Theorem lspsolvlem

Description: Lemma for lspsolv . (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014)

	Ref	Expression
Hypotheses	lspsolv.v	⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
	lspsolv.s	⊢ 𝑆 = ( LSubSp ‘ 𝑊 )
	lspsolv.n	⊢ 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑊 )
	lspsolv.f	⊢ 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
	lspsolv.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐹 )
	lspsolv.p	⊢ + = ( +g ‘ 𝑊 )
	lspsolv.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑊 )
	lspsolv.q	⊢ 𝑄 = { 𝑧 ∈ 𝑉 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( 𝑧 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) }
	lspsolv.w	⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ LMod )
	lspsolv.ss	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑉 )
	lspsolv.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉 )
	lspsolv.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ∪ { 𝑌 } ) ) )
Assertion	lspsolvlem	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( 𝑋 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsolv.v	⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
2		lspsolv.s	⊢ 𝑆 = ( LSubSp ‘ 𝑊 )
3		lspsolv.n	⊢ 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑊 )
4		lspsolv.f	⊢ 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
5		lspsolv.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐹 )
6		lspsolv.p	⊢ + = ( +g ‘ 𝑊 )
7		lspsolv.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑊 )
8		lspsolv.q	⊢ 𝑄 = { 𝑧 ∈ 𝑉 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( 𝑧 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) }
9		lspsolv.w	⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ LMod )
10		lspsolv.ss	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑉 )
11		lspsolv.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉 )
12		lspsolv.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ∪ { 𝑌 } ) ) )
13	8	ssrab3	⊢ 𝑄 ⊆ 𝑉
14	13	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ⊆ 𝑉 )
15	9	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝑊 ∈ LMod )
16		eqid	⊢ ( 0g ‘ 𝐹 ) = ( 0g ‘ 𝐹 )
17	4 5 16	lmod0cl	⊢ ( 𝑊 ∈ LMod → ( 0g ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐵 )
18	15 17	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 0g ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐵 )
19		eqid	⊢ ( 0g ‘ 𝑊 ) = ( 0g ‘ 𝑊 )
20	1 4 7 16 19	lmod0vs	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ) → ( ( 0g ‘ 𝐹 ) · 𝑌 ) = ( 0g ‘ 𝑊 ) )
21	9 11 20	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 0g ‘ 𝐹 ) · 𝑌 ) = ( 0g ‘ 𝑊 ) )
22	21	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( ( 0g ‘ 𝐹 ) · 𝑌 ) = ( 0g ‘ 𝑊 ) )
23	22	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑧 + ( ( 0g ‘ 𝐹 ) · 𝑌 ) ) = ( 𝑧 + ( 0g ‘ 𝑊 ) ) )
24	10	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ 𝑉 )
25	1 6 19	lmod0vrid	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑧 + ( 0g ‘ 𝑊 ) ) = 𝑧 )
26	15 24 25	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑧 + ( 0g ‘ 𝑊 ) ) = 𝑧 )
27	23 26	eqtrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑧 + ( ( 0g ‘ 𝐹 ) · 𝑌 ) ) = 𝑧 )
28	1 3	lspssid	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉 ) → 𝐴 ⊆ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) )
29	9 10 28	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) )
30	29	sselda	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → 𝑧 ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) )
31	27 30	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑧 + ( ( 0g ‘ 𝐹 ) · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) )
32		oveq1	⊢ ( 𝑟 = ( 0g ‘ 𝐹 ) → ( 𝑟 · 𝑌 ) = ( ( 0g ‘ 𝐹 ) · 𝑌 ) )
33	32	oveq2d	⊢ ( 𝑟 = ( 0g ‘ 𝐹 ) → ( 𝑧 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) = ( 𝑧 + ( ( 0g ‘ 𝐹 ) · 𝑌 ) ) )
34	33	eleq1d	⊢ ( 𝑟 = ( 0g ‘ 𝐹 ) → ( ( 𝑧 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↔ ( 𝑧 + ( ( 0g ‘ 𝐹 ) · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) )
35	34	rspcev	⊢ ( ( ( 0g ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑧 + ( ( 0g ‘ 𝐹 ) · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) → ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( 𝑧 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) )
36	18 31 35	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( 𝑧 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) )
37	10 36	ssrabdv	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ { 𝑧 ∈ 𝑉 ∣ ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( 𝑧 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) } )
38	37 8	sseqtrrdi	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑄 )
39	4	lmodfgrp	⊢ ( 𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp )
40	9 39	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ Grp )
41		eqid	⊢ ( 1r ‘ 𝐹 ) = ( 1r ‘ 𝐹 )
42	4 5 41	lmod1cl	⊢ ( 𝑊 ∈ LMod → ( 1r ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐵 )
43	9 42	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 1r ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐵 )
44		eqid	⊢ ( invg ‘ 𝐹 ) = ( invg ‘ 𝐹 )
45	5 44	grpinvcl	⊢ ( ( 𝐹 ∈ Grp ∧ ( 1r ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( invg ‘ 𝐹 ) ‘ ( 1r ‘ 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 )
46	40 43 45	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( invg ‘ 𝐹 ) ‘ ( 1r ‘ 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 )
47		eqid	⊢ ( invg ‘ 𝑊 ) = ( invg ‘ 𝑊 )
48	1 47 4 7 41 44	lmodvneg1	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ) → ( ( ( invg ‘ 𝐹 ) ‘ ( 1r ‘ 𝐹 ) ) · 𝑌 ) = ( ( invg ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑌 ) )
49	9 11 48	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( invg ‘ 𝐹 ) ‘ ( 1r ‘ 𝐹 ) ) · 𝑌 ) = ( ( invg ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑌 ) )
50	49	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 + ( ( ( invg ‘ 𝐹 ) ‘ ( 1r ‘ 𝐹 ) ) · 𝑌 ) ) = ( 𝑌 + ( ( invg ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑌 ) ) )
51		lmodgrp	⊢ ( 𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp )
52	9 51	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ Grp )
53	1 6 19 47	grprinv	⊢ ( ( 𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑌 + ( ( invg ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑌 ) ) = ( 0g ‘ 𝑊 ) )
54	52 11 53	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 + ( ( invg ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑌 ) ) = ( 0g ‘ 𝑊 ) )
55	50 54	eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 + ( ( ( invg ‘ 𝐹 ) ‘ ( 1r ‘ 𝐹 ) ) · 𝑌 ) ) = ( 0g ‘ 𝑊 ) )
56	1 2 3	lspcl	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∈ 𝑆 )
57	9 10 56	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∈ 𝑆 )
58	19 2	lss0cl	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∈ 𝑆 ) → ( 0g ‘ 𝑊 ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) )
59	9 57 58	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 0g ‘ 𝑊 ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) )
60	55 59	eqeltrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 + ( ( ( invg ‘ 𝐹 ) ‘ ( 1r ‘ 𝐹 ) ) · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) )
61		oveq1	⊢ ( 𝑟 = ( ( invg ‘ 𝐹 ) ‘ ( 1r ‘ 𝐹 ) ) → ( 𝑟 · 𝑌 ) = ( ( ( invg ‘ 𝐹 ) ‘ ( 1r ‘ 𝐹 ) ) · 𝑌 ) )
62	61	oveq2d	⊢ ( 𝑟 = ( ( invg ‘ 𝐹 ) ‘ ( 1r ‘ 𝐹 ) ) → ( 𝑌 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) = ( 𝑌 + ( ( ( invg ‘ 𝐹 ) ‘ ( 1r ‘ 𝐹 ) ) · 𝑌 ) ) )
63	62	eleq1d	⊢ ( 𝑟 = ( ( invg ‘ 𝐹 ) ‘ ( 1r ‘ 𝐹 ) ) → ( ( 𝑌 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↔ ( 𝑌 + ( ( ( invg ‘ 𝐹 ) ‘ ( 1r ‘ 𝐹 ) ) · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) )
64	63	rspcev	⊢ ( ( ( ( invg ‘ 𝐹 ) ‘ ( 1r ‘ 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑌 + ( ( ( invg ‘ 𝐹 ) ‘ ( 1r ‘ 𝐹 ) ) · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) → ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( 𝑌 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) )
65	46 60 64	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( 𝑌 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) )
66		oveq1	⊢ ( 𝑧 = 𝑌 → ( 𝑧 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) = ( 𝑌 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) )
67	66	eleq1d	⊢ ( 𝑧 = 𝑌 → ( ( 𝑧 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↔ ( 𝑌 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) )
68	67	rexbidv	⊢ ( 𝑧 = 𝑌 → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( 𝑧 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( 𝑌 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) )
69	68 8	elrab2	⊢ ( 𝑌 ∈ 𝑄 ↔ ( 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( 𝑌 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) )
70	11 65 69	sylanbrc	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑄 )
71	70	snssd	⊢ ( 𝜑 → { 𝑌 } ⊆ 𝑄 )
72	38 71	unssd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ∪ { 𝑌 } ) ⊆ 𝑄 )
73	1 3	lspss	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ⊆ 𝑉 ∧ ( 𝐴 ∪ { 𝑌 } ) ⊆ 𝑄 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ∪ { 𝑌 } ) ) ⊆ ( 𝑁 ‘ 𝑄 ) )
74	9 14 72 73	syl3anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ∪ { 𝑌 } ) ) ⊆ ( 𝑁 ‘ 𝑄 ) )
75	4	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 ) )
76	5	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( Base ‘ 𝐹 ) )
77	1	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 ) )
78	6	a1i	⊢ ( 𝜑 → + = ( +g ‘ 𝑊 ) )
79	7	a1i	⊢ ( 𝜑 → · = ( ·𝑠 ‘ 𝑊 ) )
80	2	a1i	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 = ( LSubSp ‘ 𝑊 ) )
81	70	ne0d	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ≠ ∅ )
82		oveq1	⊢ ( 𝑧 = 𝑥 → ( 𝑧 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) = ( 𝑥 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) )
83	82	eleq1d	⊢ ( 𝑧 = 𝑥 → ( ( 𝑧 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↔ ( 𝑥 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) )
