f1otrg

Description: A bijection between bases which conserves distances and intervals conserves also geometries. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	f1otrkg.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
	f1otrkg.d	⊢ 𝐷 = ( dist ‘ 𝐺 )
	f1otrkg.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
	f1otrkg.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐻 )
	f1otrkg.e	⊢ 𝐸 = ( dist ‘ 𝐻 )
	f1otrkg.j	⊢ 𝐽 = ( Itv ‘ 𝐻 )
	f1otrkg.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 )
	f1otrkg.1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑒 𝐸 𝑓 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑒 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑓 ) ) )
	f1otrkg.2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑔 ∈ ( 𝑒 𝐽 𝑓 ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑒 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑓 ) ) ) )
	f1otrg.h	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑉 )
	f1otrg.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
	f1otrg.l	⊢ ( 𝜑 → ( LineG ‘ 𝐻 ) = ( 𝑥 ∈ 𝐵 , 𝑦 ∈ ( 𝐵 ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐽 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ) } ) )
Assertion	f1otrg	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ TarskiG )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1otrkg.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2		f1otrkg.d	⊢ 𝐷 = ( dist ‘ 𝐺 )
3		f1otrkg.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
4		f1otrkg.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐻 )
5		f1otrkg.e	⊢ 𝐸 = ( dist ‘ 𝐻 )
6		f1otrkg.j	⊢ 𝐽 = ( Itv ‘ 𝐻 )
7		f1otrkg.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 )
8		f1otrkg.1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑒 𝐸 𝑓 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑒 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑓 ) ) )
9		f1otrkg.2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑔 ∈ ( 𝑒 𝐽 𝑓 ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑒 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑓 ) ) ) )
10		f1otrg.h	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑉 )
11		f1otrg.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
12		f1otrg.l	⊢ ( 𝜑 → ( LineG ‘ 𝐻 ) = ( 𝑥 ∈ 𝐵 , 𝑦 ∈ ( 𝐵 ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐽 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ) } ) )
13	10	elexd	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ V )
14	11	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
15		f1of	⊢ ( 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 → 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝑃 )
16	7 15	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝑃 )
17	16	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝑃 )
18		simprl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ 𝐵 )
19	17 18	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑃 )
20		simprr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑦 ∈ 𝐵 )
21	17 20	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝑃 )
22	1 2 3 14 19 21	axtgcgrrflx	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
23	7	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 )
24	8	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑒 𝐸 𝑓 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑒 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑓 ) ) )
25	9	adantlr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑔 ∈ ( 𝑒 𝐽 𝑓 ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑒 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑓 ) ) ) )
26	1 2 3 4 5 6 23 24 25 18 20	f1otrgds	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) )
27	1 2 3 4 5 6 23 24 25 20 18	f1otrgds	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑦 𝐸 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
28	22 26 27	3eqtr4d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑦 𝐸 𝑥 ) )
29	28	ralrimivva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑦 𝐸 𝑥 ) )
30		f1of1	⊢ ( 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 → 𝐹 : 𝐵 –1-1→ 𝑃 )
31	7 30	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐵 –1-1→ 𝑃 )
32	31	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑧 𝐸 𝑧 ) ) → 𝐹 : 𝐵 –1-1→ 𝑃 )
33		simp21	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑧 𝐸 𝑧 ) ) → 𝑥 ∈ 𝐵 )
34		simp22	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑧 𝐸 𝑧 ) ) → 𝑦 ∈ 𝐵 )
35	33 34	jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑧 𝐸 𝑧 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) )
36	11	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑧 𝐸 𝑧 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
37	16	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑧 𝐸 𝑧 ) ) → 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝑃 )
38	37 33	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑧 𝐸 𝑧 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑃 )
39	37 34	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑧 𝐸 𝑧 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝑃 )
40		simp23	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑧 𝐸 𝑧 ) ) → 𝑧 ∈ 𝐵 )
41	37 40	ffvelrnd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑧 𝐸 𝑧 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝑃 )
42		simp3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑧 𝐸 𝑧 ) ) → ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑧 𝐸 𝑧 ) )
43	7	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑧 𝐸 𝑧 ) ) → 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 )
44	8	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑧 𝐸 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑒 𝐸 𝑓 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑒 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑓 ) ) )
45	9	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑧 𝐸 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑔 ∈ ( 𝑒 𝐽 𝑓 ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑒 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑓 ) ) ) )
46	1 2 3 4 5 6 43 44 45 33 34	f1otrgds	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑧 𝐸 𝑧 ) ) → ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) )
47	1 2 3 4 5 6 43 44 45 40 40	f1otrgds	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑧 𝐸 𝑧 ) ) → ( 𝑧 𝐸 𝑧 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
48	42 46 47	3eqtr3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑧 𝐸 𝑧 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
49	1 2 3 36 38 39 41 48	axtgcgrid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑧 𝐸 𝑧 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) )
50		f1veqaeq	⊢ ( ( 𝐹 : 𝐵 –1-1→ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
51	50	imp	⊢ ( ( ( 𝐹 : 𝐵 –1-1→ 𝑃 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) → 𝑥 = 𝑦 )
52	32 35 49 51	syl21anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑧 𝐸 𝑧 ) ) → 𝑥 = 𝑦 )
53	52	3expia	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑧 𝐸 𝑧 ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
