Metamath Proof Explorer


Theorem cvmliftmolem2

Description: Lemma for cvmliftmo . (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015)

Ref Expression
Hypotheses cvmliftmo.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftmo.y 𝑌 = 𝐾
cvmliftmo.f ( 𝜑𝐹 ∈ ( 𝐶 CovMap 𝐽 ) )
cvmliftmo.k ( 𝜑𝐾 ∈ Conn )
cvmliftmo.l ( 𝜑𝐾 ∈ 𝑛-Locally Conn )
cvmliftmo.o ( 𝜑𝑂𝑌 )
cvmliftmoi.m ( 𝜑𝑀 ∈ ( 𝐾 Cn 𝐶 ) )
cvmliftmoi.n ( 𝜑𝑁 ∈ ( 𝐾 Cn 𝐶 ) )
cvmliftmoi.g ( 𝜑 → ( 𝐹𝑀 ) = ( 𝐹𝑁 ) )
cvmliftmoi.p ( 𝜑 → ( 𝑀𝑂 ) = ( 𝑁𝑂 ) )
cvmliftmolem.1 𝑆 = ( 𝑘𝐽 ↦ { 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∖ { ∅ } ) ∣ ( 𝑠 = ( 𝐹𝑘 ) ∧ ∀ 𝑢𝑠 ( ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ∖ { 𝑢 } ) ( 𝑢𝑣 ) = ∅ ∧ ( 𝐹𝑢 ) ∈ ( ( 𝐶t 𝑢 ) Homeo ( 𝐽t 𝑘 ) ) ) ) } )
Assertion cvmliftmolem2 ( 𝜑𝑀 = 𝑁 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cvmliftmo.b 𝐵 = 𝐶
2 cvmliftmo.y 𝑌 = 𝐾
3 cvmliftmo.f ( 𝜑𝐹 ∈ ( 𝐶 CovMap 𝐽 ) )
4 cvmliftmo.k ( 𝜑𝐾 ∈ Conn )
5 cvmliftmo.l ( 𝜑𝐾 ∈ 𝑛-Locally Conn )
6 cvmliftmo.o ( 𝜑𝑂𝑌 )
7 cvmliftmoi.m ( 𝜑𝑀 ∈ ( 𝐾 Cn 𝐶 ) )
8 cvmliftmoi.n ( 𝜑𝑁 ∈ ( 𝐾 Cn 𝐶 ) )
9 cvmliftmoi.g ( 𝜑 → ( 𝐹𝑀 ) = ( 𝐹𝑁 ) )
10 cvmliftmoi.p ( 𝜑 → ( 𝑀𝑂 ) = ( 𝑁𝑂 ) )
11 cvmliftmolem.1 𝑆 = ( 𝑘𝐽 ↦ { 𝑠 ∈ ( 𝒫 𝐶 ∖ { ∅ } ) ∣ ( 𝑠 = ( 𝐹𝑘 ) ∧ ∀ 𝑢𝑠 ( ∀ 𝑣 ∈ ( 𝑠 ∖ { 𝑢 } ) ( 𝑢𝑣 ) = ∅ ∧ ( 𝐹𝑢 ) ∈ ( ( 𝐶t 𝑢 ) Homeo ( 𝐽t 𝑘 ) ) ) ) } )
12 2 1 cnf ( 𝑀 ∈ ( 𝐾 Cn 𝐶 ) → 𝑀 : 𝑌𝐵 )
13 ffn ( 𝑀 : 𝑌𝐵𝑀 Fn 𝑌 )
14 7 12 13 3syl ( 𝜑𝑀 Fn 𝑌 )
15 2 1 cnf ( 𝑁 ∈ ( 𝐾 Cn 𝐶 ) → 𝑁 : 𝑌𝐵 )
16 ffn ( 𝑁 : 𝑌𝐵𝑁 Fn 𝑌 )
17 8 15 16 3syl ( 𝜑𝑁 Fn 𝑌 )
18 inss1 ( 𝐾 ∩ ( Clsd ‘ 𝐾 ) ) ⊆ 𝐾
19 3 adantr ( ( 𝜑𝑥𝑌 ) → 𝐹 ∈ ( 𝐶 CovMap 𝐽 ) )
20 7 12 syl ( 𝜑𝑀 : 𝑌𝐵 )
21 20 ffvelrnda ( ( 𝜑𝑥𝑌 ) → ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝐵 )
22 cvmcn ( 𝐹 ∈ ( 𝐶 CovMap 𝐽 ) → 𝐹 ∈ ( 𝐶 Cn 𝐽 ) )
23 eqid 𝐽 = 𝐽
24 1 23 cnf ( 𝐹 ∈ ( 𝐶 Cn 𝐽 ) → 𝐹 : 𝐵 𝐽 )
25 3 22 24 3syl ( 𝜑𝐹 : 𝐵 𝐽 )
26 25 ffvelrnda ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝐽 )
27 21 26 syldan ( ( 𝜑𝑥𝑌 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝐽 )
28 11 23 cvmcov ( ( 𝐹 ∈ ( 𝐶 CovMap 𝐽 ) ∧ ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝐽 ) → ∃ 𝑎𝐽 ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎 ∧ ( 𝑆𝑎 ) ≠ ∅ ) )
29 19 27 28 syl2anc ( ( 𝜑𝑥𝑌 ) → ∃ 𝑎𝐽 ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎 ∧ ( 𝑆𝑎 ) ≠ ∅ ) )
30 n0 ( ( 𝑆𝑎 ) ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑡 𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) )
31 5 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally Conn )
32 7 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ) → 𝑀 ∈ ( 𝐾 Cn 𝐶 ) )
33 simprrr ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ) → 𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) )
34 11 cvmsss ( 𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) → 𝑡𝐶 )
35 33 34 syl ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ) → 𝑡𝐶 )
36 3 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ) → 𝐹 ∈ ( 𝐶 CovMap 𝐽 ) )
37 20 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ) → 𝑀 : 𝑌𝐵 )
38 simprll ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ) → 𝑥𝑌 )
39 37 38 ffvelrnd ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ) → ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝐵 )
40 simprrl ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎 )
41 eqid ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) = ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 )
42 11 1 41 cvmsiota ( ( 𝐹 ∈ ( 𝐶 CovMap 𝐽 ) ∧ ( 𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ∧ ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎 ) ) → ( ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ∈ 𝑡 ∧ ( 𝑀𝑥 ) ∈ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) )
43 36 33 39 40 42 syl13anc ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ) → ( ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ∈ 𝑡 ∧ ( 𝑀𝑥 ) ∈ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) )
44 43 simpld ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ) → ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ∈ 𝑡 )
45 35 44 sseldd ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ) → ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ∈ 𝐶 )
46 cnima ( ( 𝑀 ∈ ( 𝐾 Cn 𝐶 ) ∧ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ∈ 𝐶 ) → ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∈ 𝐾 )
47 32 45 46 syl2anc ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ) → ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∈ 𝐾 )
48 43 simprd ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ) → ( 𝑀𝑥 ) ∈ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) )
49 elpreima ( 𝑀 Fn 𝑌 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ↔ ( 𝑥𝑌 ∧ ( 𝑀𝑥 ) ∈ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ) )
50 37 13 49 3syl ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ↔ ( 𝑥𝑌 ∧ ( 𝑀𝑥 ) ∈ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ) )
51 38 48 50 mpbir2and ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) )
52 nlly2i ( ( 𝐾 ∈ 𝑛-Locally Conn ∧ ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∈ 𝐾𝑥 ∈ ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ) → ∃ 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∃ 𝑦𝐾 ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) )
53 31 47 51 52 syl3anc ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ) → ∃ 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∃ 𝑦𝐾 ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) )
54 simprr1 ( ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦𝐾 ) ∧ ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) ) ) → 𝑥𝑦 )
55 simplrr ( ( ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦𝐾 ) ∧ ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) ) ∧ 𝑧𝑦 ) ) → 𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) )
56 55 adantl ( ( 𝜑 ∧ ( ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦𝐾 ) ∧ ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) ) ∧ 𝑧𝑦 ) ) ) → 𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) )
57 44 adantrr ( ( 𝜑 ∧ ( ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦𝐾 ) ∧ ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) ) ∧ 𝑧𝑦 ) ) ) → ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ∈ 𝑡 )
58 simplll ( ( ( ( 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦𝐾 ) ∧ ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) ) ∧ 𝑧𝑦 ) → 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) )
