Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
stoweidlem11.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ ) |
2 |
|
stoweidlem11.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑡 ∈ 𝑇 ) |
3 |
|
stoweidlem11.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) |
4 |
|
stoweidlem11.4 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) : 𝑇 ⟶ ℝ ) |
5 |
|
stoweidlem11.5 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ≤ 1 ) |
6 |
|
stoweidlem11.6 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) < ( 𝐸 / 𝑁 ) ) |
7 |
|
stoweidlem11.7 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+ ) |
8 |
|
stoweidlem11.8 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 < ( 1 / 3 ) ) |
9 |
|
sumex |
⊢ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ V |
10 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) ) = ( 𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) ) |
11 |
10
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ V ) → ( ( 𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) ) ‘ 𝑡 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) ) |
12 |
2 9 11
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) ) ‘ 𝑡 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) ) |
13 |
|
fzfid |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) |
14 |
7
|
rpred |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ ) |
15 |
14
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → 𝐸 ∈ ℝ ) |
16 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → 𝑡 ∈ 𝑇 ) |
17 |
4 16
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ℝ ) |
18 |
15 17
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℝ ) |
19 |
13 18
|
fsumrecl |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℝ ) |
20 |
|
elfzuz |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) |
21 |
3 20
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) |
22 |
|
eluz2 |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ↔ ( 1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗 ) ) |
23 |
21 22
|
sylib |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗 ) ) |
24 |
23
|
simp2d |
⊢ ( 𝜑 → 𝑗 ∈ ℤ ) |
25 |
24
|
zred |
⊢ ( 𝜑 → 𝑗 ∈ ℝ ) |
26 |
14 25
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 · 𝑗 ) ∈ ℝ ) |
27 |
1
|
nnred |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ ) |
28 |
27 25
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 − 𝑗 ) ∈ ℝ ) |
29 |
|
1red |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℝ ) |
30 |
28 29
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) ∈ ℝ ) |
31 |
14 1
|
nndivred |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 / 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
32 |
14 31
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ∈ ℝ ) |
33 |
30 32
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) · ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) ∈ ℝ ) |
34 |
26 33
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 · 𝑗 ) + ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) · ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
35 |
|
3re |
⊢ 3 ∈ ℝ |
36 |
35
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 3 ∈ ℝ ) |
37 |
|
3ne0 |
⊢ 3 ≠ 0 |
38 |
37
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 3 ≠ 0 ) |
39 |
36 38
|
rereccld |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 / 3 ) ∈ ℝ ) |
40 |
25 39
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 + ( 1 / 3 ) ) ∈ ℝ ) |
41 |
40 14
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑗 + ( 1 / 3 ) ) · 𝐸 ) ∈ ℝ ) |
42 |
|
fzfid |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ Fin ) |
43 |
14
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝐸 ∈ ℝ ) |
44 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 𝑗 ∈ ℤ ) |
45 |
|
peano2zm |
⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ ) |
46 |
3 44 45
|
3syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ ) |
47 |
1
|
nnzd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ ) |
48 |
25 29
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℝ ) |
49 |
25
|
lem1d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑗 ) |
50 |
|
elfzuz3 |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) ) |
51 |
|
eluzle |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → 𝑗 ≤ 𝑁 ) |
52 |
3 50 51
|
3syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑗 ≤ 𝑁 ) |
53 |
48 25 27 49 52
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑁 ) |
54 |
|
eluz2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) ↔ ( ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑗 − 1 ) ≤ 𝑁 ) ) |
55 |
46 47 53 54
|
syl3anbrc |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) ) |
56 |
|
fzss2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑗 − 1 ) ) → ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
57 |
55 56
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
58 |
57
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
59 |
58 17
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ℝ ) |
60 |
43 59
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℝ ) |
61 |
42 60
|
fsumrecl |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℝ ) |
62 |
61 33
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) + ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) · ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
63 |
25
|
ltm1d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 − 1 ) < 𝑗 ) |
64 |
|
fzdisj |
⊢ ( ( 𝑗 − 1 ) < 𝑗 → ( ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ∩ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ) = ∅ ) |
65 |
63 64
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ∩ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ) = ∅ ) |
66 |
|
fzssp1 |
⊢ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 0 ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) |
67 |
1
|
nncnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ ) |
68 |
|
1cnd |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℂ ) |
69 |
67 68
|
npcand |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 ) |
70 |
69
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) = ( 0 ... 𝑁 ) ) |
71 |
66 70
|
sseqtrid |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
72 |
|
1zzd |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℤ ) |
73 |
|
fzsubel |
⊢ ( ( ( 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( ( 1 − 1 ) ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
74 |
72 47 24 72 73
|
syl22anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( ( 1 − 1 ) ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
75 |
3 74
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( ( 1 − 1 ) ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
76 |
|
1m1e0 |
⊢ ( 1 − 1 ) = 0 |
77 |
76
|
oveq1i |
⊢ ( ( 1 − 1 ) ... ( 𝑁 − 1 ) ) = ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) |
78 |
75 77
|
eleqtrdi |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
79 |
71 78
|
sseldd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
80 |
|
fzsplit |
⊢ ( ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 0 ... 𝑁 ) = ( ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ∪ ( ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) ) |
81 |
79 80
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... 𝑁 ) = ( ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ∪ ( ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) ) |
82 |
24
|
zcnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑗 ∈ ℂ ) |
83 |
82 68
|
npcand |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) = 𝑗 ) |
84 |
83
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) = ( 𝑗 ... 𝑁 ) ) |
85 |
84
|
uneq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ∪ ( ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ... 𝑁 ) ) = ( ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ∪ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ) ) |
86 |
81 85
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... 𝑁 ) = ( ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ∪ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ) ) |
87 |
7
|
rpcnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ ) |
88 |
87
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → 𝐸 ∈ ℂ ) |
89 |
17
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ℂ ) |
90 |
88 89
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℂ ) |
91 |
65 86 13 90
|
fsumsplit |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) = ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) + Σ 𝑖 ∈ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) ) ) |
92 |
|
fzfid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) |
93 |
14
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ) → 𝐸 ∈ ℝ ) |
94 |
|
0zd |
⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℤ ) |
95 |
|
0red |
⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℝ ) |
96 |
|
0le1 |
⊢ 0 ≤ 1 |
97 |
96
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ 1 ) |
98 |
23
|
simp3d |
⊢ ( 𝜑 → 1 ≤ 𝑗 ) |
99 |
95 29 25 97 98
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ 𝑗 ) |
100 |
|
eluz2 |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ↔ ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑗 ) ) |
101 |
94 24 99 100
|
syl3anbrc |
⊢ ( 𝜑 → 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
102 |
|
fzss1 |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → ( 𝑗 ... 𝑁 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
103 |
101 102
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ... 𝑁 ) ⊆ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
104 |
103
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ) → 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
105 |
104 4
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) : 𝑇 ⟶ ℝ ) |
106 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ) → 𝑡 ∈ 𝑇 ) |
107 |
105 106
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ℝ ) |
108 |
93 107
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℝ ) |
109 |
92 108
|
fsumrecl |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) ∈ ℝ ) |
110 |
|
eluzfz2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → 𝑁 ∈ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ) |
111 |
|
ne0i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( 𝑗 ... 𝑁 ) → ( 𝑗 ... 𝑁 ) ≠ ∅ ) |
112 |
3 50 110 111
|
4syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ... 𝑁 ) ≠ ∅ ) |
113 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
114 |
93 113
|
nndivred |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐸 / 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
115 |
93 114
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ∈ ℝ ) |
116 |
7
|
rpgt0d |
⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝐸 ) |
117 |
116
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ) → 0 < 𝐸 ) |
118 |
|
ltmul2 |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐸 / 𝑁 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸 ) ) → ( ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) < ( 𝐸 / 𝑁 ) ↔ ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) < ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) ) |
119 |
107 114 93 117 118
|
syl112anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) < ( 𝐸 / 𝑁 ) ↔ ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) < ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) ) |
120 |
6 119
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) < ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) |
121 |
92 112 108 115 120
|
fsumlt |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) < Σ 𝑖 ∈ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) |
122 |
1
|
nnne0d |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ≠ 0 ) |
