| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
0cn |
⊢ 0 ∈ ℂ |
| 2 |
|
ax-icn |
⊢ i ∈ ℂ |
| 3 |
1 2
|
mulcli |
⊢ ( 0 · i ) ∈ ℂ |
| 4 |
|
cnre |
⊢ ( ( 0 · i ) ∈ ℂ → ∃ 𝑎 ∈ ℝ ∃ 𝑏 ∈ ℝ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) |
| 5 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) |
| 6 |
|
neqne |
⊢ ( ¬ ( 0 · i ) = 0 → ( 0 · i ) ≠ 0 ) |
| 7 |
6
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 0 · i ) ≠ 0 ) |
| 8 |
|
simplll |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → 𝑎 ∈ ℝ ) |
| 9 |
|
rernegcl |
⊢ ( 𝑎 ∈ ℝ → ( 0 −ℝ 𝑎 ) ∈ ℝ ) |
| 10 |
8 9
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 0 −ℝ 𝑎 ) ∈ ℝ ) |
| 11 |
|
1red |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → 1 ∈ ℝ ) |
| 12 |
10 11
|
readdcld |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ∈ ℝ ) |
| 13 |
|
ax-rrecex |
⊢ ( ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ∈ ℝ ∧ ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ≠ 0 ) → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) · 𝑥 ) = 1 ) |
| 14 |
12 13
|
sylan |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ≠ 0 ) → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) · 𝑥 ) = 1 ) |
| 15 |
2
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → i ∈ ℂ ) |
| 16 |
10
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 0 −ℝ 𝑎 ) ∈ ℂ ) |
| 17 |
|
1cnd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → 1 ∈ ℂ ) |
| 18 |
15 16 17
|
adddid |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( i · ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ) = ( ( i · ( 0 −ℝ 𝑎 ) ) + ( i · 1 ) ) ) |
| 19 |
|
it1ei |
⊢ ( i · 1 ) = i |
| 20 |
19
|
oveq2i |
⊢ ( ( i · ( 0 −ℝ 𝑎 ) ) + ( i · 1 ) ) = ( ( i · ( 0 −ℝ 𝑎 ) ) + i ) |
| 21 |
18 20
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( i · ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ) = ( ( i · ( 0 −ℝ 𝑎 ) ) + i ) ) |
| 22 |
21
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 0 · ( i · ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ) ) = ( 0 · ( ( i · ( 0 −ℝ 𝑎 ) ) + i ) ) ) |
| 23 |
|
0cnd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → 0 ∈ ℂ ) |
| 24 |
15 16
|
mulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( i · ( 0 −ℝ 𝑎 ) ) ∈ ℂ ) |
| 25 |
23 24 15
|
adddid |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 0 · ( ( i · ( 0 −ℝ 𝑎 ) ) + i ) ) = ( ( 0 · ( i · ( 0 −ℝ 𝑎 ) ) ) + ( 0 · i ) ) ) |
| 26 |
22 25
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 0 · ( i · ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ) ) = ( ( 0 · ( i · ( 0 −ℝ 𝑎 ) ) ) + ( 0 · i ) ) ) |
| 27 |
5
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + ( 0 · i ) ) = ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ) |
| 28 |
|
renegid2 |
⊢ ( 𝑎 ∈ ℝ → ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 𝑎 ) = 0 ) |
| 29 |
28
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 𝑎 ) = 0 ) |
| 30 |
29
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 𝑎 ) + ( i · 𝑏 ) ) = ( 0 + ( i · 𝑏 ) ) ) |
| 31 |
8
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → 𝑎 ∈ ℂ ) |
| 32 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → 𝑏 ∈ ℝ ) |
| 33 |
32
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → 𝑏 ∈ ℂ ) |
| 34 |
15 33
|
mulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( i · 𝑏 ) ∈ ℂ ) |
| 35 |
16 31 34
|
addassd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 𝑎 ) + ( i · 𝑏 ) ) = ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ) |
| 36 |
|
sn-addid2 |
⊢ ( ( i · 𝑏 ) ∈ ℂ → ( 0 + ( i · 𝑏 ) ) = ( i · 𝑏 ) ) |
| 37 |
34 36
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 0 + ( i · 𝑏 ) ) = ( i · 𝑏 ) ) |
| 38 |
30 35 37
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) = ( i · 𝑏 ) ) |
| 39 |
27 38
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + ( 0 · i ) ) = ( i · 𝑏 ) ) |
