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Theorem ftc1anclem3

Description: Lemma for ftc1anc - the absolute value of the sum of a simple function and _i times another simple function is itself a simple function. (Contributed by Brendan Leahy, 27-May-2018)

Ref Expression
Assertion ftc1anclem3 ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ( abs ∘ ( 𝐹f + ( ( ℝ × { i } ) ∘f · 𝐺 ) ) ) ∈ dom ∫1 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 i1ff ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
2 1 ffvelrnda ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹𝑥 ) ∈ ℝ )
3 i1ff ( 𝐺 ∈ dom ∫1𝐺 : ℝ ⟶ ℝ )
4 3 ffvelrnda ( ( 𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐺𝑥 ) ∈ ℝ )
5 absreim ( ( ( 𝐹𝑥 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐺𝑥 ) ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑥 ) + ( i · ( 𝐺𝑥 ) ) ) ) = ( √ ‘ ( ( ( 𝐹𝑥 ) ↑ 2 ) + ( ( 𝐺𝑥 ) ↑ 2 ) ) ) )
6 2 4 5 syl2an ( ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑥 ) + ( i · ( 𝐺𝑥 ) ) ) ) = ( √ ‘ ( ( ( 𝐹𝑥 ) ↑ 2 ) + ( ( 𝐺𝑥 ) ↑ 2 ) ) ) )
7 6 anandirs ( ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑥 ) + ( i · ( 𝐺𝑥 ) ) ) ) = ( √ ‘ ( ( ( 𝐹𝑥 ) ↑ 2 ) + ( ( 𝐺𝑥 ) ↑ 2 ) ) ) )
8 2 recnd ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹𝑥 ) ∈ ℂ )
9 8 sqvald ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹𝑥 ) ↑ 2 ) = ( ( 𝐹𝑥 ) · ( 𝐹𝑥 ) ) )
10 4 recnd ( ( 𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐺𝑥 ) ∈ ℂ )
11 10 sqvald ( ( 𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐺𝑥 ) ↑ 2 ) = ( ( 𝐺𝑥 ) · ( 𝐺𝑥 ) ) )
12 9 11 oveqan12d ( ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ ) ) → ( ( ( 𝐹𝑥 ) ↑ 2 ) + ( ( 𝐺𝑥 ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( 𝐹𝑥 ) · ( 𝐹𝑥 ) ) + ( ( 𝐺𝑥 ) · ( 𝐺𝑥 ) ) ) )
13 12 anandirs ( ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐹𝑥 ) ↑ 2 ) + ( ( 𝐺𝑥 ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( 𝐹𝑥 ) · ( 𝐹𝑥 ) ) + ( ( 𝐺𝑥 ) · ( 𝐺𝑥 ) ) ) )
14 13 fveq2d ( ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( √ ‘ ( ( ( 𝐹𝑥 ) ↑ 2 ) + ( ( 𝐺𝑥 ) ↑ 2 ) ) ) = ( √ ‘ ( ( ( 𝐹𝑥 ) · ( 𝐹𝑥 ) ) + ( ( 𝐺𝑥 ) · ( 𝐺𝑥 ) ) ) ) )
15 7 14 eqtrd ( ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑥 ) + ( i · ( 𝐺𝑥 ) ) ) ) = ( √ ‘ ( ( ( 𝐹𝑥 ) · ( 𝐹𝑥 ) ) + ( ( 𝐺𝑥 ) · ( 𝐺𝑥 ) ) ) ) )
16 15 mpteq2dva ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑥 ) + ( i · ( 𝐺𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( √ ‘ ( ( ( 𝐹𝑥 ) · ( 𝐹𝑥 ) ) + ( ( 𝐺𝑥 ) · ( 𝐺𝑥 ) ) ) ) ) )
17 ax-icn i ∈ ℂ
18 mulcl ( ( i ∈ ℂ ∧ ( 𝐺𝑥 ) ∈ ℂ ) → ( i · ( 𝐺𝑥 ) ) ∈ ℂ )
19 17 10 18 sylancr ( ( 𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ ) → ( i · ( 𝐺𝑥 ) ) ∈ ℂ )
20 addcl ( ( ( 𝐹𝑥 ) ∈ ℂ ∧ ( i · ( 𝐺𝑥 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝐹𝑥 ) + ( i · ( 𝐺𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
21 8 19 20 syl2an ( ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝐹𝑥 ) + ( i · ( 𝐺𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
22 21 anandirs ( ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹𝑥 ) + ( i · ( 𝐺𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
23 reex ℝ ∈ V
24 23 a1i ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ℝ ∈ V )
