Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
qrng.q |
|- Q = ( CCfld |`s QQ ) |
2 |
|
qabsabv.a |
|- A = ( AbsVal ` Q ) |
3 |
|
padic.j |
|- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) ) |
4 |
|
ostth.k |
|- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) ) |
5 |
|
simpl |
|- ( ( F e. A /\ ( n e. NN /\ 1 < ( F ` n ) ) ) -> F e. A ) |
6 |
|
1re |
|- 1 e. RR |
7 |
6
|
ltnri |
|- -. 1 < 1 |
8 |
|
ax-1ne0 |
|- 1 =/= 0 |
9 |
1
|
qrng1 |
|- 1 = ( 1r ` Q ) |
10 |
1
|
qrng0 |
|- 0 = ( 0g ` Q ) |
11 |
2 9 10
|
abv1z |
|- ( ( F e. A /\ 1 =/= 0 ) -> ( F ` 1 ) = 1 ) |
12 |
8 11
|
mpan2 |
|- ( F e. A -> ( F ` 1 ) = 1 ) |
13 |
12
|
breq2d |
|- ( F e. A -> ( 1 < ( F ` 1 ) <-> 1 < 1 ) ) |
14 |
7 13
|
mtbiri |
|- ( F e. A -> -. 1 < ( F ` 1 ) ) |
15 |
14
|
adantr |
|- ( ( F e. A /\ ( n e. NN /\ 1 < ( F ` n ) ) ) -> -. 1 < ( F ` 1 ) ) |
16 |
|
simprr |
|- ( ( F e. A /\ ( n e. NN /\ 1 < ( F ` n ) ) ) -> 1 < ( F ` n ) ) |
17 |
|
fveq2 |
|- ( n = 1 -> ( F ` n ) = ( F ` 1 ) ) |
18 |
17
|
breq2d |
|- ( n = 1 -> ( 1 < ( F ` n ) <-> 1 < ( F ` 1 ) ) ) |
19 |
16 18
|
syl5ibcom |
|- ( ( F e. A /\ ( n e. NN /\ 1 < ( F ` n ) ) ) -> ( n = 1 -> 1 < ( F ` 1 ) ) ) |
20 |
15 19
|
mtod |
|- ( ( F e. A /\ ( n e. NN /\ 1 < ( F ` n ) ) ) -> -. n = 1 ) |
21 |
|
simprl |
|- ( ( F e. A /\ ( n e. NN /\ 1 < ( F ` n ) ) ) -> n e. NN ) |
22 |
|
elnn1uz2 |
|- ( n e. NN <-> ( n = 1 \/ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) |
23 |
21 22
|
sylib |
|- ( ( F e. A /\ ( n e. NN /\ 1 < ( F ` n ) ) ) -> ( n = 1 \/ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) |
24 |
23
|
ord |
|- ( ( F e. A /\ ( n e. NN /\ 1 < ( F ` n ) ) ) -> ( -. n = 1 -> n e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) |
25 |
20 24
|
mpd |
|- ( ( F e. A /\ ( n e. NN /\ 1 < ( F ` n ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` 2 ) ) |
26 |
|
eqid |
|- ( ( log ` ( F ` n ) ) / ( log ` n ) ) = ( ( log ` ( F ` n ) ) / ( log ` n ) ) |
27 |
1 2 3 4 5 25 16 26
|
ostth2 |
|- ( ( F e. A /\ ( n e. NN /\ 1 < ( F ` n ) ) ) -> E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) ) |
28 |
27
|
rexlimdvaa |
|- ( F e. A -> ( E. n e. NN 1 < ( F ` n ) -> E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) ) ) |
29 |
|
3mix2 |
|- ( E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) -> ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) ) |
30 |
28 29
|
syl6 |
|- ( F e. A -> ( E. n e. NN 1 < ( F ` n ) -> ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) ) ) |
31 |
|
ralnex |
|- ( A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) <-> -. E. n e. NN 1 < ( F ` n ) ) |
32 |
|
simpll |
|- ( ( ( F e. A /\ A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> F e. A ) |
33 |
|
simplr |
|- ( ( ( F e. A /\ A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) |
34 |
|
fveq2 |
|- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) ) |
35 |
34
|
breq2d |
|- ( n = k -> ( 1 < ( F ` n ) <-> 1 < ( F ` k ) ) ) |
36 |
35
|
notbid |
|- ( n = k -> ( -. 1 < ( F ` n ) <-> -. 1 < ( F ` k ) ) ) |
37 |
36
|
cbvralvw |
|- ( A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) <-> A. k e. NN -. 1 < ( F ` k ) ) |
38 |
33 37
|
sylib |
|- ( ( ( F e. A /\ A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> A. k e. NN -. 1 < ( F ` k ) ) |
39 |
|
simprl |
|- ( ( ( F e. A /\ A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> p e. Prime ) |
40 |
|
simprr |
|- ( ( ( F e. A /\ A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( F ` p ) < 1 ) |
41 |
|
eqid |
|- -u ( ( log ` ( F ` p ) ) / ( log ` p ) ) = -u ( ( log ` ( F ` p ) ) / ( log ` p ) ) |
42 |
|
eqid |
|- if ( ( F ` p ) <_ ( F ` z ) , ( F ` z ) , ( F ` p ) ) = if ( ( F ` p ) <_ ( F ` z ) , ( F ` z ) , ( F ` p ) ) |