| 40 |
39
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 0 · i ) · ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + ( 0 · i ) ) ) = ( ( 0 · i ) · ( i · 𝑏 ) ) ) |
| 41 |
3
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 0 · i ) ∈ ℂ ) |
| 42 |
41 16 41
|
adddid |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 0 · i ) · ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + ( 0 · i ) ) ) = ( ( ( 0 · i ) · ( 0 −ℝ 𝑎 ) ) + ( ( 0 · i ) · ( 0 · i ) ) ) ) |
| 43 |
23 15 16
|
mulassd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 0 · i ) · ( 0 −ℝ 𝑎 ) ) = ( 0 · ( i · ( 0 −ℝ 𝑎 ) ) ) ) |
| 44 |
41 23 15
|
mulassd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( ( 0 · i ) · 0 ) · i ) = ( ( 0 · i ) · ( 0 · i ) ) ) |
| 45 |
|
sn-mul01 |
⊢ ( ( 0 · i ) ∈ ℂ → ( ( 0 · i ) · 0 ) = 0 ) |
| 46 |
41 45
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 0 · i ) · 0 ) = 0 ) |
| 47 |
46
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( ( 0 · i ) · 0 ) · i ) = ( 0 · i ) ) |
| 48 |
44 47
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 0 · i ) · ( 0 · i ) ) = ( 0 · i ) ) |
| 49 |
43 48
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( ( 0 · i ) · ( 0 −ℝ 𝑎 ) ) + ( ( 0 · i ) · ( 0 · i ) ) ) = ( ( 0 · ( i · ( 0 −ℝ 𝑎 ) ) ) + ( 0 · i ) ) ) |
| 50 |
42 49
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 0 · i ) · ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + ( 0 · i ) ) ) = ( ( 0 · ( i · ( 0 −ℝ 𝑎 ) ) ) + ( 0 · i ) ) ) |
| 51 |
23 15 34
|
mulassd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 0 · i ) · ( i · 𝑏 ) ) = ( 0 · ( i · ( i · 𝑏 ) ) ) ) |
| 52 |
15 15 33
|
mulassd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( i · i ) · 𝑏 ) = ( i · ( i · 𝑏 ) ) ) |
| 53 |
|
reixi |
⊢ ( i · i ) = ( 0 −ℝ 1 ) |
| 54 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
| 55 |
|
rernegcl |
⊢ ( 1 ∈ ℝ → ( 0 −ℝ 1 ) ∈ ℝ ) |
| 56 |
54 55
|
ax-mp |
⊢ ( 0 −ℝ 1 ) ∈ ℝ |
| 57 |
53 56
|
eqeltri |
⊢ ( i · i ) ∈ ℝ |
| 58 |
57
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( i · i ) ∈ ℝ ) |
| 59 |
58 32
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( i · i ) · 𝑏 ) ∈ ℝ ) |
| 60 |
52 59
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( i · ( i · 𝑏 ) ) ∈ ℝ ) |
| 61 |
|
remul02 |
⊢ ( ( i · ( i · 𝑏 ) ) ∈ ℝ → ( 0 · ( i · ( i · 𝑏 ) ) ) = 0 ) |
| 62 |
60 61
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 0 · ( i · ( i · 𝑏 ) ) ) = 0 ) |
| 63 |
51 62
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 0 · i ) · ( i · 𝑏 ) ) = 0 ) |
| 64 |
40 50 63
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 0 · ( i · ( 0 −ℝ 𝑎 ) ) ) + ( 0 · i ) ) = 0 ) |
| 65 |
26 64
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 0 · ( i · ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ) ) = 0 ) |
| 66 |
65
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( 0 · ( i · ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ) ) = 0 ) |
| 67 |
66
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( ( 0 · ( i · ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ) ) · 𝑥 ) = ( 0 · 𝑥 ) ) |
| 68 |
|
0cnd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → 0 ∈ ℂ ) |
| 69 |
2
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → i ∈ ℂ ) |
| 70 |
10
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( 0 −ℝ 𝑎 ) ∈ ℝ ) |
| 71 |
70
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( 0 −ℝ 𝑎 ) ∈ ℂ ) |
| 72 |
|
1cnd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → 1 ∈ ℂ ) |
| 73 |
71 72
|
addcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ∈ ℂ ) |
| 74 |
69 73
|
mulcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( i · ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ) ∈ ℂ ) |
| 75 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