54	53	ralrimivvva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑧 𝐸 𝑧 ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
55	29 54	jca	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑦 𝐸 𝑥 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑧 𝐸 𝑧 ) → 𝑥 = 𝑦 ) ) )
56	4 5 6	istrkgc	⊢ ( 𝐻 ∈ TarskiG_C ↔ ( 𝐻 ∈ V ∧ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑦 𝐸 𝑥 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑧 𝐸 𝑧 ) → 𝑥 = 𝑦 ) ) ) )
57	13 55 56	sylanbrc	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ TarskiG_C )
58	7	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑥 ) ) → 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 )
59	58 30	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑥 ) ) → 𝐹 : 𝐵 –1-1→ 𝑃 )
60		simp2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑥 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) )
61	11	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑥 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
62	19	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑥 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑃 )
63	21	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑥 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝑃 )
64		simp3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑥 ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑥 ) )
65	8	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑒 𝐸 𝑓 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑒 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑓 ) ) )
66	9	3ad2antl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑥 ) ) ∧ ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑔 ∈ ( 𝑒 𝐽 𝑓 ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑒 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑓 ) ) ) )
67	18	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑥 ) ) → 𝑥 ∈ 𝐵 )
68	20	3adant3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑥 ) ) → 𝑦 ∈ 𝐵 )
69	1 2 3 4 5 6 58 65 66 67 67 68	f1otrgitv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑥 ) ) → ( 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑥 ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
70	64 69	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑥 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
71	1 2 3 61 62 63 70	axtgbtwnid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑥 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) )
72	59 60 71 51	syl21anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑥 ) ) → 𝑥 = 𝑦 )
73	72	3expia	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑥 ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
74	73	ralrimivva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑥 ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
75		f1ocnv	⊢ ( 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 → ^◡ 𝐹 : 𝑃 –1-1-onto→ 𝐵 )
76		f1of	⊢ ( ^◡ 𝐹 : 𝑃 –1-1-onto→ 𝐵 → ^◡ 𝐹 : 𝑃 ⟶ 𝐵 )
77	7 75 76	3syl	⊢ ( 𝜑 → ^◡ 𝐹 : 𝑃 ⟶ 𝐵 )
78	77	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ^◡ 𝐹 : 𝑃 ⟶ 𝐵 )
79		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ 𝑃 )
80	78 79	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ 𝐵 )
81		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ 𝑎 = ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) → 𝑎 = ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) )
82	81	eleq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ 𝑎 = ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) → ( 𝑎 ∈ ( 𝑢 𝐽 𝑦 ) ↔ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝑢 𝐽 𝑦 ) ) )
83	81	eleq1d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ 𝑎 = ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) → ( 𝑎 ∈ ( 𝑣 𝐽 𝑥 ) ↔ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝑣 𝐽 𝑥 ) ) )
84	82 83	anbi12d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ 𝑎 = ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) → ( ( 𝑎 ∈ ( 𝑢 𝐽 𝑦 ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑣 𝐽 𝑥 ) ) ↔ ( ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝑢 𝐽 𝑦 ) ∧ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝑣 𝐽 𝑥 ) ) ) )
85		simprl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) )
86	23	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) → 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 )
87	86	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 )
88		f1ocnvfv2	⊢ ( ( 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) → ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) = 𝑐 )
89	88	eleq1d	⊢ ( ( 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ↔ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ) )
90	87 79 89	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ↔ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ) )
91	85 90	mpbird	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) )
92	24	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑒 𝐸 𝑓 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑒 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑓 ) ) )
93	92	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑒 𝐸 𝑓 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑒 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑓 ) ) )
94	25	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑔 ∈ ( 𝑒 𝐽 𝑓 ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑒 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑓 ) ) ) )
95	94	ad4ant14	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) ∧ ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑔 ∈ ( 𝑒 𝐽 𝑓 ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑒 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑓 ) ) ) )
96		simplr2	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) → 𝑢 ∈ 𝐵 )
97	96	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → 𝑢 ∈ 𝐵 )
98	20	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝐵 )
99	98	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝐵 )
100	1 2 3 4 5 6 87 93 95 97 99 80	f1otrgitv	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝑢 𝐽 𝑦 ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ) )
101	91 100	mpbird	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝑢 𝐽 𝑦 ) )
102		simprr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
103	88	eleq1d	⊢ ( ( 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ↔ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
104	87 79 103	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ↔ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
105	102 104	mpbird	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) )
106		simplr3	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) → 𝑣 ∈ 𝐵 )
107	106	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → 𝑣 ∈ 𝐵 )
108	18	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝐵 )
109	108	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝐵 )
110	1 2 3 4 5 6 87 93 95 107 109 80	f1otrgitv	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝑣 𝐽 𝑥 ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
