Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
prlem934.1 |
โข ๐ต โ V |
2 |
|
prn0 |
โข ( ๐ด โ P โ ๐ด โ โ
) |
3 |
|
r19.2z |
โข ( ( ๐ด โ โ
โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ต ) โ ๐ด ) โ โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ต ) โ ๐ด ) |
4 |
3
|
ex |
โข ( ๐ด โ โ
โ ( โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ต ) โ ๐ด โ โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ต ) โ ๐ด ) ) |
5 |
2 4
|
syl |
โข ( ๐ด โ P โ ( โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ต ) โ ๐ด โ โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ต ) โ ๐ด ) ) |
6 |
|
prpssnq |
โข ( ๐ด โ P โ ๐ด โ Q ) |
7 |
6
|
pssssd |
โข ( ๐ด โ P โ ๐ด โ Q ) |
8 |
7
|
sseld |
โข ( ๐ด โ P โ ( ( ๐ฅ +Q ๐ต ) โ ๐ด โ ( ๐ฅ +Q ๐ต ) โ Q ) ) |
9 |
|
addnqf |
โข +Q : ( Q ร Q ) โถ Q |
10 |
9
|
fdmi |
โข dom +Q = ( Q ร Q ) |
11 |
|
0nnq |
โข ยฌ โ
โ Q |
12 |
10 11
|
ndmovrcl |
โข ( ( ๐ฅ +Q ๐ต ) โ Q โ ( ๐ฅ โ Q โง ๐ต โ Q ) ) |
13 |
12
|
simprd |
โข ( ( ๐ฅ +Q ๐ต ) โ Q โ ๐ต โ Q ) |
14 |
8 13
|
syl6com |
โข ( ( ๐ฅ +Q ๐ต ) โ ๐ด โ ( ๐ด โ P โ ๐ต โ Q ) ) |
15 |
14
|
rexlimivw |
โข ( โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ต ) โ ๐ด โ ( ๐ด โ P โ ๐ต โ Q ) ) |
16 |
15
|
com12 |
โข ( ๐ด โ P โ ( โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ต ) โ ๐ด โ ๐ต โ Q ) ) |
17 |
|
oveq2 |
โข ( ๐ = ๐ต โ ( ๐ฅ +Q ๐ ) = ( ๐ฅ +Q ๐ต ) ) |
18 |
17
|
eleq1d |
โข ( ๐ = ๐ต โ ( ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด โ ( ๐ฅ +Q ๐ต ) โ ๐ด ) ) |
19 |
18
|
ralbidv |
โข ( ๐ = ๐ต โ ( โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด โ โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ต ) โ ๐ด ) ) |
20 |
19
|
notbid |
โข ( ๐ = ๐ต โ ( ยฌ โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด โ ยฌ โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ต ) โ ๐ด ) ) |
21 |
20
|
imbi2d |
โข ( ๐ = ๐ต โ ( ( ๐ด โ P โ ยฌ โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โ ( ๐ด โ P โ ยฌ โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ต ) โ ๐ด ) ) ) |
22 |
|
dfpss2 |
โข ( ๐ด โ Q โ ( ๐ด โ Q โง ยฌ ๐ด = Q ) ) |
23 |
6 22
|
sylib |
โข ( ๐ด โ P โ ( ๐ด โ Q โง ยฌ ๐ด = Q ) ) |
24 |
23
|
simprd |
โข ( ๐ด โ P โ ยฌ ๐ด = Q ) |
25 |
24
|
adantr |
โข ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q ) โ ยฌ ๐ด = Q ) |
26 |
7
|
3ad2ant1 |
โข ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โ ๐ด โ Q ) |
27 |
|
simpl1 |
โข ( ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โง ๐ค โ Q ) โ ๐ด โ P ) |
28 |
|
n0 |
โข ( ๐ด โ โ
โ โ ๐ฆ ๐ฆ โ ๐ด ) |
29 |
2 28
|
sylib |
โข ( ๐ด โ P โ โ ๐ฆ ๐ฆ โ ๐ด ) |
30 |
27 29
|
syl |
โข ( ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โง ๐ค โ Q ) โ โ ๐ฆ ๐ฆ โ ๐ด ) |
31 |
|
simprl |
โข ( ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โง ( ๐ค โ Q โง ๐ฆ โ ๐ด ) ) โ ๐ค โ Q ) |
32 |
|
simpl2 |
โข ( ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โง ( ๐ค โ Q โง ๐ฆ โ ๐ด ) ) โ ๐ โ Q ) |
33 |
|
recclnq |
โข ( ๐ โ Q โ ( *Q โ ๐ ) โ Q ) |
34 |
|
mulclnq |