59 58 ad2antll ( ( 𝜑 ∧ ( ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦𝐾 ) ∧ ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) ) ∧ 𝑧𝑦 ) ) ) → 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) )
60 59 elpwid ( ( 𝜑 ∧ ( ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦𝐾 ) ∧ ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) ) ∧ 𝑧𝑦 ) ) ) → 𝑠 ⊆ ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) )
61 simplr3 ( ( ( ( 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦𝐾 ) ∧ ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) ) ∧ 𝑧𝑦 ) → ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn )
62 61 ad2antll ( ( 𝜑 ∧ ( ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦𝐾 ) ∧ ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) ) ∧ 𝑧𝑦 ) ) ) → ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn )
63 simplr2 ( ( ( ( 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦𝐾 ) ∧ ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) ) ∧ 𝑧𝑦 ) → 𝑦𝑠 )
64 63 ad2antll ( ( 𝜑 ∧ ( ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦𝐾 ) ∧ ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) ) ∧ 𝑧𝑦 ) ) ) → 𝑦𝑠 )
65 simprr1 ( ( ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦𝐾 ) ∧ ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) ) ) → 𝑥𝑦 )
66 65 adantl ( ( 𝜑 ∧ ( ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦𝐾 ) ∧ ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) ) ) ) → 𝑥𝑦 )
67 66 adantrrr ( ( 𝜑 ∧ ( ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦𝐾 ) ∧ ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) ) ∧ 𝑧𝑦 ) ) ) → 𝑥𝑦 )
68 64 67 sseldd ( ( 𝜑 ∧ ( ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦𝐾 ) ∧ ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) ) ∧ 𝑧𝑦 ) ) ) → 𝑥𝑠 )
69 simprrr ( ( 𝜑 ∧ ( ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦𝐾 ) ∧ ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) ) ∧ 𝑧𝑦 ) ) ) → 𝑧𝑦 )
70 64 69 sseldd ( ( 𝜑 ∧ ( ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦𝐾 ) ∧ ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) ) ∧ 𝑧𝑦 ) ) ) → 𝑧𝑠 )
71 40 adantrr ( ( 𝜑 ∧ ( ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦𝐾 ) ∧ ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) ) ∧ 𝑧𝑦 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎 )
72 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 56 57 60 62 68 68 70 71 cvmliftmolem1 ( ( 𝜑 ∧ ( ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦𝐾 ) ∧ ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) ) ∧ 𝑧𝑦 ) ) ) → ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) → 𝑧 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ) )
73 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 56 57 60 62 68 70 68 71 cvmliftmolem1 ( ( 𝜑 ∧ ( ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦𝐾 ) ∧ ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) ) ∧ 𝑧𝑦 ) ) ) → ( 𝑧 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) → 𝑥 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ) )
