Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mxidlprm.1 |
|- .X. = ( LSSum ` ( mulGrp ` R ) ) |
2 |
|
crngring |
|- ( R e. CRing -> R e. Ring ) |
3 |
2
|
adantr |
|- ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) -> R e. Ring ) |
4 |
|
eqid |
|- ( Base ` R ) = ( Base ` R ) |
5 |
4
|
mxidlidl |
|- ( ( R e. Ring /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) -> M e. ( LIdeal ` R ) ) |
6 |
2 5
|
sylan |
|- ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) -> M e. ( LIdeal ` R ) ) |
7 |
4
|
mxidlnr |
|- ( ( R e. Ring /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) -> M =/= ( Base ` R ) ) |
8 |
2 7
|
sylan |
|- ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) -> M =/= ( Base ` R ) ) |
9 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ k = ( a ( .r ` R ) x ) ) -> ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) |
10 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ k = ( a ( .r ` R ) x ) ) -> k = ( a ( .r ` R ) x ) ) |
11 |
10
|
oveq2d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ k = ( a ( .r ` R ) x ) ) -> ( u ( +g ` R ) k ) = ( u ( +g ` R ) ( a ( .r ` R ) x ) ) ) |
12 |
9 11
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ k = ( a ( .r ` R ) x ) ) -> ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) ( a ( .r ` R ) x ) ) ) |
13 |
12
|
oveq1d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ k = ( a ( .r ` R ) x ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) y ) = ( ( u ( +g ` R ) ( a ( .r ` R ) x ) ) ( .r ` R ) y ) ) |
14 |
3
|
ad4antr |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> R e. Ring ) |
15 |
14
|
ad5antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ k = ( a ( .r ` R ) x ) ) -> R e. Ring ) |
16 |
|
simp-8r |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ k = ( a ( .r ` R ) x ) ) -> y e. ( Base ` R ) ) |
17 |
|
eqid |
|- ( .r ` R ) = ( .r ` R ) |
18 |
|
eqid |
|- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R ) |
19 |
4 17 18
|
ringlidm |
|- ( ( R e. Ring /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) y ) = y ) |
20 |
15 16 19
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ k = ( a ( .r ` R ) x ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) y ) = y ) |
21 |
|
eqid |
|- ( LIdeal ` R ) = ( LIdeal ` R ) |
22 |
4 21
|
lidlss |
|- ( M e. ( LIdeal ` R ) -> M C_ ( Base ` R ) ) |
23 |
6 22
|
syl |
|- ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) -> M C_ ( Base ` R ) ) |
24 |
23
|
ad4antr |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> M C_ ( Base ` R ) ) |
25 |
24
|
ad5antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ k = ( a ( .r ` R ) x ) ) -> M C_ ( Base ` R ) ) |
26 |
|
simp-5r |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ k = ( a ( .r ` R ) x ) ) -> u e. M ) |
27 |
25 26
|
sseldd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ k = ( a ( .r ` R ) x ) ) -> u e. ( Base ` R ) ) |
28 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ k = ( a ( .r ` R ) x ) ) -> a e. ( Base ` R ) ) |
29 |
|
simp-4r |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> x e. ( Base ` R ) ) |
30 |
29
|
ad5antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ k = ( a ( .r ` R ) x ) ) -> x e. ( Base ` R ) ) |
31 |
4 17
|
ringcl |
|- ( ( R e. Ring /\ a e. ( Base ` R ) /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( a ( .r ` R ) x ) e. ( Base ` R ) ) |
32 |
15 28 30 31
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ k = ( a ( .r ` R ) x ) ) -> ( a ( .r ` R ) x ) e. ( Base ` R ) ) |
33 |
|
eqid |
|- ( +g ` R ) = ( +g ` R ) |
34 |
4 33 17
|
ringdir |
|- ( ( R e. Ring /\ ( u e. ( Base ` R ) /\ ( a ( .r ` R ) x ) e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( u ( +g ` R ) ( a ( .r ` R ) x ) ) ( .r ` R ) y ) = ( ( u ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( ( a ( .r ` R ) x ) ( .r ` R ) y ) ) ) |
