Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mxidlprm.1 |
⊢ × = ( LSSum ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) |
2 |
|
crngring |
⊢ ( 𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring ) |
3 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
4 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ 𝑅 ) |
5 |
4
|
mxidlidl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) → 𝑀 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ) |
6 |
2 5
|
sylan |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) → 𝑀 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ) |
7 |
4
|
mxidlnr |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) → 𝑀 ≠ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
8 |
2 7
|
sylan |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) → 𝑀 ≠ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
9 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) → ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) |
10 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) → 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) |
11 |
10
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) → ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) ) |
12 |
9 11
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) → ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) ) |
13 |
12
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) → ( ( 1r ‘ 𝑅 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ) |
14 |
3
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
15 |
14
|
ad5antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
16 |
|
simp-8r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) → 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
17 |
|
eqid |
⊢ ( .r ‘ 𝑅 ) = ( .r ‘ 𝑅 ) |
18 |
|
eqid |
⊢ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 1r ‘ 𝑅 ) |
19 |
4 17 18
|
ringlidm |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 1r ‘ 𝑅 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) = 𝑦 ) |
20 |
15 16 19
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) → ( ( 1r ‘ 𝑅 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) = 𝑦 ) |
21 |
|
eqid |
⊢ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) = ( LIdeal ‘ 𝑅 ) |
22 |
4 21
|
lidlss |
⊢ ( 𝑀 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) → 𝑀 ⊆ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
23 |
6 22
|
syl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) → 𝑀 ⊆ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
24 |
23
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → 𝑀 ⊆ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
25 |
24
|
ad5antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) → 𝑀 ⊆ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
26 |
|
simp-5r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) → 𝑢 ∈ 𝑀 ) |
27 |
25 26
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) → 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
28 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) → 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
29 |
|
simp-4r |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
30 |
29
|
ad5antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) → 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
31 |
4 17
|
ringcl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
32 |
15 28 30 31
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) → ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
33 |
|
eqid |
⊢ ( +g ‘ 𝑅 ) = ( +g ‘ 𝑅 ) |
34 |
4 33 17
|
ringdir |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ) → ( ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑢 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ) ) |
35 |
15 27 32 16 34
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) → ( ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) = ( ( 𝑢 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ) ) |
36 |
13 20 35
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) → 𝑦 = ( ( 𝑢 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ) ) |
37 |
|
simp-5r |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) |
38 |
14 37 5
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → 𝑀 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ) |
39 |
38
|
ad5antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) → 𝑀 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ) |
40 |
|
simp-10l |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) → 𝑅 ∈ CRing ) |
41 |
4 17
|
crngcom |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑢 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑦 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑢 ) = ( 𝑢 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ) |
42 |
40 16 27 41
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) → ( 𝑦 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑢 ) = ( 𝑢 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ) |
43 |
21 4 17
|
lidlmcl |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ) → ( 𝑦 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑢 ) ∈ 𝑀 ) |
44 |
15 39 16 26 43
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) → ( 𝑦 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑢 ) ∈ 𝑀 ) |
45 |
42 44
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) → ( 𝑢 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) |
46 |
4 17
|
ringass |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ) → ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ) ) |
47 |
15 28 30 16 46
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) → ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ) ) |
48 |
|
simp-7r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) → ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) |
49 |
21 4 17
|
lidlmcl |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ) → ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ) ∈ 𝑀 ) |
50 |
15 39 28 48 49
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) → ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ) ∈ 𝑀 ) |
51 |
47 50
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) → ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) |
52 |
21 33
|
lidlacl |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( ( 𝑢 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ∧ ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑢 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ) ∈ 𝑀 ) |
53 |
15 39 45 51 52
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) → ( ( 𝑢 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ) ∈ 𝑀 ) |
54 |
36 53
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ∧ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) → 𝑦 ∈ 𝑀 ) |
