( v X. w ) ) ) |
43 |
5
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP K ) ` D ) ) |
44 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> v e. K ) |
45 |
|
simprl |
|- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v ) |
46 |
|
cnpimaex |
|- ( ( ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP K ) ` D ) /\ v e. K /\ ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v ) -> E. r e. J ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) ) |
47 |
43 44 45 46
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> E. r e. J ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) ) |
48 |
6
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( ( J CnP L ) ` D ) ) |
49 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> w e. L ) |
50 |
|
simprr |
|- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) |
51 |
|
cnpimaex |
|- ( ( ( x e. X |-> B ) e. ( ( J CnP L ) ` D ) /\ w e. L /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) -> E. s e. J ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) |
52 |
48 49 50 51
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> E. s e. J ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) |
53 |
47 52
|
jca |
|- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> ( E. r e. J ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ E. s e. J ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) ) |
54 |
53
|
ex |
|- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) -> ( E. r e. J ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ E. s e. J ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) ) ) |
55 |
|
opelxp |
|- ( <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. e. ( v X. w ) <-> ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) |
56 |
|
reeanv |
|- ( E. r e. J E. s e. J ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) <-> ( E. r e. J ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ E. s e. J ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) ) |
57 |
54 55 56
|
3imtr4g |
|- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. e. ( v X. w ) -> E. r e. J E. s e. J ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) ) ) |
58 |
42 57
|
sylbid |
|- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) -> E. r e. J E. s e. J ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) ) ) |
59 |
|
an4 |
|- ( ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) <-> ( ( D e. r /\ D e. s ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) ) |
60 |
|
elin |
|- ( D e. ( r i^i s ) <-> ( D e. r /\ D e. s ) ) |
61 |
60
|
biimpri |
|- ( ( D e. r /\ D e. s ) -> D e. ( r i^i s ) ) |
62 |
61
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( D e. r /\ D e. s ) -> D e. ( r i^i s ) ) ) |
63 |
|
simpl |
|- ( ( r e. J /\ s e. J ) -> r e. J ) |
64 |
|
toponss |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ r e. J ) -> r C_ X ) |
65 |
1 63 64
|
syl2an |
|- ( ( ph /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> r C_ X ) |
66 |
|
ssinss1 |
|- ( r C_ X -> ( r i^i s ) C_ X ) |
67 |
66
|
adantl |
|- ( ( ph /\ r C_ X ) -> ( r i^i s ) C_ X ) |
68 |
67
|
sselda |
|- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> t e. X ) |
69 |
28
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> A. x e. X ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) |
70 |
|
nffvmpt1 |
|- F/_ x ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) |
71 |
|
nffvmpt1 |
|- F/_ x ( ( x e. X |-> A ) ` t ) |
72 |
|
nffvmpt1 |
|- F/_ x ( ( x e. X |-> B ) ` t ) |
73 |
71 72
|
nfop |
|- F/_ x <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >. |
74 |
70 73
|
nfeq |
|- F/ x ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >. |
75 |
|
fveq2 |
|- ( x = t -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) ) |
76 |
|
fveq2 |
|- ( x = t -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = ( ( x e. X |-> A ) ` t ) ) |
77 |
|
fveq2 |
|- ( x = t -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = ( ( x e. X |-> B ) ` t ) ) |
78 |
76 77
|
opeq12d |
|- ( x = t -> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. = <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >. ) |
79 |
75 78
|
eqeq12d |
|- ( x = t -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. <-> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >. ) ) |
80 |
74 79
|
rspc |
|- ( t e. X -> ( A. x e. X ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >. ) ) |
81 |
68 69 80
|
sylc |
|- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >. ) |
82 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> t e. ( r i^i s ) ) |
83 |
82
|
elin1d |
|- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> t e. r ) |
84 |
8
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> Y ) |
85 |
84
|
ffund |
|- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> Fun ( x e. X |-> A ) ) |
86 |
67
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( r i^i s ) C_ X ) |
87 |
84
|
