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Theorem axcontlem10

Description: Lemma for axcont . Given a handful of assumptions, derive the conclusion of the final theorem. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses axcontlem10.1 
|- D = { p e. ( EE ` N ) | ( U Btwn <. Z , p >. \/ p Btwn <. Z , U >. ) }
axcontlem10.2 
|- F = { <. x , t >. | ( x e. D /\ ( t e. ( 0 [,) +oo ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( x ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( Z ` i ) ) + ( t x. ( U ` i ) ) ) ) ) }
Assertion axcontlem10 
|- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 axcontlem10.1 
 |-  D = { p e. ( EE ` N ) | ( U Btwn <. Z , p >. \/ p Btwn <. Z , U >. ) }
2 axcontlem10.2 
 |-  F = { <. x , t >. | ( x e. D /\ ( t e. ( 0 [,) +oo ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( x ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( Z ` i ) ) + ( t x. ( U ` i ) ) ) ) ) }
3 imassrn 
 |-  ( F " A ) C_ ran F
4 simpll 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> N e. NN )
5 simprl1 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> Z e. ( EE ` N ) )
6 simplr1 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> A C_ ( EE ` N ) )
7 simprl2 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> U e. A )
8 6 7 sseldd 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> U e. ( EE ` N ) )
9 simprr 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> Z =/= U )
10 1 2 axcontlem2 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ Z e. ( EE ` N ) /\ U e. ( EE ` N ) ) /\ Z =/= U ) -> F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) )
11 4 5 8 9 10 syl31anc 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) )
12 f1ofo 
 |-  ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) -> F : D -onto-> ( 0 [,) +oo ) )
13 forn 
 |-  ( F : D -onto-> ( 0 [,) +oo ) -> ran F = ( 0 [,) +oo ) )
14 11 12 13 3syl 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ran F = ( 0 [,) +oo ) )
15 3 14 sseqtrid 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( F " A ) C_ ( 0 [,) +oo ) )
16 rge0ssre 
 |-  ( 0 [,) +oo ) C_ RR
17 15 16 sstrdi 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( F " A ) C_ RR )
18 imassrn 
 |-  ( F " B ) C_ ran F
19 18 14 sseqtrid 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( F " B ) C_ ( 0 [,) +oo ) )
20 19 16 sstrdi 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( F " B ) C_ RR )
21 1 2 axcontlem9 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) m <_ n )
22 dedekindle 
 |-  ( ( ( F " A ) C_ RR /\ ( F " B ) C_ RR /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) m <_ n ) -> E. k e. RR A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) )
23 17 20 21 22 syl3anc 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> E. k e. RR A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) )
24 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ k e. RR ) -> k e. RR )
25 simprl3 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> B =/= (/) )
26 25 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ k e. RR ) -> B =/= (/) )
27 n0 
 |-  ( B =/= (/) <-> E. b b e. B )
28 26 27 sylib 
 |-  ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ k e. RR ) -> E. b b e. B )
29 0red 
 |-  ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ ( k e. RR /\ b e. B ) ) -> 0 e. RR )
30 f1of 
 |-  ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) -> F : D --> ( 0 [,) +oo ) )
31 11 30 syl 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> F : D --> ( 0 [,) +oo ) )
32 1 axcontlem4 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> A C_ D )
33 32 7 sseldd 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> U e. D )
34 31 33 ffvelrnd 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( F ` U ) e. ( 0 [,) +oo ) )
35 16 34 sseldi 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( F ` U ) e. RR )