โข ( ( ๐ค โ Q โง ( *Q โ ๐ ) โ Q ) โ ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) โ Q ) |
35 |
|
archnq |
โข ( ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) โ Q โ โ ๐ง โ N ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) <Q โจ ๐ง , 1o โฉ ) |
36 |
34 35
|
syl |
โข ( ( ๐ค โ Q โง ( *Q โ ๐ ) โ Q ) โ โ ๐ง โ N ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) <Q โจ ๐ง , 1o โฉ ) |
37 |
33 36
|
sylan2 |
โข ( ( ๐ค โ Q โง ๐ โ Q ) โ โ ๐ง โ N ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) <Q โจ ๐ง , 1o โฉ ) |
38 |
31 32 37
|
syl2anc |
โข ( ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โง ( ๐ค โ Q โง ๐ฆ โ ๐ด ) ) โ โ ๐ง โ N ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) <Q โจ ๐ง , 1o โฉ ) |
39 |
|
simpll2 |
โข ( ( ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โง ( ๐ค โ Q โง ๐ฆ โ ๐ด ) ) โง ( ๐ง โ N โง ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) <Q โจ ๐ง , 1o โฉ ) ) โ ๐ โ Q ) |
40 |
|
simplrl |
โข ( ( ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โง ( ๐ค โ Q โง ๐ฆ โ ๐ด ) ) โง ( ๐ง โ N โง ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) <Q โจ ๐ง , 1o โฉ ) ) โ ๐ค โ Q ) |
41 |
|
simprr |
โข ( ( ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โง ( ๐ค โ Q โง ๐ฆ โ ๐ด ) ) โง ( ๐ง โ N โง ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) <Q โจ ๐ง , 1o โฉ ) ) โ ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) <Q โจ ๐ง , 1o โฉ ) |
42 |
|
ltmnq |
โข ( ๐ โ Q โ ( ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) <Q โจ ๐ง , 1o โฉ โ ( ๐ ยทQ ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) ) <Q ( ๐ ยทQ โจ ๐ง , 1o โฉ ) ) ) |
43 |
|
vex |
โข ๐ โ V |
44 |
|
vex |
โข ๐ค โ V |
45 |
|
fvex |
โข ( *Q โ ๐ ) โ V |
46 |
|
mulcomnq |
โข ( ๐ฃ ยทQ ๐ฅ ) = ( ๐ฅ ยทQ ๐ฃ ) |
47 |
|
mulassnq |
โข ( ( ๐ฃ ยทQ ๐ฅ ) ยทQ ๐ฆ ) = ( ๐ฃ ยทQ ( ๐ฅ ยทQ ๐ฆ ) ) |
48 |
43 44 45 46 47
|
caov12 |
โข ( ๐ ยทQ ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) ) = ( ๐ค ยทQ ( ๐ ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) ) |
49 |
|
mulcomnq |
โข ( ๐ ยทQ โจ ๐ง , 1o โฉ ) = ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) |
50 |
48 49
|
breq12i |
โข ( ( ๐ ยทQ ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) ) <Q ( ๐ ยทQ โจ ๐ง , 1o โฉ ) โ ( ๐ค ยทQ ( ๐ ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) ) <Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) |
51 |
42 50
|
bitrdi |
โข ( ๐ โ Q โ ( ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) <Q โจ ๐ง , 1o โฉ โ ( ๐ค ยทQ ( ๐ ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) ) <Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) ) |
52 |
51
|
adantr |
โข ( ( ๐ โ Q โง ๐ค โ Q ) โ ( ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) <Q โจ ๐ง , 1o โฉ โ ( ๐ค ยทQ ( ๐ ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) ) <Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) ) |
53 |
|
recidnq |
โข ( ๐ โ Q โ ( ๐ ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) = 1Q ) |