35 |
15 27 32 16 34
|
syl13anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ k = ( a ( .r ` R ) x ) ) -> ( ( u ( +g ` R ) ( a ( .r ` R ) x ) ) ( .r ` R ) y ) = ( ( u ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( ( a ( .r ` R ) x ) ( .r ` R ) y ) ) ) |
36 |
13 20 35
|
3eqtr3d |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ k = ( a ( .r ` R ) x ) ) -> y = ( ( u ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( ( a ( .r ` R ) x ) ( .r ` R ) y ) ) ) |
37 |
|
simp-5r |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> M e. ( MaxIdeal ` R ) ) |
38 |
14 37 5
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> M e. ( LIdeal ` R ) ) |
39 |
38
|
ad5antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ k = ( a ( .r ` R ) x ) ) -> M e. ( LIdeal ` R ) ) |
40 |
|
simp-10l |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ k = ( a ( .r ` R ) x ) ) -> R e. CRing ) |
41 |
4 17
|
crngcom |
|- ( ( R e. CRing /\ y e. ( Base ` R ) /\ u e. ( Base ` R ) ) -> ( y ( .r ` R ) u ) = ( u ( .r ` R ) y ) ) |
42 |
40 16 27 41
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ k = ( a ( .r ` R ) x ) ) -> ( y ( .r ` R ) u ) = ( u ( .r ` R ) y ) ) |
43 |
21 4 17
|
lidlmcl |
|- ( ( ( R e. Ring /\ M e. ( LIdeal ` R ) ) /\ ( y e. ( Base ` R ) /\ u e. M ) ) -> ( y ( .r ` R ) u ) e. M ) |
44 |
15 39 16 26 43
|
syl22anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ k = ( a ( .r ` R ) x ) ) -> ( y ( .r ` R ) u ) e. M ) |
45 |
42 44
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ k = ( a ( .r ` R ) x ) ) -> ( u ( .r ` R ) y ) e. M ) |
46 |
4 17
|
ringass |
|- ( ( R e. Ring /\ ( a e. ( Base ` R ) /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( a ( .r ` R ) x ) ( .r ` R ) y ) = ( a ( .r ` R ) ( x ( .r ` R ) y ) ) ) |
47 |
15 28 30 16 46
|
syl13anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ k = ( a ( .r ` R ) x ) ) -> ( ( a ( .r ` R ) x ) ( .r ` R ) y ) = ( a ( .r ` R ) ( x ( .r ` R ) y ) ) ) |
48 |
|
simp-7r |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ k = ( a ( .r ` R ) x ) ) -> ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) |
49 |
21 4 17
|
lidlmcl |
|- ( ( ( R e. Ring /\ M e. ( LIdeal ` R ) ) /\ ( a e. ( Base ` R ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) ) -> ( a ( .r ` R ) ( x ( .r ` R ) y ) ) e. M ) |
50 |
15 39 28 48 49
|
syl22anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ k = ( a ( .r ` R ) x ) ) -> ( a ( .r ` R ) ( x ( .r ` R ) y ) ) e. M ) |
51 |
47 50
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ k = ( a ( .r ` R ) x ) ) -> ( ( a ( .r ` R ) x ) ( .r ` R ) y ) e. M ) |
52 |
21 33
|
lidlacl |
|- ( ( ( R e. Ring /\ M e. ( LIdeal ` R ) ) /\ ( ( u ( .r ` R ) y ) e. M /\ ( ( a ( .r ` R ) x ) ( .r ` R ) y ) e. M ) ) -> ( ( u ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( ( a ( .r ` R ) x ) ( .r ` R ) y ) ) e. M ) |
53 |
15 39 45 51 52
|
syl22anc |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ k = ( a ( .r ` R ) x ) ) -> ( ( u ( .r ` R ) y ) ( +g ` R ) ( ( a ( .r ` R ) x ) ( .r ` R ) y ) ) e. M ) |
54 |
36 53
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ k = ( a ( .r ` R ) x ) ) -> y e. M ) |
55 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) -> k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) |
56 |
|
eqid |
|- ( mulGrp ` R ) = ( mulGrp ` R ) |
57 |
56 4
|
mgpbas |
|- ( Base ` R ) = ( Base ` ( mulGrp ` R ) ) |
58 |
56 17
|
mgpplusg |
|- ( .r ` R ) = ( +g ` ( mulGrp ` R ) ) |
59 |
|
fvexd |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> ( mulGrp ` R ) e. _V ) |
60 |
|
ssidd |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> ( Base ` R ) C_ ( Base ` R ) ) |
61 |
57 58 1 59 60 29
|
