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Theorem qqhval2

Description: Value of the canonical homormorphism from the rational number when the target ring is a division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2017)

Ref Expression
Hypotheses qqhval2.0 B = Base R
qqhval2.1 × ˙ = / r R
qqhval2.2 L = ℤRHom R
Assertion qqhval2 R DivRing chr R = 0 ℚHom R = q L numer q × ˙ L denom q

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 qqhval2.0 B = Base R
2 qqhval2.1 × ˙ = / r R
3 qqhval2.2 L = ℤRHom R
4 elex R DivRing R V
5 4 adantr R DivRing chr R = 0 R V
6 eqid 1 R = 1 R
7 2 6 3 qqhval R V ℚHom R = ran x , y L -1 Unit R x y L x × ˙ L y
8 5 7 syl R DivRing chr R = 0 ℚHom R = ran x , y L -1 Unit R x y L x × ˙ L y
9 eqidd R DivRing chr R = 0 =
10 eqid 0 R = 0 R
11 1 3 10 zrhunitpreima R DivRing chr R = 0 L -1 Unit R = 0
12 mpoeq12 = L -1 Unit R = 0 x , y L -1 Unit R x y L x × ˙ L y = x , y 0 x y L x × ˙ L y
13 9 11 12 syl2anc R DivRing chr R = 0 x , y L -1 Unit R x y L x × ˙ L y = x , y 0 x y L x × ˙ L y
14 13 rneqd R DivRing chr R = 0 ran x , y L -1 Unit R x y L x × ˙ L y = ran x , y 0 x y L x × ˙ L y
15 nfv e R DivRing chr R = 0
16 nfab1 _ e e | x y 0 e = x y L x × ˙ L y
17 nfcv _ e q s | q s = L numer q × ˙ L denom q
18 simpr R DivRing chr R = 0 x y 0 e = x y L x × ˙ L y e = x y L x × ˙ L y
19 zssq
20 simplrl R DivRing chr R = 0 x y 0 e = x y L x × ˙ L y x
21 19 20 sselid R DivRing chr R = 0 x y 0 e = x y L x × ˙ L y x
22 simplrr R DivRing chr R = 0 x y 0 e = x y L x × ˙ L y y 0
23 22 eldifad R DivRing chr R = 0 x y 0 e = x y L x × ˙ L y y
24 19 23 sselid R DivRing chr R = 0 x y 0 e = x y L x × ˙ L y y
25 22 eldifbd R DivRing chr R = 0 x y 0 e = x y L x × ˙ L y ¬ y 0
26 velsn y 0 y = 0
27 26 necon3bbii ¬ y 0 y 0
28 25 27 sylib R DivRing chr R = 0 x y 0 e = x y L x × ˙ L y y 0
29 qdivcl x y y 0 x y
30 21 24 28 29 syl3anc R DivRing chr R = 0 x y 0 e = x y L x × ˙ L y x y
31 simplll R DivRing chr R = 0 x y 0 e = x y L x × ˙ L y R DivRing
32 simpllr R DivRing chr R = 0 x y 0 e = x y L x × ˙ L y chr R = 0
33 1 2 3 qqhval2lem R DivRing chr R = 0 x y y 0 L numer x y × ˙ L denom x y = L x × ˙ L y
34 33 eqcomd R DivRing chr R = 0 x y y 0 L x × ˙ L y = L numer x y × ˙ L denom x y
35 31 32 20 23 28 34 syl23anc R DivRing chr R = 0 x y 0 e = x y L x × ˙ L y L x × ˙ L y = L numer x y × ˙ L denom x y
36 ovex x y V
37 ovex L x × ˙ L y V
38 opeq12 q = x y s = L x × ˙ L y q s = x y L x × ˙ L y
39 38 eqeq2d q = x y s = L x × ˙ L y e = q s e = x y L x × ˙ L y
40 simpl q = x y s = L x × ˙ L y q = x y
41 40 eleq1d q = x y s = L x × ˙ L y q x y
42 simpr q = x y s = L x × ˙ L y s = L x × ˙ L y
43 40 fveq2d q = x y s = L x × ˙ L y numer q = numer x y
44 43 fveq2d q = x y s = L x × ˙ L y L numer q = L numer x y
45 40 fveq2d q = x y s = L x × ˙ L y denom q = denom x y
46 45 fveq2d q = x y s = L x × ˙ L y L denom q = L denom x y
47 44 46 oveq12d q = x y s = L x × ˙ L y L numer q × ˙ L denom q = L numer x y × ˙ L denom x y
48 42 47 eqeq12d q = x y s = L x × ˙ L y s = L numer q × ˙ L denom q L x × ˙ L y = L numer x y × ˙ L denom x y
49 41 48 anbi12d q = x y s = L x × ˙ L y q s = L numer q × ˙ L denom q x y L x × ˙ L y = L numer x y × ˙ L denom x y
50 39 49 anbi12d q = x y s = L x × ˙ L y e = q s q s = L numer q × ˙ L denom q e = x y L x × ˙ L y x y L x × ˙ L y = L numer x y × ˙ L denom x y
51 36 37 50 spc2ev e = x y L x × ˙ L y x y L x × ˙ L y = L numer x y × ˙ L denom x y q s e = q s q s = L numer q × ˙ L denom q