54 |
53
|
oveq2d |
โข ( ๐ โ Q โ ( ๐ค ยทQ ( ๐ ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) ) = ( ๐ค ยทQ 1Q ) ) |
55 |
|
mulidnq |
โข ( ๐ค โ Q โ ( ๐ค ยทQ 1Q ) = ๐ค ) |
56 |
54 55
|
sylan9eq |
โข ( ( ๐ โ Q โง ๐ค โ Q ) โ ( ๐ค ยทQ ( ๐ ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) ) = ๐ค ) |
57 |
56
|
breq1d |
โข ( ( ๐ โ Q โง ๐ค โ Q ) โ ( ( ๐ค ยทQ ( ๐ ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) ) <Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) โ ๐ค <Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) ) |
58 |
52 57
|
bitrd |
โข ( ( ๐ โ Q โง ๐ค โ Q ) โ ( ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) <Q โจ ๐ง , 1o โฉ โ ๐ค <Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) ) |
59 |
58
|
biimpa |
โข ( ( ( ๐ โ Q โง ๐ค โ Q ) โง ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) <Q โจ ๐ง , 1o โฉ ) โ ๐ค <Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) |
60 |
39 40 41 59
|
syl21anc |
โข ( ( ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โง ( ๐ค โ Q โง ๐ฆ โ ๐ด ) ) โง ( ๐ง โ N โง ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) <Q โจ ๐ง , 1o โฉ ) ) โ ๐ค <Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) |
61 |
|
simprl |
โข ( ( ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โง ( ๐ค โ Q โง ๐ฆ โ ๐ด ) ) โง ( ๐ง โ N โง ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) <Q โจ ๐ง , 1o โฉ ) ) โ ๐ง โ N ) |
62 |
|
pinq |
โข ( ๐ง โ N โ โจ ๐ง , 1o โฉ โ Q ) |
63 |
|
mulclnq |
โข ( ( โจ ๐ง , 1o โฉ โ Q โง ๐ โ Q ) โ ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) โ Q ) |
64 |
62 63
|
sylan |
โข ( ( ๐ง โ N โง ๐ โ Q ) โ ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) โ Q ) |
65 |
61 39 64
|
syl2anc |
โข ( ( ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โง ( ๐ค โ Q โง ๐ฆ โ ๐ด ) ) โง ( ๐ง โ N โง ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) <Q โจ ๐ง , 1o โฉ ) ) โ ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) โ Q ) |
66 |
|
simpll1 |
โข ( ( ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โง ( ๐ค โ Q โง ๐ฆ โ ๐ด ) ) โง ( ๐ง โ N โง ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) <Q โจ ๐ง , 1o โฉ ) ) โ ๐ด โ P ) |
67 |
|
simplrr |
โข ( ( ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โง ( ๐ค โ Q โง ๐ฆ โ ๐ด ) ) โง ( ๐ง โ N โง ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) <Q โจ ๐ง , 1o โฉ ) ) โ ๐ฆ โ ๐ด ) |
68 |
|
elprnq |
โข ( ( ๐ด โ P โง ๐ฆ โ ๐ด ) โ ๐ฆ โ Q ) |
69 |
66 67 68
|
syl2anc |
โข ( ( ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โง ( ๐ค โ Q โง ๐ฆ โ ๐ด ) ) โง ( ๐ง โ N โง ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) <Q โจ ๐ง , 1o โฉ ) ) โ ๐ฆ โ Q ) |
70 |
|
ltaddnq |
โข ( ( ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) โ Q โง ๐ฆ โ Q ) โ ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) <Q ( ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) +Q ๐ฆ ) ) |
71 |
|
addcomnq |