elgrplsmsn |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> ( k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) <-> E. a e. ( Base ` R ) k = ( a ( .r ` R ) x ) ) ) |
62 |
61
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) -> ( k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) <-> E. a e. ( Base ` R ) k = ( a ( .r ` R ) x ) ) ) |
63 |
55 62
|
mpbid |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) -> E. a e. ( Base ` R ) k = ( a ( .r ` R ) x ) ) |
64 |
54 63
|
r19.29a |
|- ( ( ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ u e. M ) /\ k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) -> y e. M ) |
65 |
4 18
|
ringidcl |
|- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) ) |
66 |
14 65
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) ) |
67 |
|
eqid |
|- ( LSSum ` R ) = ( LSSum ` R ) |
68 |
|
eqid |
|- ( RSpan ` R ) = ( RSpan ` R ) |
69 |
|
eqid |
|- ( LPIdeal ` R ) = ( LPIdeal ` R ) |
70 |
69 21
|
lpiss |
|- ( R e. Ring -> ( LPIdeal ` R ) C_ ( LIdeal ` R ) ) |
71 |
14 70
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> ( LPIdeal ` R ) C_ ( LIdeal ` R ) ) |
72 |
4 56 1 68 14 29
|
lsmsnidl |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> ( ( Base ` R ) .X. { x } ) e. ( LPIdeal ` R ) ) |
73 |
71 72
|
sseldd |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> ( ( Base ` R ) .X. { x } ) e. ( LIdeal ` R ) ) |
74 |
4 67 68 14 38 73
|
lsmidl |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> ( M ( LSSum ` R ) ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) e. ( LIdeal ` R ) ) |
75 |
|
rlmlmod |
|- ( R e. Ring -> ( ringLMod ` R ) e. LMod ) |
76 |
14 75
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> ( ringLMod ` R ) e. LMod ) |
77 |
|
rlmbas |
|- ( Base ` R ) = ( Base ` ( ringLMod ` R ) ) |
78 |
|
rspval |
|- ( RSpan ` R ) = ( LSpan ` ( ringLMod ` R ) ) |
79 |
77 78
|
lspssid |
|- ( ( ( ringLMod ` R ) e. LMod /\ M C_ ( Base ` R ) ) -> M C_ ( ( RSpan ` R ) ` M ) ) |
80 |
76 24 79
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> M C_ ( ( RSpan ` R ) ` M ) ) |
81 |
29
|
snssd |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> { x } C_ ( Base ` R ) ) |
82 |
4 56 1 14 60 81
|
ringlsmss |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> ( ( Base ` R ) .X. { x } ) C_ ( Base ` R ) ) |
83 |
24 82
|
unssd |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> ( M u. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) C_ ( Base ` R ) ) |
84 |
|
ssun1 |
|- M C_ ( M u. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) |
85 |
84
|
a1i |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> M C_ ( M u. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) ) |
86 |
77 78
|
lspss |
|- ( ( ( ringLMod ` R ) e. LMod /\ ( M u. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) C_ ( Base ` R ) /\ M C_ ( M u. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) ) -> ( ( RSpan ` R ) ` M ) C_ ( ( RSpan ` R ) ` ( M u. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) ) ) |
87 |
76 83 85 86
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> ( ( RSpan ` R ) ` M ) C_ ( ( RSpan ` R ) ` ( M u. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) ) ) |
88 |
80 87
|
sstrd |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> M C_ ( ( RSpan ` R ) ` ( M u. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) ) ) |
89 |
4 67 68 14 38 73
|
lsmidllsp |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> ( M ( LSSum ` R ) ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) = ( ( RSpan ` R ) ` ( M u. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) ) ) |
90 |
88 89
|
sseqtrrd |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> M C_ ( M ( LSSum ` R ) ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) ) |
91 |
4
|
mxidlmax |