| 76 |
75
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
| 77 |
68 74 76
|
mulassd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( ( 0 · ( i · ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ) ) · 𝑥 ) = ( 0 · ( ( i · ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ) · 𝑥 ) ) ) |
| 78 |
69 73 76
|
mulassd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( ( i · ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ) · 𝑥 ) = ( i · ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) · 𝑥 ) ) ) |
| 79 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) · 𝑥 ) = 1 ) |
| 80 |
79
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( i · ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) · 𝑥 ) ) = ( i · 1 ) ) |
| 81 |
80 19
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( i · ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) · 𝑥 ) ) = i ) |
| 82 |
78 81
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( ( i · ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ) · 𝑥 ) = i ) |
| 83 |
82
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( 0 · ( ( i · ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ) · 𝑥 ) ) = ( 0 · i ) ) |
| 84 |
77 83
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( ( 0 · ( i · ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ) ) · 𝑥 ) = ( 0 · i ) ) |
| 85 |
|
remul02 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ → ( 0 · 𝑥 ) = 0 ) |
| 86 |
75 85
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( 0 · 𝑥 ) = 0 ) |
| 87 |
67 84 86
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) · 𝑥 ) = 1 ) ) → ( 0 · i ) = 0 ) |
| 88 |
14 87
|
rexlimddv |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ≠ 0 ) → ( 0 · i ) = 0 ) |
| 89 |
88
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ≠ 0 → ( 0 · i ) = 0 ) ) |
| 90 |
89
|
necon1d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 0 · i ) ≠ 0 → ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) = 0 ) ) |
| 91 |
7 90
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) = 0 ) |
| 92 |
91
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 𝑎 + ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ) = ( 𝑎 + 0 ) ) |
| 93 |
31 16 17
|
addassd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 𝑎 + ( 0 −ℝ 𝑎 ) ) + 1 ) = ( 𝑎 + ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ) ) |
| 94 |
|
renegid |
⊢ ( 𝑎 ∈ ℝ → ( 𝑎 + ( 0 −ℝ 𝑎 ) ) = 0 ) |
| 95 |
8 94
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 𝑎 + ( 0 −ℝ 𝑎 ) ) = 0 ) |
| 96 |
95
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 𝑎 + ( 0 −ℝ 𝑎 ) ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) ) |
| 97 |
|
readdid2 |
⊢ ( 1 ∈ ℝ → ( 0 + 1 ) = 1 ) |
| 98 |
54 97
|
ax-mp |
⊢ ( 0 + 1 ) = 1 |
| 99 |
96 98
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 𝑎 + ( 0 −ℝ 𝑎 ) ) + 1 ) = 1 ) |
| 100 |
93 99
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 𝑎 + ( ( 0 −ℝ 𝑎 ) + 1 ) ) = 1 ) |
| 101 |
|
readdid1 |
⊢ ( 𝑎 ∈ ℝ → ( 𝑎 + 0 ) = 𝑎 ) |
| 102 |
8 101
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 𝑎 + 0 ) = 𝑎 ) |
| 103 |
92 100 102
|
3eqtr3rd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → 𝑎 = 1 ) |
| 104 |
|
rernegcl |
⊢ ( 𝑏 ∈ ℝ → ( 0 −ℝ 𝑏 ) ∈ ℝ ) |
| 105 |
32 104
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 0 −ℝ 𝑏 ) ∈ ℝ ) |
| 106 |
11 105
|
readdcld |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ∈ ℝ ) |
| 107 |
|
ax-rrecex |
⊢ ( ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ≠ 0 ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) · 𝑦 ) = 1 ) |
| 108 |
106 107
|
sylan |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ≠ 0 ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) · 𝑦 ) = 1 ) |
| 109 |
105
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 0 −ℝ 𝑏 ) ∈ ℂ ) |