123 |
87 67 122
|
divcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 / 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
124 |
87 123
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
125 |
|
fsumconst |
⊢ ( ( ( 𝑗 ... 𝑁 ) ∈ Fin ∧ ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) → Σ 𝑖 ∈ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) = ( ( ♯ ‘ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ) · ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) ) |
126 |
92 124 125
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) = ( ( ♯ ‘ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ) · ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) ) |
127 |
|
hashfz |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑗 ) → ( ♯ ‘ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ) = ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) ) |
128 |
3 50 127
|
3syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ) = ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) ) |
129 |
128
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ) · ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) = ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) · ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) ) |
130 |
126 129
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) · ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) ) |
131 |
121 130
|
breqtrd |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) < ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) · ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) ) |
132 |
109 33 61 131
|
ltadd2dd |
⊢ ( 𝜑 → ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) + Σ 𝑖 ∈ ( 𝑗 ... 𝑁 ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) ) < ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) + ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) · ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) ) ) |
133 |
91 132
|
eqbrtrd |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) < ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) + ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) · ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) ) ) |
134 |
58 5
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ≤ 1 ) |
135 |
|
1red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 1 ∈ ℝ ) |
136 |
116
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → 0 < 𝐸 ) |
137 |
|
lemul2 |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ( 𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸 ) ) → ( ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ≤ 1 ↔ ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ ( 𝐸 · 1 ) ) ) |
138 |
59 135 43 136 137
|
syl112anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ≤ 1 ↔ ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ ( 𝐸 · 1 ) ) ) |
139 |
134 138
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ ( 𝐸 · 1 ) ) |
140 |
87
|
mulid1d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 · 1 ) = 𝐸 ) |
141 |
140
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝐸 · 1 ) = 𝐸 ) |
142 |
139 141
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) → ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ 𝐸 ) |
143 |
42 60 43 142
|
fsumle |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) 𝐸 ) |
144 |
|
fsumconst |
⊢ ( ( ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ ℂ ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) 𝐸 = ( ( ♯ ‘ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) · 𝐸 ) ) |
145 |
42 87 144
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) 𝐸 = ( ( ♯ ‘ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) · 𝐸 ) ) |
146 |
|
0z |
⊢ 0 ∈ ℤ |
147 |
|
1e0p1 |
⊢ 1 = ( 0 + 1 ) |
148 |
147
|
fveq2i |
⊢ ( ℤ≥ ‘ 1 ) = ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) |
149 |
21 148
|
eleqtrdi |
⊢ ( 𝜑 → 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) ) |
150 |
|
eluzp1m1 |
⊢ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 0 + 1 ) ) ) → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
151 |
146 149 150
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
152 |
|
hashfz |
⊢ ( ( 𝑗 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → ( ♯ ‘ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) = ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 0 ) + 1 ) ) |
153 |
151 152
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) = ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 0 ) + 1 ) ) |
154 |
82 68
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 − 1 ) ∈ ℂ ) |
155 |
154
|
subid1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑗 − 1 ) − 0 ) = ( 𝑗 − 1 ) ) |
156 |
155
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑗 − 1 ) − 0 ) + 1 ) = ( ( 𝑗 − 1 ) + 1 ) ) |
157 |
153 156 83
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) = 𝑗 ) |
158 |
157
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ♯ ‘ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ) · 𝐸 ) = ( 𝑗 · 𝐸 ) ) |
159 |
82 87
|
mulcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 · 𝐸 ) = ( 𝐸 · 𝑗 ) ) |
160 |
145 158 159
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) 𝐸 = ( 𝐸 · 𝑗 ) ) |
161 |
143 160
|
breqtrd |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) ≤ ( 𝐸 · 𝑗 ) ) |
162 |
61 26 33 161
|
leadd1dd |
⊢ ( 𝜑 → ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑗 − 1 ) ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) + ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) · ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) ) ≤ ( ( 𝐸 · 𝑗 ) + ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) · ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) ) ) |
163 |
19 62 34 133 162
|
ltletrd |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) < ( ( 𝐸 · 𝑗 ) + ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) · ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) ) ) |