84	83	rexbidv	⊢ ( 𝑧 = 𝑥 → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( 𝑧 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( 𝑥 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) )
85		oveq1	⊢ ( 𝑟 = 𝑠 → ( 𝑟 · 𝑌 ) = ( 𝑠 · 𝑌 ) )
86	85	oveq2d	⊢ ( 𝑟 = 𝑠 → ( 𝑥 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) = ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) )
87	86	eleq1d	⊢ ( 𝑟 = 𝑠 → ( ( 𝑥 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↔ ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) )
88	87	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( 𝑥 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑠 ∈ 𝐵 ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) )
89	84 88	bitrdi	⊢ ( 𝑧 = 𝑥 → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( 𝑧 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑠 ∈ 𝐵 ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) )
90	89 8	elrab2	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑄 ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃ 𝑠 ∈ 𝐵 ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) )
91		oveq1	⊢ ( 𝑧 = 𝑦 → ( 𝑧 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) )
92	91	eleq1d	⊢ ( 𝑧 = 𝑦 → ( ( 𝑧 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↔ ( 𝑦 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) )
93	92	rexbidv	⊢ ( 𝑧 = 𝑦 → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( 𝑧 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( 𝑦 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) )
94		oveq1	⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( 𝑟 · 𝑌 ) = ( 𝑡 · 𝑌 ) )
95	94	oveq2d	⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( 𝑦 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) = ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) )
96	95	eleq1d	⊢ ( 𝑟 = 𝑡 → ( ( 𝑦 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↔ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) )
97	96	cbvrexvw	⊢ ( ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( 𝑦 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ 𝐵 ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) )
98	93 97	bitrdi	⊢ ( 𝑧 = 𝑦 → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( 𝑧 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ 𝐵 ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) )
99	98 8	elrab2	⊢ ( 𝑦 ∈ 𝑄 ↔ ( 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐵 ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) )
100	90 99	anbi12i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑄 ∧ 𝑦 ∈ 𝑄 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃ 𝑠 ∈ 𝐵 ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐵 ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) )
101		an4	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃ 𝑠 ∈ 𝐵 ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐵 ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ∃ 𝑠 ∈ 𝐵 ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐵 ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) )
102	100 101	bitri	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑄 ∧ 𝑦 ∈ 𝑄 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ∃ 𝑠 ∈ 𝐵 ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐵 ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) )
103		reeanv	⊢ ( ∃ 𝑠 ∈ 𝐵 ∃ 𝑡 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ↔ ( ∃ 𝑠 ∈ 𝐵 ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐵 ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) )
104		simp1ll	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝜑 )
105	104 9	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝑊 ∈ LMod )
106		simp1lr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝑎 ∈ 𝐵 )
107		simp1rl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑉 )
108	1 4 7 5	lmodvscl	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑎 · 𝑥 ) ∈ 𝑉 )
109	105 106 107 108	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝑎 · 𝑥 ) ∈ 𝑉 )
110		simp1rr	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝑉 )
111	1 6	lmodvacl	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑎 · 𝑥 ) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) ∈ 𝑉 )
112	105 109 110 111	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) ∈ 𝑉 )
113		simp2l	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝑠 ∈ 𝐵 )
114		eqid	⊢ ( .r ‘ 𝐹 ) = ( .r ‘ 𝐹 )
115	4 5 114	lmodmcl	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑎 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑠 ) ∈ 𝐵 )
116	105 106 113 115	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝑎 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑠 ) ∈ 𝐵 )
117		simp2r	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝑡 ∈ 𝐵 )
118		eqid	⊢ ( +g ‘ 𝐹 ) = ( +g ‘ 𝐹 )
119	4 5 118	lmodacl	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑎 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑠 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑠 ) ( +g ‘ 𝐹 ) 𝑡 ) ∈ 𝐵 )