| 110 |
15 109
|
mulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( i · ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ∈ ℂ ) |
| 111 |
23 15 110
|
adddid |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 0 · ( i + ( i · ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ) = ( ( 0 · i ) + ( 0 · ( i · ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ) ) |
| 112 |
|
0re |
⊢ 0 ∈ ℝ |
| 113 |
|
remul02 |
⊢ ( 0 ∈ ℝ → ( 0 · 0 ) = 0 ) |
| 114 |
112 113
|
ax-mp |
⊢ ( 0 · 0 ) = 0 |
| 115 |
114
|
oveq1i |
⊢ ( ( 0 · 0 ) · i ) = ( 0 · i ) |
| 116 |
1 1 2
|
mulassi |
⊢ ( ( 0 · 0 ) · i ) = ( 0 · ( 0 · i ) ) |
| 117 |
115 116
|
eqtr3i |
⊢ ( 0 · i ) = ( 0 · ( 0 · i ) ) |
| 118 |
117
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 0 · i ) = ( 0 · ( 0 · i ) ) ) |
| 119 |
118
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 0 · i ) + ( 0 · ( i · ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ) = ( ( 0 · ( 0 · i ) ) + ( 0 · ( i · ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ) ) |
| 120 |
111 119
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 0 · ( i + ( i · ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ) = ( ( 0 · ( 0 · i ) ) + ( 0 · ( i · ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ) ) |
| 121 |
15 17 109
|
adddid |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( i · ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) = ( ( i · 1 ) + ( i · ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ) |
| 122 |
19
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( i · 1 ) = i ) |
| 123 |
122
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( i · 1 ) + ( i · ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) = ( i + ( i · ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ) |
| 124 |
121 123
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( i · ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) = ( i + ( i · ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ) |
| 125 |
124
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 0 · ( i · ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ) = ( 0 · ( i + ( i · ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ) ) |
| 126 |
23 41 110
|
adddid |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 0 · ( ( 0 · i ) + ( i · ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ) = ( ( 0 · ( 0 · i ) ) + ( 0 · ( i · ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ) ) |
| 127 |
120 125 126
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 0 · ( i · ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ) = ( 0 · ( ( 0 · i ) + ( i · ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ) ) |
| 128 |
103
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) = ( 1 + ( i · 𝑏 ) ) ) |
| 129 |
5 128
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 0 · i ) = ( 1 + ( i · 𝑏 ) ) ) |
| 130 |
129
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 0 · i ) + ( i · ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) = ( ( 1 + ( i · 𝑏 ) ) + ( i · ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ) |
| 131 |
17 34 110
|
addassd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 1 + ( i · 𝑏 ) ) + ( i · ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) = ( 1 + ( ( i · 𝑏 ) + ( i · ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ) ) |
| 132 |
|
renegid |
⊢ ( 𝑏 ∈ ℝ → ( 𝑏 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) = 0 ) |
| 133 |
32 132
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 𝑏 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) = 0 ) |
| 134 |
133
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( i · ( 𝑏 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) = ( i · 0 ) ) |
| 135 |
15 33 109
|