โข ( ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) +Q ๐ฆ ) = ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) |
72 |
70 71
|
breqtrdi |
โข ( ( ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) โ Q โง ๐ฆ โ Q ) โ ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) <Q ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) ) |
73 |
65 69 72
|
syl2anc |
โข ( ( ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โง ( ๐ค โ Q โง ๐ฆ โ ๐ด ) ) โง ( ๐ง โ N โง ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) <Q โจ ๐ง , 1o โฉ ) ) โ ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) <Q ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) ) |
74 |
|
ltsonq |
โข <Q Or Q |
75 |
|
ltrelnq |
โข <Q โ ( Q ร Q ) |
76 |
74 75
|
sotri |
โข ( ( ๐ค <Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) โง ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) <Q ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) ) โ ๐ค <Q ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) ) |
77 |
60 73 76
|
syl2anc |
โข ( ( ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โง ( ๐ค โ Q โง ๐ฆ โ ๐ด ) ) โง ( ๐ง โ N โง ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) <Q โจ ๐ง , 1o โฉ ) ) โ ๐ค <Q ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) ) |
78 |
|
simpll3 |
โข ( ( ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โง ( ๐ค โ Q โง ๐ฆ โ ๐ด ) ) โง ( ๐ง โ N โง ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) <Q โจ ๐ง , 1o โฉ ) ) โ โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) |
79 |
|
opeq1 |
โข ( ๐ค = 1o โ โจ ๐ค , 1o โฉ = โจ 1o , 1o โฉ ) |
80 |
|
df-1nq |
โข 1Q = โจ 1o , 1o โฉ |
81 |
79 80
|
eqtr4di |
โข ( ๐ค = 1o โ โจ ๐ค , 1o โฉ = 1Q ) |
82 |
81
|
oveq1d |
โข ( ๐ค = 1o โ ( โจ ๐ค , 1o โฉ ยทQ ๐ ) = ( 1Q ยทQ ๐ ) ) |
83 |
82
|
oveq2d |
โข ( ๐ค = 1o โ ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ค , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) = ( ๐ฆ +Q ( 1Q ยทQ ๐ ) ) ) |
84 |
83
|
eleq1d |
โข ( ๐ค = 1o โ ( ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ค , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด โ ( ๐ฆ +Q ( 1Q ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด ) ) |
85 |
84
|
imbi2d |
โข ( ๐ค = 1o โ ( ( ( ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ด ) โ ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ค , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด ) โ ( ( ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ด ) โ ( ๐ฆ +Q ( 1Q ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด ) ) ) |
86 |
|
opeq1 |
โข ( ๐ค = ๐ง โ โจ ๐ค , 1o โฉ = โจ ๐ง , 1o โฉ ) |
87 |
86
|
oveq1d |
โข ( ๐ค = ๐ง โ ( โจ ๐ค , 1o โฉ ยทQ ๐ ) = ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) |
88 |
87
|
oveq2d |
โข ( ๐ค = ๐ง โ ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ค , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) = ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) ) |
89 |
88
|
eleq1d |
