| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
| 2 |
|
recl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
| 3 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
| 4 |
3
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
| 5 |
3
|
rered |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℜ ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) = ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) |
| 6 |
|
neghalfpire |
⊢ - ( π / 2 ) ∈ ℝ |
| 7 |
6
|
rexri |
⊢ - ( π / 2 ) ∈ ℝ* |
| 8 |
|
0re |
⊢ 0 ∈ ℝ |
| 9 |
|
pirp |
⊢ π ∈ ℝ+ |
| 10 |
|
rphalfcl |
⊢ ( π ∈ ℝ+ → ( π / 2 ) ∈ ℝ+ ) |
| 11 |
|
rpgt0 |
⊢ ( ( π / 2 ) ∈ ℝ+ → 0 < ( π / 2 ) ) |
| 12 |
9 10 11
|
mp2b |
⊢ 0 < ( π / 2 ) |
| 13 |
|
halfpire |
⊢ ( π / 2 ) ∈ ℝ |
| 14 |
|
lt0neg2 |
⊢ ( ( π / 2 ) ∈ ℝ → ( 0 < ( π / 2 ) ↔ - ( π / 2 ) < 0 ) ) |
| 15 |
13 14
|
ax-mp |
⊢ ( 0 < ( π / 2 ) ↔ - ( π / 2 ) < 0 ) |
| 16 |
12 15
|
mpbi |
⊢ - ( π / 2 ) < 0 |
| 17 |
6 8 16
|
ltleii |
⊢ - ( π / 2 ) ≤ 0 |
| 18 |
|
iooss1 |
⊢ ( ( - ( π / 2 ) ∈ ℝ* ∧ - ( π / 2 ) ≤ 0 ) → ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ⊆ ( - ( π / 2 ) (,) ( π / 2 ) ) ) |
| 19 |
7 17 18
|
mp2an |
⊢ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ⊆ ( - ( π / 2 ) (,) ( π / 2 ) ) |
| 20 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) |
| 21 |
19 20
|
sseldi |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( - ( π / 2 ) (,) ( π / 2 ) ) ) |
| 22 |
5 21
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℜ ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( - ( π / 2 ) (,) ( π / 2 ) ) ) |
| 23 |
|
cosne0 |
⊢ ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ( - ( π / 2 ) (,) ( π / 2 ) ) ) → ( cos ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0 ) |
| 24 |
4 22 23
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( cos ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0 ) |
| 25 |
4 24
|
tancld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
| 26 |
|
ax-icn |
⊢ i ∈ ℂ |
| 27 |
|
imcl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ℑ ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
| 28 |
27
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℑ ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
| 29 |
28
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℑ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
| 30 |
|
mulcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ ( ℑ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) → ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
| 31 |
26 29 30
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
| 32 |
|
rpcoshcl |
⊢ ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ → ( cos ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ∈ ℝ+ ) |
| 33 |
28 32
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( cos ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ∈ ℝ+ ) |
| 34 |
33
|
rpne0d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( cos ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ≠ 0 ) |
| 35 |
31 34
|
tancld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 36 |
25 35
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 37 |
|
subcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ ℂ ) → ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 38 |
1 36 37
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 39 |
|
replim |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
| 40 |
39
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 𝐴 = ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
| 41 |
40
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( cos ‘ 𝐴 ) = ( cos ‘ ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
| 42 |
|
cosne0 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( - ( π / 2 ) (,) ( π / 2 ) ) ) → ( cos ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) |
| 43 |
21 42
|
syldan |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( cos ‘ 𝐴 ) ≠ 0 ) |
| 44 |
41 43
|
eqnetrrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( cos ‘ ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ≠ 0 ) |
| 45 |
|
tanaddlem |
⊢ ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( cos ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0 ∧ ( cos ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( cos ‘ ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ≠ 1 ) ) |
| 46 |
4 31 24 34 45
|
syl22anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( cos ‘ ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ≠ 0 ↔ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ≠ 1 ) ) |
| 47 |
44 46
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ≠ 1 ) |
| 48 |
47
|
necomd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 1 ≠ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
| 49 |
|
subeq0 |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ ℂ ) → ( ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) = 0 ↔ 1 = ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
| 50 |
49
|
necon3bid |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ ℂ ) → ( ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ≠ 0 ↔ 1 ≠ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
| 51 |
1 36 50
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ≠ 0 ↔ 1 ≠ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
| 52 |
48 51
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ≠ 0 ) |
| 53 |
38 52
|
absrpcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( abs ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ∈ ℝ+ ) |
| 54 |
|
2z |
⊢ 2 ∈ ℤ |
| 55 |
|
rpexpcl |
⊢ ( ( ( abs ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ ) → ( ( abs ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ+ ) |
| 56 |
53 54 55
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ+ ) |
| 57 |
56
|
rprecred |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 1 / ( ( abs ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
| 58 |
38
|
cjcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 59 |
25 35
|
addcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 60 |
58 59
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) · ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 61 |
60
|
recld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℜ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) · ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 62 |
56
|
rpreccld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 1 / ( ( abs ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ∈ ℝ+ ) |
| 63 |
62
|
rpgt0d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 0 < ( 1 / ( ( abs ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) |
| 64 |
3 24
|
retancld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
| 65 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
| 66 |
|
retanhcl |
⊢ ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ → ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ∈ ℝ ) |
| 67 |
28 66
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ∈ ℝ ) |
| 68 |
67
|
resqcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
| 69 |
|
resubcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) → ( 1 − ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
| 70 |
65 68 69