120	105 116 117 119	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑠 ) ( +g ‘ 𝐹 ) 𝑡 ) ∈ 𝐵 )
121	104 11	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝑌 ∈ 𝑉 )
122	1 4 7 5	lmodvscl	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑠 · 𝑌 ) ∈ 𝑉 )
123	105 113 121 122	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝑠 · 𝑌 ) ∈ 𝑉 )
124	1 4 7 5	lmodvscl	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑠 · 𝑌 ) ∈ 𝑉 ) → ( 𝑎 · ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ 𝑉 )
125	105 106 123 124	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝑎 · ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ 𝑉 )
126	1 4 7 5	lmodvscl	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑡 · 𝑌 ) ∈ 𝑉 )
127	105 117 121 126	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝑡 · 𝑌 ) ∈ 𝑉 )
128	1 6	lmod4	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( ( 𝑎 · 𝑥 ) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ( 𝑎 · ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑡 · 𝑌 ) ∈ 𝑉 ) ) → ( ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) + ( ( 𝑎 · ( 𝑠 · 𝑌 ) ) + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ) = ( ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + ( 𝑎 · ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ) + ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ) )
129	105 109 110 125 127 128	syl122anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) + ( ( 𝑎 · ( 𝑠 · 𝑌 ) ) + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ) = ( ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + ( 𝑎 · ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ) + ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ) )
130	1 6 4 7 5 118	lmodvsdir	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑠 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑠 ) ( +g ‘ 𝐹 ) 𝑡 ) · 𝑌 ) = ( ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑠 ) · 𝑌 ) + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) )
131	105 116 117 121 130	syl13anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑠 ) ( +g ‘ 𝐹 ) 𝑡 ) · 𝑌 ) = ( ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑠 ) · 𝑌 ) + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) )
132	1 4 7 5 114	lmodvsass	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑠 ) · 𝑌 ) = ( 𝑎 · ( 𝑠 · 𝑌 ) ) )
133	105 106 113 121 132	syl13anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑠 ) · 𝑌 ) = ( 𝑎 · ( 𝑠 · 𝑌 ) ) )
134	133	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑠 ) · 𝑌 ) + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) = ( ( 𝑎 · ( 𝑠 · 𝑌 ) ) + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) )
135	131 134	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑠 ) ( +g ‘ 𝐹 ) 𝑡 ) · 𝑌 ) = ( ( 𝑎 · ( 𝑠 · 𝑌 ) ) + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) )
136	135	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) + ( ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑠 ) ( +g ‘ 𝐹 ) 𝑡 ) · 𝑌 ) ) = ( ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) + ( ( 𝑎 · ( 𝑠 · 𝑌 ) ) + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ) )
137	1 6 4 7 5	lmodvsdi	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑠 · 𝑌 ) ∈ 𝑉 ) ) → ( 𝑎 · ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ) = ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + ( 𝑎 · ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ) )
138	105 106 107 123 137	syl13anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝑎 · ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ) = ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + ( 𝑎 · ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ) )
139	138	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝑎 · ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ) + ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ) = ( ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + ( 𝑎 · ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ) + ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ) )
140	129 136 139	3eqtr4d	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) + ( ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑠 ) ( +g ‘ 𝐹 ) 𝑡 ) · 𝑌 ) ) = ( ( 𝑎 · ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ) + ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ) )
141	104 57	syl	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∈ 𝑆 )
142		simp3l	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) )
143		simp3r	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) )
144	4 5 6 7 2	lsscl	⊢ ( ( ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∈ 𝑆 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝑎 · ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ) + ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) )