25 2 adantlr ( ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹𝑥 ) ∈ ℝ )
26 ovexd ( ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( i · ( 𝐺𝑥 ) ) ∈ V )
27 1 feqmptd ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹𝑥 ) ) )
28 27 adantr ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → 𝐹 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐹𝑥 ) ) )
29 23 a1i ( 𝐺 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V )
30 17 a1i ( ( 𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ ) → i ∈ ℂ )
31 fconstmpt ( ℝ × { i } ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ i )
32 31 a1i ( 𝐺 ∈ dom ∫1 → ( ℝ × { i } ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ i ) )
33 3 feqmptd ( 𝐺 ∈ dom ∫1𝐺 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐺𝑥 ) ) )
34 29 30 4 32 33 offval2 ( 𝐺 ∈ dom ∫1 → ( ( ℝ × { i } ) ∘f · 𝐺 ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( i · ( 𝐺𝑥 ) ) ) )
35 34 adantl ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ( ( ℝ × { i } ) ∘f · 𝐺 ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( i · ( 𝐺𝑥 ) ) ) )
36 24 25 26 28 35 offval2 ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ( 𝐹f + ( ( ℝ × { i } ) ∘f · 𝐺 ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹𝑥 ) + ( i · ( 𝐺𝑥 ) ) ) ) )
37 absf abs : ℂ ⟶ ℝ
38 37 a1i ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → abs : ℂ ⟶ ℝ )
39 38 feqmptd ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → abs = ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( abs ‘ 𝑦 ) ) )
40 fveq2 ( 𝑦 = ( ( 𝐹𝑥 ) + ( i · ( 𝐺𝑥 ) ) ) → ( abs ‘ 𝑦 ) = ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑥 ) + ( i · ( 𝐺𝑥 ) ) ) ) )
41 22 36 39 40 fmptco ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ( abs ∘ ( 𝐹f + ( ( ℝ × { i } ) ∘f · 𝐺 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( abs ‘ ( ( 𝐹𝑥 ) + ( i · ( 𝐺𝑥 ) ) ) ) ) )
42 8 8 mulcld ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹𝑥 ) · ( 𝐹𝑥 ) ) ∈ ℂ )
43 10 10 mulcld ( ( 𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐺𝑥 ) · ( 𝐺𝑥 ) ) ∈ ℂ )
44 addcl ( ( ( ( 𝐹𝑥 ) · ( 𝐹𝑥 ) ) ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐺𝑥 ) · ( 𝐺𝑥 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐹𝑥 ) · ( 𝐹𝑥 ) ) + ( ( 𝐺𝑥 ) · ( 𝐺𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
45 42 43 44 syl2an ( ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐺 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ ) ) → ( ( ( 𝐹𝑥 ) · ( 𝐹𝑥 ) ) + ( ( 𝐺𝑥 ) · ( 𝐺𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
46 45 anandirs ( ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐹𝑥 ) · ( 𝐹𝑥 ) ) + ( ( 𝐺𝑥 ) · ( 𝐺𝑥 ) ) ) ∈ ℂ )
47 42 adantlr ( ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐹𝑥 ) · ( 𝐹𝑥 ) ) ∈ ℂ )
48 43 adantll ( ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐺𝑥 ) · ( 𝐺𝑥 ) ) ∈ ℂ )
49 23 a1i ( 𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V )
50 49 2 2 27 27 offval2 ( 𝐹 ∈ dom ∫1 → ( 𝐹f · 𝐹 ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹𝑥 ) · ( 𝐹𝑥 ) ) ) )
51 50 adantr ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ( 𝐹f · 𝐹 ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐹𝑥 ) · ( 𝐹𝑥 ) ) ) )
