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Theorem lecldbas

Description: The set of closed intervals forms a closed subbasis for the topology on the extended reals. Since our definition of a basis is in terms of open sets, we express this by showing that the complements of closed intervals form an open subbasis for the topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015)

Ref Expression
Hypothesis lecldbas.1 F = x ran . * x
Assertion lecldbas ordTop = topGen fi ran F

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lecldbas.1 F = x ran . * x
2 eqid ran y * y +∞ = ran y * y +∞
3 eqid ran y * −∞ y = ran y * −∞ y
4 2 3 leordtval2 ordTop = topGen fi ran y * y +∞ ran y * −∞ y
5 fvex fi ran F V
6 fvex ordTop V
7 iccf . : * × * 𝒫 *
8 ffn . : * × * 𝒫 * . Fn * × *
9 7 8 ax-mp . Fn * × *
10 ovelrn . Fn * × * x ran . a * b * x = a b
11 9 10 ax-mp x ran . a * b * x = a b
12 difeq2 x = a b * x = * a b
13 iccordt a b Clsd ordTop
14 letopuni * = ordTop
15 14 cldopn a b Clsd ordTop * a b ordTop
16 13 15 ax-mp * a b ordTop
17 12 16 eqeltrdi x = a b * x ordTop
18 17 rexlimivw b * x = a b * x ordTop
19 18 rexlimivw a * b * x = a b * x ordTop
20 11 19 sylbi x ran . * x ordTop
21 1 20 fmpti F : ran . ordTop
22 frn F : ran . ordTop ran F ordTop
23 21 22 ax-mp ran F ordTop
24 6 23 ssexi ran F V
25 eqid y * y +∞ = y * y +∞
26 mnfxr −∞ *
27 fnovrn . Fn * × * −∞ * y * −∞ y ran .
28 9 26 27 mp3an12 y * −∞ y ran .
29 26 a1i y * −∞ *
30 id y * y *
31 pnfxr +∞ *
32 31 a1i y * +∞ *
33 mnfle y * −∞ y
34 pnfge y * y +∞
35 df-icc . = a * , b * c * | a c c b
36 df-ioc . = a * , b * c * | a < c c b
37 xrltnle y * z * y < z ¬ z y
38 xrletr z * y * +∞ * z y y +∞ z +∞
39 xrlelttr −∞ * y * z * −∞ y y < z −∞ < z
40 xrltle −∞ * z * −∞ < z −∞ z
41 40 3adant2 −∞ * y * z * −∞ < z −∞ z
42 39 41 syld −∞ * y * z * −∞ y y < z −∞ z
43 35 36 37 35 38 42 ixxun −∞ * y * +∞ * −∞ y y +∞ −∞ y y +∞ = −∞ +∞
44 29 30 32 33 34 43 syl32anc y * −∞ y y +∞ = −∞ +∞
45 iccmax −∞ +∞ = *
46 44 45 eqtrdi y * −∞ y y +∞ = *
47 iccssxr −∞ y *
48 35 36 37 ixxdisj −∞ * y * +∞ * −∞ y y +∞ =
49 26 31 48 mp3an13 y * −∞ y y +∞ =
50 uneqdifeq −∞ y * −∞ y y +∞ = −∞ y y +∞ = * * −∞ y = y +∞
51 47 49 50 sylancr y * −∞ y y +∞ = * * −∞ y = y +∞
52 46 51 mpbid y * * −∞ y = y +∞
53 52 eqcomd y * y +∞ = * −∞ y
54 difeq2 x = −∞ y * x = * −∞ y
55 54 rspceeqv −∞ y ran . y +∞ = * −∞ y x ran . y +∞ = * x
56 28 53 55 syl2anc y * x ran . y +∞ = * x
57 xrex * V
58 57 difexi * x V
59 1 58 elrnmpti y +∞ ran F x ran . y +∞ = * x
60 56 59 sylibr y * y +∞ ran F
61 25 60 fmpti y * y +∞ : * ran F
62 frn y * y +∞ : * ran F ran y * y +∞ ran F
63 61 62 ax-mp ran y * y +∞ ran F
64 eqid y * −∞ y = y * −∞ y
65 fnovrn . Fn * × * y * +∞ * y +∞ ran .
66 9 31 65 mp3an13 y * y +∞ ran .
67 df-ico . = a * , b * c * | a c c < b
68 xrlenlt y * z * y z ¬ z < y
69 xrltletr z * y * +∞ * z < y y +∞ z < +∞
70 xrltle z * +∞ * z < +∞ z +∞
71 70 3adant2 z * y * +∞ * z < +∞ z +∞
72 69 71 syld z * y * +∞ * z < y y +∞ z +∞
73 xrletr −∞ * y * z * −∞ y y z −∞ z
74 67 35 68 35 72 73 ixxun −∞ * y * +∞ * −∞ y y +∞ −∞ y y +∞ = −∞ +∞
75 29 30 32 33 34 74 syl32anc y * −∞ y y +∞ = −∞ +∞
76 uncom −∞ y y +∞ = y +∞ −∞ y
77 75 76 45 3eqtr3g y * y +∞ −∞ y = *
78 iccssxr y +∞ *
79 incom y +∞ −∞ y = −∞ y y +∞
80 67 35 68 ixxdisj −∞ * y * +∞ * −∞ y y +∞ =
81 26 31 80 mp3an13 y * −∞ y y +∞ =
82 79 81 eqtrid y * y +∞ −∞ y =
83 uneqdifeq y +∞ * y +∞ −∞ y = y +∞ −∞ y = * * y +∞ = −∞ y
84 78 82 83 sylancr y * y +∞ −∞ y = * * y +∞ = −∞ y
85 77 84 mpbid y * * y +∞ = −∞ y
86 85 eqcomd y * −∞ y = * y +∞
87 difeq2 x = y +∞ * x = * y +∞
88 87 rspceeqv y +∞ ran . −∞ y = * y +∞ x ran . −∞ y = * x
89 66 86 88 syl2anc y * x ran . −∞ y = * x
90 1 58 elrnmpti −∞ y ran F x ran . −∞ y = * x
91 89 90 sylibr y * −∞ y ran F
92 64 91 fmpti y * −∞ y : * ran F
93 frn y * −∞ y : * ran F ran y * −∞ y ran F
94 92 93 ax-mp ran y * −∞ y ran F
95 63 94 unssi ran y * y +∞ ran y * −∞ y ran F
96 fiss ran F V ran y * y +∞ ran y * −∞ y ran F fi ran y * y +∞ ran y * −∞ y fi ran F
97 24 95 96 mp2an fi ran y * y +∞ ran y * −∞ y fi ran F
98 tgss fi ran F V fi ran y * y +∞ ran y * −∞ y fi ran F topGen fi ran y * y +∞ ran y * −∞ y topGen fi ran F
99 5 97 98 mp2an topGen fi ran y * y +∞ ran y * −∞ y topGen fi ran F
100 4 99 eqsstri ordTop topGen fi ran F
101 letop ordTop Top
102 tgfiss ordTop Top ran F ordTop topGen fi ran F ordTop
103 101 23 102 mp2an topGen fi ran F ordTop
104 100 103 eqssi ordTop = topGen fi ran F