52 18 30 35 51 syl12anc R DivRing chr R = 0 x y 0 e = x y L x × ˙ L y q s e = q s q s = L numer q × ˙ L denom q
53 52 ex R DivRing chr R = 0 x y 0 e = x y L x × ˙ L y q s e = q s q s = L numer q × ˙ L denom q
54 53 rexlimdvva R DivRing chr R = 0 x y 0 e = x y L x × ˙ L y q s e = q s q s = L numer q × ˙ L denom q
55 54 imp R DivRing chr R = 0 x y 0 e = x y L x × ˙ L y q s e = q s q s = L numer q × ˙ L denom q
56 19.42vv q s R DivRing chr R = 0 e = q s q s = L numer q × ˙ L denom q R DivRing chr R = 0 q s e = q s q s = L numer q × ˙ L denom q
57 simprrl R DivRing chr R = 0 e = q s q s = L numer q × ˙ L denom q q
58 qnumcl q numer q
59 57 58 syl R DivRing chr R = 0 e = q s q s = L numer q × ˙ L denom q numer q
60 qdencl q denom q
61 57 60 syl R DivRing chr R = 0 e = q s q s = L numer q × ˙ L denom q denom q
62 61 nnzd R DivRing chr R = 0 e = q s q s = L numer q × ˙ L denom q denom q
63 nnne0 denom q denom q 0
64 nelsn denom q 0 ¬ denom q 0
65 61 63 64 3syl R DivRing chr R = 0 e = q s q s = L numer q × ˙ L denom q ¬ denom q 0
66 62 65 eldifd R DivRing chr R = 0 e = q s q s = L numer q × ˙ L denom q denom q 0
67 simprl R DivRing chr R = 0 e = q s q s = L numer q × ˙ L denom q e = q s
68 qeqnumdivden q q = numer q denom q
69 57 68 syl R DivRing chr R = 0 e = q s q s = L numer q × ˙ L denom q q = numer q denom q
70 simprrr R DivRing chr R = 0 e = q s q s = L numer q × ˙ L denom q s = L numer q × ˙ L denom q
71 69 70 opeq12d R DivRing chr R = 0 e = q s q s = L numer q × ˙ L denom q q s = numer q denom q L numer q × ˙ L denom q
72 67 71 eqtrd R DivRing chr R = 0 e = q s q s = L numer q × ˙ L denom q e = numer q denom q L numer q × ˙ L denom q
73 oveq1 x = numer q x y = numer q y
74 fveq2 x = numer q L x = L numer q
75 74 oveq1d x = numer q L x × ˙ L y = L numer q × ˙ L y
76 73 75 opeq12d x = numer q x y L x × ˙ L y = numer q y L numer q × ˙ L y
77 76 eqeq2d x = numer q e = x y L x × ˙ L y e = numer q y L numer q × ˙ L y
78 oveq2 y = denom q numer q y = numer q denom q
79 fveq2 y = denom q L y = L denom q
80 79 oveq2d y = denom q L numer q × ˙ L y = L numer q × ˙ L denom q
81 78 80 opeq12d y = denom q numer q y L numer q × ˙ L y = numer q denom q L numer q × ˙ L denom q
82 81 eqeq2d y = denom q e = numer q y L numer q × ˙ L y e = numer q denom q L numer q × ˙ L denom q
83 77 82 rspc2ev numer q denom q 0 e = numer q denom q L numer q × ˙ L denom q x y 0 e = x y L x × ˙ L y
84 59 66 72 83 syl3anc R DivRing chr R = 0 e = q s q s = L numer q × ˙ L denom q x y 0 e = x y L x × ˙ L y
85 84 exlimivv q s R DivRing chr R = 0 e = q s q s = L numer q × ˙ L denom q x y 0 e = x y L x × ˙ L y
86 56 85 sylbir R DivRing chr R = 0 q s e = q s q s = L numer q × ˙ L denom q x y 0 e = x y L x × ˙ L y
87 55 86 impbida R DivRing chr R = 0 x y 0 e = x y L x × ˙ L y q s e = q s q s = L numer q × ˙ L denom q
88 abid e e | x y 0 e = x y L x × ˙ L y x y 0 e = x y L x × ˙ L y
89 elopab e q s | q s = L numer q × ˙ L denom q q s e = q s q s = L numer q × ˙ L denom q
90 87 88 89 3bitr4g R DivRing chr R = 0 e e | x y 0 e = x y L x × ˙ L y e q s | q s = L numer q × ˙ L denom q
91 15 16 17 90 eqrd R DivRing chr R = 0 e | x y 0 e = x y L x × ˙ L y = q s | q s = L numer q × ˙ L denom q
92 eqid x , y 0 x y L x × ˙ L y = x , y 0 x y L x × ˙ L y
93 92 rnmpo ran x , y 0 x y L x × ˙ L y = e | x y 0 e = x y L x × ˙ L y
94 df-mpt q L numer q × ˙ L denom q = q s | q s = L numer q × ˙ L denom q
95 91 93 94 3eqtr4g R DivRing chr R = 0 ran x , y 0 x y L x × ˙ L y = q L numer q × ˙ L denom q
96 8 14 95 3eqtrd R DivRing chr R = 0 ℚHom R = q L numer q × ˙ L denom q