52 29 4 4 33 33 offval2 ( 𝐺 ∈ dom ∫1 → ( 𝐺f · 𝐺 ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐺𝑥 ) · ( 𝐺𝑥 ) ) ) )
53 52 adantl ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ( 𝐺f · 𝐺 ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝐺𝑥 ) · ( 𝐺𝑥 ) ) ) )
54 24 47 48 51 53 offval2 ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( ( 𝐹𝑥 ) · ( 𝐹𝑥 ) ) + ( ( 𝐺𝑥 ) · ( 𝐺𝑥 ) ) ) ) )
55 sqrtf √ : ℂ ⟶ ℂ
56 55 a1i ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → √ : ℂ ⟶ ℂ )
57 56 feqmptd ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → √ = ( 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( √ ‘ 𝑦 ) ) )
58 fveq2 ( 𝑦 = ( ( ( 𝐹𝑥 ) · ( 𝐹𝑥 ) ) + ( ( 𝐺𝑥 ) · ( 𝐺𝑥 ) ) ) → ( √ ‘ 𝑦 ) = ( √ ‘ ( ( ( 𝐹𝑥 ) · ( 𝐹𝑥 ) ) + ( ( 𝐺𝑥 ) · ( 𝐺𝑥 ) ) ) ) )
59 46 54 57 58 fmptco ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ( √ ∘ ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( √ ‘ ( ( ( 𝐹𝑥 ) · ( 𝐹𝑥 ) ) + ( ( 𝐺𝑥 ) · ( 𝐺𝑥 ) ) ) ) ) )
60 16 41 59 3eqtr4d ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ( abs ∘ ( 𝐹f + ( ( ℝ × { i } ) ∘f · 𝐺 ) ) ) = ( √ ∘ ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) )
61 elrege0 ( 𝑥 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ↔ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ) )
62 resqrtcl ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ) → ( √ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
63 61 62 sylbi ( 𝑥 ∈ ( 0 [,) +∞ ) → ( √ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
64 63 adantl ( ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) → ( √ ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
65 id ( √ : ℂ ⟶ ℂ → √ : ℂ ⟶ ℂ )
66 65 feqmptd ( √ : ℂ ⟶ ℂ → √ = ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( √ ‘ 𝑥 ) ) )
67 55 66 ax-mp √ = ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( √ ‘ 𝑥 ) )
68 67 reseq1i ( √ ↾ ( 0 [,) +∞ ) ) = ( ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( √ ‘ 𝑥 ) ) ↾ ( 0 [,) +∞ ) )
69 rge0ssre ( 0 [,) +∞ ) ⊆ ℝ
70 ax-resscn ℝ ⊆ ℂ
71 69 70 sstri ( 0 [,) +∞ ) ⊆ ℂ
72 resmpt ( ( 0 [,) +∞ ) ⊆ ℂ → ( ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( √ ‘ 𝑥 ) ) ↾ ( 0 [,) +∞ ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ↦ ( √ ‘ 𝑥 ) ) )
73 71 72 ax-mp ( ( 𝑥 ∈ ℂ ↦ ( √ ‘ 𝑥 ) ) ↾ ( 0 [,) +∞ ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ↦ ( √ ‘ 𝑥 ) )
74 68 73 eqtri ( √ ↾ ( 0 [,) +∞ ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ↦ ( √ ‘ 𝑥 ) )
75 64 74 fmptd ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ( √ ↾ ( 0 [,) +∞ ) ) : ( 0 [,) +∞ ) ⟶ ℝ )
76 ge0addcl ( ( 𝑥 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) → ( 𝑥 + 𝑦 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
77 76 adantl ( ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ∧ 𝑦 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) ) → ( 𝑥 + 𝑦 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
78 oveq12 ( ( 𝑧 = 𝐹𝑧 = 𝐹 ) → ( 𝑧f · 𝑧 ) = ( 𝐹f · 𝐹 ) )
79 78 anidms ( 𝑧 = 𝐹 → ( 𝑧f · 𝑧 ) = ( 𝐹f · 𝐹 ) )
80 79 feq1d ( 𝑧 = 𝐹 → ( ( 𝑧f · 𝑧 ) : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) ↔ ( 𝐹f · 𝐹 ) : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) ) )
81 i1ff ( 𝑧 ∈ dom ∫1𝑧 : ℝ ⟶ ℝ )