164 |
14 14
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 · 𝐸 ) ∈ ℝ ) |
165 |
26 164
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 · 𝑗 ) + ( 𝐸 · 𝐸 ) ) ∈ ℝ ) |
166 |
67 82
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 − 𝑗 ) ∈ ℂ ) |
167 |
166 68
|
addcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) ∈ ℂ ) |
168 |
87 167 123
|
mul12d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 · ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) = ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) · ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) ) |
169 |
168
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 · 𝑗 ) + ( 𝐸 · ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) ) = ( ( 𝐸 · 𝑗 ) + ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) · ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) ) ) |
170 |
30 31
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ∈ ℝ ) |
171 |
14 170
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 · ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) ∈ ℝ ) |
172 |
167 87 67 122
|
div12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) = ( 𝐸 · ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) / 𝑁 ) ) ) |
173 |
29 25
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 − 𝑗 ) ∈ ℝ ) |
174 |
|
elfzle1 |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) → 1 ≤ 𝑗 ) |
175 |
3 174
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 1 ≤ 𝑗 ) |
176 |
29 25
|
suble0d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 − 𝑗 ) ≤ 0 ↔ 1 ≤ 𝑗 ) ) |
177 |
175 176
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 − 𝑗 ) ≤ 0 ) |
178 |
173 95 27 177
|
leadd2dd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 + ( 1 − 𝑗 ) ) ≤ ( 𝑁 + 0 ) ) |
179 |
67 68 82
|
addsub12d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 + ( 1 − 𝑗 ) ) = ( 1 + ( 𝑁 − 𝑗 ) ) ) |
180 |
68 166
|
addcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 + ( 𝑁 − 𝑗 ) ) = ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) ) |
181 |
179 180
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 + ( 1 − 𝑗 ) ) = ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) ) |
182 |
67
|
addid1d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 + 0 ) = 𝑁 ) |
183 |
178 181 182
|
3brtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) ≤ 𝑁 ) |
184 |
1
|
nngt0d |
⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝑁 ) |
185 |
|
lediv1 |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) ≤ 𝑁 ↔ ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) / 𝑁 ) ≤ ( 𝑁 / 𝑁 ) ) ) |
186 |
30 27 27 184 185
|
syl112anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) ≤ 𝑁 ↔ ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) / 𝑁 ) ≤ ( 𝑁 / 𝑁 ) ) ) |
187 |
183 186
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) / 𝑁 ) ≤ ( 𝑁 / 𝑁 ) ) |
188 |
67 122
|
dividd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 / 𝑁 ) = 1 ) |
189 |
187 188
|
breqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) / 𝑁 ) ≤ 1 ) |
190 |
30 1
|
nndivred |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) / 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
191 |
190 29 7
|
lemul2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) / 𝑁 ) ≤ 1 ↔ ( 𝐸 · ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) / 𝑁 ) ) ≤ ( 𝐸 · 1 ) ) ) |
192 |
189 191
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 · ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) / 𝑁 ) ) ≤ ( 𝐸 · 1 ) ) |
193 |
192 140
|
breqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 · ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) / 𝑁 ) ) ≤ 𝐸 ) |
194 |
172 193
|
eqbrtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ≤ 𝐸 ) |
195 |
170 14 7
|
lemul2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ≤ 𝐸 ↔ ( 𝐸 · ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) ≤ ( 𝐸 · 𝐸 ) ) ) |
196 |
194 195
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 · ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) ≤ ( 𝐸 · 𝐸 ) ) |
197 |
171 164 26 196
|
leadd2dd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 · 𝑗 ) + ( 𝐸 · ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) ) ≤ ( ( 𝐸 · 𝑗 ) + ( 𝐸 · 𝐸 ) ) ) |
198 |
169 197
|
eqbrtrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 · 𝑗 ) + ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) · ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) ) ≤ ( ( 𝐸 · 𝑗 ) + ( 𝐸 · 𝐸 ) ) ) |
199 |
87 82
|
mulcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 · 𝑗 ) = ( 𝑗 · 𝐸 ) ) |
200 |
199
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 · 𝑗 ) + ( 𝐸 · 𝐸 ) ) = ( ( 𝑗 · 𝐸 ) + ( 𝐸 · 𝐸 ) ) ) |
201 |
82 87 87
|
adddird |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑗 + 𝐸 ) · 𝐸 ) = ( ( 𝑗 · 𝐸 ) + ( 𝐸 · 𝐸 ) ) ) |
202 |
200 201
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 · 𝑗 ) + ( 𝐸 · 𝐸 ) ) = ( ( 𝑗 + 𝐸 ) · 𝐸 ) ) |
203 |
25 14
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 + 𝐸 ) ∈ ℝ ) |
204 |
14 39 25 8
|
ltadd2dd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 + 𝐸 ) < ( 𝑗 + ( 1 / 3 ) ) ) |
205 |
203 40 7 204
|
ltmul1dd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑗 + 𝐸 ) · 𝐸 ) < ( ( 𝑗 + ( 1 / 3 ) ) · 𝐸 ) ) |
206 |
202 205
|
eqbrtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 · 𝑗 ) + ( 𝐸 · 𝐸 ) ) < ( ( 𝑗 + ( 1 / 3 ) ) · 𝐸 ) ) |
207 |
34 165 41 198 206
|
lelttrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 · 𝑗 ) + ( ( ( 𝑁 − 𝑗 ) + 1 ) · ( 𝐸 · ( 𝐸 / 𝑁 ) ) ) ) < ( ( 𝑗 + ( 1 / 3 ) ) · 𝐸 ) ) |
208 |
19 34 41 163 207
|
lttrd |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) < ( ( 𝑗 + ( 1 / 3 ) ) · 𝐸 ) ) |
209 |
12 208
|
eqbrtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ 𝑖 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( 𝐸 · ( ( 𝑋 ‘ 𝑖 ) ‘ 𝑡 ) ) ) ‘ 𝑡 ) < ( ( 𝑗 + ( 1 / 3 ) ) · 𝐸 ) ) |