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 1 − ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
| 71 |
|
tanrpcl |
⊢ ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) → ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ+ ) |
| 72 |
71
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℝ+ ) |
| 73 |
72
|
rpgt0d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 0 < ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) |
| 74 |
|
absresq |
⊢ ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ∈ ℝ → ( ( abs ‘ ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ↑ 2 ) ) |
| 75 |
67 74
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ↑ 2 ) ) |
| 76 |
|
tanhbnd |
⊢ ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ → ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ∈ ( - 1 (,) 1 ) ) |
| 77 |
28 76
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ∈ ( - 1 (,) 1 ) ) |
| 78 |
|
eliooord |
⊢ ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ∈ ( - 1 (,) 1 ) → ( - 1 < ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ∧ ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) < 1 ) ) |
| 79 |
77 78
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( - 1 < ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ∧ ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) < 1 ) ) |
| 80 |
|
abslt |
⊢ ( ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ) → ( ( abs ‘ ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) < 1 ↔ ( - 1 < ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ∧ ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) < 1 ) ) ) |
| 81 |
67 65 80
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) < 1 ↔ ( - 1 < ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ∧ ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) < 1 ) ) ) |
| 82 |
79 81
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) < 1 ) |
| 83 |
67
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ∈ ℂ ) |
| 84 |
83
|
abscld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ∈ ℝ ) |
| 85 |
65
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 1 ∈ ℝ ) |
| 86 |
83
|
absge0d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 0 ≤ ( abs ‘ ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ) |
| 87 |
|
0le1 |
⊢ 0 ≤ 1 |
| 88 |
87
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 0 ≤ 1 ) |
| 89 |
84 85 86 88
|
lt2sqd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) < 1 ↔ ( ( abs ‘ ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ↑ 2 ) < ( 1 ↑ 2 ) ) ) |
| 90 |
82 89
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ↑ 2 ) < ( 1 ↑ 2 ) ) |
| 91 |
|
sq1 |
⊢ ( 1 ↑ 2 ) = 1 |
| 92 |
90 91
|
breqtrdi |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ↑ 2 ) < 1 ) |
| 93 |
75 92
|
eqbrtrrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ↑ 2 ) < 1 ) |
| 94 |
|
posdif |
⊢ ( ( ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ↑ 2 ) < 1 ↔ 0 < ( 1 − ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ↑ 2 ) ) ) ) |
| 95 |
68 65 94
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ↑ 2 ) < 1 ↔ 0 < ( 1 − ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ↑ 2 ) ) ) ) |
| 96 |
93 95
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 0 < ( 1 − ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ↑ 2 ) ) ) |
| 97 |
64 70 73 96
|
mulgt0d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 0 < ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( 1 − ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ↑ 2 ) ) ) ) |
| 98 |
38
|
recjd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℜ ‘ ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) = ( ℜ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
| 99 |
|
resub |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ ℂ ) → ( ℜ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℜ ‘ 1 ) − ( ℜ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
| 100 |
1 36 99
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℜ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℜ ‘ 1 ) − ( ℜ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
| 101 |
|
re1 |
⊢ ( ℜ ‘ 1 ) = 1 |
| 102 |
101
|
oveq1i |
⊢ ( ( ℜ ‘ 1 ) − ( ℜ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( 1 − ( ℜ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
| 103 |
64 35
|
remul2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℜ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) = ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
| 104 |
|
negicn |
⊢ - i ∈ ℂ |
| 105 |
104
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → - i ∈ ℂ ) |
| 106 |
|
ine0 |
⊢ i ≠ 0 |
| 107 |
26 106
|
negne0i |
⊢ - i ≠ 0 |
| 108 |
107
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → - i ≠ 0 ) |
| 109 |
35 105 108
|
divcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / - i ) ∈ ℂ ) |
| 110 |
|
imre |
⊢ ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / - i ) ∈ ℂ → ( ℑ ‘ ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / - i ) ) = ( ℜ ‘ ( - i · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / - i ) ) ) ) |
| 111 |
109 110
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℑ ‘ ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / - i ) ) = ( ℜ ‘ ( - i · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / - i ) ) ) ) |
| 112 |
26
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → i ∈ ℂ ) |
| 113 |
106
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → i ≠ 0 ) |
| 114 |
35 112 113
|
divneg2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → - ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) = ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / - i ) ) |
| 115 |
67
|
renegcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → - ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ∈ ℝ ) |
| 116 |
114 115
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / - i ) ∈ ℝ ) |
| 117 |
116
|
reim0d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℑ ‘ ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / - i ) ) = 0 ) |
| 118 |
35 105 108
|
divcan2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( - i · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / - i ) ) = ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
| 119 |
118
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℜ ‘ ( - i · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / - i ) ) ) = ( ℜ ‘ ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
| 120 |
111 117 119
|
3eqtr3rd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℜ ‘ ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) = 0 ) |
| 121 |
120
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) = ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · 0 ) ) |
| 122 |
25
|
mul01d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · 0 ) = 0 ) |
| 123 |
103 121 122
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℜ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) = 0 ) |
| 124 |
123
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 1 − ( ℜ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( 1 − 0 ) ) |
| 125 |
|
1m0e1 |
⊢ ( 1 − 0 ) = 1 |
| 126 |
124 125
|
syl6eq |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 1 − ( ℜ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = 1 ) |
| 127 |
102 126
|