82 81 ffvelrnda ( ( 𝑧 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑧𝑥 ) ∈ ℝ )
83 82 82 remulcld ( ( 𝑧 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑧𝑥 ) · ( 𝑧𝑥 ) ) ∈ ℝ )
84 82 msqge0d ( ( 𝑧 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ ) → 0 ≤ ( ( 𝑧𝑥 ) · ( 𝑧𝑥 ) ) )
85 elrege0 ( ( ( 𝑧𝑥 ) · ( 𝑧𝑥 ) ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) ↔ ( ( ( 𝑧𝑥 ) · ( 𝑧𝑥 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( ( 𝑧𝑥 ) · ( 𝑧𝑥 ) ) ) )
86 83 84 85 sylanbrc ( ( 𝑧 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑧𝑥 ) · ( 𝑧𝑥 ) ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
87 86 fmpttd ( 𝑧 ∈ dom ∫1 → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝑧𝑥 ) · ( 𝑧𝑥 ) ) ) : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
88 23 a1i ( 𝑧 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V )
89 81 feqmptd ( 𝑧 ∈ dom ∫1𝑧 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑧𝑥 ) ) )
90 88 82 82 89 89 offval2 ( 𝑧 ∈ dom ∫1 → ( 𝑧f · 𝑧 ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝑧𝑥 ) · ( 𝑧𝑥 ) ) ) )
91 90 feq1d ( 𝑧 ∈ dom ∫1 → ( ( 𝑧f · 𝑧 ) : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) ↔ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝑧𝑥 ) · ( 𝑧𝑥 ) ) ) : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) ) )
92 87 91 mpbird ( 𝑧 ∈ dom ∫1 → ( 𝑧f · 𝑧 ) : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
93 80 92 vtoclga ( 𝐹 ∈ dom ∫1 → ( 𝐹f · 𝐹 ) : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
94 93 adantr ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ( 𝐹f · 𝐹 ) : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
95 oveq12 ( ( 𝑧 = 𝐺𝑧 = 𝐺 ) → ( 𝑧f · 𝑧 ) = ( 𝐺f · 𝐺 ) )
96 95 anidms ( 𝑧 = 𝐺 → ( 𝑧f · 𝑧 ) = ( 𝐺f · 𝐺 ) )
97 96 feq1d ( 𝑧 = 𝐺 → ( ( 𝑧f · 𝑧 ) : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) ↔ ( 𝐺f · 𝐺 ) : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) ) )
98 97 92 vtoclga ( 𝐺 ∈ dom ∫1 → ( 𝐺f · 𝐺 ) : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
99 98 adantl ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ( 𝐺f · 𝐺 ) : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
100 inidm ( ℝ ∩ ℝ ) = ℝ
101 77 94 99 24 24 100 off ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
102 fco2 ( ( ( √ ↾ ( 0 [,) +∞ ) ) : ( 0 [,) +∞ ) ⟶ ℝ ∧ ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) ) → ( √ ∘ ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) : ℝ ⟶ ℝ )
103 75 101 102 syl2anc ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ( √ ∘ ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) : ℝ ⟶ ℝ )
104 rnco ran ( √ ∘ ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) = ran ( √ ↾ ran ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) )
105 ffn ( √ : ℂ ⟶ ℂ → √ Fn ℂ )
106 55 105 ax-mp √ Fn ℂ
107 readdcl ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 + 𝑦 ) ∈ ℝ )
108 107 adantl ( ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ) → ( 𝑥 + 𝑦 ) ∈ ℝ )
109 remulcl ( ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 · 𝑦 ) ∈ ℝ )
110 109 adantl ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ) → ( 𝑥 · 𝑦 ) ∈ ℝ )
111 110 1 1 49 49 100 off ( 𝐹 ∈ dom ∫1 → ( 𝐹f · 𝐹 ) : ℝ ⟶ ℝ )