55 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) → 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) |
56 |
|
eqid |
⊢ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) = ( mulGrp ‘ 𝑅 ) |
57 |
56 4
|
mgpbas |
⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) |
58 |
56 17
|
mgpplusg |
⊢ ( .r ‘ 𝑅 ) = ( +g ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) |
59 |
|
fvexd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ V ) |
60 |
|
ssidd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ( Base ‘ 𝑅 ) ⊆ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
61 |
57 58 1 59 60 29
|
elgrplsmsn |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ( 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) ) |
62 |
61
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) → ( 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) ) |
63 |
55 62
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) 𝑘 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) |
64 |
54 63
|
r19.29a |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) → 𝑦 ∈ 𝑀 ) |
65 |
4 18
|
ringidcl |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
66 |
14 65
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
67 |
|
eqid |
⊢ ( LSSum ‘ 𝑅 ) = ( LSSum ‘ 𝑅 ) |
68 |
|
eqid |
⊢ ( RSpan ‘ 𝑅 ) = ( RSpan ‘ 𝑅 ) |
69 |
|
eqid |
⊢ ( LPIdeal ‘ 𝑅 ) = ( LPIdeal ‘ 𝑅 ) |
70 |
69 21
|
lpiss |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( LPIdeal ‘ 𝑅 ) ⊆ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ) |
71 |
14 70
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ( LPIdeal ‘ 𝑅 ) ⊆ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ) |
72 |
4 56 1 68 14 29
|
lsmsnidl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ∈ ( LPIdeal ‘ 𝑅 ) ) |
73 |
71 72
|
sseldd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ) |
74 |
4 67 68 14 38 73
|
lsmidl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ( 𝑀 ( LSSum ‘ 𝑅 ) ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ) |
75 |
|
rlmlmod |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ∈ LMod ) |
76 |
14 75
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ∈ LMod ) |
77 |
|
rlmbas |
⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ) |
78 |
|
rspval |
⊢ ( RSpan ‘ 𝑅 ) = ( LSpan ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ) |
79 |
77 78
|
lspssid |
⊢ ( ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ∈ LMod ∧ 𝑀 ⊆ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → 𝑀 ⊆ ( ( RSpan ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) ) |
80 |
76 24 79
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → 𝑀 ⊆ ( ( RSpan ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) ) |
81 |
29
|
snssd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → { 𝑥 } ⊆ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
82 |
4 56 1 14 60 81
|
ringlsmss |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ⊆ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
83 |
24 82
|
unssd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ( 𝑀 ∪ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ⊆ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
84 |
|
ssun1 |
⊢ 𝑀 ⊆ ( 𝑀 ∪ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) |
85 |
84
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → 𝑀 ⊆ ( 𝑀 ∪ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ) |
86 |
77 78
|
lspss |
⊢ ( ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ∈ LMod ∧ ( 𝑀 ∪ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ⊆ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑀 ⊆ ( 𝑀 ∪ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ) → ( ( RSpan ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) ⊆ ( ( RSpan ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑀 ∪ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ) ) |
87 |
76 83 85 86
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ( ( RSpan ‘ 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) ⊆ ( ( RSpan ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑀 ∪ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ) ) |
88 |
80 87
|
sstrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → 𝑀 ⊆ ( ( RSpan ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑀 ∪ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ) ) |
89 |
4 67 68 14 38 73
|
lsmidllsp |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ( 𝑀 ( LSSum ‘ 𝑅 ) ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) = ( ( RSpan ‘ 𝑅 ) ‘ ( 𝑀 ∪ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ) ) |
90 |
88 89
|
sseqtrrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → 𝑀 ⊆ ( 𝑀 ( LSSum ‘ 𝑅 ) ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ) |
91 |
4
|
mxidlmax |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( ( 𝑀 ( LSSum ‘ 𝑅 ) ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑀 ⊆ ( 𝑀 ( LSSum ‘ 𝑅 ) ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ) ) → ( ( 𝑀 ( LSSum ‘ 𝑅 ) ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) = 𝑀 ∨ ( 𝑀 ( LSSum ‘ 𝑅 ) ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) = ( Base ‘ 𝑅 ) ) ) |
92 |
14 37 74 90 91
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ( ( 𝑀 ( LSSum ‘ 𝑅 ) ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) = 𝑀 ∨ ( 𝑀 ( LSSum ‘ 𝑅 ) ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) = ( Base ‘ 𝑅 ) ) ) |
93 |
|
eqid |
⊢ ( 0g ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) |
94 |
21 93
|
lidl0cl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ) → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ 𝑀 ) |
95 |
14 38 94
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ 𝑀 ) |
96 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑎 = ( 0g ‘ 𝑅 ) → ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) = ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) |
97 |
96
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑎 = ( 0g ‘ 𝑅 ) → ( 𝑥 = ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ↔ 𝑥 = ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) ) |
98 |
97
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑎 = ( 0g ‘ 𝑅 ) → ( ∃ 𝑏 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) 𝑥 = ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) 𝑥 = ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) ) |
99 |
98
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑎 = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → ( ∃ 𝑏 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) 𝑥 = ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) 𝑥 = ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) ) |
100 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑎 = ( 1r ‘ 𝑅 ) → ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) = ( ( 1r ‘ 𝑅 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) |