โข ( ๐ค = ๐ง โ ( ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ค , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด โ ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด ) ) |
90 |
89
|
imbi2d |
โข ( ๐ค = ๐ง โ ( ( ( ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ด ) โ ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ค , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด ) โ ( ( ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ด ) โ ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด ) ) ) |
91 |
|
opeq1 |
โข ( ๐ค = ( ๐ง +N 1o ) โ โจ ๐ค , 1o โฉ = โจ ( ๐ง +N 1o ) , 1o โฉ ) |
92 |
91
|
oveq1d |
โข ( ๐ค = ( ๐ง +N 1o ) โ ( โจ ๐ค , 1o โฉ ยทQ ๐ ) = ( โจ ( ๐ง +N 1o ) , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) |
93 |
92
|
oveq2d |
โข ( ๐ค = ( ๐ง +N 1o ) โ ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ค , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) = ( ๐ฆ +Q ( โจ ( ๐ง +N 1o ) , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) ) |
94 |
93
|
eleq1d |
โข ( ๐ค = ( ๐ง +N 1o ) โ ( ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ค , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด โ ( ๐ฆ +Q ( โจ ( ๐ง +N 1o ) , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด ) ) |
95 |
94
|
imbi2d |
โข ( ๐ค = ( ๐ง +N 1o ) โ ( ( ( ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ด ) โ ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ค , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด ) โ ( ( ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ด ) โ ( ๐ฆ +Q ( โจ ( ๐ง +N 1o ) , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด ) ) ) |
96 |
|
mulcomnq |
โข ( 1Q ยทQ ๐ ) = ( ๐ ยทQ 1Q ) |
97 |
|
mulidnq |
โข ( ๐ โ Q โ ( ๐ ยทQ 1Q ) = ๐ ) |
98 |
96 97
|
eqtrid |
โข ( ๐ โ Q โ ( 1Q ยทQ ๐ ) = ๐ ) |
99 |
|
oveq1 |
โข ( ๐ฅ = ๐ฆ โ ( ๐ฅ +Q ๐ ) = ( ๐ฆ +Q ๐ ) ) |
100 |
99
|
eleq1d |
โข ( ๐ฅ = ๐ฆ โ ( ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด โ ( ๐ฆ +Q ๐ ) โ ๐ด ) ) |
101 |
100
|
rspccva |
โข ( ( โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ด ) โ ( ๐ฆ +Q ๐ ) โ ๐ด ) |
102 |
|
oveq2 |
โข ( ( 1Q ยทQ ๐ ) = ๐ โ ( ๐ฆ +Q ( 1Q ยทQ ๐ ) ) = ( ๐ฆ +Q ๐ ) ) |
103 |
102
|
eleq1d |
โข ( ( 1Q ยทQ ๐ ) = ๐ โ ( ( ๐ฆ +Q ( 1Q ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด โ ( ๐ฆ +Q ๐ ) โ ๐ด ) ) |
104 |
103
|
biimpar |
โข ( ( ( 1Q ยทQ ๐ ) = ๐ โง ( ๐ฆ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โ ( ๐ฆ +Q ( 1Q ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด ) |
105 |
98 101 104
|
syl2an |
โข ( ( ๐ โ Q โง ( โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ด ) ) โ ( ๐ฆ +Q ( 1Q ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด ) |
106 |
105
|
3impb |
โข ( ( ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ด ) โ ( ๐ฆ +Q ( 1Q ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด ) |
107 |
|
3simpa |
โข ( ( ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ด ) โ ( ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) ) |
108 |
|
oveq1 |