112 111 adantr ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ( 𝐹f · 𝐹 ) : ℝ ⟶ ℝ )
113 109 adantl ( ( 𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ) → ( 𝑥 · 𝑦 ) ∈ ℝ )
114 113 3 3 29 29 100 off ( 𝐺 ∈ dom ∫1 → ( 𝐺f · 𝐺 ) : ℝ ⟶ ℝ )
115 114 adantl ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ( 𝐺f · 𝐺 ) : ℝ ⟶ ℝ )
116 108 112 115 24 24 100 off ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) : ℝ ⟶ ℝ )
117 116 frnd ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ran ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ⊆ ℝ )
118 117 70 sstrdi ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ran ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ⊆ ℂ )
119 fnssres ( ( √ Fn ℂ ∧ ran ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ⊆ ℂ ) → ( √ ↾ ran ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) Fn ran ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) )
120 106 118 119 sylancr ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ( √ ↾ ran ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) Fn ran ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) )
121 id ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ dom ∫1 )
122 121 121 i1fmul ( 𝐹 ∈ dom ∫1 → ( 𝐹f · 𝐹 ) ∈ dom ∫1 )
123 122 adantr ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ( 𝐹f · 𝐹 ) ∈ dom ∫1 )
124 id ( 𝐺 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 )
125 124 124 i1fmul ( 𝐺 ∈ dom ∫1 → ( 𝐺f · 𝐺 ) ∈ dom ∫1 )
126 125 adantl ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ( 𝐺f · 𝐺 ) ∈ dom ∫1 )
127 123 126 i1fadd ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ∈ dom ∫1 )
128 i1frn ( ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ∈ dom ∫1 → ran ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ∈ Fin )
129 127 128 syl ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ran ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ∈ Fin )
130 fnfi ( ( ( √ ↾ ran ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) Fn ran ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ∧ ran ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ∈ Fin ) → ( √ ↾ ran ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) ∈ Fin )
131 120 129 130 syl2anc ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ( √ ↾ ran ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) ∈ Fin )
132 rnfi ( ( √ ↾ ran ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) ∈ Fin → ran ( √ ↾ ran ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) ∈ Fin )
133 131 132 syl ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ran ( √ ↾ ran ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) ∈ Fin )
134 104 133 eqeltrid ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ran ( √ ∘ ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) ∈ Fin )
135 cnvco ( √ ∘ ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) = ( ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ∘ √ )
136 135 imaeq1i ( ( √ ∘ ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) “ { 𝑥 } ) = ( ( ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ∘ √ ) “ { 𝑥 } )
137 imaco ( ( ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ∘ √ ) “ { 𝑥 } ) = ( ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) “ ( √ “ { 𝑥 } ) )
