Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lcfrlem17.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
2 |
|
lcfrlem17.o |
|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W ) |
3 |
|
lcfrlem17.u |
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W ) |
4 |
|
lcfrlem17.v |
|- V = ( Base ` U ) |
5 |
|
lcfrlem17.p |
|- .+ = ( +g ` U ) |
6 |
|
lcfrlem17.z |
|- .0. = ( 0g ` U ) |
7 |
|
lcfrlem17.n |
|- N = ( LSpan ` U ) |
8 |
|
lcfrlem17.a |
|- A = ( LSAtoms ` U ) |
9 |
|
lcfrlem17.k |
|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
10 |
|
lcfrlem17.x |
|- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) ) |
11 |
|
lcfrlem17.y |
|- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) ) |
12 |
|
lcfrlem17.ne |
|- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) ) |
13 |
|
lcfrlem22.b |
|- B = ( ( N ` { X , Y } ) i^i ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) ) |
14 |
|
lcfrlem23.s |
|- .(+) = ( LSSum ` U ) |
15 |
13
|
fveq2i |
|- ( ._|_ ` B ) = ( ._|_ ` ( ( N ` { X , Y } ) i^i ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) |
16 |
|
eqid |
|- ( ( DIsoH ` K ) ` W ) = ( ( DIsoH ` K ) ` W ) |
17 |
|
eqid |
|- ( ( joinH ` K ) ` W ) = ( ( joinH ` K ) ` W ) |
18 |
10
|
eldifad |
|- ( ph -> X e. V ) |
19 |
11
|
eldifad |
|- ( ph -> Y e. V ) |
20 |
1 3 4 7 16 9 18 19
|
dihprrn |
|- ( ph -> ( N ` { X , Y } ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) ) |
21 |
1 3 9
|
dvhlmod |
|- ( ph -> U e. LMod ) |
22 |
4 5
|
lmodvacl |
|- ( ( U e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .+ Y ) e. V ) |
23 |
21 18 19 22
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( X .+ Y ) e. V ) |
24 |
23
|
snssd |
|- ( ph -> { ( X .+ Y ) } C_ V ) |
25 |
1 16 3 4 2
|
dochcl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ { ( X .+ Y ) } C_ V ) -> ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) ) |
26 |
9 24 25
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) ) |
27 |
1 16 3 4 2 17 9 20 26
|
dochdmm1 |
|- ( ph -> ( ._|_ ` ( ( N ` { X , Y } ) i^i ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) = ( ( ._|_ ` ( N ` { X , Y } ) ) ( ( joinH ` K ) ` W ) ( ._|_ ` ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) ) |
28 |
1 3 2 4 7 9 23
|
dochocsn |
|- ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) ) = ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) |
29 |
28
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( ( ._|_ ` ( N ` { X , Y } ) ) ( ( joinH ` K ) ` W ) ( ._|_ ` ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) = ( ( ._|_ ` ( N ` { X , Y } ) ) ( ( joinH ` K ) ` W ) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) |
30 |
|
prssi |
|- ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> { X , Y } C_ V ) |
31 |
18 19 30
|
syl2anc |
|- ( ph -> { X , Y } C_ V ) |
32 |
4 7
|
lspssv |
|- ( ( U e. LMod /\ { X , Y } C_ V ) -> ( N ` { X , Y } ) C_ V ) |
33 |
21 31 32
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( N ` { X , Y } ) C_ V ) |
34 |
1 16 3 4 2
|
dochcl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( N ` { X , Y } ) C_ V ) -> ( ._|_ ` ( N ` { X , Y } ) ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) ) |
35 |
9 33 34
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( ._|_ ` ( N ` { X , Y } ) ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) ) |
36 |
1 3 4 14 7 16 17 9 35 23
|
dihjat1 |
|- ( ph -> ( ( ._|_ ` ( N ` { X , Y } ) ) ( ( joinH ` K ) ` W ) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) = ( ( ._|_ ` ( N ` { X , Y } ) ) .(+) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) |
37 |
27 29 36
|
3eqtrd |
|- ( ph -> ( ._|_ ` ( ( N ` { X , Y } ) i^i ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) = ( ( ._|_ ` ( N ` { X , Y } ) ) .(+) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) |
38 |
15 37
|
syl5eq |