43 |
1 2 3 4 32 38 39 40 41 42
|
ostth3 |
|- ( ( ( F e. A /\ A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) /\ ( p e. Prime /\ ( F ` p ) < 1 ) ) -> E. a e. RR+ F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) ) |
44 |
43
|
expr |
|- ( ( ( F e. A /\ A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( F ` p ) < 1 -> E. a e. RR+ F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) ) ) |
45 |
44
|
reximdva |
|- ( ( F e. A /\ A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) -> ( E. p e. Prime ( F ` p ) < 1 -> E. p e. Prime E. a e. RR+ F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) ) ) |
46 |
1 2 3
|
padicabvf |
|- J : Prime --> A |
47 |
|
ffn |
|- ( J : Prime --> A -> J Fn Prime ) |
48 |
|
fveq1 |
|- ( g = ( J ` p ) -> ( g ` y ) = ( ( J ` p ) ` y ) ) |
49 |
48
|
oveq1d |
|- ( g = ( J ` p ) -> ( ( g ` y ) ^c a ) = ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) |
50 |
49
|
mpteq2dv |
|- ( g = ( J ` p ) -> ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) ) |
51 |
50
|
eqeq2d |
|- ( g = ( J ` p ) -> ( F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) <-> F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) ) ) |
52 |
51
|
rexrn |
|- ( J Fn Prime -> ( E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) <-> E. p e. Prime F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) ) ) |
53 |
46 47 52
|
mp2b |
|- ( E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) <-> E. p e. Prime F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) ) |
54 |
53
|
rexbii |
|- ( E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) <-> E. a e. RR+ E. p e. Prime F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) ) |
55 |
|
rexcom |
|- ( E. a e. RR+ E. p e. Prime F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) <-> E. p e. Prime E. a e. RR+ F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) ) |
56 |
54 55
|
bitri |
|- ( E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) <-> E. p e. Prime E. a e. RR+ F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) ) |
57 |
|
3mix3 |
|- ( E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) -> ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) ) |
58 |
56 57
|
sylbir |
|- ( E. p e. Prime E. a e. RR+ F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) -> ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) ) |
59 |
45 58
|
syl6 |
|- ( ( F e. A /\ A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) -> ( E. p e. Prime ( F ` p ) < 1 -> ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) ) ) |
60 |
|
ralnex |
|- ( A. p e. Prime -. ( F ` p ) < 1 <-> -. E. p e. Prime ( F ` p ) < 1 ) |
61 |
|
simpl |
|- ( ( F e. A /\ ( A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) /\ A. p e. Prime -. ( F ` p ) < 1 ) ) -> F e. A ) |
62 |
|
simprl |
|- ( ( F e. A /\ ( A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) /\ A. p e. Prime -. ( F ` p ) < 1 ) ) -> A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) |
63 |
62 37
|
sylib |
|- ( ( F e. A /\ ( A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) /\ A. p e. Prime -. ( F ` p ) < 1 ) ) -> A. k e. NN -. 1 < ( F ` k ) ) |
64 |
|
simprr |
|- ( ( F e. A /\ ( A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) /\ A. p e. Prime -. ( F ` p ) < 1 ) ) -> A. p e. Prime -. ( F ` p ) < 1 ) |
65 |
|
fveq2 |
|- ( p = k -> ( F ` p ) = ( F ` k ) ) |
66 |
65
|
breq1d |
|- ( p = k -> ( ( F ` p ) < 1 <-> ( F ` k ) < 1 ) ) |
67 |
66
|
notbid |
|- ( p = k -> ( -. ( F ` p ) < 1 <-> -. ( F ` k ) < 1 ) ) |
68 |
67
|
cbvralvw |
|- ( A. p e. Prime -. ( F ` p ) < 1 <-> A. k e. Prime -. ( F ` k ) < 1 ) |
69 |
64 68
|
sylib |