36 35 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ ( k e. RR /\ b e. B ) ) -> ( F ` U ) e. RR )
37 simprl 
 |-  ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ ( k e. RR /\ b e. B ) ) -> k e. RR )
38 elrege0 
 |-  ( ( F ` U ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( F ` U ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` U ) ) )
39 38 simprbi 
 |-  ( ( F ` U ) e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ ( F ` U ) )
40 34 39 syl 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> 0 <_ ( F ` U ) )
41 40 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ ( k e. RR /\ b e. B ) ) -> 0 <_ ( F ` U ) )
42 f1of1 
 |-  ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) -> F : D -1-1-> ( 0 [,) +oo ) )
43 11 42 syl 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> F : D -1-1-> ( 0 [,) +oo ) )
44 f1elima 
 |-  ( ( F : D -1-1-> ( 0 [,) +oo ) /\ U e. D /\ A C_ D ) -> ( ( F ` U ) e. ( F " A ) <-> U e. A ) )
45 43 33 32 44 syl3anc 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( ( F ` U ) e. ( F " A ) <-> U e. A ) )
46 7 45 mpbird 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( F ` U ) e. ( F " A ) )
47 46 adantr 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( k e. RR /\ b e. B ) ) -> ( F ` U ) e. ( F " A ) )
48 simpr 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ b e. B ) -> b e. B )
49 43 adantr 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ b e. B ) -> F : D -1-1-> ( 0 [,) +oo ) )
50 simpl1 
 |-  ( ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) -> Z e. ( EE ` N ) )
51 simpl2 
 |-  ( ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) -> U e. A )
52 simpr 
 |-  ( ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) -> Z =/= U )
53 50 51 52 3jca 
 |-  ( ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) -> ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ Z =/= U ) )
54 1 axcontlem3 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ Z =/= U ) ) -> B C_ D )
55 53 54 sylan2 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> B C_ D )
56 55 sselda 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ b e. B ) -> b e. D )
57 55 adantr 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ b e. B ) -> B C_ D )
58 f1elima 
 |-  ( ( F : D -1-1-> ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D /\ B C_ D ) -> ( ( F ` b ) e. ( F " B ) <-> b e. B ) )
59 49 56 57 58 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ b e. B ) -> ( ( F ` b ) e. ( F " B ) <-> b e. B ) )
60 48 59 mpbird 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ b e. B ) -> ( F ` b ) e. ( F " B ) )
61 60 adantrl 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( k e. RR /\ b e. B ) ) -> ( F ` b ) e. ( F " B ) )
62 47 61 jca 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( k e. RR /\ b e. B ) ) -> ( ( F ` U ) e. ( F " A ) /\ ( F ` b ) e. ( F " B ) ) )
63 breq1 
 |-  ( m = ( F ` U ) -> ( m <_ k <-> ( F ` U ) <_ k ) )
64 63 anbi1d 
 |-  ( m = ( F ` U ) -> ( ( m <_ k /\ k <_ n ) <-> ( ( F ` U ) <_ k /\ k <_ n ) ) )
65 breq2 
 |-  ( n = ( F ` b ) -> ( k <_ n <-> k <_ ( F ` b ) ) )
66 65 anbi2d 
 |-  ( n = ( F ` b ) -> ( ( ( F ` U ) <_ k /\ k <_ n ) <-> ( ( F ` U ) <_ k /\ k <_ ( F ` b ) ) ) )
67 64 66 rspc2va 
 |-  ( ( ( ( F ` U ) e. ( F " A ) /\ ( F ` b ) e. ( F " B ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) -> ( ( F ` U ) <_ k /\ k <_ ( F ` b ) ) )
68 62 67 sylan 
 |-  ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( k e. RR /\ b e. B ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) -> ( ( F ` U ) <_ k /\ k <_ ( F ` b ) ) )
69 68 an32s 
 |-  ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ ( k e. RR /\ b e. B ) ) -> ( ( F ` U ) <_ k /\ k <_ ( F ` b ) ) )
70 69 simpld 
 |-  ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ ( k e. RR /\ b e. B ) ) -> ( F ` U ) <_ k )
71 29 36 37 41 70 letrd 
 |-  ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ ( k e. RR /\ b e. B ) ) -> 0 <_ k )