adddid |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( i · ( 𝑏 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) = ( ( i · 𝑏 ) + ( i · ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ) |
| 136 |
|
sn-mul01 |
⊢ ( i ∈ ℂ → ( i · 0 ) = 0 ) |
| 137 |
2 136
|
mp1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( i · 0 ) = 0 ) |
| 138 |
134 135 137
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( i · 𝑏 ) + ( i · ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) = 0 ) |
| 139 |
138
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 1 + ( ( i · 𝑏 ) + ( i · ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ) = ( 1 + 0 ) ) |
| 140 |
|
readdid1 |
⊢ ( 1 ∈ ℝ → ( 1 + 0 ) = 1 ) |
| 141 |
54 140
|
ax-mp |
⊢ ( 1 + 0 ) = 1 |
| 142 |
139 141
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 1 + ( ( i · 𝑏 ) + ( i · ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ) = 1 ) |
| 143 |
131 142
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 1 + ( i · 𝑏 ) ) + ( i · ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) = 1 ) |
| 144 |
130 143
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 0 · i ) + ( i · ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) = 1 ) |
| 145 |
144
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 0 · ( ( 0 · i ) + ( i · ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ) = ( 0 · 1 ) ) |
| 146 |
127 145
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 0 · ( i · ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ) = ( 0 · 1 ) ) |
| 147 |
|
ax-1rid |
⊢ ( 0 ∈ ℝ → ( 0 · 1 ) = 0 ) |
| 148 |
112 147
|
ax-mp |
⊢ ( 0 · 1 ) = 0 |
| 149 |
146 148
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 0 · ( i · ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ) = 0 ) |
| 150 |
149
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) · 𝑦 ) = 1 ) ) → ( 0 · ( i · ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ) = 0 ) |
| 151 |
150
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) · 𝑦 ) = 1 ) ) → ( ( 0 · ( i · ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ) · 𝑦 ) = ( 0 · 𝑦 ) ) |
| 152 |
|
0cnd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) · 𝑦 ) = 1 ) ) → 0 ∈ ℂ ) |
| 153 |
2
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) · 𝑦 ) = 1 ) ) → i ∈ ℂ ) |
| 154 |
|
1cnd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) · 𝑦 ) = 1 ) ) → 1 ∈ ℂ ) |
| 155 |
109
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) · 𝑦 ) = 1 ) ) → ( 0 −ℝ 𝑏 ) ∈ ℂ ) |
| 156 |
154 155
|
addcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) · 𝑦 ) = 1 ) ) → ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ∈ ℂ ) |
| 157 |
153 156
|
mulcld |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) · 𝑦 ) = 1 ) ) → ( i · ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 158 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) · 𝑦 ) = 1 ) ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
| 159 |
158
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) · 𝑦 ) = 1 ) ) → 𝑦 ∈ ℂ ) |
| 160 |
152 157 159
|
mulassd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) · 𝑦 ) = 1 ) ) → ( ( 0 · ( i · ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ) · 𝑦 ) = ( 0 · ( ( i · ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) · 𝑦 ) ) ) |
| 161 |
153 156 159
|
mulassd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) · 𝑦 ) = 1 ) ) → ( ( i · ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) · 𝑦 ) = ( i · ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) · 𝑦 ) ) ) |
| 162 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) · 𝑦 ) = 1 ) ) → ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) · 𝑦 ) = 1 ) |
| 163 |
162
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) · 𝑦 ) = 1 ) ) → ( i · ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) · 𝑦 ) ) = ( i · 1 ) ) |