|- ( ( ( R e. Ring /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ ( ( M ( LSSum ` R ) ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) e. ( LIdeal ` R ) /\ M C_ ( M ( LSSum ` R ) ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) ) ) -> ( ( M ( LSSum ` R ) ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) = M \/ ( M ( LSSum ` R ) ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) = ( Base ` R ) ) ) |
92 |
14 37 74 90 91
|
syl22anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> ( ( M ( LSSum ` R ) ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) = M \/ ( M ( LSSum ` R ) ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) = ( Base ` R ) ) ) |
93 |
|
eqid |
|- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R ) |
94 |
21 93
|
lidl0cl |
|- ( ( R e. Ring /\ M e. ( LIdeal ` R ) ) -> ( 0g ` R ) e. M ) |
95 |
14 38 94
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> ( 0g ` R ) e. M ) |
96 |
|
oveq1 |
|- ( a = ( 0g ` R ) -> ( a ( +g ` R ) b ) = ( ( 0g ` R ) ( +g ` R ) b ) ) |
97 |
96
|
eqeq2d |
|- ( a = ( 0g ` R ) -> ( x = ( a ( +g ` R ) b ) <-> x = ( ( 0g ` R ) ( +g ` R ) b ) ) ) |
98 |
97
|
rexbidv |
|- ( a = ( 0g ` R ) -> ( E. b e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) x = ( a ( +g ` R ) b ) <-> E. b e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) x = ( ( 0g ` R ) ( +g ` R ) b ) ) ) |
99 |
98
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ a = ( 0g ` R ) ) -> ( E. b e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) x = ( a ( +g ` R ) b ) <-> E. b e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) x = ( ( 0g ` R ) ( +g ` R ) b ) ) ) |
100 |
|
oveq1 |
|- ( a = ( 1r ` R ) -> ( a ( .r ` R ) x ) = ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) x ) ) |
101 |
100
|
eqeq2d |
|- ( a = ( 1r ` R ) -> ( x = ( a ( .r ` R ) x ) <-> x = ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) x ) ) ) |
102 |
101
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ a = ( 1r ` R ) ) -> ( x = ( a ( .r ` R ) x ) <-> x = ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) x ) ) ) |
103 |
4 17 18
|
ringlidm |
|- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) x ) = x ) |
104 |
14 29 103
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) x ) = x ) |
105 |
104
|
eqcomd |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> x = ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) x ) ) |
106 |
66 102 105
|
rspcedvd |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> E. a e. ( Base ` R ) x = ( a ( .r ` R ) x ) ) |
107 |
57 58 1 59 60 29
|
elgrplsmsn |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> ( x e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) <-> E. a e. ( Base ` R ) x = ( a ( .r ` R ) x ) ) ) |
108 |
106 107
|
mpbird |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> x e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) |
109 |
|
oveq2 |
|- ( b = x -> ( ( 0g ` R ) ( +g ` R ) b ) = ( ( 0g ` R ) ( +g ` R ) x ) ) |
110 |
109
|
eqeq2d |
|- ( b = x -> ( x = ( ( 0g ` R ) ( +g ` R ) b ) <-> x = ( ( 0g ` R ) ( +g ` R ) x ) ) ) |
111 |
110
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) /\ b = x ) -> ( x = ( ( 0g ` R ) ( +g ` R ) b ) <-> x = ( ( 0g ` R ) ( +g ` R ) x ) ) ) |
112 |
|
ringgrp |
|- ( R e. Ring -> R e. Grp ) |
113 |
14 112
|
syl |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> R e. Grp ) |
114 |
4 33 93
|
grplid |
|- ( ( R e. Grp /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 0g ` R ) ( +g ` R ) x ) = x ) |
115 |
113 29 114
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> ( ( 0g ` R ) ( +g ` R ) x ) = x ) |
116 |
115
|
eqcomd |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> x = ( ( 0g ` R ) ( +g ` R ) x ) ) |
117 |
108 111 116
|
rspcedvd |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> E. b e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) x = ( ( 0g ` R ) ( +g ` R ) b ) ) |