72 71 expr 
 |-  ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ k e. RR ) -> ( b e. B -> 0 <_ k ) )
73 72 exlimdv 
 |-  ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ k e. RR ) -> ( E. b b e. B -> 0 <_ k ) )
74 28 73 mpd 
 |-  ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ k e. RR ) -> 0 <_ k )
75 elrege0 
 |-  ( k e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( k e. RR /\ 0 <_ k ) )
76 24 74 75 sylanbrc 
 |-  ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ k e. RR ) -> k e. ( 0 [,) +oo ) )
77 76 ex 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) -> ( k e. RR -> k e. ( 0 [,) +oo ) ) )
78 1 ssrab3 
 |-  D C_ ( EE ` N )
79 simpr 
 |-  ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) -> k e. ( 0 [,) +oo ) )
80 f1ocnvdm 
 |-  ( ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( `' F ` k ) e. D )
81 11 79 80 syl2an 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) ) -> ( `' F ` k ) e. D )
82 78 81 sseldi 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) ) -> ( `' F ` k ) e. ( EE ` N ) )
83 4 5 8 3jca 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( N e. NN /\ Z e. ( EE ` N ) /\ U e. ( EE ` N ) ) )
84 83 9 jca 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( ( N e. NN /\ Z e. ( EE ` N ) /\ U e. ( EE ` N ) ) /\ Z =/= U ) )
85 84 adantr 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> ( ( N e. NN /\ Z e. ( EE ` N ) /\ U e. ( EE ` N ) ) /\ Z =/= U ) )
86 32 sselda 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ q e. A ) -> q e. D )
87 86 adantrr 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) -> q e. D )
88 87 adantrl 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> q e. D )
89 simplr 
 |-  ( ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) -> k e. ( 0 [,) +oo ) )
90 11 89 80 syl2an 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> ( `' F ` k ) e. D )
91 55 sselda 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ r e. B ) -> r e. D )
92 91 adantrl 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) -> r e. D )
93 92 adantrl 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> r e. D )
94 88 90 93 3jca 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> ( q e. D /\ ( `' F ` k ) e. D /\ r e. D ) )
95 85 94 jca 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> ( ( ( N e. NN /\ Z e. ( EE ` N ) /\ U e. ( EE ` N ) ) /\ Z =/= U ) /\ ( q e. D /\ ( `' F ` k ) e. D /\ r e. D ) ) )
96 f1ofun 
 |-  ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) -> Fun F )
97 11 96 syl 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> Fun F )
98 fdm 
 |-  ( F : D --> ( 0 [,) +oo ) -> dom F = D )
99 11 30 98 3syl 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> dom F = D )
100 32 99 sseqtrrd 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> A C_ dom F )
101 funfvima2 
 |-  ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( q e. A -> ( F ` q ) e. ( F " A ) ) )
102 97 100 101 syl2anc 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( q e. A -> ( F ` q ) e. ( F " A ) ) )
103 55 99 sseqtrrd 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> B C_ dom F )
104 funfvima2 
 |-  ( ( Fun F /\ B C_ dom F ) -> ( r e. B -> ( F ` r ) e. ( F " B ) ) )
105 97 103 104 syl2anc 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( r e. B -> ( F ` r ) e. ( F " B ) ) )
106 102 105 anim12d 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( ( q e. A /\ r e. B ) -> ( ( F ` q ) e. ( F " A ) /\ ( F ` r ) e. ( F " B ) ) ) )
107 106 imp 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) -> ( ( F ` q ) e. ( F " A ) /\ ( F ` r ) e. ( F " B ) ) )
108 107 adantrl 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> ( ( F ` q ) e. ( F " A ) /\ ( F ` r ) e. ( F " B ) ) )
109 simprll 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) )
110 breq1 
 |-  ( m = ( F ` q ) -> ( m <_ k <-> ( F ` q ) <_ k ) )
