Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fsuppssind.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
fsuppssind.z |
⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
fsuppssind.p |
⊢ + = ( +g ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
fsuppssind.g |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ Grp ) |
5 |
|
fsuppssind.v |
⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉 ) |
6 |
|
fsuppssind.s |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐼 ) |
7 |
|
fsuppssind.0 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 × { 0 } ) ∈ 𝐻 ) |
8 |
|
fsuppssind.1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑠 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑠 = 𝑎 , 𝑏 , 0 ) ) ∈ 𝐻 ) |
9 |
|
fsuppssind.2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻 ) ) → ( 𝑥 ∘f + 𝑦 ) ∈ 𝐻 ) |
10 |
|
fsuppssind.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 : 𝐼 ⟶ 𝐵 ) |
11 |
|
fsuppssind.4 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 finSupp 0 ) |
12 |
|
fsuppssind.5 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 supp 0 ) ⊆ 𝑆 ) |
13 |
10 6
|
fssresd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ↾ 𝑆 ) : 𝑆 ⟶ 𝐵 ) |
14 |
2
|
fvexi |
⊢ 0 ∈ V |
15 |
14
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ V ) |
16 |
11 15
|
fsuppres |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ↾ 𝑆 ) finSupp 0 ) |
17 |
13 16
|
jca |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 ↾ 𝑆 ) : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑋 ↾ 𝑆 ) finSupp 0 ) ) |
18 |
5 6
|
ssexd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ V ) |
19 |
1 2
|
grpidcl |
⊢ ( 𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵 ) |
20 |
4 19
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ 𝐵 ) |
21 |
|
fconst6g |
⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → ( 𝑆 × { 0 } ) : 𝑆 ⟶ 𝐵 ) |
22 |
20 21
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 × { 0 } ) : 𝑆 ⟶ 𝐵 ) |
23 |
|
xpundir |
⊢ ( ( 𝑆 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ) × { 0 } ) = ( ( 𝑆 × { 0 } ) ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) |
24 |
|
undif |
⊢ ( 𝑆 ⊆ 𝐼 ↔ ( 𝑆 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ) = 𝐼 ) |
25 |
6 24
|
sylib |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ) = 𝐼 ) |
26 |
25
|
xpeq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ) × { 0 } ) = ( 𝐼 × { 0 } ) ) |
27 |
23 26
|
eqtr3id |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 × { 0 } ) ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) = ( 𝐼 × { 0 } ) ) |
28 |
27 7
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 × { 0 } ) ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) |
29 |
1
|
fvexi |
⊢ 𝐵 ∈ V |
30 |
29
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ V ) |
31 |
30 5 6
|
fsuppssindlem2 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 × { 0 } ) ∈ { 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ∣ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) ∈ 𝐻 } ↔ ( ( 𝑆 × { 0 } ) : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( ( 𝑆 × { 0 } ) ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ) ) |
32 |
22 28 31
|
mpbir2and |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 × { 0 } ) ∈ { 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ∣ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) ∈ 𝐻 } ) |
33 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) → 𝑏 ∈ 𝐵 ) |
34 |
20
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) → 0 ∈ 𝐵 ) |
35 |
33 34
|
ifcld |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) → if ( 𝑠 = 𝑎 , 𝑏 , 0 ) ∈ 𝐵 ) |
36 |
35
|
fmpttd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ if ( 𝑠 = 𝑎 , 𝑏 , 0 ) ) : 𝑆 ⟶ 𝐵 ) |
37 |
|
fconstmpt |
⊢ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ↦ 0 ) |
38 |
37
|
uneq2i |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ if ( 𝑠 = 𝑎 , 𝑏 , 0 ) ) ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) = ( ( 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ if ( 𝑠 = 𝑎 , 𝑏 , 0 ) ) ∪ ( 𝑠 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ↦ 0 ) ) |
39 |
|
eldifn |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) → ¬ 𝑠 ∈ 𝑆 ) |
40 |
|
eleq1a |
⊢ ( 𝑎 ∈ 𝑆 → ( 𝑠 = 𝑎 → 𝑠 ∈ 𝑆 ) ) |
41 |
40
|
con3dimp |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑠 ∈ 𝑆 ) → ¬ 𝑠 = 𝑎 ) |
42 |
41
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑠 ∈ 𝑆 ) → ¬ 𝑠 = 𝑎 ) |
43 |
42
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ ¬ 𝑠 ∈ 𝑆 ) → ¬ 𝑠 = 𝑎 ) |
44 |
39 43
|
sylan2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ) → ¬ 𝑠 = 𝑎 ) |
45 |
44
|
iffalsed |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ) → if ( 𝑠 = 𝑎 , 𝑏 , 0 ) = 0 ) |
46 |
45
|
mpteq2dva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ↦ if ( 𝑠 = 𝑎 , 𝑏 , 0 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ↦ 0 ) ) |
47 |
46
|
uneq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ if ( 𝑠 = 𝑎 , 𝑏 , 0 ) ) ∪ ( 𝑠 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ↦ if ( 𝑠 = 𝑎 , 𝑏 , 0 ) ) ) = ( ( 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ if ( 𝑠 = 𝑎 , 𝑏 , 0 ) ) ∪ ( 𝑠 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ↦ 0 ) ) ) |
48 |
|
mptun |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ) ↦ if ( 𝑠 = 𝑎 , 𝑏 , 0 ) ) = ( ( 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ if ( 𝑠 = 𝑎 , 𝑏 , 0 ) ) ∪ ( 𝑠 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ↦ if ( 𝑠 = 𝑎 , 𝑏 , 0 ) ) ) |
49 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑆 ⊆ 𝐼 ) |
50 |
49 24
|
sylib |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑆 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ) = 𝐼 ) |