118 |
95 99 117
|
rspcedvd |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> E. a e. M E. b e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) x = ( a ( +g ` R ) b ) ) |
119 |
|
simp-5l |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> R e. CRing ) |
120 |
4 33 67
|
lsmelvalx |
|- ( ( R e. CRing /\ M C_ ( Base ` R ) /\ ( ( Base ` R ) .X. { x } ) C_ ( Base ` R ) ) -> ( x e. ( M ( LSSum ` R ) ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) <-> E. a e. M E. b e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) x = ( a ( +g ` R ) b ) ) ) |
121 |
119 24 82 120
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> ( x e. ( M ( LSSum ` R ) ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) <-> E. a e. M E. b e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) x = ( a ( +g ` R ) b ) ) ) |
122 |
118 121
|
mpbird |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> x e. ( M ( LSSum ` R ) ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) ) |
123 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> -. x e. M ) |
124 |
|
nelne1 |
|- ( ( x e. ( M ( LSSum ` R ) ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) /\ -. x e. M ) -> ( M ( LSSum ` R ) ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) =/= M ) |
125 |
122 123 124
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> ( M ( LSSum ` R ) ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) =/= M ) |
126 |
125
|
neneqd |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> -. ( M ( LSSum ` R ) ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) = M ) |
127 |
92 126
|
orcnd |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> ( M ( LSSum ` R ) ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) = ( Base ` R ) ) |
128 |
66 127
|
eleqtrrd |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> ( 1r ` R ) e. ( M ( LSSum ` R ) ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) ) |
129 |
4 33 67
|
lsmelvalx |
|- ( ( R e. CRing /\ M C_ ( Base ` R ) /\ ( ( Base ` R ) .X. { x } ) C_ ( Base ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) e. ( M ( LSSum ` R ) ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) <-> E. u e. M E. k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) ) |
130 |
119 24 82 129
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> ( ( 1r ` R ) e. ( M ( LSSum ` R ) ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ) <-> E. u e. M E. k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) ) |
131 |
128 130
|
mpbid |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> E. u e. M E. k e. ( ( Base ` R ) .X. { x } ) ( 1r ` R ) = ( u ( +g ` R ) k ) ) |
132 |
64 131
|
r19.29vva |
|- ( ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) /\ -. x e. M ) -> y e. M ) |
133 |
132
|
ex |
|- ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) -> ( -. x e. M -> y e. M ) ) |
134 |
133
|
orrd |
|- ( ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) /\ ( x ( .r ` R ) y ) e. M ) -> ( x e. M \/ y e. M ) ) |
135 |
134
|
ex |
|- ( ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( ( x ( .r ` R ) y ) e. M -> ( x e. M \/ y e. M ) ) ) |
136 |
135
|
anasss |
|- ( ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x ( .r ` R ) y ) e. M -> ( x e. M \/ y e. M ) ) ) |
137 |
136
|
ralrimivva |
|- ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) -> A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) y ) e. M -> ( x e. M \/ y e. M ) ) ) |
138 |
4 17
|
prmidl2 |
|- ( ( ( R e. Ring /\ M e. ( LIdeal ` R ) ) /\ ( M =/= ( Base ` R ) /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) ( ( x ( .r ` R ) y ) e. M -> ( x e. M \/ y e. M ) ) ) ) -> M e. ( PrmIdeal ` R ) ) |
139 |
3 6 8 137 138
|
syl22anc |
|- ( ( R e. CRing /\ M e. ( MaxIdeal ` R ) ) -> M e. ( PrmIdeal ` R ) ) |