111	105 110	mpbird	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝑣 𝐽 𝑥 ) )
112	101 111	jca	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ( ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝑢 𝐽 𝑦 ) ∧ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝑣 𝐽 𝑥 ) ) )
113	80 84 112	rspcedvd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ 𝐵 ( 𝑎 ∈ ( 𝑢 𝐽 𝑦 ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑣 𝐽 𝑥 ) ) )
114	14	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
115	17	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) → 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝑃 )
116	115 108	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑃 )
117	115 98	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝑃 )
118		simplr1	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝐵 )
119	115 118	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝑃 )
120	115 96	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) ∈ 𝑃 )
121	115 106	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) ∈ 𝑃 )
122		simprl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) → 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) )
123	1 2 3 4 5 6 86 92 94 108 118 96	f1otrgitv	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) → ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) )
124	122 123	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
125		simprr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) → 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) )
126	1 2 3 4 5 6 86 92 94 98 118 106	f1otrgitv	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) → ( 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) )
127	125 126	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
128	1 2 3 114 116 117 119 120 121 124 127	axtgpasch	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝑃 ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) ) )
129	113 128	r19.29a	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) ) → ∃ 𝑎 ∈ 𝐵 ( 𝑎 ∈ ( 𝑢 𝐽 𝑦 ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑣 𝐽 𝑥 ) ) )
130	129	ex	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ 𝐵 ( 𝑎 ∈ ( 𝑢 𝐽 𝑦 ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑣 𝐽 𝑥 ) ) ) )
131	130	ralrimivvva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑢 ∈ 𝐵 ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ 𝐵 ( 𝑎 ∈ ( 𝑢 𝐽 𝑦 ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑣 𝐽 𝑥 ) ) ) )
132	131	ralrimivva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑢 ∈ 𝐵 ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ 𝐵 ( 𝑎 ∈ ( 𝑢 𝐽 𝑦 ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑣 𝐽 𝑥 ) ) ) )
133	7	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ∀ 𝑒 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ∀ 𝑓 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) 𝑐 ∈ ( 𝑒 𝐼 𝑓 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 )
134		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ∀ 𝑒 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ∀ 𝑓 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) 𝑐 ∈ ( 𝑒 𝐼 𝑓 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → 𝑐 ∈ 𝑃 )
135	133 134 88	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ∀ 𝑒 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ∀ 𝑓 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) 𝑐 ∈ ( 𝑒 𝐼 𝑓 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) = 𝑐 )
136		ffn	⊢ ( 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝑃 → 𝐹 Fn 𝐵 )
137	133 15 136	3syl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ∀ 𝑒 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ∀ 𝑓 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) 𝑐 ∈ ( 𝑒 𝐼 𝑓 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → 𝐹 Fn 𝐵 )
138		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) )
139	138	simpld	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 )
140	139	elpwid	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → 𝑠 ⊆ 𝐵 )
141	140	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ∀ 𝑒 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ∀ 𝑓 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) 𝑐 ∈ ( 𝑒 𝐼 𝑓 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → 𝑠 ⊆ 𝐵 )
142		simprl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ∀ 𝑒 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ∀ 𝑓 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) 𝑐 ∈ ( 𝑒 𝐼 𝑓 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑠 )
143		fnfvima	⊢ ( ( 𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑠 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) )
144	137 141 142 143	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ∀ 𝑒 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ∀ 𝑓 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) 𝑐 ∈ ( 𝑒 𝐼 𝑓 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) )
145	138	simprd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 )
146	145	elpwid	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → 𝑡 ⊆ 𝐵 )
147	146	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ∀ 𝑒 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ∀ 𝑓 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) 𝑐 ∈ ( 𝑒 𝐼 𝑓 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → 𝑡 ⊆ 𝐵 )
148		simprr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ∀ 𝑒 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ∀ 𝑓 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) 𝑐 ∈ ( 𝑒 𝐼 𝑓 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → 𝑦 ∈ 𝑡 )
149		fnfvima	⊢ ( ( 𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝑡 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) )
150	137 147 148 149	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ∀ 𝑒 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ∀ 𝑓 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) 𝑐 ∈ ( 𝑒 𝐼 𝑓 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) )
151		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ∀ 𝑒 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ∀ 𝑓 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) 𝑐 ∈ ( 𝑒 𝐼 𝑓 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → ∀ 𝑒 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ∀ 𝑓 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) 𝑐 ∈ ( 𝑒 𝐼 𝑓 ) )
152		oveq1	⊢ ( 𝑒 = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) → ( 𝑒 𝐼 𝑓 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑓 ) )
153	152	eleq2d	⊢ ( 𝑒 = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) → ( 𝑐 ∈ ( 𝑒 𝐼 𝑓 ) ↔ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑓 ) ) )
154		oveq2	⊢ ( 𝑓 = ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑓 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) )
155	154	eleq2d	⊢ ( 𝑓 = ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) → ( 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑓 ) ↔ 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ) )