74 72 73 impbid ( ( 𝜑 ∧ ( ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦𝐾 ) ∧ ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) ) ∧ 𝑧𝑦 ) ) ) → ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ↔ 𝑧 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ) )
75 74 anassrs ( ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦𝐾 ) ∧ ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) ) ∧ 𝑧𝑦 ) ) → ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ↔ 𝑧 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ) )
76 75 anassrs ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦𝐾 ) ∧ ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) ) ) ∧ 𝑧𝑦 ) → ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ↔ 𝑧 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ) )
77 76 ralrimiva ( ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦𝐾 ) ∧ ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) ) ) → ∀ 𝑧𝑦 ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ↔ 𝑧 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ) )
78 54 77 jca ( ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦𝐾 ) ∧ ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) ) ) → ( 𝑥𝑦 ∧ ∀ 𝑧𝑦 ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ↔ 𝑧 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ) ) )
79 78 expr ( ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ) ∧ ( 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∧ 𝑦𝐾 ) ) → ( ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) → ( 𝑥𝑦 ∧ ∀ 𝑧𝑦 ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ↔ 𝑧 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ) ) ) )
80 79 anassrs ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ) ∧ 𝑦𝐾 ) → ( ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) → ( 𝑥𝑦 ∧ ∀ 𝑧𝑦 ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ↔ 𝑧 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ) ) ) )
81 80 reximdva ( ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ) → ( ∃ 𝑦𝐾 ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) → ∃ 𝑦𝐾 ( 𝑥𝑦 ∧ ∀ 𝑧𝑦 ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ↔ 𝑧 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ) ) ) )
82 81 rexlimdva ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑠 ∈ 𝒫 ( 𝑀 “ ( 𝑏𝑡 ( 𝑀𝑥 ) ∈ 𝑏 ) ) ∃ 𝑦𝐾 ( 𝑥𝑦𝑦𝑠 ∧ ( 𝐾t 𝑠 ) ∈ Conn ) → ∃ 𝑦𝐾 ( 𝑥𝑦 ∧ ∀ 𝑧𝑦 ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ↔ 𝑧 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ) ) ) )
83 53 82 mpd ( ( 𝜑 ∧ ( ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) ) → ∃ 𝑦𝐾 ( 𝑥𝑦 ∧ ∀ 𝑧𝑦 ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ↔ 𝑧 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ) ) )
84 83 anassrs ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) ) ) → ∃ 𝑦𝐾 ( 𝑥𝑦 ∧ ∀ 𝑧𝑦 ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ↔ 𝑧 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ) ) )
85 84 expr ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ) ∧ ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎 ) → ( 𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) → ∃ 𝑦𝐾 ( 𝑥𝑦 ∧ ∀ 𝑧𝑦 ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ↔ 𝑧 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ) ) ) )