| 164 |
163 19
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) · 𝑦 ) = 1 ) ) → ( i · ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) · 𝑦 ) ) = i ) |
| 165 |
161 164
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) · 𝑦 ) = 1 ) ) → ( ( i · ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) · 𝑦 ) = i ) |
| 166 |
165
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) · 𝑦 ) = 1 ) ) → ( 0 · ( ( i · ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) · 𝑦 ) ) = ( 0 · i ) ) |
| 167 |
160 166
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) · 𝑦 ) = 1 ) ) → ( ( 0 · ( i · ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ) ) · 𝑦 ) = ( 0 · i ) ) |
| 168 |
|
remul02 |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ → ( 0 · 𝑦 ) = 0 ) |
| 169 |
158 168
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) · 𝑦 ) = 1 ) ) → ( 0 · 𝑦 ) = 0 ) |
| 170 |
151 167 169
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) · 𝑦 ) = 1 ) ) → ( 0 · i ) = 0 ) |
| 171 |
108 170
|
rexlimddv |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) ∧ ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ≠ 0 ) → ( 0 · i ) = 0 ) |
| 172 |
171
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) ≠ 0 → ( 0 · i ) = 0 ) ) |
| 173 |
172
|
necon1d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 0 · i ) ≠ 0 → ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) = 0 ) ) |
| 174 |
7 173
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) = 0 ) |
| 175 |
174
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) + 𝑏 ) = ( 0 + 𝑏 ) ) |
| 176 |
17 109 33
|
addassd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) + 𝑏 ) = ( 1 + ( ( 0 −ℝ 𝑏 ) + 𝑏 ) ) ) |
| 177 |
|
renegid2 |
⊢ ( 𝑏 ∈ ℝ → ( ( 0 −ℝ 𝑏 ) + 𝑏 ) = 0 ) |
| 178 |
32 177
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 0 −ℝ 𝑏 ) + 𝑏 ) = 0 ) |
| 179 |
178
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 1 + ( ( 0 −ℝ 𝑏 ) + 𝑏 ) ) = ( 1 + 0 ) ) |
| 180 |
179 141
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 1 + ( ( 0 −ℝ 𝑏 ) + 𝑏 ) ) = 1 ) |
| 181 |
176 180
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( ( 1 + ( 0 −ℝ 𝑏 ) ) + 𝑏 ) = 1 ) |
| 182 |
|
readdid2 |
⊢ ( 𝑏 ∈ ℝ → ( 0 + 𝑏 ) = 𝑏 ) |
| 183 |
32 182
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 0 + 𝑏 ) = 𝑏 ) |
| 184 |
175 181 183
|
3eqtr3rd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → 𝑏 = 1 ) |
| 185 |
184
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( i · 𝑏 ) = ( i · 1 ) ) |
| 186 |
103 185
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) = ( 1 + ( i · 1 ) ) ) |
| 187 |
5 186
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 0 · i ) = ( 1 + ( i · 1 ) ) ) |
| 188 |
19
|
oveq2i |
⊢ ( 1 + ( i · 1 ) ) = ( 1 + i ) |
| 189 |
188
|
eqeq2i |
⊢ ( ( 0 · i ) = ( 1 + ( i · 1 ) ) ↔ ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ) |
| 190 |
|
oveq2 |
⊢ ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) → ( ( ( i · i ) · i ) · ( 0 · i ) ) = ( ( ( i · i ) · i ) · ( 1 + i ) ) ) |
| 191 |
2 2
|
mulcli |
⊢ ( i · i ) ∈ ℂ |
| 192 |
191 2
|
mulcli |
⊢ ( ( i · i ) · i ) ∈ ℂ |
| 193 |
192 1 2
|
mulassi |
⊢ ( ( ( ( i · i ) · i ) · 0 ) · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) · ( 0 · i ) ) |
| 194 |
|
sn-mul01 |
⊢ ( ( ( i · i ) · i ) ∈ ℂ → ( ( ( i · i ) · i ) · 0 ) = 0 ) |
| 195 |
192 194
|
ax-mp |
⊢ ( ( ( i · i ) · i ) · 0 ) = 0 |
| 196 |
195
|
oveq1i |
⊢ ( ( ( ( i · i ) · i ) · 0 ) · i ) = ( 0 · i ) |
| 197 |
193 196
|
eqtr3i |
⊢ ( ( ( i · i ) · i ) · ( 0 · i ) ) = ( 0 · i ) |
| 198 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
| 199 |
192 198 2
|
adddii |
⊢ ( ( ( i · i ) · i ) · ( 1 + i ) ) = ( ( ( ( i · i ) · i ) · 1 ) + ( ( ( i · i ) · i ) · i ) ) |
| 200 |
191 2 198
|
mulassi |