syl5eq |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ℜ ‘ 1 ) − ( ℜ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = 1 ) |
| 128 |
98 100 127
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℜ ‘ ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) = 1 ) |
| 129 |
35 112 113
|
divcan2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( i · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) = ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
| 130 |
129
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( i · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ) = ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
| 131 |
130
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℜ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( i · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ) ) = ( ℜ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
| 132 |
64 67
|
crred |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℜ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( i · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ) ) = ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) |
| 133 |
131 132
|
eqtr3d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℜ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) = ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) |
| 134 |
128 133
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ℜ ‘ ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) · ( ℜ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( 1 · ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
| 135 |
|
mulcom |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) → ( 1 · ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) = ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · 1 ) ) |
| 136 |
1 25 135
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 1 · ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ) = ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · 1 ) ) |
| 137 |
134 136
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ℜ ‘ ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) · ( ℜ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · 1 ) ) |
| 138 |
25 83 83
|
mulassd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) = ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ) ) |
| 139 |
38
|
imcjd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℑ ‘ ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) = - ( ℑ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
| 140 |
|
imsub |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ∈ ℂ ) → ( ℑ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℑ ‘ 1 ) − ( ℑ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
| 141 |
1 36 140
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℑ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( ( ℑ ‘ 1 ) − ( ℑ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
| 142 |
|
im1 |
⊢ ( ℑ ‘ 1 ) = 0 |
| 143 |
142
|
oveq1i |
⊢ ( ( ℑ ‘ 1 ) − ( ℑ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( 0 − ( ℑ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
| 144 |
|
df-neg |
⊢ - ( ℑ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) = ( 0 − ( ℑ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
| 145 |
143 144
|
eqtr4i |
⊢ ( ( ℑ ‘ 1 ) − ( ℑ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = - ( ℑ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
| 146 |
64 35
|
immul2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℑ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) = ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℑ ‘ ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
| 147 |
|
imval |
⊢ ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ → ( ℑ ‘ ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) = ( ℜ ‘ ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ) |
| 148 |
35 147
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℑ ‘ ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) = ( ℜ ‘ ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ) |
| 149 |
67
|
rered |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℜ ‘ ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) = ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) |
| 150 |
148 149
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℑ ‘ ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) = ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) |
| 151 |
150
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℑ ‘ ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) = ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ) |
| 152 |
146 151
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℑ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) = ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ) |
| 153 |
152
|
negeqd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → - ( ℑ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) = - ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ) |
| 154 |
145 153
|
syl5eq |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ℑ ‘ 1 ) − ( ℑ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = - ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ) |
| 155 |
141 154
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℑ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = - ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ) |
| 156 |
155
|
negeqd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → - ( ℑ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = - - ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ) |
| 157 |
64 67
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ∈ ℝ ) |
| 158 |
157
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ∈ ℂ ) |
| 159 |
158
|
negnegd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → - - ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) = ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ) |
| 160 |
139 156 159
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℑ ‘ ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ) |
| 161 |
130
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℑ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( i · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ) ) = ( ℑ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
| 162 |
64 67
|
crimd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℑ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( i · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ) ) = ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) |
| 163 |
161 162
|
eqtr3d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℑ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) = ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) |
| 164 |
160 163
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ℑ ‘ ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) · ( ℑ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ) |
| 165 |
83
|
sqvald |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ↑ 2 ) = ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ) |
| 166 |
165
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ↑ 2 ) ) = ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) · ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ) ) ) |
| 167 |
138 164 166