156	153 155	rspc2va	⊢ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) ∧ ∀ 𝑒 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ∀ 𝑓 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) 𝑐 ∈ ( 𝑒 𝐼 𝑓 ) ) → 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) )
157	144 150 151 156	syl21anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ∀ 𝑒 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ∀ 𝑓 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) 𝑐 ∈ ( 𝑒 𝐼 𝑓 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → 𝑐 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) )
158	135 157	eqeltrd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ∀ 𝑒 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ∀ 𝑓 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) 𝑐 ∈ ( 𝑒 𝐼 𝑓 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) )
159	7	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 )
160		simp-5l	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ) ) → 𝜑 )
161	160 8	sylancom	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑒 𝐸 𝑓 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑒 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑓 ) ) )
162		simp-5l	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ) ) → 𝜑 )
163	162 9	sylancom	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑔 ∈ ( 𝑒 𝐽 𝑓 ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑒 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑓 ) ) ) )
164		simprl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑠 )
165	140 164	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → 𝑥 ∈ 𝐵 )
166		simprr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → 𝑦 ∈ 𝑡 )
167	146 166	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → 𝑦 ∈ 𝐵 )
168	77	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → ^◡ 𝐹 : 𝑃 ⟶ 𝐵 )
169		simplr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → 𝑐 ∈ 𝑃 )
170	168 169	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ 𝐵 )
171	1 2 3 4 5 6 159 161 163 165 167 170	f1otrgitv	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → ( ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑦 ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ) )
172	171	adantlr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ∀ 𝑒 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ∀ 𝑓 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) 𝑐 ∈ ( 𝑒 𝐼 𝑓 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → ( ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑦 ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) ) )
173	158 172	mpbird	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ∀ 𝑒 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ∀ 𝑓 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) 𝑐 ∈ ( 𝑒 𝐼 𝑓 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑦 ∈ 𝑡 ) ) → ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑦 ) )
174	173	ralrimivva	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ∀ 𝑒 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ∀ 𝑓 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) 𝑐 ∈ ( 𝑒 𝐼 𝑓 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑦 ) )
175	174	adantllr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ∀ 𝑒 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ∀ 𝑓 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) 𝑐 ∈ ( 𝑒 𝐼 𝑓 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑦 ) )
176	77	ad4antr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) → ^◡ 𝐹 : 𝑃 ⟶ 𝐵 )
177		simpr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) → 𝑐 ∈ 𝑃 )
178	176 177	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) → ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ 𝐵 )
179		eleq1	⊢ ( 𝑏 = ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) → ( 𝑏 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑦 ) ↔ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑦 ) ) )
180	179	2ralbidv	⊢ ( 𝑏 = ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑏 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑦 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑦 ) ) )
181	180	adantl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑏 = ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑏 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑦 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑦 ) ) )
182	178 181	rspcedv	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑦 ) → ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑏 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑦 ) ) )
183	182	adantr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ∀ 𝑒 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ∀ 𝑓 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) 𝑐 ∈ ( 𝑒 𝐼 𝑓 ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑦 ) → ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑏 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑦 ) ) )
184	175 183	mpd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ) ∧ ∀ 𝑒 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ∀ 𝑓 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) 𝑐 ∈ ( 𝑒 𝐼 𝑓 ) ) → ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑏 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑦 ) )
185	11	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
186		imassrn	⊢ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ⊆ ran 𝐹
187		f1ofo	⊢ ( 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 → 𝐹 : 𝐵 –onto→ 𝑃 )
188		forn	⊢ ( 𝐹 : 𝐵 –onto→ 𝑃 → ran 𝐹 = 𝑃 )
189	7 187 188	3syl	⊢ ( 𝜑 → ran 𝐹 = 𝑃 )
190	189	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) → ran 𝐹 = 𝑃 )
191	186 190	sseqtrid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) → ( 𝐹 “ 𝑠 ) ⊆ 𝑃 )
192		imassrn	⊢ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ⊆ ran 𝐹
193	192 190	sseqtrid	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) → ( 𝐹 “ 𝑡 ) ⊆ 𝑃 )
194	16	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) → 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝑃 )
195		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) → 𝑎 ∈ 𝐵 )
196	194 195	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) ∈ 𝑃 )
197	7	ad5antr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 )
198		ffn	⊢ ( ^◡ 𝐹 : 𝑃 ⟶ 𝐵 → ^◡ 𝐹 Fn 𝑃 )
199	197 75 76 198	4syl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → ^◡ 𝐹 Fn 𝑃 )
200	191	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → ( 𝐹 “ 𝑠 ) ⊆ 𝑃 )
201		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) )
202		fnfvima	⊢ ( ( ^◡ 𝐹 Fn 𝑃 ∧ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ⊆ 𝑃 ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) → ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑢 ) ∈ ( ^◡ 𝐹 “ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) )
203	199 200 201 202	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑢 ) ∈ ( ^◡ 𝐹 “ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) )
204	197 30	syl	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → 𝐹 : 𝐵 –1-1→ 𝑃 )