138 136 137 eqtri ( ( √ ∘ ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) “ { 𝑥 } ) = ( ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) “ ( √ “ { 𝑥 } ) )
139 i1fima ( ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ∈ dom ∫1 → ( ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) “ ( √ “ { 𝑥 } ) ) ∈ dom vol )
140 127 139 syl ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ( ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) “ ( √ “ { 𝑥 } ) ) ∈ dom vol )
141 138 140 eqeltrid ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ( ( √ ∘ ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) “ { 𝑥 } ) ∈ dom vol )
142 141 adantr ( ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ran ( √ ∘ ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) ∖ { 0 } ) ) → ( ( √ ∘ ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) “ { 𝑥 } ) ∈ dom vol )
143 138 fveq2i ( vol ‘ ( ( √ ∘ ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) “ { 𝑥 } ) ) = ( vol ‘ ( ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) “ ( √ “ { 𝑥 } ) ) )
144 eldifsni ( 𝑥 ∈ ( ran ( √ ∘ ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) ∖ { 0 } ) → 𝑥 ≠ 0 )
145 c0ex 0 ∈ V
146 145 elsn ( 0 ∈ { 𝑥 } ↔ 0 = 𝑥 )
147 eqcom ( 0 = 𝑥𝑥 = 0 )
148 146 147 bitri ( 0 ∈ { 𝑥 } ↔ 𝑥 = 0 )
149 148 necon3bbii ( ¬ 0 ∈ { 𝑥 } ↔ 𝑥 ≠ 0 )
150 sqrt0 ( √ ‘ 0 ) = 0
151 150 eleq1i ( ( √ ‘ 0 ) ∈ { 𝑥 } ↔ 0 ∈ { 𝑥 } )
152 149 151 xchnxbir ( ¬ ( √ ‘ 0 ) ∈ { 𝑥 } ↔ 𝑥 ≠ 0 )
153 144 152 sylibr ( 𝑥 ∈ ( ran ( √ ∘ ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) ∖ { 0 } ) → ¬ ( √ ‘ 0 ) ∈ { 𝑥 } )
154 153 olcd ( 𝑥 ∈ ( ran ( √ ∘ ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) ∖ { 0 } ) → ( ¬ 0 ∈ ℂ ∨ ¬ ( √ ‘ 0 ) ∈ { 𝑥 } ) )
155 ianor ( ¬ ( 0 ∈ ℂ ∧ ( √ ‘ 0 ) ∈ { 𝑥 } ) ↔ ( ¬ 0 ∈ ℂ ∨ ¬ ( √ ‘ 0 ) ∈ { 𝑥 } ) )
156 elpreima ( √ Fn ℂ → ( 0 ∈ ( √ “ { 𝑥 } ) ↔ ( 0 ∈ ℂ ∧ ( √ ‘ 0 ) ∈ { 𝑥 } ) ) )
157 55 105 156 mp2b ( 0 ∈ ( √ “ { 𝑥 } ) ↔ ( 0 ∈ ℂ ∧ ( √ ‘ 0 ) ∈ { 𝑥 } ) )
158 155 157 xchnxbir ( ¬ 0 ∈ ( √ “ { 𝑥 } ) ↔ ( ¬ 0 ∈ ℂ ∨ ¬ ( √ ‘ 0 ) ∈ { 𝑥 } ) )
159 154 158 sylibr ( 𝑥 ∈ ( ran ( √ ∘ ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) ∖ { 0 } ) → ¬ 0 ∈ ( √ “ { 𝑥 } ) )
160 i1fima2 ( ( ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ( √ “ { 𝑥 } ) ) → ( vol ‘ ( ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) “ ( √ “ { 𝑥 } ) ) ) ∈ ℝ )
161 127 159 160 syl2an ( ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ran ( √ ∘ ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) ∖ { 0 } ) ) → ( vol ‘ ( ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) “ ( √ “ { 𝑥 } ) ) ) ∈ ℝ )
162 143 161 eqeltrid ( ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) ∧ 𝑥 ∈ ( ran ( √ ∘ ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) ∖ { 0 } ) ) → ( vol ‘ ( ( √ ∘ ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) “ { 𝑥 } ) ) ∈ ℝ )
163 103 134 142 162 i1fd ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ( √ ∘ ( ( 𝐹f · 𝐹 ) ∘f + ( 𝐺f · 𝐺 ) ) ) ∈ dom ∫1 )
164 60 163 eqeltrd ( ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1 ) → ( abs ∘ ( 𝐹f + ( ( ℝ × { i } ) ∘f · 𝐺 ) ) ) ∈ dom ∫1 )