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ℑ ‘ ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) · ( ℑ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ↑ 2 ) ) ) |
| 168 |
137 167
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( ℜ ‘ ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) · ( ℜ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) − ( ( ℑ ‘ ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) · ( ℑ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · 1 ) − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ↑ 2 ) ) ) ) |
| 169 |
58 59
|
remuld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℜ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) · ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ℜ ‘ ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) · ( ℜ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) − ( ( ℑ ‘ ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) · ( ℑ ‘ ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 170 |
1
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 1 ∈ ℂ ) |
| 171 |
83
|
sqcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
| 172 |
25 170 171
|
subdid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( 1 − ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · 1 ) − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ↑ 2 ) ) ) ) |
| 173 |
168 169 172
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℜ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) · ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( 1 − ( ( ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) / i ) ↑ 2 ) ) ) ) |
| 174 |
97 173
|
breqtrrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 0 < ( ℜ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) · ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
| 175 |
57 61 63 174
|
mulgt0d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 0 < ( ( 1 / ( ( abs ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ↑ 2 ) ) · ( ℜ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) · ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 176 |
40
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( tan ‘ 𝐴 ) = ( tan ‘ ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) |
| 177 |
|
tanadd |
⊢ ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) ∧ ( ( cos ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) ≠ 0 ∧ ( cos ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ≠ 0 ∧ ( cos ‘ ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ≠ 0 ) ) → ( tan ‘ ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) = ( ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) / ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
| 178 |
4 31 24 34 44 177
|
syl23anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( tan ‘ ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) = ( ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) / ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
| 179 |
|
recval |
⊢ ( ( ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ≠ 0 ) → ( 1 / ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) / ( ( abs ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) |
| 180 |
38 52 179
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( 1 / ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) / ( ( abs ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) |
| 181 |
180
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( 1 / ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) · ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) = ( ( ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) / ( ( abs ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ↑ 2 ) ) · ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
| 182 |
59 38 52
|
divrec2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) / ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( ( 1 / ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) · ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
| 183 |
38
|
abscld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( abs ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 184 |
183
|
resqcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
| 185 |
184
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
| 186 |
56
|
rpne0d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ↑ 2 ) ≠ 0 ) |
| 187 |
58 59 185 186
|
div23d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) · ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) / ( ( abs ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) / ( ( abs ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ↑ 2 ) ) · ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
| 188 |
181 182 187
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) / ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) · ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) / ( ( abs ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) |
| 189 |
176 178 188
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( tan ‘ 𝐴 ) = ( ( ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) · ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) / ( ( abs ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) |
| 190 |
60 185 186
|
divrec2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ( ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) · ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) / ( ( abs ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( 1 / ( ( abs ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ↑ 2 ) ) · ( ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) · ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
| 191 |
189 190
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( tan ‘ 𝐴 ) = ( ( 1 / ( ( abs ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ↑ 2 ) ) · ( ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) · ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
| 192 |
191
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℜ ‘ ( tan ‘ 𝐴 ) ) = ( ℜ ‘ ( ( 1 / ( ( abs ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ↑ 2 ) ) · ( ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) · ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 193 |
57 60
|
remul2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℜ ‘ ( ( 1 / ( ( abs ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ↑ 2 ) ) · ( ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) · ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 1 / ( ( abs ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ↑ 2 ) ) · ( ℜ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) · ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 194 |
192 193
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → ( ℜ ‘ ( tan ‘ 𝐴 ) ) = ( ( 1 / ( ( abs ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ↑ 2 ) ) · ( ℜ ‘ ( ( ∗ ‘ ( 1 − ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) · ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) · ( ( tan ‘ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ) + ( tan ‘ ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) ) |
| 195 |
175 194
|
breqtrrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ( 0 (,) ( π / 2 ) ) ) → 0 < ( ℜ ‘ ( tan ‘ 𝐴 ) ) ) |