โข ( ๐ฅ = ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ( ๐ฅ +Q ๐ ) = ( ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) +Q ๐ ) ) |
109 |
108
|
eleq1d |
โข ( ๐ฅ = ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ( ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด โ ( ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) +Q ๐ ) โ ๐ด ) ) |
110 |
109
|
rspccva |
โข ( ( โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด โง ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด ) โ ( ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) +Q ๐ ) โ ๐ด ) |
111 |
|
addassnq |
โข ( ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) +Q ๐ ) = ( ๐ฆ +Q ( ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) +Q ๐ ) ) |
112 |
|
opex |
โข โจ ๐ง , 1o โฉ โ V |
113 |
|
1nq |
โข 1Q โ Q |
114 |
113
|
elexi |
โข 1Q โ V |
115 |
|
distrnq |
โข ( ๐ฃ ยทQ ( ๐ฅ +Q ๐ฆ ) ) = ( ( ๐ฃ ยทQ ๐ฅ ) +Q ( ๐ฃ ยทQ ๐ฆ ) ) |
116 |
112 114 43 46 115
|
caovdir |
โข ( ( โจ ๐ง , 1o โฉ +Q 1Q ) ยทQ ๐ ) = ( ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) +Q ( 1Q ยทQ ๐ ) ) |
117 |
116
|
a1i |
โข ( ( ๐ง โ N โง ๐ โ Q ) โ ( ( โจ ๐ง , 1o โฉ +Q 1Q ) ยทQ ๐ ) = ( ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) +Q ( 1Q ยทQ ๐ ) ) ) |
118 |
|
addpqnq |
โข ( ( โจ ๐ง , 1o โฉ โ Q โง 1Q โ Q ) โ ( โจ ๐ง , 1o โฉ +Q 1Q ) = ( [Q] โ ( โจ ๐ง , 1o โฉ +pQ 1Q ) ) ) |
119 |
62 113 118
|
sylancl |
โข ( ๐ง โ N โ ( โจ ๐ง , 1o โฉ +Q 1Q ) = ( [Q] โ ( โจ ๐ง , 1o โฉ +pQ 1Q ) ) ) |
120 |
80
|
oveq2i |
โข ( โจ ๐ง , 1o โฉ +pQ 1Q ) = ( โจ ๐ง , 1o โฉ +pQ โจ 1o , 1o โฉ ) |
121 |
|
1pi |
โข 1o โ N |
122 |
|
addpipq |
โข ( ( ( ๐ง โ N โง 1o โ N ) โง ( 1o โ N โง 1o โ N ) ) โ ( โจ ๐ง , 1o โฉ +pQ โจ 1o , 1o โฉ ) = โจ ( ( ๐ง ยทN 1o ) +N ( 1o ยทN 1o ) ) , ( 1o ยทN 1o ) โฉ ) |
123 |
121 121 122
|
mpanr12 |
โข ( ( ๐ง โ N โง 1o โ N ) โ ( โจ ๐ง , 1o โฉ +pQ โจ 1o , 1o โฉ ) = โจ ( ( ๐ง ยทN 1o ) +N ( 1o ยทN 1o ) ) , ( 1o ยทN 1o ) โฉ ) |
124 |
121 123
|
mpan2 |
โข ( ๐ง โ N โ ( โจ ๐ง , 1o โฉ +pQ โจ 1o , 1o โฉ ) = โจ ( ( ๐ง ยทN 1o ) +N ( 1o ยทN 1o ) ) , ( 1o ยทN 1o ) โฉ ) |
125 |
120 124
|
eqtrid |
โข ( ๐ง โ N โ ( โจ ๐ง , 1o โฉ +pQ 1Q ) = โจ ( ( ๐ง ยทN 1o ) +N ( 1o ยทN 1o ) ) , ( 1o ยทN 1o ) โฉ ) |
126 |
|
mulidpi |
โข ( ๐ง โ N โ ( ๐ง ยทN 1o ) = ๐ง ) |
127 |
|
mulidpi |
โข ( 1o โ N โ ( 1o ยทN 1o ) = 1o ) |
128 |
121 127
|
mp1i |
โข ( ๐ง โ N โ ( 1o ยทN 1o ) = 1o ) |
129 |
126 128
|
oveq12d |
โข ( ๐ง โ N โ ( ( ๐ง ยทN 1o ) +N ( 1o ยทN 1o ) ) = ( ๐ง +N 1o ) ) |
130 |
129 128
|
opeq12d |
โข ( ๐ง โ N โ โจ ( ( ๐ง ยทN 1o ) +N ( 1o ยทN 1o ) ) , ( 1o ยทN 1o ) โฉ = โจ ( ๐ง +N 1o ) , 1o โฉ ) |
131 |
125 130
|
eqtrd |
โข ( ๐ง โ N โ ( โจ ๐ง , 1o โฉ +pQ 1Q ) = โจ ( ๐ง +N 1o ) , 1o โฉ ) |
132 |
131
|
fveq2d |
โข ( ๐ง โ N โ ( [Q] โ ( โจ ๐ง , 1o โฉ +pQ 1Q ) ) = ( [Q] โ โจ ( ๐ง +N 1o ) , 1o โฉ ) ) |
133 |
|
addclpi |
โข ( ( ๐ง โ N โง 1o โ N ) โ ( ๐ง +N 1o ) โ N ) |
134 |
121 133
|
mpan2 |
โข ( ๐ง โ N โ ( ๐ง +N 1o ) โ N ) |
135 |
|
pinq |
โข ( ( ๐ง +N 1o ) โ N โ โจ ( ๐ง +N 1o ) , 1o โฉ โ Q ) |
136 |
|
nqerid |