205		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) )
206	205	simpld	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 )
207	206	elpwid	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → 𝑠 ⊆ 𝐵 )
208		f1imacnv	⊢ ( ( 𝐹 : 𝐵 –1-1→ 𝑃 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐵 ) → ( ^◡ 𝐹 “ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) = 𝑠 )
209	204 207 208	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → ( ^◡ 𝐹 “ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) = 𝑠 )
210	203 209	eleqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑢 ) ∈ 𝑠 )
211	193	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → ( 𝐹 “ 𝑡 ) ⊆ 𝑃 )
212		simpr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) )
213		fnfvima	⊢ ( ( ^◡ 𝐹 Fn 𝑃 ∧ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ⊆ 𝑃 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑣 ) ∈ ( ^◡ 𝐹 “ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) )
214	199 211 212 213	syl3anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑣 ) ∈ ( ^◡ 𝐹 “ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) )
215	205	simprd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 )
216	215	elpwid	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → 𝑡 ⊆ 𝐵 )
217		f1imacnv	⊢ ( ( 𝐹 : 𝐵 –1-1→ 𝑃 ∧ 𝑡 ⊆ 𝐵 ) → ( ^◡ 𝐹 “ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) = 𝑡 )
218	204 216 217	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → ( ^◡ 𝐹 “ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) = 𝑡 )
219	214 218	eleqtrd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑣 ) ∈ 𝑡 )
220		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) )
221		eleq1	⊢ ( 𝑥 = ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑢 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ↔ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑢 ) ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) )
222		oveq2	⊢ ( 𝑦 = ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑣 ) → ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐽 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑣 ) ) )
223	222	eleq2d	⊢ ( 𝑦 = ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑣 ) → ( ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑢 ) ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ↔ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑢 ) ∈ ( 𝑎 𝐽 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑣 ) ) ) )
224	221 223	rspc2va	⊢ ( ( ( ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑢 ) ∈ 𝑠 ∧ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑣 ) ∈ 𝑡 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) → ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑢 ) ∈ ( 𝑎 𝐽 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑣 ) ) )
225	210 219 220 224	syl21anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑢 ) ∈ ( 𝑎 𝐽 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑣 ) ) )
226		simp-6l	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ) ) → 𝜑 )
227	226 8	sylancom	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑒 𝐸 𝑓 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑒 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑓 ) ) )
228		simp-6l	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ) ) → 𝜑 )
229	228 9	sylancom	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) ∧ ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑔 ∈ ( 𝑒 𝐽 𝑓 ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑒 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑓 ) ) ) )
230		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → 𝑎 ∈ 𝐵 )
231	211 212	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → 𝑣 ∈ 𝑃 )
232		f1ocnvdm	⊢ ( ( 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) → ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑣 ) ∈ 𝐵 )
233	197 231 232	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑣 ) ∈ 𝐵 )
234	200 201	sseldd	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → 𝑢 ∈ 𝑃 )
235		f1ocnvdm	⊢ ( ( 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) → ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑢 ) ∈ 𝐵 )
236	197 234 235	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑢 ) ∈ 𝐵 )
237	1 2 3 4 5 6 197 227 229 230 233 236	f1otrgitv	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → ( ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑢 ) ∈ ( 𝑎 𝐽 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑣 ) ) ↔ ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑢 ) ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑣 ) ) ) ) )
238	225 237	mpbid	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑢 ) ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑣 ) ) ) )
239		f1ocnvfv2	⊢ ( ( 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃 ) → ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑢 ) ) = 𝑢 )
240	197 234 239	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑢 ) ) = 𝑢 )
241		f1ocnvfv2	⊢ ( ( 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 ∧ 𝑣 ∈ 𝑃 ) → ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑣 ) ) = 𝑣 )
242	197 231 241	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑣 ) ) = 𝑣 )
243	242	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑣 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐼 𝑣 ) )
244	238 240 243	3eltr3d	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → 𝑢 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐼 𝑣 ) )
245	244	3impa	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) ∧ 𝑢 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) ) → 𝑢 ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐼 𝑣 ) )
246	1 2 3 185 191 193 196 245	axtgcont	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝑃 ∀ 𝑒 ∈ ( 𝐹 “ 𝑠 ) ∀ 𝑓 ∈ ( 𝐹 “ 𝑡 ) 𝑐 ∈ ( 𝑒 𝐼 𝑓 ) )
247	184 246	r19.29a	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) ) → ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑏 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑦 ) )
248	247	rexlimdva2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ) ) → ( ∃ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) → ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑏 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑦 ) ) )
249	248	ralrimivva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∀ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ( ∃ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) → ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑏 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑦 ) ) )
250	74 132 249	3jca	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑥 ) → 𝑥 = 𝑦 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑢 ∈ 𝐵 ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ 𝐵 ( 𝑎 ∈ ( 𝑢 𝐽 𝑦 ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑣 𝐽 𝑥 ) ) ) ∧ ∀ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∀ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ( ∃ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) → ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑏 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑦 ) ) ) )
251	4 5 6	istrkgb	⊢ ( 𝐻 ∈ TarskiG_B ↔ ( 𝐻 ∈ V ∧ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑥 ) → 𝑥 = 𝑦 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑢 ∈ 𝐵 ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( 𝑢 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 𝐽 𝑧 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ 𝐵 ( 𝑎 ∈ ( 𝑢 𝐽 𝑦 ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑣 𝐽 𝑥 ) ) ) ∧ ∀ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∀ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ( ∃ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑥 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑦 ) → ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 ∀ 𝑥 ∈ 𝑠 ∀ 𝑦 ∈ 𝑡 𝑏 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑦 ) ) ) ) )
252	13 250 251	sylanbrc	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ TarskiG_B )
253	57 252	elind	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ ( TarskiG_C ∩ TarskiG_B ) )
254	11	ad9antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
255	16	ad9antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝑃 )
256		simp-9r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝐵 )
257	255 256	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑃 )
258		simp-8r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝐵 )
259	255 258	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝑃 )
260		simp-7r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝐵 )
261	255 260	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝑃 )
262		simp-5r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → 𝑎 ∈ 𝐵 )
263	255 262	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) ∈ 𝑃 )
264		simp-4r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → 𝑏 ∈ 𝐵 )
265	255 264	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ∈ 𝑃 )
266		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → 𝑐 ∈ 𝐵 )
267	255 266	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ∈ 𝑃 )
268		simp-6r	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → 𝑢 ∈ 𝐵 )
269	255 268	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) ∈ 𝑃 )
270		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → 𝑣 ∈ 𝐵 )
271	255 270	ffvelrnd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) ∈ 𝑃 )
272	7	ad9antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 )
273	272 256	jca	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) )
274		simprl1	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → 𝑥 ≠ 𝑦 )
275		dff1o6	⊢ ( 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 ↔ ( 𝐹 Fn 𝐵 ∧ ran 𝐹 = 𝑃 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) ) )
276	275	simp3bi	⊢ ( 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
277	276	r19.21bi	⊢ ( ( 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
278	277	r19.21bi	⊢ ( ( ( 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) → 𝑥 = 𝑦 ) )
279	278	necon3d	⊢ ( ( ( 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ≠ 𝑦 → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) )
280	279	imp	⊢ ( ( ( ( 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) )
281	273 258 274 280	syl21anc	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ≠ ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) )
282		simprl2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) )
283	8	ex	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑒 𝐸 𝑓 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑒 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑓 ) ) ) )
284	283	ad9antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑒 𝐸 𝑓 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑒 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑓 ) ) ) )
285	284	imp	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) ∧ ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑒 𝐸 𝑓 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑒 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑓 ) ) )
286	9	ex	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑔 ∈ ( 𝑒 𝐽 𝑓 ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑒 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑓 ) ) ) ) )
287	286	ad9antr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑔 ∈ ( 𝑒 𝐽 𝑓 ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑒 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑓 ) ) ) ) )
288	287	imp	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) ∧ ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑔 ∈ ( 𝑒 𝐽 𝑓 ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑒 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑓 ) ) ) )
289	1 2 3 4 5 6 272 285 288 256 260 258	f1otrgitv	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) )
290	282 289	mpbid	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
291		simprl3	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) )
292	1 2 3 4 5 6 272 285 288 262 266 264	f1otrgitv	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) ) )
293	291 292	mpbid	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) )
294		simprr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) )
295	294	simpld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) )
296	295	simpld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) )
297	1 2 3 4 5 6 272 285 288 256 258	f1otrgds	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) )
298	1 2 3 4 5 6 272 285 288 262 264	f1otrgds	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) )
299	296 297 298	3eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) )
300	295	simprd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) )
301	1 2 3 4 5 6 272 285 288 258 260	f1otrgds	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
302	1 2 3 4 5 6 272 285 288 264 266	f1otrgds	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) )
303	300 301 302	3eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ) )
304	294	simprd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) )
305	304	simpld	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) )
306	1 2 3 4 5 6 272 285 288 256 268	f1otrgds	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) ) )
307	1 2 3 4 5 6 272 285 288 262 270	f1otrgds	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) ) )
308	305 306 307	3eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) ) )
309	304	simprd	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) )
310	1 2 3 4 5 6 272 285 288 258 268	f1otrgds	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) ) )
311	1 2 3 4 5 6 272 285 288 264 270	f1otrgds	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) ) )
312	309 310 311	3eqtr3d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) ) )
313	1 2 3 254 257 259 261 263 265 267 269 271 281 290 293 299 303 308 312	axtg5seg	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) ) )
314	1 2 3 4 5 6 272 285 288 260 268	f1otrgds	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝑧 𝐸 𝑢 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑢 ) ) )
315	1 2 3 4 5 6 272 285 288 266 270	f1otrgds	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝑐 𝐸 𝑣 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) ) )
316	313 314 315	3eqtr4d	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) ) → ( 𝑧 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑐 𝐸 𝑣 ) )
317	316	ex	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) → ( 𝑧 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑐 𝐸 𝑣 ) ) )
318	317	ralrimiva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) → ( 𝑧 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑐 𝐸 𝑣 ) ) )
319	318	ralrimiva	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑐 ∈ 𝐵 ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) → ( 𝑧 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑐 𝐸 𝑣 ) ) )
320	319	ralrimiva	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ∀ 𝑐 ∈ 𝐵 ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) → ( 𝑧 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑐 𝐸 𝑣 ) ) )
321	320	ralrimiva	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ∀ 𝑐 ∈ 𝐵 ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) → ( 𝑧 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑐 𝐸 𝑣 ) ) )
322	321	ralrimiva	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑢 ∈ 𝐵 ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ∀ 𝑐 ∈ 𝐵 ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) → ( 𝑧 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑐 𝐸 𝑣 ) ) )
323	322	ralrimiva	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑢 ∈ 𝐵 ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ∀ 𝑐 ∈ 𝐵 ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) → ( 𝑧 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑐 𝐸 𝑣 ) ) )
324	323	ralrimiva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑢 ∈ 𝐵 ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ∀ 𝑐 ∈ 𝐵 ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) → ( 𝑧 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑐 𝐸 𝑣 ) ) )
325	324	ralrimiva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑢 ∈ 𝐵 ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ∀ 𝑐 ∈ 𝐵 ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) → ( 𝑧 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑐 𝐸 𝑣 ) ) )
326		simp-4l	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑤 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 𝑤 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → 𝜑 )
327		simplr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑤 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 𝑤 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → 𝑤 ∈ 𝑃 )
328		simprl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑤 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 𝑤 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑤 ) )
329	326 7	syl	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑤 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 𝑤 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 )
330		f1ocnvfv2	⊢ ( ( 𝐹 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝑃 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) → ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) = 𝑤 )
331	329 327 330	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑤 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 𝑤 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) = 𝑤 )
332	331	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑤 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 𝑤 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑤 ) )
333	328 332	eleqtrrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑤 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 𝑤 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) ) )
334	326 8	sylan	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑤 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 𝑤 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑒 𝐸 𝑓 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑒 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑓 ) ) )
335	326 9	sylan	⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑤 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 𝑤 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) ) ∧ ( 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑔 ∈ ( 𝑒 𝐽 𝑓 ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑔 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑒 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ 𝑓 ) ) ) )
336	18	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑤 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 𝑤 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝐵 )
337	77	ffvelrnda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) → ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) ∈ 𝐵 )
338	326 327 337	syl2anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑤 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 𝑤 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) ∈ 𝐵 )
339	20	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑤 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 𝑤 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝐵 )
340	1 2 3 4 5 6 329 334 335 336 338 339	f1otrgitv	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑤 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 𝑤 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) ) ) )
341	333 340	mpbird	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑤 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 𝑤 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) )
342	1 2 3 4 5 6 329 334 335 339 338	f1otrgds	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑤 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 𝑤 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( 𝑦 𝐸 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) ) )
343	331	oveq2d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑤 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 𝑤 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 𝑤 ) )
344		simprr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑤 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 𝑤 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 𝑤 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) )
345	342 343 344	3eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑤 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 𝑤 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( 𝑦 𝐸 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) )
346		simprl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑎 ∈ 𝐵 )
347	346	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑤 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 𝑤 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ 𝐵 )
348		simprr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑏 ∈ 𝐵 )