|- ( ph -> ( ._|_ ` B ) = ( ( ._|_ ` ( N ` { X , Y } ) ) .(+) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) |
39 |
38
|
ineq2d |
|- ( ph -> ( ( ( N ` { X } ) .(+) ( N ` { Y } ) ) i^i ( ._|_ ` B ) ) = ( ( ( N ` { X } ) .(+) ( N ` { Y } ) ) i^i ( ( ._|_ ` ( N ` { X , Y } ) ) .(+) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) ) |
40 |
|
eqid |
|- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U ) |
41 |
40
|
lsssssubg |
|- ( U e. LMod -> ( LSubSp ` U ) C_ ( SubGrp ` U ) ) |
42 |
21 41
|
syl |
|- ( ph -> ( LSubSp ` U ) C_ ( SubGrp ` U ) ) |
43 |
4 40 7
|
lspsncl |
|- ( ( U e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` U ) ) |
44 |
21 18 43
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` U ) ) |
45 |
4 40 7
|
lspsncl |
|- ( ( U e. LMod /\ Y e. V ) -> ( N ` { Y } ) e. ( LSubSp ` U ) ) |
46 |
21 19 45
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( N ` { Y } ) e. ( LSubSp ` U ) ) |
47 |
40 14
|
lsmcl |
|- ( ( U e. LMod /\ ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` U ) /\ ( N ` { Y } ) e. ( LSubSp ` U ) ) -> ( ( N ` { X } ) .(+) ( N ` { Y } ) ) e. ( LSubSp ` U ) ) |
48 |
21 44 46 47
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( ( N ` { X } ) .(+) ( N ` { Y } ) ) e. ( LSubSp ` U ) ) |
49 |
42 48
|
sseldd |
|- ( ph -> ( ( N ` { X } ) .(+) ( N ` { Y } ) ) e. ( SubGrp ` U ) ) |
50 |
1 3 4 40 2
|
dochlss |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( N ` { X , Y } ) C_ V ) -> ( ._|_ ` ( N ` { X , Y } ) ) e. ( LSubSp ` U ) ) |
51 |
9 33 50
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( ._|_ ` ( N ` { X , Y } ) ) e. ( LSubSp ` U ) ) |
52 |
42 51
|
sseldd |
|- ( ph -> ( ._|_ ` ( N ` { X , Y } ) ) e. ( SubGrp ` U ) ) |
53 |
4 40 7
|
lspsncl |
|- ( ( U e. LMod /\ ( X .+ Y ) e. V ) -> ( N ` { ( X .+ Y ) } ) e. ( LSubSp ` U ) ) |
54 |
21 23 53
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( N ` { ( X .+ Y ) } ) e. ( LSubSp ` U ) ) |
55 |
42 54
|
sseldd |
|- ( ph -> ( N ` { ( X .+ Y ) } ) e. ( SubGrp ` U ) ) |
56 |
4 5 7 14
|
lspsntri |
|- ( ( U e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( N ` { ( X .+ Y ) } ) C_ ( ( N ` { X } ) .(+) ( N ` { Y } ) ) ) |
57 |
21 18 19 56
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( N ` { ( X .+ Y ) } ) C_ ( ( N ` { X } ) .(+) ( N ` { Y } ) ) ) |
58 |
14
|
lsmmod2 |
|- ( ( ( ( ( N ` { X } ) .(+) ( N ` { Y } ) ) e. ( SubGrp ` U ) /\ ( ._|_ ` ( N ` { X , Y } ) ) e. ( SubGrp ` U ) /\ ( N ` { ( X .+ Y ) } ) e. ( SubGrp ` U ) ) /\ ( N ` { ( X .+ Y ) } ) C_ ( ( N ` { X } ) .(+) ( N ` { Y } ) ) ) -> ( ( ( N ` { X } ) .(+) ( N ` { Y } ) ) i^i ( ( ._|_ ` ( N ` { X , Y } ) ) .(+) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) = ( ( ( ( N ` { X } ) .(+) ( N ` { Y } ) ) i^i ( ._|_ ` ( N ` { X , Y } ) ) ) .(+) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) |
59 |
49 52 55 57 58
|
syl31anc |
|- ( ph -> ( ( ( N ` { X } ) .(+) ( N ` { Y } ) ) i^i ( ( ._|_ ` ( N ` { X , Y } ) ) .(+) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) = ( ( ( ( N ` { X } ) .(+) ( N ` { Y } ) ) i^i ( ._|_ ` ( N ` { X , Y } ) ) ) .(+) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) |
60 |
4 7 14 21 18 19
|
lsmpr |
|- ( ph -> ( N ` { X , Y } ) = ( ( N ` { X } ) .(+) ( N ` { Y } ) ) ) |
61 |
60
|
ineq1d |
|- ( ph -> ( ( N ` { X , Y } ) i^i ( ._|_ ` ( N ` { X , Y } ) ) ) = ( ( ( N ` { X } ) .(+) ( N ` { Y } ) ) i^i ( ._|_ ` ( N ` { X , Y } ) ) ) ) |
62 |
4 40 7 21 18 19
|
lspprcl |
|- ( ph -> ( N ` { X , Y } ) e. ( LSubSp ` U ) ) |
63 |
1 3 40 6 2
|
dochnoncon |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( N ` { X , Y } ) e. ( LSubSp ` U ) ) -> ( ( N ` { X , Y } ) i^i ( ._|_ ` ( N ` { X , Y } ) ) ) = { .0. } ) |
64 |
9 62 63
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( ( N ` { X , Y } ) i^i ( ._|_ ` ( N ` { X , Y } ) ) ) = { .0. } ) |
65 |
61 64
|
eqtr3d |
|- ( ph -> ( ( ( N ` { X } ) .(+) ( N ` { Y } ) ) i^i ( ._|_ ` ( N ` { X , Y } ) ) ) = { .0. } ) |