101 |
100
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑎 = ( 1r ‘ 𝑅 ) → ( 𝑥 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ↔ 𝑥 = ( ( 1r ‘ 𝑅 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) ) |
102 |
101
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑎 = ( 1r ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑥 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ↔ 𝑥 = ( ( 1r ‘ 𝑅 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) ) |
103 |
4 17 18
|
ringlidm |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 1r ‘ 𝑅 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) = 𝑥 ) |
104 |
14 29 103
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ( ( 1r ‘ 𝑅 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) = 𝑥 ) |
105 |
104
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → 𝑥 = ( ( 1r ‘ 𝑅 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) |
106 |
66 102 105
|
rspcedvd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ∃ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) 𝑥 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) |
107 |
57 58 1 59 60 29
|
elgrplsmsn |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ( 𝑥 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) 𝑥 = ( 𝑎 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) ) |
108 |
106 107
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → 𝑥 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) |
109 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑏 = 𝑥 → ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) = ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) |
110 |
109
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑏 = 𝑥 → ( 𝑥 = ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ↔ 𝑥 = ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) ) |
111 |
110
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) ∧ 𝑏 = 𝑥 ) → ( 𝑥 = ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ↔ 𝑥 = ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) ) |
112 |
|
ringgrp |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp ) |
113 |
14 112
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → 𝑅 ∈ Grp ) |
114 |
4 33 93
|
grplid |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) = 𝑥 ) |
115 |
113 29 114
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) = 𝑥 ) |
116 |
115
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → 𝑥 = ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑥 ) ) |
117 |
108 111 116
|
rspcedvd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ∃ 𝑏 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) 𝑥 = ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) |
118 |
95 99 117
|
rspcedvd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ∃ 𝑎 ∈ 𝑀 ∃ 𝑏 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) 𝑥 = ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) |
119 |
|
simp-5l |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → 𝑅 ∈ CRing ) |
120 |
4 33 67
|
lsmelvalx |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ⊆ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ⊆ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑀 ( LSSum ‘ 𝑅 ) ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ 𝑀 ∃ 𝑏 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) 𝑥 = ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) ) |
121 |
119 24 82 120
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑀 ( LSSum ‘ 𝑅 ) ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ 𝑀 ∃ 𝑏 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) 𝑥 = ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) ) |
122 |
118 121
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → 𝑥 ∈ ( 𝑀 ( LSSum ‘ 𝑅 ) ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ) |
123 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) |
124 |
|
nelne1 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝑀 ( LSSum ‘ 𝑅 ) ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ( 𝑀 ( LSSum ‘ 𝑅 ) ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ≠ 𝑀 ) |
125 |
122 123 124
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ( 𝑀 ( LSSum ‘ 𝑅 ) ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ≠ 𝑀 ) |
126 |
125
|
neneqd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ¬ ( 𝑀 ( LSSum ‘ 𝑅 ) ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) = 𝑀 ) |
127 |
92 126
|
orcnd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ( 𝑀 ( LSSum ‘ 𝑅 ) ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) = ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
128 |
66 127
|
eleqtrrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ ( 𝑀 ( LSSum ‘ 𝑅 ) ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ) |
129 |
4 33 67
|
lsmelvalx |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ⊆ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ⊆ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ ( 𝑀 ( LSSum ‘ 𝑅 ) ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ 𝑀 ∃ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ) |
130 |
119 24 82 129
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ( ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ ( 𝑀 ( LSSum ‘ 𝑅 ) ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ 𝑀 ∃ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) ) |
131 |
128 130
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → ∃ 𝑢 ∈ 𝑀 ∃ 𝑘 ∈ ( ( Base ‘ 𝑅 ) × { 𝑥 } ) ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 𝑢 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑘 ) ) |
132 |
64 131
|
r19.29vva |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 ) → 𝑦 ∈ 𝑀 ) |
133 |
132
|
ex |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) → ( ¬ 𝑥 ∈ 𝑀 → 𝑦 ∈ 𝑀 ) ) |
134 |
133
|
orrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 ) → ( 𝑥 ∈ 𝑀 ∨ 𝑦 ∈ 𝑀 ) ) |
135 |
134
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 → ( 𝑥 ∈ 𝑀 ∨ 𝑦 ∈ 𝑀 ) ) ) |
136 |
135
|
anasss |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ) → ( ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 → ( 𝑥 ∈ 𝑀 ∨ 𝑦 ∈ 𝑀 ) ) ) |
137 |
136
|
ralrimivva |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∀ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 → ( 𝑥 ∈ 𝑀 ∨ 𝑦 ∈ 𝑀 ) ) ) |
138 |
4 17
|
prmidl2 |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑀 ≠ ( Base ‘ 𝑅 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ∀ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝑦 ) ∈ 𝑀 → ( 𝑥 ∈ 𝑀 ∨ 𝑦 ∈ 𝑀 ) ) ) ) → 𝑀 ∈ ( PrmIdeal ‘ 𝑅 ) ) |
139 |
3 6 8 137 138
|
syl22anc |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ ( MaxIdeal ‘ 𝑅 ) ) → 𝑀 ∈ ( PrmIdeal ‘ 𝑅 ) ) |