349	348	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑤 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 𝑤 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ 𝐵 )
350	1 2 3 4 5 6 329 334 335 347 349	f1otrgds	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑤 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 𝑤 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) )
351	345 350	eqtr4d	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑤 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 𝑤 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ( 𝑦 𝐸 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) )
352		oveq2	⊢ ( 𝑧 = ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) → ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) = ( 𝑥 𝐽 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) )
353	352	eleq2d	⊢ ( 𝑧 = ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) → ( 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ↔ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) ) )
354		oveq2	⊢ ( 𝑧 = ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) → ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑦 𝐸 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) )
355	354	eqeq1d	⊢ ( 𝑧 = ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) → ( ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ↔ ( 𝑦 𝐸 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ) )
356	353 355	anbi12d	⊢ ( 𝑧 = ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) → ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) ∧ ( 𝑦 𝐸 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ) ) )
357	356	adantl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) → ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) ∧ ( 𝑦 𝐸 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ) ) )
358	337 357	rspcedv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) ∧ ( 𝑦 𝐸 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ) ) )
359	358	imp	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) ∧ ( 𝑦 𝐸 ( ^◡ 𝐹 ‘ 𝑤 ) ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ) )
360	326 327 341 351 359	syl22anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑤 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 𝑤 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ) )
361	14	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
362	19	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑃 )
363	21	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ 𝑃 )
364	17	adantr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐹 : 𝐵 ⟶ 𝑃 )
365	364 346	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) ∈ 𝑃 )
366	364 348	ffvelrnd	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ∈ 𝑃 )
367	1 2 3 361 362 363 365 366	axtgsegcon	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ 𝑃 ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) ∈ ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) 𝐼 𝑤 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑦 ) 𝐷 𝑤 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑎 ) 𝐷 ( 𝐹 ‘ 𝑏 ) ) ) )
368	360 367	r19.29a	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ) )
369	368	ralrimivva	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ) )
370	369	ralrimivva	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ) )
371	13 325 370	jca32	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐻 ∈ V ∧ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑢 ∈ 𝐵 ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ∀ 𝑐 ∈ 𝐵 ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) → ( 𝑧 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑐 𝐸 𝑣 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ) ) ) )
372	4 5 6	istrkgcb	⊢ ( 𝐻 ∈ TarskiG_CB ↔ ( 𝐻 ∈ V ∧ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑢 ∈ 𝐵 ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ∀ 𝑐 ∈ 𝐵 ∀ 𝑣 ∈ 𝐵 ( ( ( 𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑎 𝐽 𝑐 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 𝐸 𝑦 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑐 ) ) ∧ ( ( 𝑥 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑣 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑏 𝐸 𝑣 ) ) ) ) → ( 𝑧 𝐸 𝑢 ) = ( 𝑐 𝐸 𝑣 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 𝐸 𝑧 ) = ( 𝑎 𝐸 𝑏 ) ) ) ) )
373	371 372	sylibr	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ TarskiG_CB )
374	4 5 6	istrkgl	⊢ ( 𝐻 ∈ { 𝑓 ∣ [ ( Base ‘ 𝑓 ) / 𝑝 ] [ ( Itv ‘ 𝑓 ) / 𝑖 ] ( LineG ‘ 𝑓 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑝 , 𝑦 ∈ ( 𝑝 ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ 𝑝 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝑖 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝑖 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝑖 𝑧 ) ) } ) } ↔ ( 𝐻 ∈ V ∧ ( LineG ‘ 𝐻 ) = ( 𝑥 ∈ 𝐵 , 𝑦 ∈ ( 𝐵 ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ 𝐵 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐽 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐽 𝑧 ) ) } ) ) )
375	13 12 374	sylanbrc	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ { 𝑓 ∣ [ ( Base ‘ 𝑓 ) / 𝑝 ] [ ( Itv ‘ 𝑓 ) / 𝑖 ] ( LineG ‘ 𝑓 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑝 , 𝑦 ∈ ( 𝑝 ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ 𝑝 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝑖 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝑖 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝑖 𝑧 ) ) } ) } )
376	373 375	elind	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ ( TarskiG_CB ∩ { 𝑓 ∣ [ ( Base ‘ 𝑓 ) / 𝑝 ] [ ( Itv ‘ 𝑓 ) / 𝑖 ] ( LineG ‘ 𝑓 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑝 , 𝑦 ∈ ( 𝑝 ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ 𝑝 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝑖 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝑖 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝑖 𝑧 ) ) } ) } ) )
377	253 376	elind	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ ( ( TarskiG_C ∩ TarskiG_B ) ∩ ( TarskiG_CB ∩ { 𝑓 ∣ [ ( Base ‘ 𝑓 ) / 𝑝 ] [ ( Itv ‘ 𝑓 ) / 𝑖 ] ( LineG ‘ 𝑓 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑝 , 𝑦 ∈ ( 𝑝 ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ 𝑝 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝑖 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝑖 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝑖 𝑧 ) ) } ) } ) ) )
378		df-trkg	⊢ TarskiG = ( ( TarskiG_C ∩ TarskiG_B ) ∩ ( TarskiG_CB ∩ { 𝑓 ∣ [ ( Base ‘ 𝑓 ) / 𝑝 ] [ ( Itv ‘ 𝑓 ) / 𝑖 ] ( LineG ‘ 𝑓 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑝 , 𝑦 ∈ ( 𝑝 ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ 𝑝 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝑖 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝑖 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝑖 𝑧 ) ) } ) } ) )
379	377 378	eleqtrrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ TarskiG )

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Theorem f1otrg

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