⊢ ( ( ( i · i ) · i ) · 1 ) = ( ( i · i ) · ( i · 1 ) ) |
| 201 |
19
|
oveq2i |
⊢ ( ( i · i ) · ( i · 1 ) ) = ( ( i · i ) · i ) |
| 202 |
200 201
|
eqtri |
⊢ ( ( ( i · i ) · i ) · 1 ) = ( ( i · i ) · i ) |
| 203 |
191 2 2
|
mulassi |
⊢ ( ( ( i · i ) · i ) · i ) = ( ( i · i ) · ( i · i ) ) |
| 204 |
|
rei4 |
⊢ ( ( i · i ) · ( i · i ) ) = 1 |
| 205 |
203 204
|
eqtri |
⊢ ( ( ( i · i ) · i ) · i ) = 1 |
| 206 |
202 205
|
oveq12i |
⊢ ( ( ( ( i · i ) · i ) · 1 ) + ( ( ( i · i ) · i ) · i ) ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) |
| 207 |
199 206
|
eqtri |
⊢ ( ( ( i · i ) · i ) · ( 1 + i ) ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) |
| 208 |
190 197 207
|
3eqtr3g |
⊢ ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) → ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) |
| 209 |
54 54
|
readdcli |
⊢ ( 1 + 1 ) ∈ ℝ |
| 210 |
|
df-2 |
⊢ 2 = ( 1 + 1 ) |
| 211 |
|
sn-0ne2 |
⊢ 0 ≠ 2 |
| 212 |
211
|
necomi |
⊢ 2 ≠ 0 |
| 213 |
210 212
|
eqnetrri |
⊢ ( 1 + 1 ) ≠ 0 |
| 214 |
|
ax-rrecex |
⊢ ( ( ( 1 + 1 ) ∈ ℝ ∧ ( 1 + 1 ) ≠ 0 ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ ( ( 1 + 1 ) · 𝑧 ) = 1 ) |
| 215 |
209 213 214
|
mp2an |
⊢ ∃ 𝑧 ∈ ℝ ( ( 1 + 1 ) · 𝑧 ) = 1 |
| 216 |
192 198
|
addcli |
⊢ ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ∈ ℂ |
| 217 |
198 2 216
|
addassi |
⊢ ( ( 1 + i ) + ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) = ( 1 + ( i + ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) ) |
| 218 |
2 192 198
|
addassi |
⊢ ( ( i + ( ( i · i ) · i ) ) + 1 ) = ( i + ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) |
| 219 |
218
|
oveq2i |
⊢ ( 1 + ( ( i + ( ( i · i ) · i ) ) + 1 ) ) = ( 1 + ( i + ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) ) |
| 220 |
2 2 2
|
mulassi |
⊢ ( ( i · i ) · i ) = ( i · ( i · i ) ) |
| 221 |
220
|
oveq2i |
⊢ ( i + ( ( i · i ) · i ) ) = ( i + ( i · ( i · i ) ) ) |
| 222 |
|
ipiiie0 |
⊢ ( i + ( i · ( i · i ) ) ) = 0 |
| 223 |
221 222
|
eqtri |
⊢ ( i + ( ( i · i ) · i ) ) = 0 |
| 224 |
223
|
oveq1i |
⊢ ( ( i + ( ( i · i ) · i ) ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) |
| 225 |
224 98
|
eqtri |
⊢ ( ( i + ( ( i · i ) · i ) ) + 1 ) = 1 |
| 226 |
225
|
oveq2i |
⊢ ( 1 + ( ( i + ( ( i · i ) · i ) ) + 1 ) ) = ( 1 + 1 ) |
| 227 |
217 219 226
|
3eqtr2i |
⊢ ( ( 1 + i ) + ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) = ( 1 + 1 ) |
| 228 |
227
|
a1i |
⊢ ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) → ( ( 1 + i ) + ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) = ( 1 + 1 ) ) |
| 229 |
3 198 198
|
adddii |
⊢ ( ( 0 · i ) · ( 1 + 1 ) ) = ( ( ( 0 · i ) · 1 ) + ( ( 0 · i ) · 1 ) ) |
| 230 |
1 2 198
|
mulassi |
⊢ ( ( 0 · i ) · 1 ) = ( 0 · ( i · 1 ) ) |
| 231 |
19
|
oveq2i |
⊢ ( 0 · ( i · 1 ) ) = ( 0 · i ) |
| 232 |
230 231
|
eqtri |
⊢ ( ( 0 · i ) · 1 ) = ( 0 · i ) |
| 233 |
|
simpl |
⊢ ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) → ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ) |
| 234 |
232 233
|
syl5eq |
⊢ ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) → ( ( 0 · i ) · 1 ) = ( 1 + i ) ) |
| 235 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) → ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) |
| 236 |
232 235
|
syl5eq |
⊢ ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) → ( ( 0 · i ) · 1 ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) |
| 237 |
234 236
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) → ( ( ( 0 · i ) · 1 ) + ( ( 0 · i ) · 1 ) ) = ( ( 1 + i ) + ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) ) |
| 238 |
229 237
|
syl5eq |
⊢ ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) → ( ( 0 · i ) · ( 1 + 1 ) ) = ( ( 1 + i ) + ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) ) |
| 239 |
|
remulid2 |
⊢ ( ( 1 + 1 ) ∈ ℝ → ( 1 · ( 1 + 1 ) ) = ( 1 + 1 ) ) |