66 |
65
|
oveq1d |
|- ( ph -> ( ( ( ( N ` { X } ) .(+) ( N ` { Y } ) ) i^i ( ._|_ ` ( N ` { X , Y } ) ) ) .(+) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) = ( { .0. } .(+) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) |
67 |
6 14
|
lsm02 |
|- ( ( N ` { ( X .+ Y ) } ) e. ( SubGrp ` U ) -> ( { .0. } .(+) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) = ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) |
68 |
55 67
|
syl |
|- ( ph -> ( { .0. } .(+) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) = ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) |
69 |
66 68
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( ( ( ( N ` { X } ) .(+) ( N ` { Y } ) ) i^i ( ._|_ ` ( N ` { X , Y } ) ) ) .(+) ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) = ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) |
70 |
39 59 69
|
3eqtrd |
|- ( ph -> ( ( ( N ` { X } ) .(+) ( N ` { Y } ) ) i^i ( ._|_ ` B ) ) = ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) |
71 |
70
|
fveq2d |
|- ( ph -> ( ._|_ ` ( ( ( N ` { X } ) .(+) ( N ` { Y } ) ) i^i ( ._|_ ` B ) ) ) = ( ._|_ ` ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) ) |
72 |
1 3 4 14 7 16 9 18 19
|
dihsmsnrn |
|- ( ph -> ( ( N ` { X } ) .(+) ( N ` { Y } ) ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) ) |
73 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
|
lcfrlem22 |
|- ( ph -> B e. A ) |
74 |
4 8 21 73
|
lsatssv |
|- ( ph -> B C_ V ) |
75 |
1 16 3 4 2
|
dochcl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ B C_ V ) -> ( ._|_ ` B ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) ) |
76 |
9 74 75
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( ._|_ ` B ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) ) |
77 |
1 16 3 4 2 17 9 72 76
|
dochdmm1 |
|- ( ph -> ( ._|_ ` ( ( ( N ` { X } ) .(+) ( N ` { Y } ) ) i^i ( ._|_ ` B ) ) ) = ( ( ._|_ ` ( ( N ` { X } ) .(+) ( N ` { Y } ) ) ) ( ( joinH ` K ) ` W ) ( ._|_ ` ( ._|_ ` B ) ) ) ) |
78 |
60
|
fveq2d |
|- ( ph -> ( ._|_ ` ( N ` { X , Y } ) ) = ( ._|_ ` ( ( N ` { X } ) .(+) ( N ` { Y } ) ) ) ) |
79 |
1 3 2 4 7 9 31
|
dochocsp |
|- ( ph -> ( ._|_ ` ( N ` { X , Y } ) ) = ( ._|_ ` { X , Y } ) ) |
80 |
78 79
|
eqtr3d |
|- ( ph -> ( ._|_ ` ( ( N ` { X } ) .(+) ( N ` { Y } ) ) ) = ( ._|_ ` { X , Y } ) ) |
81 |
1 3 16 8
|
dih1dimat |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ B e. A ) -> B e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) ) |
82 |
9 73 81
|
syl2anc |
|- ( ph -> B e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) ) |
83 |
1 16 2
|
dochoc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ B e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` B ) ) = B ) |
84 |
9 82 83
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` B ) ) = B ) |
85 |
80 84
|
oveq12d |
|- ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ( N ` { X } ) .(+) ( N ` { Y } ) ) ) ( ( joinH ` K ) ` W ) ( ._|_ ` ( ._|_ ` B ) ) ) = ( ( ._|_ ` { X , Y } ) ( ( joinH ` K ) ` W ) B ) ) |
86 |
1 16 3 4 2
|
dochcl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ { X , Y } C_ V ) -> ( ._|_ ` { X , Y } ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) ) |
87 |
9 31 86
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( ._|_ ` { X , Y } ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) ) |
88 |
1 16 17 3 14 8 9 87 73
|
dihjat2 |
|- ( ph -> ( ( ._|_ ` { X , Y } ) ( ( joinH ` K ) ` W ) B ) = ( ( ._|_ ` { X , Y } ) .(+) B ) ) |
89 |
77 85 88
|
3eqtrd |
|- ( ph -> ( ._|_ ` ( ( ( N ` { X } ) .(+) ( N ` { Y } ) ) i^i ( ._|_ ` B ) ) ) = ( ( ._|_ ` { X , Y } ) .(+) B ) ) |
90 |
1 3 2 4 7 9 24
|
dochocsp |
|- ( ph -> ( ._|_ ` ( N ` { ( X .+ Y ) } ) ) = ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) ) |
91 |
71 89 90
|
3eqtr3d |
|- ( ph -> ( ( ._|_ ` { X , Y } ) .(+) B ) = ( ._|_ ` { ( X .+ Y ) } ) ) |