|- ( ( F e. A /\ ( A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) /\ A. p e. Prime -. ( F ` p ) < 1 ) ) -> A. k e. Prime -. ( F ` k ) < 1 ) |
70 |
1 2 3 4 61 63 69
|
ostth1 |
|- ( ( F e. A /\ ( A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) /\ A. p e. Prime -. ( F ` p ) < 1 ) ) -> F = K ) |
71 |
70
|
3mix1d |
|- ( ( F e. A /\ ( A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) /\ A. p e. Prime -. ( F ` p ) < 1 ) ) -> ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) ) |
72 |
71
|
expr |
|- ( ( F e. A /\ A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) -> ( A. p e. Prime -. ( F ` p ) < 1 -> ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) ) ) |
73 |
60 72
|
syl5bir |
|- ( ( F e. A /\ A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) -> ( -. E. p e. Prime ( F ` p ) < 1 -> ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) ) ) |
74 |
59 73
|
pm2.61d |
|- ( ( F e. A /\ A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) ) -> ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) ) |
75 |
74
|
ex |
|- ( F e. A -> ( A. n e. NN -. 1 < ( F ` n ) -> ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) ) ) |
76 |
31 75
|
syl5bir |
|- ( F e. A -> ( -. E. n e. NN 1 < ( F ` n ) -> ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) ) ) |
77 |
30 76
|
pm2.61d |
|- ( F e. A -> ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) ) |
78 |
|
id |
|- ( F = K -> F = K ) |
79 |
1
|
qdrng |
|- Q e. DivRing |
80 |
1
|
qrngbas |
|- QQ = ( Base ` Q ) |
81 |
2 80 10 4
|
abvtriv |
|- ( Q e. DivRing -> K e. A ) |
82 |
79 81
|
ax-mp |
|- K e. A |
83 |
78 82
|
eqeltrdi |
|- ( F = K -> F e. A ) |
84 |
1 2
|
qabsabv |
|- ( abs |` QQ ) e. A |
85 |
|
fvres |
|- ( y e. QQ -> ( ( abs |` QQ ) ` y ) = ( abs ` y ) ) |
86 |
85
|
oveq1d |
|- ( y e. QQ -> ( ( ( abs |` QQ ) ` y ) ^c a ) = ( ( abs ` y ) ^c a ) ) |
87 |
86
|
mpteq2ia |
|- ( y e. QQ |-> ( ( ( abs |` QQ ) ` y ) ^c a ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) |
88 |
87
|
eqcomi |
|- ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) = ( y e. QQ |-> ( ( ( abs |` QQ ) ` y ) ^c a ) ) |
89 |
2 80 88
|
abvcxp |
|- ( ( ( abs |` QQ ) e. A /\ a e. ( 0 (,] 1 ) ) -> ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) e. A ) |
90 |
84 89
|
mpan |
|- ( a e. ( 0 (,] 1 ) -> ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) e. A ) |
91 |
|
eleq1 |
|- ( F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) -> ( F e. A <-> ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) e. A ) ) |
92 |
90 91
|
syl5ibrcom |
|- ( a e. ( 0 (,] 1 ) -> ( F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) -> F e. A ) ) |
93 |
92
|
rexlimiv |
|- ( E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) -> F e. A ) |
94 |
1 2 3
|
padicabvcxp |
|- ( ( p e. Prime /\ a e. RR+ ) -> ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) e. A ) |
95 |
94
|
ancoms |
|- ( ( a e. RR+ /\ p e. Prime ) -> ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) e. A ) |
96 |
|
eleq1 |
|- ( F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) -> ( F e. A <-> ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) e. A ) ) |
97 |
95 96
|
syl5ibrcom |
|- ( ( a e. RR+ /\ p e. Prime ) -> ( F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) -> F e. A ) ) |
98 |
97
|
rexlimivv |
|- ( E. a e. RR+ E. p e. Prime F = ( y e. QQ |-> ( ( ( J ` p ) ` y ) ^c a ) ) -> F e. A ) |
99 |
54 98
|
sylbi |
|- ( E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) -> F e. A ) |
100 |
83 93 99
|
3jaoi |
|- ( ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) -> F e. A ) |
101 |
77 100
|
impbii |
|- ( F e. A <-> ( F = K \/ E. a e. ( 0 (,] 1 ) F = ( y e. QQ |-> ( ( abs ` y ) ^c a ) ) \/ E. a e. RR+ E. g e. ran J F = ( y e. QQ |-> ( ( g ` y ) ^c a ) ) ) ) |