86 85 exlimdv ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ) ∧ ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎 ) → ( ∃ 𝑡 𝑡 ∈ ( 𝑆𝑎 ) → ∃ 𝑦𝐾 ( 𝑥𝑦 ∧ ∀ 𝑧𝑦 ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ↔ 𝑧 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ) ) ) )
87 30 86 syl5bi ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ) ∧ ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎 ) → ( ( 𝑆𝑎 ) ≠ ∅ → ∃ 𝑦𝐾 ( 𝑥𝑦 ∧ ∀ 𝑧𝑦 ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ↔ 𝑧 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ) ) ) )
88 87 expimpd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥𝑌𝑎𝐽 ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎 ∧ ( 𝑆𝑎 ) ≠ ∅ ) → ∃ 𝑦𝐾 ( 𝑥𝑦 ∧ ∀ 𝑧𝑦 ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ↔ 𝑧 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ) ) ) )
89 88 anassrs ( ( ( 𝜑𝑥𝑌 ) ∧ 𝑎𝐽 ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎 ∧ ( 𝑆𝑎 ) ≠ ∅ ) → ∃ 𝑦𝐾 ( 𝑥𝑦 ∧ ∀ 𝑧𝑦 ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ↔ 𝑧 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ) ) ) )
90 89 rexlimdva ( ( 𝜑𝑥𝑌 ) → ( ∃ 𝑎𝐽 ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑀𝑥 ) ) ∈ 𝑎 ∧ ( 𝑆𝑎 ) ≠ ∅ ) → ∃ 𝑦𝐾 ( 𝑥𝑦 ∧ ∀ 𝑧𝑦 ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ↔ 𝑧 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ) ) ) )
91 29 90 mpd ( ( 𝜑𝑥𝑌 ) → ∃ 𝑦𝐾 ( 𝑥𝑦 ∧ ∀ 𝑧𝑦 ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ↔ 𝑧 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ) ) )
92 91 ralrimiva ( 𝜑 → ∀ 𝑥𝑌𝑦𝐾 ( 𝑥𝑦 ∧ ∀ 𝑧𝑦 ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ↔ 𝑧 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ) ) )
93 conntop ( 𝐾 ∈ Conn → 𝐾 ∈ Top )
94 4 93 syl ( 𝜑𝐾 ∈ Top )
95 fndmin ( ( 𝑀 Fn 𝑌𝑁 Fn 𝑌 ) → dom ( 𝑀𝑁 ) = { 𝑥𝑌 ∣ ( 𝑀𝑥 ) = ( 𝑁𝑥 ) } )
96 14 17 95 syl2anc ( 𝜑 → dom ( 𝑀𝑁 ) = { 𝑥𝑌 ∣ ( 𝑀𝑥 ) = ( 𝑁𝑥 ) } )
97 ssrab2 { 𝑥𝑌 ∣ ( 𝑀𝑥 ) = ( 𝑁𝑥 ) } ⊆ 𝑌
98 96 97 eqsstrdi ( 𝜑 → dom ( 𝑀𝑁 ) ⊆ 𝑌 )
99 2 isclo ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ dom ( 𝑀𝑁 ) ⊆ 𝑌 ) → ( dom ( 𝑀𝑁 ) ∈ ( 𝐾 ∩ ( Clsd ‘ 𝐾 ) ) ↔ ∀ 𝑥𝑌𝑦𝐾 ( 𝑥𝑦 ∧ ∀ 𝑧𝑦 ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ↔ 𝑧 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ) ) ) )
100 94 98 99 syl2anc ( 𝜑 → ( dom ( 𝑀𝑁 ) ∈ ( 𝐾 ∩ ( Clsd ‘ 𝐾 ) ) ↔ ∀ 𝑥𝑌𝑦𝐾 ( 𝑥𝑦 ∧ ∀ 𝑧𝑦 ( 𝑥 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ↔ 𝑧 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) ) ) ) )
101 92 100 mpbird ( 𝜑 → dom ( 𝑀𝑁 ) ∈ ( 𝐾 ∩ ( Clsd ‘ 𝐾 ) ) )
102 18 101 sseldi ( 𝜑 → dom ( 𝑀𝑁 ) ∈ 𝐾 )
103 fveq2 ( 𝑥 = 𝑂 → ( 𝑀𝑥 ) = ( 𝑀𝑂 ) )
104 fveq2 ( 𝑥 = 𝑂 → ( 𝑁𝑥 ) = ( 𝑁𝑂 ) )
105 103 104 eqeq12d ( 𝑥 = 𝑂 → ( ( 𝑀𝑥 ) = ( 𝑁𝑥 ) ↔ ( 𝑀𝑂 ) = ( 𝑁𝑂 ) ) )
106 105 elrab ( 𝑂 ∈ { 𝑥𝑌 ∣ ( 𝑀𝑥 ) = ( 𝑁𝑥 ) } ↔ ( 𝑂𝑌 ∧ ( 𝑀𝑂 ) = ( 𝑁𝑂 ) ) )
107 6 10 106 sylanbrc ( 𝜑𝑂 ∈ { 𝑥𝑌 ∣ ( 𝑀𝑥 ) = ( 𝑁𝑥 ) } )
108 107 96 eleqtrrd ( 𝜑𝑂 ∈ dom ( 𝑀𝑁 ) )
109 108 ne0d ( 𝜑 → dom ( 𝑀𝑁 ) ≠ ∅ )
110 inss2 ( 𝐾 ∩ ( Clsd ‘ 𝐾 ) ) ⊆ ( Clsd ‘ 𝐾 )
111 110 101 sseldi ( 𝜑 → dom ( 𝑀𝑁 ) ∈ ( Clsd ‘ 𝐾 ) )
112 2 4 102 109 111 connclo ( 𝜑 → dom ( 𝑀𝑁 ) = 𝑌 )
113 112 96 eqtr3d ( 𝜑𝑌 = { 𝑥𝑌 ∣ ( 𝑀𝑥 ) = ( 𝑁𝑥 ) } )
114 rabid2 ( 𝑌 = { 𝑥𝑌 ∣ ( 𝑀𝑥 ) = ( 𝑁𝑥 ) } ↔ ∀ 𝑥𝑌 ( 𝑀𝑥 ) = ( 𝑁𝑥 ) )
115 113 114 sylib ( 𝜑 → ∀ 𝑥𝑌 ( 𝑀𝑥 ) = ( 𝑁𝑥 ) )
116 115 r19.21bi ( ( 𝜑𝑥𝑌 ) → ( 𝑀𝑥 ) = ( 𝑁𝑥 ) )
117 14 17 116 eqfnfvd ( 𝜑𝑀 = 𝑁 )