โข ( โจ ( ๐ง +N 1o ) , 1o โฉ โ Q โ ( [Q] โ โจ ( ๐ง +N 1o ) , 1o โฉ ) = โจ ( ๐ง +N 1o ) , 1o โฉ ) |
137 |
134 135 136
|
3syl |
โข ( ๐ง โ N โ ( [Q] โ โจ ( ๐ง +N 1o ) , 1o โฉ ) = โจ ( ๐ง +N 1o ) , 1o โฉ ) |
138 |
119 132 137
|
3eqtrd |
โข ( ๐ง โ N โ ( โจ ๐ง , 1o โฉ +Q 1Q ) = โจ ( ๐ง +N 1o ) , 1o โฉ ) |
139 |
138
|
adantr |
โข ( ( ๐ง โ N โง ๐ โ Q ) โ ( โจ ๐ง , 1o โฉ +Q 1Q ) = โจ ( ๐ง +N 1o ) , 1o โฉ ) |
140 |
139
|
oveq1d |
โข ( ( ๐ง โ N โง ๐ โ Q ) โ ( ( โจ ๐ง , 1o โฉ +Q 1Q ) ยทQ ๐ ) = ( โจ ( ๐ง +N 1o ) , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) |
141 |
98
|
adantl |
โข ( ( ๐ง โ N โง ๐ โ Q ) โ ( 1Q ยทQ ๐ ) = ๐ ) |
142 |
141
|
oveq2d |
โข ( ( ๐ง โ N โง ๐ โ Q ) โ ( ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) +Q ( 1Q ยทQ ๐ ) ) = ( ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) +Q ๐ ) ) |
143 |
117 140 142
|
3eqtr3rd |
โข ( ( ๐ง โ N โง ๐ โ Q ) โ ( ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) +Q ๐ ) = ( โจ ( ๐ง +N 1o ) , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) |
144 |
143
|
oveq2d |
โข ( ( ๐ง โ N โง ๐ โ Q ) โ ( ๐ฆ +Q ( ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) +Q ๐ ) ) = ( ๐ฆ +Q ( โจ ( ๐ง +N 1o ) , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) ) |
145 |
111 144
|
eqtrid |
โข ( ( ๐ง โ N โง ๐ โ Q ) โ ( ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) +Q ๐ ) = ( ๐ฆ +Q ( โจ ( ๐ง +N 1o ) , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) ) |
146 |
145
|
eleq1d |
โข ( ( ๐ง โ N โง ๐ โ Q ) โ ( ( ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) +Q ๐ ) โ ๐ด โ ( ๐ฆ +Q ( โจ ( ๐ง +N 1o ) , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด ) ) |
147 |
110 146
|
syl5ib |
โข ( ( ๐ง โ N โง ๐ โ Q ) โ ( ( โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด โง ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด ) โ ( ๐ฆ +Q ( โจ ( ๐ง +N 1o ) , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด ) ) |
148 |
147
|
expd |
โข ( ( ๐ง โ N โง ๐ โ Q ) โ ( โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด โ ( ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด โ ( ๐ฆ +Q ( โจ ( ๐ง +N 1o ) , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด ) ) ) |
149 |
148
|
expimpd |
โข ( ๐ง โ N โ ( ( ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โ ( ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด โ ( ๐ฆ +Q ( โจ ( ๐ง +N 1o ) , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด ) ) ) |
150 |
107 149
|
syl5 |
โข ( ๐ง โ N โ ( ( ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ด ) โ ( ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด โ ( ๐ฆ +Q ( โจ ( ๐ง +N 1o ) , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด ) ) ) |
151 |
150
|
a2d |
โข ( ๐ง โ N โ ( ( ( ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ด ) โ ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด ) โ ( ( ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ด ) โ ( ๐ฆ +Q ( โจ ( ๐ง +N 1o ) , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด ) ) ) |