fdmd |
|- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> dom ( x e. X |-> A ) = X ) |
88 |
86 87
|
sseqtrrd |
|- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( r i^i s ) C_ dom ( x e. X |-> A ) ) |
89 |
88 82
|
sseldd |
|- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> t e. dom ( x e. X |-> A ) ) |
90 |
|
funfvima |
|- ( ( Fun ( x e. X |-> A ) /\ t e. dom ( x e. X |-> A ) ) -> ( t e. r -> ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( ( x e. X |-> A ) " r ) ) ) |
91 |
85 89 90
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( t e. r -> ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( ( x e. X |-> A ) " r ) ) ) |
92 |
83 91
|
mpd |
|- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( ( x e. X |-> A ) " r ) ) |
93 |
82
|
elin2d |
|- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> t e. s ) |
94 |
11
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> Z ) |
95 |
94
|
ffund |
|- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> Fun ( x e. X |-> B ) ) |
96 |
94
|
fdmd |
|- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> dom ( x e. X |-> B ) = X ) |
97 |
86 96
|
sseqtrrd |
|- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( r i^i s ) C_ dom ( x e. X |-> B ) ) |
98 |
97 82
|
sseldd |
|- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> t e. dom ( x e. X |-> B ) ) |
99 |
|
funfvima |
|- ( ( Fun ( x e. X |-> B ) /\ t e. dom ( x e. X |-> B ) ) -> ( t e. s -> ( ( x e. X |-> B ) ` t ) e. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) ) |
100 |
95 98 99
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( t e. s -> ( ( x e. X |-> B ) ` t ) e. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) ) |
101 |
93 100
|
mpd |
|- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` t ) e. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) |
102 |
92 101
|
opelxpd |
|- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >. e. ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) ) |
103 |
81 102
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) e. ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) ) |
104 |
103
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ r C_ X ) -> A. t e. ( r i^i s ) ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) e. ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) ) |
105 |
14
|
ffund |
|- ( ph -> Fun ( x e. X |-> <. A , B >. ) ) |
106 |
105
|
adantr |
|- ( ( ph /\ r C_ X ) -> Fun ( x e. X |-> <. A , B >. ) ) |
107 |
14
|
fdmd |
|- ( ph -> dom ( x e. X |-> <. A , B >. ) = X ) |
108 |
107
|
adantr |
|- ( ( ph /\ r C_ X ) -> dom ( x e. X |-> <. A , B >. ) = X ) |
109 |
67 108
|
sseqtrrd |
|- ( ( ph /\ r C_ X ) -> ( r i^i s ) C_ dom ( x e. X |-> <. A , B >. ) ) |
110 |
|
funimass4 |
|- ( ( Fun ( x e. X |-> <. A , B >. ) /\ ( r i^i s ) C_ dom ( x e. X |-> <. A , B >. ) ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) <-> A. t e. ( r i^i s ) ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) e. ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) ) ) |
111 |
106 109 110
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ r C_ X ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) <-> A. t e. ( r i^i s ) ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) e. ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) ) ) |
112 |
104 111
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ r C_ X ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) ) |
113 |
65 112
|
syldan |
|- ( ( ph /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) ) |
114 |
113
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) ) |
115 |
|
xpss12 |
|- ( ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) C_ ( v X. w ) ) |
116 |
|
sstr2 |
|- ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) -> ( ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) C_ ( v X. w ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) ) |
117 |
114 115 116
|
syl2im |
|- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) ) |
118 |
62 117
|
anim12d |
|- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( ( D e. r /\ D e. s ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) -> ( D e. ( r i^i s ) /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) ) ) |
119 |
59 118
|
syl5bi |
|- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) -> ( D e. ( r i^i s ) /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) ) ) |
120 |
|
topontop |
|- ( J e. ( TopOn ` X ) -> J e. Top ) |
121 |
1 120
|
syl |
|- ( ph -> J e. Top ) |
122 |
|
inopn |
|- ( ( J e. Top /\ r e. J /\ s e. J ) -> ( r i^i s ) e. J ) |
123 |
122
|
3expb |
|- ( ( J e. Top /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( r i^i s ) e. J ) |
124 |
121 123
|
sylan |
|- ( ( ph /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( r i^i s ) e. J ) |
125 |
124
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( r i^i s ) e. J ) |
126 |
119 125
|
jctild |
|- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) -> ( ( r i^i s ) e. J /\ ( D e. ( r i^i s ) /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) ) ) ) |
127 |
126
|
expimpd |
|- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( ( r e. J /\ s e. J ) /\ ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) ) -> ( ( r i^i s ) e. J /\ ( D e. ( r i^i s ) /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) ) ) ) |
128 |
|
eleq2 |
|- ( z = ( r i^i s ) -> ( D e. z <-> D e. ( r i^i s ) ) ) |
129 |
|
imaeq2 |
|- ( z = ( r i^i s ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) = ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) ) |
130 |
129
|
sseq1d |
|- ( z = ( r i^i s ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) <-> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) ) |
131 |
128 130
|
anbi12d |
|- ( z = ( r i^i s ) -> ( ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) <-> ( D e. ( r i^i s ) /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) ) ) |
132 |
131
|
rspcev |
|- ( ( ( r i^i s ) e. J /\ ( D e. ( r i^i s ) /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) |
133 |
127 132
|
syl6 |
|- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( ( r e. J /\ s e. J ) /\ ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) ) |
134 |
133
|
expd |
|- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( r e. J /\ s e. J ) -> ( ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) ) ) |
135 |
134
|
rexlimdvv |
|- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( E. r e. J E. s e. J ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) ) |
136 |
58 135
|
syld |
|- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) ) |
137 |
136
|
ralrimivva |
|- ( ph -> A. v e. K A. w e. L ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) ) |
138 |
|
vex |
|- v e. _V |
139 |
|
vex |
|- w e. _V |
140 |
138 139
|
xpex |
|- ( v X. w ) e. _V |
141 |
140
|
rgen2w |
|- A. v e. K A. w e. L ( v X. w ) e. _V |
142 |
|
eqid |
|- ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) = ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) |
143 |
|
eleq2 |
|- ( y = ( v X. w ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. y <-> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) ) ) |
144 |
|
sseq2 |
|- ( y = ( v X. w ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y <-> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) |
145 |
144
|
anbi2d |
|- ( y = ( v X. w ) -> ( ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) <-> ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) ) |
146 |
145
|
rexbidv |
|- ( y = ( v X. w ) -> ( E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) <-> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) ) |
147 |
143 146
|
imbi12d |
|- ( y = ( v X. w ) -> ( ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. y -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) ) <-> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) ) ) |
148 |
142 147
|
ralrnmpo |
|- ( A. v e. K A. w e. L ( v X. w ) e. _V -> ( A. y e. ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. y -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) ) <-> A. v e. K A. w e. L ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) ) ) |
149 |
141 148
|
ax-mp |
|- ( A. y e. ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. y -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) ) <-> A. v e. K A. w e. L ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) ) |
150 |
137 149
|
sylibr |
|- ( ph -> A. y e. ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. y -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) ) ) |
151 |
|
topontop |
|- ( K e. ( TopOn ` Y ) -> K e. Top ) |
152 |
2 151
|
syl |
|- ( ph -> K e. Top ) |
153 |
|
topontop |
|- ( L e. ( TopOn ` Z ) -> L e. Top ) |
154 |
3 153
|
syl |
|- ( ph -> L e. Top ) |
155 |
|
eqid |
|- ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) = ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) |
156 |
155
|
txval |
|- ( ( K e. Top /\ L e. Top ) -> ( K tX L ) = ( topGen ` ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) ) ) |
157 |
152 154 156
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( K tX L ) = ( topGen ` ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) ) ) |
158 |
|
txtopon |
|- ( ( K e. ( TopOn ` Y ) /\ L e. ( TopOn ` Z ) ) -> ( K tX L ) e. ( TopOn ` ( Y X. Z ) ) ) |
159 |
2 3 158
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( K tX L ) e. ( TopOn ` ( Y X. Z ) ) ) |
160 |
1 157 159 4
|
tgcnp |
|- ( ph -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) e. ( ( J CnP ( K tX L ) ) ` D ) <-> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) : X --> ( Y X. Z ) /\ A. y e. ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. y -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) ) ) ) ) |
161 |
14 150 160
|
mpbir2and |
|- ( ph -> ( x e. X |-> <. A , B >. ) e. ( ( J CnP ( K tX L ) ) ` D ) ) |