111 110 anbi1d 
 |-  ( m = ( F ` q ) -> ( ( m <_ k /\ k <_ n ) <-> ( ( F ` q ) <_ k /\ k <_ n ) ) )
112 breq2 
 |-  ( n = ( F ` r ) -> ( k <_ n <-> k <_ ( F ` r ) ) )
113 112 anbi2d 
 |-  ( n = ( F ` r ) -> ( ( ( F ` q ) <_ k /\ k <_ n ) <-> ( ( F ` q ) <_ k /\ k <_ ( F ` r ) ) ) )
114 111 113 rspc2v 
 |-  ( ( ( F ` q ) e. ( F " A ) /\ ( F ` r ) e. ( F " B ) ) -> ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) -> ( ( F ` q ) <_ k /\ k <_ ( F ` r ) ) ) )
115 108 109 114 sylc 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> ( ( F ` q ) <_ k /\ k <_ ( F ` r ) ) )
116 f1ocnvfv2 
 |-  ( ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( F ` ( `' F ` k ) ) = k )
117 11 89 116 syl2an 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> ( F ` ( `' F ` k ) ) = k )
118 117 breq2d 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> ( ( F ` q ) <_ ( F ` ( `' F ` k ) ) <-> ( F ` q ) <_ k ) )
119 117 breq1d 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` k ) ) <_ ( F ` r ) <-> k <_ ( F ` r ) ) )
120 118 119 anbi12d 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> ( ( ( F ` q ) <_ ( F ` ( `' F ` k ) ) /\ ( F ` ( `' F ` k ) ) <_ ( F ` r ) ) <-> ( ( F ` q ) <_ k /\ k <_ ( F ` r ) ) ) )
121 115 120 mpbird 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> ( ( F ` q ) <_ ( F ` ( `' F ` k ) ) /\ ( F ` ( `' F ` k ) ) <_ ( F ` r ) ) )
122 1 2 axcontlem8 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ Z e. ( EE ` N ) /\ U e. ( EE ` N ) ) /\ Z =/= U ) /\ ( q e. D /\ ( `' F ` k ) e. D /\ r e. D ) ) -> ( ( ( F ` q ) <_ ( F ` ( `' F ` k ) ) /\ ( F ` ( `' F ` k ) ) <_ ( F ` r ) ) -> ( `' F ` k ) Btwn <. q , r >. ) )
123 95 121 122 sylc 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> ( `' F ` k ) Btwn <. q , r >. )
124 123 anassrs 
 |-  ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) -> ( `' F ` k ) Btwn <. q , r >. )
125 124 ralrimivva 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) ) -> A. q e. A A. r e. B ( `' F ` k ) Btwn <. q , r >. )
126 opeq1 
 |-  ( q = x -> <. q , r >. = <. x , r >. )
127 126 breq2d 
 |-  ( q = x -> ( ( `' F ` k ) Btwn <. q , r >. <-> ( `' F ` k ) Btwn <. x , r >. ) )
128 opeq2 
 |-  ( r = y -> <. x , r >. = <. x , y >. )
129 128 breq2d 
 |-  ( r = y -> ( ( `' F ` k ) Btwn <. x , r >. <-> ( `' F ` k ) Btwn <. x , y >. ) )
130 127 129 cbvral2vw 
 |-  ( A. q e. A A. r e. B ( `' F ` k ) Btwn <. q , r >. <-> A. x e. A A. y e. B ( `' F ` k ) Btwn <. x , y >. )
131 125 130 sylib 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) ) -> A. x e. A A. y e. B ( `' F ` k ) Btwn <. x , y >. )
132 breq1 
 |-  ( b = ( `' F ` k ) -> ( b Btwn <. x , y >. <-> ( `' F ` k ) Btwn <. x , y >. ) )
133 132 2ralbidv 
 |-  ( b = ( `' F ` k ) -> ( A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. <-> A. x e. A A. y e. B ( `' F ` k ) Btwn <. x , y >. ) )
134 133 rspcev 
 |-  ( ( ( `' F ` k ) e. ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B ( `' F ` k ) Btwn <. x , y >. ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. )
135 82 131 134 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. )
136 135 expr 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) -> ( k e. ( 0 [,) +oo ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. ) )
137 77 136 syld 
 |-  ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) -> ( k e. RR -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. ) )
138 137 ex 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) -> ( k e. RR -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. ) ) )
139 138 com23 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( k e. RR -> ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. ) ) )
140 139 rexlimdv 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( E. k e. RR A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. ) )
141 23 140 mpd 
 |-  ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. )