51 |
50
|
mpteq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∪ ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ) ↦ if ( 𝑠 = 𝑎 , 𝑏 , 0 ) ) = ( 𝑠 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑠 = 𝑎 , 𝑏 , 0 ) ) ) |
52 |
48 51
|
eqtr3id |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ if ( 𝑠 = 𝑎 , 𝑏 , 0 ) ) ∪ ( 𝑠 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ↦ if ( 𝑠 = 𝑎 , 𝑏 , 0 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑠 = 𝑎 , 𝑏 , 0 ) ) ) |
53 |
47 52
|
eqtr3d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ if ( 𝑠 = 𝑎 , 𝑏 , 0 ) ) ∪ ( 𝑠 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ↦ 0 ) ) = ( 𝑠 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑠 = 𝑎 , 𝑏 , 0 ) ) ) |
54 |
38 53
|
syl5eq |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ if ( 𝑠 = 𝑎 , 𝑏 , 0 ) ) ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) = ( 𝑠 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑠 = 𝑎 , 𝑏 , 0 ) ) ) |
55 |
54 8
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ if ( 𝑠 = 𝑎 , 𝑏 , 0 ) ) ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) |
56 |
29
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ V ) |
57 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐼 ∈ 𝑉 ) |
58 |
56 57 49
|
fsuppssindlem2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ if ( 𝑠 = 𝑎 , 𝑏 , 0 ) ) ∈ { 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ∣ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) ∈ 𝐻 } ↔ ( ( 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ if ( 𝑠 = 𝑎 , 𝑏 , 0 ) ) : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( ( 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ if ( 𝑠 = 𝑎 , 𝑏 , 0 ) ) ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ) ) |
59 |
36 55 58
|
mpbir2and |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ if ( 𝑠 = 𝑎 , 𝑏 , 0 ) ) ∈ { 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ∣ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) ∈ 𝐻 } ) |
60 |
30 5 6
|
fsuppssindlem2 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ { 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ∣ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) ∈ 𝐻 } ↔ ( 𝑠 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑠 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ) ) |
61 |
30 5 6
|
fsuppssindlem2 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑡 ∈ { 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ∣ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) ∈ 𝐻 } ↔ ( 𝑡 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑡 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ) ) |
62 |
60 61
|
anbi12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑠 ∈ { 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ∣ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) ∈ 𝐻 } ∧ 𝑡 ∈ { 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ∣ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) ∈ 𝐻 } ) ↔ ( ( 𝑠 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑠 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑡 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑡 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ) ) ) |
63 |
1 3
|
grpcl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑢 + 𝑣 ) ∈ 𝐵 ) |
64 |
4 63
|
syl3an1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑢 + 𝑣 ) ∈ 𝐵 ) |
65 |
64
|
3expb |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑢 + 𝑣 ) ∈ 𝐵 ) |
66 |
65
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑠 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑠 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑡 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑡 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ) ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑢 + 𝑣 ) ∈ 𝐵 ) |
67 |
|
simprll |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑠 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑠 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑡 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑡 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ) ) → 𝑠 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ) |
68 |
|
simprrl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑠 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑠 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑡 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑡 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ) ) → 𝑡 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ) |
69 |
18
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑠 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑠 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑡 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑡 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ) ) → 𝑆 ∈ V ) |
70 |
|
inidm |
⊢ ( 𝑆 ∩ 𝑆 ) = 𝑆 |
71 |
66 67 68 69 69 70
|
off |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑠 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑠 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑡 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑡 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ) ) → ( 𝑠 ∘f + 𝑡 ) : 𝑆 ⟶ 𝐵 ) |
72 |
67
|
ffnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑠 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑠 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑡 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑡 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ) ) → 𝑠 Fn 𝑆 ) |
73 |
68
|
ffnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑠 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑠 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑡 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑡 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ) ) → 𝑡 Fn 𝑆 ) |
74 |
|
fnconstg |
⊢ ( 0 ∈ V → ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) Fn ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ) |
75 |
14 74
|
mp1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑠 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑠 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑡 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑡 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ) ) → ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) Fn ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ) |
76 |
5
|
difexd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ∈ V ) |
77 |
76
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑠 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑠 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑡 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑡 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ) ) → ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ∈ V ) |
78 |
|
disjdif |
⊢ ( 𝑆 ∩ ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ) = ∅ |
79 |
78
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑠 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑠 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑡 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑡 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ) ) → ( 𝑆 ∩ ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ) = ∅ ) |
80 |
72 73 75 75 69 77 79
|
ofun |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑠 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑠 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑡 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑡 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ) ) → ( ( 𝑠 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∘f + ( 𝑡 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ) = ( ( 𝑠 ∘f + 𝑡 ) ∪ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ∘f + ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ) ) |
81 |
14 74
|
mp1i |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) Fn ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ) |
82 |
|
fvconst2g |
⊢ ( ( 0 ∈ V ∧ 𝑗 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ) → ( ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ‘ 𝑗 ) = 0 ) |
83 |
15 82
|
sylan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ) → ( ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ‘ 𝑗 ) = 0 ) |
84 |
1 3 2
|
grplid |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ 𝐵 ) → ( 0 + 0 ) = 0 ) |
85 |
4 20 84
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 + 0 ) = 0 ) |
86 |
85
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ) → ( 0 + 0 ) = 0 ) |
87 |
14
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ) → 0 ∈ V ) |
88 |
87 82
|
sylancom |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ) → ( ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ‘ 𝑗 ) = 0 ) |
89 |
86 88
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) ) → ( 0 + 0 ) = ( ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ‘ 𝑗 ) ) |
90 |
76 81 81 81 83 83 89
|
offveq |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ∘f + ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) = ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) |
91 |
90
|
uneq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑠 ∘f + 𝑡 ) ∪ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ∘f + ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ) = ( ( 𝑠 ∘f + 𝑡 ) ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ) |
92 |
91
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑠 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑠 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑡 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑡 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ) ) → ( ( 𝑠 ∘f + 𝑡 ) ∪ ( ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ∘f + ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ) = ( ( 𝑠 ∘f + 𝑡 ) ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ) |
93 |
80 92
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑠 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑠 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑡 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑡 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ) ) → ( ( 𝑠 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∘f + ( 𝑡 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ) = ( ( 𝑠 ∘f + 𝑡 ) ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ) |
94 |
9
|
caovclg |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑠 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ∧ ( 𝑡 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ) → ( ( 𝑠 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∘f + ( 𝑡 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ) ∈ 𝐻 ) |
95 |
94
|
adantrrl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑠 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ∧ ( 𝑡 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑡 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ) ) → ( ( 𝑠 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∘f + ( 𝑡 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ) ∈ 𝐻 ) |
96 |
95
|