152 |
85 90 95 90 106 151
|
indpi |
โข ( ๐ง โ N โ ( ( ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ด ) โ ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด ) ) |
153 |
152
|
imp |
โข ( ( ๐ง โ N โง ( ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด โง ๐ฆ โ ๐ด ) ) โ ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด ) |
154 |
61 39 78 67 153
|
syl13anc |
โข ( ( ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โง ( ๐ค โ Q โง ๐ฆ โ ๐ด ) ) โง ( ๐ง โ N โง ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) <Q โจ ๐ง , 1o โฉ ) ) โ ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด ) |
155 |
|
prcdnq |
โข ( ( ๐ด โ P โง ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ด ) โ ( ๐ค <Q ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ค โ ๐ด ) ) |
156 |
66 154 155
|
syl2anc |
โข ( ( ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โง ( ๐ค โ Q โง ๐ฆ โ ๐ด ) ) โง ( ๐ง โ N โง ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) <Q โจ ๐ง , 1o โฉ ) ) โ ( ๐ค <Q ( ๐ฆ +Q ( โจ ๐ง , 1o โฉ ยทQ ๐ ) ) โ ๐ค โ ๐ด ) ) |
157 |
77 156
|
mpd |
โข ( ( ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โง ( ๐ค โ Q โง ๐ฆ โ ๐ด ) ) โง ( ๐ง โ N โง ( ๐ค ยทQ ( *Q โ ๐ ) ) <Q โจ ๐ง , 1o โฉ ) ) โ ๐ค โ ๐ด ) |
158 |
38 157
|
rexlimddv |
โข ( ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โง ( ๐ค โ Q โง ๐ฆ โ ๐ด ) ) โ ๐ค โ ๐ด ) |
159 |
158
|
expr |
โข ( ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โง ๐ค โ Q ) โ ( ๐ฆ โ ๐ด โ ๐ค โ ๐ด ) ) |
160 |
159
|
exlimdv |
โข ( ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โง ๐ค โ Q ) โ ( โ ๐ฆ ๐ฆ โ ๐ด โ ๐ค โ ๐ด ) ) |
161 |
30 160
|
mpd |
โข ( ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โง ๐ค โ Q ) โ ๐ค โ ๐ด ) |
162 |
26 161
|
eqelssd |
โข ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q โง โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) โ ๐ด = Q ) |
163 |
162
|
3expia |
โข ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q ) โ ( โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด โ ๐ด = Q ) ) |
164 |
25 163
|
mtod |
โข ( ( ๐ด โ P โง ๐ โ Q ) โ ยฌ โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) |
165 |
164
|
expcom |
โข ( ๐ โ Q โ ( ๐ด โ P โ ยฌ โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ ) โ ๐ด ) ) |
166 |
21 165
|
vtoclga |
โข ( ๐ต โ Q โ ( ๐ด โ P โ ยฌ โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ต ) โ ๐ด ) ) |
167 |
166
|
com12 |
โข ( ๐ด โ P โ ( ๐ต โ Q โ ยฌ โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ต ) โ ๐ด ) ) |
168 |
5 16 167
|
3syld |
โข ( ๐ด โ P โ ( โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ต ) โ ๐ด โ ยฌ โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ต ) โ ๐ด ) ) |
169 |
168
|
pm2.01d |
โข ( ๐ด โ P โ ยฌ โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ต ) โ ๐ด ) |
170 |
|
rexnal |
โข ( โ ๐ฅ โ ๐ด ยฌ ( ๐ฅ +Q ๐ต ) โ ๐ด โ ยฌ โ ๐ฅ โ ๐ด ( ๐ฅ +Q ๐ต ) โ ๐ด ) |
171 |
169 170
|
sylibr |
โข ( ๐ด โ P โ โ ๐ฅ โ ๐ด ยฌ ( ๐ฅ +Q ๐ต ) โ ๐ด ) |