| 240 |
209 239
|
mp1i |
⊢ ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) → ( 1 · ( 1 + 1 ) ) = ( 1 + 1 ) ) |
| 241 |
228 238 240
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) → ( ( 0 · i ) · ( 1 + 1 ) ) = ( 1 · ( 1 + 1 ) ) ) |
| 242 |
241
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) → ( ( ( 0 · i ) · ( 1 + 1 ) ) · 𝑧 ) = ( ( 1 · ( 1 + 1 ) ) · 𝑧 ) ) |
| 243 |
242
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + 1 ) · 𝑧 ) = 1 ) ) → ( ( ( 0 · i ) · ( 1 + 1 ) ) · 𝑧 ) = ( ( 1 · ( 1 + 1 ) ) · 𝑧 ) ) |
| 244 |
3
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + 1 ) · 𝑧 ) = 1 ) ) → ( 0 · i ) ∈ ℂ ) |
| 245 |
|
1cnd |
⊢ ( ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + 1 ) · 𝑧 ) = 1 ) ) → 1 ∈ ℂ ) |
| 246 |
245 245
|
addcld |
⊢ ( ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + 1 ) · 𝑧 ) = 1 ) ) → ( 1 + 1 ) ∈ ℂ ) |
| 247 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + 1 ) · 𝑧 ) = 1 ) ) → 𝑧 ∈ ℝ ) |
| 248 |
247
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + 1 ) · 𝑧 ) = 1 ) ) → 𝑧 ∈ ℂ ) |
| 249 |
244 246 248
|
mulassd |
⊢ ( ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + 1 ) · 𝑧 ) = 1 ) ) → ( ( ( 0 · i ) · ( 1 + 1 ) ) · 𝑧 ) = ( ( 0 · i ) · ( ( 1 + 1 ) · 𝑧 ) ) ) |
| 250 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + 1 ) · 𝑧 ) = 1 ) ) → ( ( 1 + 1 ) · 𝑧 ) = 1 ) |
| 251 |
250
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + 1 ) · 𝑧 ) = 1 ) ) → ( ( 0 · i ) · ( ( 1 + 1 ) · 𝑧 ) ) = ( ( 0 · i ) · 1 ) ) |
| 252 |
251 232
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + 1 ) · 𝑧 ) = 1 ) ) → ( ( 0 · i ) · ( ( 1 + 1 ) · 𝑧 ) ) = ( 0 · i ) ) |
| 253 |
249 252
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + 1 ) · 𝑧 ) = 1 ) ) → ( ( ( 0 · i ) · ( 1 + 1 ) ) · 𝑧 ) = ( 0 · i ) ) |
| 254 |
245 246 248
|
mulassd |
⊢ ( ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + 1 ) · 𝑧 ) = 1 ) ) → ( ( 1 · ( 1 + 1 ) ) · 𝑧 ) = ( 1 · ( ( 1 + 1 ) · 𝑧 ) ) ) |
| 255 |
250
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + 1 ) · 𝑧 ) = 1 ) ) → ( 1 · ( ( 1 + 1 ) · 𝑧 ) ) = ( 1 · 1 ) ) |
| 256 |
|
1t1e1ALT |
⊢ ( 1 · 1 ) = 1 |
| 257 |
255 256
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + 1 ) · 𝑧 ) = 1 ) ) → ( 1 · ( ( 1 + 1 ) · 𝑧 ) ) = 1 ) |
| 258 |
254 257
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + 1 ) · 𝑧 ) = 1 ) ) → ( ( 1 · ( 1 + 1 ) ) · 𝑧 ) = 1 ) |
| 259 |
243 253 258
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + 1 ) · 𝑧 ) = 1 ) ) → ( 0 · i ) = 1 ) |
| 260 |
259
|
rexlimdvaa |
⊢ ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ ( ( 1 + 1 ) · 𝑧 ) = 1 → ( 0 · i ) = 1 ) ) |
| 261 |
215 260
|
mpi |
⊢ ( ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) ∧ ( 0 · i ) = ( ( ( i · i ) · i ) + 1 ) ) → ( 0 · i ) = 1 ) |
| 262 |
208 261
|
mpdan |
⊢ ( ( 0 · i ) = ( 1 + i ) → ( 0 · i ) = 1 ) |
| 263 |
189 262
|
sylbi |
⊢ ( ( 0 · i ) = ( 1 + ( i · 1 ) ) → ( 0 · i ) = 1 ) |
| 264 |
|
oveq2 |
⊢ ( ( 0 · i ) = 1 → ( 0 · ( 0 · i ) ) = ( 0 · 1 ) ) |
| 265 |
116 115
|
eqtr3i |
⊢ ( 0 · ( 0 · i ) ) = ( 0 · i ) |
| 266 |
264 265 148
|
3eqtr3g |
⊢ ( ( 0 · i ) = 1 → ( 0 · i ) = 0 ) |
| 267 |
263 266
|
syl |
⊢ ( ( 0 · i ) = ( 1 + ( i · 1 ) ) → ( 0 · i ) = 0 ) |
| 268 |
187 267
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) ∧ ¬ ( 0 · i ) = 0 ) → ( 0 · i ) = 0 ) |
| 269 |
268
|
pm2.18da |
⊢ ( ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) ∧ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) ) → ( 0 · i ) = 0 ) |
| 270 |
269
|
ex |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) → ( ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) → ( 0 · i ) = 0 ) ) |
| 271 |
270
|
rexlimivv |
⊢ ( ∃ 𝑎 ∈ ℝ ∃ 𝑏 ∈ ℝ ( 0 · i ) = ( 𝑎 + ( i · 𝑏 ) ) → ( 0 · i ) = 0 ) |
| 272 |
3 4 271
|
mp2b |
⊢ ( 0 · i ) = 0 |