adantrll |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑠 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑠 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑡 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑡 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ) ) → ( ( 𝑠 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∘f + ( 𝑡 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ) ∈ 𝐻 ) |
97 |
93 96
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑠 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑠 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑡 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑡 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ) ) → ( ( 𝑠 ∘f + 𝑡 ) ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) |
98 |
30 5 6
|
fsuppssindlem2 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑠 ∘f + 𝑡 ) ∈ { 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ∣ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) ∈ 𝐻 } ↔ ( ( 𝑠 ∘f + 𝑡 ) : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( ( 𝑠 ∘f + 𝑡 ) ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ) ) |
99 |
98
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑠 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑠 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑡 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑡 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ) ) → ( ( 𝑠 ∘f + 𝑡 ) ∈ { 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ∣ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) ∈ 𝐻 } ↔ ( ( 𝑠 ∘f + 𝑡 ) : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( ( 𝑠 ∘f + 𝑡 ) ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ) ) |
100 |
71 97 99
|
mpbir2and |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑠 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑠 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑡 : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑡 ∪ ( ( 𝐼 ∖ 𝑆 ) × { 0 } ) ) ∈ 𝐻 ) ) ) → ( 𝑠 ∘f + 𝑡 ) ∈ { 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ∣ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) ∈ 𝐻 } ) |
101 |
62 100
|
sylibda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ∈ { 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ∣ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) ∈ 𝐻 } ∧ 𝑡 ∈ { 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ∣ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) ∈ 𝐻 } ) ) → ( 𝑠 ∘f + 𝑡 ) ∈ { 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ∣ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) ∈ 𝐻 } ) |
102 |
1 2 3 4 18 32 59 101
|
fsuppind |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑋 ↾ 𝑆 ) : 𝑆 ⟶ 𝐵 ∧ ( 𝑋 ↾ 𝑆 ) finSupp 0 ) ) → ( 𝑋 ↾ 𝑆 ) ∈ { 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ∣ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) ∈ 𝐻 } ) |
103 |
17 102
|
mpdan |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ↾ 𝑆 ) ∈ { 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ∣ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) ∈ 𝐻 } ) |
104 |
30 18
|
elmapd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 ↾ 𝑆 ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ↔ ( 𝑋 ↾ 𝑆 ) : 𝑆 ⟶ 𝐵 ) ) |
105 |
13 104
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ↾ 𝑆 ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ) |
106 |
|
fveq1 |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑋 ↾ 𝑆 ) → ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) = ( ( 𝑋 ↾ 𝑆 ) ‘ 𝑖 ) ) |
107 |
106
|
ifeq1d |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑋 ↾ 𝑆 ) → if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) , 0 ) = if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( ( 𝑋 ↾ 𝑆 ) ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) |
108 |
107
|
mpteq2dv |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑋 ↾ 𝑆 ) → ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) = ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( ( 𝑋 ↾ 𝑆 ) ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) ) |
109 |
108
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑓 = ( 𝑋 ↾ 𝑆 ) → ( ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) ∈ 𝐻 ↔ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( ( 𝑋 ↾ 𝑆 ) ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) ∈ 𝐻 ) ) |
110 |
109
|
elrab3 |
⊢ ( ( 𝑋 ↾ 𝑆 ) ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) → ( ( 𝑋 ↾ 𝑆 ) ∈ { 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ∣ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) ∈ 𝐻 } ↔ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( ( 𝑋 ↾ 𝑆 ) ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) ∈ 𝐻 ) ) |
111 |
105 110
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 ↾ 𝑆 ) ∈ { 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ∣ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) ∈ 𝐻 } ↔ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( ( 𝑋 ↾ 𝑆 ) ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) ∈ 𝐻 ) ) |
112 |
15 5 10 12
|
fsuppssindlem1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 = ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( ( 𝑋 ↾ 𝑆 ) ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) ) |
113 |
112
|
eleq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ 𝐻 ↔ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( ( 𝑋 ↾ 𝑆 ) ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) ∈ 𝐻 ) ) |
114 |
111 113
|
bitr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 ↾ 𝑆 ) ∈ { 𝑓 ∈ ( 𝐵 ↑m 𝑆 ) ∣ ( 𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if ( 𝑖 ∈ 𝑆 , ( 𝑓 ‘ 𝑖 ) , 0 ) ) ∈ 𝐻 } ↔ 𝑋 ∈ 𝐻 ) ) |
115 |
103 114
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐻 ) |