Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
df-br |
|- ( X |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } Y <-> <. X , Y >. e. |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } ) |
2 |
1
|
a1i |
|- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( X |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } Y <-> <. X , Y >. e. |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } ) ) |
3 |
|
trclfv |
|- ( R e. W -> ( t+ ` R ) = |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } ) |
4 |
3
|
breqd |
|- ( R e. W -> ( X ( t+ ` R ) Y <-> X |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } Y ) ) |
5 |
4
|
3ad2ant3 |
|- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( X ( t+ ` R ) Y <-> X |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } Y ) ) |
6 |
|
elimasng |
|- ( ( X e. U /\ Y e. V ) -> ( Y e. ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) <-> <. X , Y >. e. |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } ) ) |
7 |
6
|
3adant3 |
|- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( Y e. ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) <-> <. X , Y >. e. |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } ) ) |
8 |
2 5 7
|
3bitr4d |
|- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( X ( t+ ` R ) Y <-> Y e. ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) ) ) |
9 |
|
intimasn |
|- ( X e. U -> ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) = |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } ) |
10 |
9
|
3ad2ant1 |
|- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) = |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } ) |
11 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> R e. W ) |
12 |
|
snex |
|- { X } e. _V |
13 |
|
vex |
|- f e. _V |
14 |
12 13
|
xpex |
|- ( { X } X. f ) e. _V |
15 |
|
unexg |
|- ( ( R e. W /\ ( { X } X. f ) e. _V ) -> ( R u. ( { X } X. f ) ) e. _V ) |
16 |
11 14 15
|
sylancl |
|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( R u. ( { X } X. f ) ) e. _V ) |
17 |
|
trclfvlb |
|- ( ( R u. ( { X } X. f ) ) e. _V -> ( R u. ( { X } X. f ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) |
18 |
17
|
unssad |
|- ( ( R u. ( { X } X. f ) ) e. _V -> R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) |
19 |
16 18
|
syl |
|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) |
20 |
|
trclfvcotrg |
|- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) |
21 |
20
|
a1i |
|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) |
22 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> X e. U ) |
23 |
|
snidg |
|- ( X e. U -> X e. { X } ) |
24 |
22 23
|
syl |
|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> X e. { X } ) |
25 |
|
inelcm |
|- ( ( X e. { X } /\ X e. { X } ) -> ( { X } i^i { X } ) =/= (/) ) |
26 |
24 24 25
|
syl2anc |
|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( { X } i^i { X } ) =/= (/) ) |
27 |
|
xpima2 |
|- ( ( { X } i^i { X } ) =/= (/) -> ( ( { X } X. f ) " { X } ) = f ) |
28 |
26 27
|
syl |
|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( { X } X. f ) " { X } ) = f ) |
29 |
16 17
|
syl |
|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( R u. ( { X } X. f ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) |
30 |
29
|
unssbd |
|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( { X } X. f ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) |
31 |
|
imass1 |
|- ( ( { X } X. f ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) -> ( ( { X } X. f ) " { X } ) C_ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) ) |
32 |
30 31
|
syl |
|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( { X } X. f ) " { X } ) C_ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) ) |
33 |
28 32
|
eqsstrrd |
|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> f C_ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) ) |
34 |
|
imaundir |
|- ( ( R u. ( { X } X. f ) ) " ( { X } u. f ) ) = ( ( R " ( { X } u. f ) ) u. ( ( { X } X. f ) " ( { X } u. f ) ) ) |
35 |
|
simpr |
|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) |
36 |
|
imassrn |
|- ( ( { X } X. f ) " ( { X } u. f ) ) C_ ran ( { X } X. f ) |
37 |
|
rnxpss |
|- ran ( { X } X. f ) C_ f |
38 |
36 37
|
sstri |
|- ( ( { X } X. f ) " ( { X } u. f ) ) C_ f |
39 |
38
|
a1i |
|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( { X } X. f ) " ( { X } u. f ) ) C_ f ) |
40 |
35 39
|
unssd |
|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( R " ( { X } u. f ) ) u. ( ( { X } X. f ) " ( { X } u. f ) ) ) C_ f ) |
41 |
34 40
|
eqsstrid |
|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( R u. ( { X } X. f ) ) " ( { X } u. f ) ) C_ f ) |
42 |
|
trclimalb2 |
|- ( ( ( R u. ( { X } X. f ) ) e. _V /\ ( ( R u. ( { X } X. f ) ) " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) C_ f ) |
43 |
16 41 42
|
syl2anc |
|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) C_ f ) |
44 |
33 43
|
eqssd |
|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> f = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) ) |
45 |
|
sbcan |
|- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) <-> ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. f = ( r " { X } ) ) ) |
46 |
|
sbcan |
|- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) <-> ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. R C_ r /\ [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( r o. r ) C_ r ) ) |
47 |
|
fvex |
|- ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V |
48 |
|
sbcssg |
|- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V -> ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. R C_ r <-> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ R C_ [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r ) ) |
49 |
47 48
|
ax-mp |
|- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. R C_ r <-> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ R C_ [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r ) |
50 |
|
csbconstg |
|- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V -> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ R = R ) |
51 |
47 50
|
ax-mp |
|- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ R = R |
52 |
47
|
csbvargi |
|- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r = ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) |
53 |
51 52
|
sseq12i |
|- ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ R C_ [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r <-> R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) |
54 |
49 53
|
bitri |
|- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. R C_ r <-> R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) |
55 |
|
sbcssg |
|- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V -> ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( r o. r ) C_ r <-> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r o. r ) C_ [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r ) ) |
56 |
47 55
|
ax-mp |
|- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( r o. r ) C_ r <-> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r o. r ) C_ [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r ) |
57 |
|
csbcog |
|- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V -> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r o. r ) = ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r o. [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r ) ) |
58 |
47 57
|
ax-mp |
|- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r o. r ) = ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r o. [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r ) |
59 |
52 52
|
coeq12i |
|- ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r o. [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r ) = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) |
60 |
58 59
|
eqtri |
|- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r o. r ) = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) |
61 |
60 52
|
sseq12i |
|- ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r o. r ) C_ [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r <-> ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) |
62 |
56 61
|
bitri |
|- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( r o. r ) C_ r <-> ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) |
63 |
54 62
|
anbi12i |
|- ( ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. R C_ r /\ [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( r o. r ) C_ r ) <-> ( R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) /\ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) ) |
64 |
46 63
|
bitri |
|- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) <-> ( R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) /\ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) ) |
65 |
|
sbceq2g |
|- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V -> ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. f = ( r " { X } ) <-> f = [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r " { X } ) ) ) |
66 |
47 65
|
ax-mp |
|- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. f = ( r " { X } ) <-> f = [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r " { X } ) ) |
67 |
|
csbima12 |
|- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r " { X } ) = ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r " [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ { X } ) |
68 |
52
|
imaeq1i |
|- ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r " [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ { X } ) = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ { X } ) |
69 |
|
csbconstg |
|- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V -> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ { X } = { X } ) |
70 |
47 69
|
ax-mp |
|- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ { X } = { X } |
71 |
70
|
imaeq2i |
|- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ { X } ) = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) |
72 |
67 68 71
|
3eqtri |
|- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r " { X } ) = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) |
73 |
72
|
eqeq2i |
|- ( f = [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r " { X } ) <-> f = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) ) |
74 |
66 73
|
bitri |
|- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. f = ( r " { X } ) <-> f = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) ) |
75 |
64 74
|
anbi12i |
|- ( ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. f = ( r " { X } ) ) <-> ( ( R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) /\ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) /\ f = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) ) ) |
76 |
45 75
|
sylbbr |
|- ( ( ( R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) /\ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) /\ f = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) ) -> [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) ) |
77 |
19 21 44 76
|
syl21anc |
|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) ) |
78 |
77
|
spesbcd |
|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) ) |
79 |
78
|
ex |
|- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f -> E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) ) ) |
80 |
|
eqeq1 |
|- ( g = f -> ( g = ( s " { X } ) <-> f = ( s " { X } ) ) ) |
81 |
80
|
rexbidv |
|- ( g = f -> ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) <-> E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } f = ( s " { X } ) ) ) |
82 |
|
imaeq1 |
|- ( s = r -> ( s " { X } ) = ( r " { X } ) ) |
83 |
82
|
eqeq2d |
|- ( s = r -> ( f = ( s " { X } ) <-> f = ( r " { X } ) ) ) |
84 |
83
|
rexab2 |
|- ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } f = ( s " { X } ) <-> E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) ) |
85 |
81 84
|
syl6bb |
|- ( g = f -> ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) <-> E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) ) ) |
86 |
13 85
|
elab |
|- ( f e. { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } <-> E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) ) |
87 |
79 86
|
syl6ibr |
|- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f -> f e. { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } ) ) |
88 |
|
intss1 |
|- ( f e. { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } -> |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } C_ f ) |
89 |
87 88
|
syl6 |
|- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f -> |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } C_ f ) ) |
90 |
89
|
alrimiv |
|- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> A. f ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f -> |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } C_ f ) ) |
91 |
|
ssintab |
|- ( |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } C_ |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } <-> A. f ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f -> |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } C_ f ) ) |
92 |
90 91
|
sylibr |
|- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } C_ |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } ) |
93 |
|
ssintab |
|- ( |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } C_ |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } <-> A. g ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) -> |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } C_ g ) ) |
94 |
82
|
eqeq2d |
|- ( s = r -> ( g = ( s " { X } ) <-> g = ( r " { X } ) ) ) |
95 |
94
|
rexab2 |
|- ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) <-> E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ g = ( r " { X } ) ) ) |
96 |
|
simpr |
|- ( ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ g = ( r " { X } ) ) -> g = ( r " { X } ) ) |
97 |
|
imass1 |
|- ( R C_ r -> ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) ) |
98 |
97
|
adantr |
|- ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) ) |
99 |
|
imass1 |
|- ( R C_ r -> ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " ( r " { X } ) ) ) |
100 |
|
imaco |
|- ( ( r o. r ) " { X } ) = ( r " ( r " { X } ) ) |
101 |
|
imass1 |
|- ( ( r o. r ) C_ r -> ( ( r o. r ) " { X } ) C_ ( r " { X } ) ) |
102 |
100 101
|
eqsstrrid |
|- ( ( r o. r ) C_ r -> ( r " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) ) |
103 |
99 102
|
sylan9ss |
|- ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) ) |
104 |
98 103
|
jca |
|- ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> ( ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) /\ ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) ) ) |
105 |
104
|
adantr |
|- ( ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ g = ( r " { X } ) ) -> ( ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) /\ ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) ) ) |
106 |
|
vex |
|- r e. _V |
107 |
106
|
imaex |
|- ( r " { X } ) e. _V |
108 |
|
imaundi |
|- ( R " ( { X } u. f ) ) = ( ( R " { X } ) u. ( R " f ) ) |
109 |
108
|
sseq1i |
|- ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f <-> ( ( R " { X } ) u. ( R " f ) ) C_ f ) |
110 |
|
unss |
|- ( ( ( R " { X } ) C_ f /\ ( R " f ) C_ f ) <-> ( ( R " { X } ) u. ( R " f ) ) C_ f ) |
111 |
109 110
|
bitr4i |
|- ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f <-> ( ( R " { X } ) C_ f /\ ( R " f ) C_ f ) ) |
112 |
|
imaeq2 |
|- ( f = ( r " { X } ) -> ( R " f ) = ( R " ( r " { X } ) ) ) |
113 |
|
id |
|- ( f = ( r " { X } ) -> f = ( r " { X } ) ) |
114 |
112 113
|
sseq12d |
|- ( f = ( r " { X } ) -> ( ( R " f ) C_ f <-> ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) ) ) |
115 |
114
|
cleq2lem |
|- ( f = ( r " { X } ) -> ( ( ( R " { X } ) C_ f /\ ( R " f ) C_ f ) <-> ( ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) /\ ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) ) ) ) |
116 |
111 115
|
syl5bb |
|- ( f = ( r " { X } ) -> ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f <-> ( ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) /\ ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) ) ) ) |
117 |
107 116
|
elab |
|- ( ( r " { X } ) e. { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } <-> ( ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) /\ ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) ) ) |
118 |
105 117
|
sylibr |
|- ( ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ g = ( r " { X } ) ) -> ( r " { X } ) e. { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } ) |
119 |
96 118
|
eqeltrd |
|- ( ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ g = ( r " { X } ) ) -> g e. { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } ) |
120 |
119
|
exlimiv |
|- ( E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ g = ( r " { X } ) ) -> g e. { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } ) |
121 |
95 120
|
sylbi |
|- ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) -> g e. { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } ) |
122 |
|
intss1 |
|- ( g e. { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } -> |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } C_ g ) |
123 |
121 122
|
syl |
|- ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) -> |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } C_ g ) |
124 |
93 123
|
mpgbir |
|- |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } C_ |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } |
125 |
124
|
a1i |
|- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } C_ |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } ) |
126 |
92 125
|
eqssd |
|- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } = |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } ) |
127 |
10 126
|
eqtrd |
|- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) = |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } ) |
128 |
127
|
eleq2d |
|- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( Y e. ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) <-> Y e. |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } ) ) |
129 |
8 128
|
bitrd |
|- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( X ( t+ ` R ) Y <-> Y e. |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } ) ) |