145	141 106 142 143 144	syl13anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝑎 · ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ) + ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) )
146	140 145	eqeltrd	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) + ( ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑠 ) ( +g ‘ 𝐹 ) 𝑡 ) · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) )
147		oveq1	⊢ ( 𝑟 = ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑠 ) ( +g ‘ 𝐹 ) 𝑡 ) → ( 𝑟 · 𝑌 ) = ( ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑠 ) ( +g ‘ 𝐹 ) 𝑡 ) · 𝑌 ) )
148	147	oveq2d	⊢ ( 𝑟 = ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑠 ) ( +g ‘ 𝐹 ) 𝑡 ) → ( ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) = ( ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) + ( ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑠 ) ( +g ‘ 𝐹 ) 𝑡 ) · 𝑌 ) ) )
149	148	eleq1d	⊢ ( 𝑟 = ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑠 ) ( +g ‘ 𝐹 ) 𝑡 ) → ( ( ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↔ ( ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) + ( ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑠 ) ( +g ‘ 𝐹 ) 𝑡 ) · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) )
150	149	rspcev	⊢ ( ( ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑠 ) ( +g ‘ 𝐹 ) 𝑡 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) + ( ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝐹 ) 𝑠 ) ( +g ‘ 𝐹 ) 𝑡 ) · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) → ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) )
151	120 146 150	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) )
152		oveq1	⊢ ( 𝑧 = ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) → ( 𝑧 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) = ( ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) )
153	152	eleq1d	⊢ ( 𝑧 = ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) → ( ( 𝑧 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↔ ( ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) )
154	153	rexbidv	⊢ ( 𝑧 = ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( 𝑧 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) )
155	154 8	elrab2	⊢ ( ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) ∈ 𝑄 ↔ ( ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) ∈ 𝑉 ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) )
156	112 151 155	sylanbrc	⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) ∈ 𝑄 )
157	156	3exp	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) ∈ 𝑄 ) ) )
158	157	rexlimdvv	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) → ( ∃ 𝑠 ∈ 𝐵 ∃ 𝑡 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) ∈ 𝑄 ) )
159	103 158	biimtrrid	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ) → ( ( ∃ 𝑠 ∈ 𝐵 ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐵 ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) ∈ 𝑄 ) )
160	159	expimpd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ) ∧ ( ∃ 𝑠 ∈ 𝐵 ( 𝑥 + ( 𝑠 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐵 ( 𝑦 + ( 𝑡 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) ∈ 𝑄 ) )
161	102 160	biimtrid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝑄 ∧ 𝑦 ∈ 𝑄 ) → ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) ∈ 𝑄 ) )
162	161	exp4b	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑎 ∈ 𝐵 → ( 𝑥 ∈ 𝑄 → ( 𝑦 ∈ 𝑄 → ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) ∈ 𝑄 ) ) ) )
163	162	3imp2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑄 ∧ 𝑦 ∈ 𝑄 ) ) → ( ( 𝑎 · 𝑥 ) + 𝑦 ) ∈ 𝑄 )
164	75 76 77 78 79 80 14 81 163	islssd	⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆 )
165	2 3	lspid	⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑁 ‘ 𝑄 ) = 𝑄 )
166	9 164 165	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ 𝑄 ) = 𝑄 )
167	74 166	sseqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 ∪ { 𝑌 } ) ) ⊆ 𝑄 )
168	167 12	sseldd	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑄 )
169		oveq1	⊢ ( 𝑧 = 𝑋 → ( 𝑧 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) )
170	169	eleq1d	⊢ ( 𝑧 = 𝑋 → ( ( 𝑧 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↔ ( 𝑋 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) )
171	170	rexbidv	⊢ ( 𝑧 = 𝑋 → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( 𝑧 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( 𝑋 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) )
172	171 8	elrab2	⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑄 ↔ ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( 𝑋 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) ) )
173	172	simprbi	⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑄 → ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( 𝑋 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) )
174	168 173	syl	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑟 ∈ 𝐵 ( 𝑋 + ( 𝑟 · 𝑌 ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ 𝐴 ) )