Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
frlmsslsp.y |
|- Y = ( R freeLMod I ) |
2 |
|
frlmsslsp.u |
|- U = ( R unitVec I ) |
3 |
|
frlmsslsp.k |
|- K = ( LSpan ` Y ) |
4 |
|
frlmsslsp.b |
|- B = ( Base ` Y ) |
5 |
|
frlmsslsp.z |
|- .0. = ( 0g ` R ) |
6 |
|
frlmsslsp.c |
|- C = { x e. B | ( x supp .0. ) C_ J } |
7 |
1
|
frlmlmod |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V ) -> Y e. LMod ) |
8 |
7
|
3adant3 |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> Y e. LMod ) |
9 |
|
eqid |
|- ( LSubSp ` Y ) = ( LSubSp ` Y ) |
10 |
1 9 4 5 6
|
frlmsslss2 |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> C e. ( LSubSp ` Y ) ) |
11 |
2 1 4
|
uvcff |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V ) -> U : I --> B ) |
12 |
11
|
3adant3 |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> U : I --> B ) |
13 |
12
|
adantr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> U : I --> B ) |
14 |
|
simp3 |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> J C_ I ) |
15 |
14
|
sselda |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> y e. I ) |
16 |
13 15
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> ( U ` y ) e. B ) |
17 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> I e. V ) |
18 |
|
eqid |
|- ( Base ` R ) = ( Base ` R ) |
19 |
1 18 4
|
frlmbasf |
|- ( ( I e. V /\ ( U ` y ) e. B ) -> ( U ` y ) : I --> ( Base ` R ) ) |
20 |
17 16 19
|
syl2anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> ( U ` y ) : I --> ( Base ` R ) ) |
21 |
|
simpll1 |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> R e. Ring ) |
22 |
|
simpll2 |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> I e. V ) |
23 |
15
|
adantr |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> y e. I ) |
24 |
|
eldifi |
|- ( x e. ( I \ J ) -> x e. I ) |
25 |
24
|
adantl |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> x e. I ) |
26 |
|
elneeldif |
|- ( ( y e. J /\ x e. ( I \ J ) ) -> y =/= x ) |
27 |
26
|
adantll |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> y =/= x ) |
28 |
2 21 22 23 25 27 5
|
uvcvv0 |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> ( ( U ` y ) ` x ) = .0. ) |
29 |
20 28
|
suppss |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> ( ( U ` y ) supp .0. ) C_ J ) |
30 |
|
oveq1 |
|- ( x = ( U ` y ) -> ( x supp .0. ) = ( ( U ` y ) supp .0. ) ) |
31 |
30
|
sseq1d |
|- ( x = ( U ` y ) -> ( ( x supp .0. ) C_ J <-> ( ( U ` y ) supp .0. ) C_ J ) ) |
32 |
31 6
|
elrab2 |
|- ( ( U ` y ) e. C <-> ( ( U ` y ) e. B /\ ( ( U ` y ) supp .0. ) C_ J ) ) |
33 |
16 29 32
|
sylanbrc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> ( U ` y ) e. C ) |
34 |
33
|
ralrimiva |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> A. y e. J ( U ` y ) e. C ) |
35 |
12
|
ffund |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> Fun U ) |
36 |
12
|
fdmd |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> dom U = I ) |
37 |
14 36
|
sseqtrrd |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> J C_ dom U ) |
38 |
|
funimass4 |
|- ( ( Fun U /\ J C_ dom U ) -> ( ( U " J ) C_ C <-> A. y e. J ( U ` y ) e. C ) ) |
39 |
35 37 38
|
syl2anc |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( ( U " J ) C_ C <-> A. y e. J ( U ` y ) e. C ) ) |
40 |
34 39
|
mpbird |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( U " J ) C_ C ) |
41 |
9 3
|
lspssp |
|- ( ( Y e. LMod /\ C e. ( LSubSp ` Y ) /\ ( U " J ) C_ C ) -> ( K ` ( U " J ) ) C_ C ) |
42 |
8 10 40 41
|
syl3anc |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) C_ C ) |
43 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> R e. Ring ) |
44 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> I e. V ) |
45 |
6
|
ssrab3 |
|- C C_ B |
46 |
45
|
a1i |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> C C_ B ) |
47 |
46
|
sselda |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y e. B ) |
48 |
|
eqid |
|- ( .s ` Y ) = ( .s ` Y ) |
49 |
2 1 4 48
|
uvcresum |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ y e. B ) -> y = ( Y gsum ( y oF ( .s ` Y ) U ) ) ) |
50 |
43 44 47 49
|
syl3anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y = ( Y gsum ( y oF ( .s ` Y ) U ) ) ) |
51 |
|
eqid |
|- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y ) |
52 |
|
lmodabl |
|- ( Y e. LMod -> Y e. Abel ) |
53 |
8 52
|
syl |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> Y e. Abel ) |
54 |
53
|
adantr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> Y e. Abel ) |
55 |
|
imassrn |
|- ( U " J ) C_ ran U |
56 |
12
|
frnd |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ran U C_ B ) |
57 |
55 56
|
sstrid |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( U " J ) C_ B ) |
58 |
4 9 3
|
lspcl |
|- ( ( Y e. LMod /\ ( U " J ) C_ B ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) ) |
59 |
8 57 58
|
syl2anc |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) ) |
60 |
9
|
lsssubg |
|- ( ( Y e. LMod /\ ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. ( SubGrp ` Y ) ) |
61 |
8 59 60
|
syl2anc |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. ( SubGrp ` Y ) ) |
62 |
61
|
adantr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. ( SubGrp ` Y ) ) |
63 |
1 18 4
|
frlmbasf |
|- ( ( I e. V /\ y e. B ) -> y : I --> ( Base ` R ) ) |
64 |
63
|
3ad2antl2 |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> y : I --> ( Base ` R ) ) |
65 |
64
|
ffnd |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> y Fn I ) |
66 |
12
|
ffnd |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> U Fn I ) |
67 |
66
|
adantr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> U Fn I ) |
68 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> I e. V ) |
69 |
|
inidm |
|- ( I i^i I ) = I |
70 |
65 67 68 68 69
|
offn |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I ) |
71 |
47 70
|
syldan |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I ) |
72 |
47 65
|
syldan |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y Fn I ) |
73 |
72
|
adantrr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> y Fn I ) |
74 |
66
|
adantr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> U Fn I ) |
75 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> I e. V ) |
76 |
|
simprr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> z e. I ) |
77 |
|
fnfvof |
|- ( ( ( y Fn I /\ U Fn I ) /\ ( I e. V /\ z e. I ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) = ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) ) |
78 |
73 74 75 76 77
|
syl22anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) = ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) ) |
79 |
8
|
adantr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> Y e. LMod ) |
80 |
59
|
adantr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) ) |
81 |
45
|
sseli |
|- ( y e. C -> y e. B ) |
82 |
81 64
|
sylan2 |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y : I --> ( Base ` R ) ) |
83 |
82
|
adantrr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> y : I --> ( Base ` R ) ) |
84 |
14
|
sselda |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ z e. J ) -> z e. I ) |
85 |
84
|
adantrl |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> z e. I ) |
86 |
83 85
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( y ` z ) e. ( Base ` R ) ) |
87 |
1
|
frlmsca |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V ) -> R = ( Scalar ` Y ) ) |
88 |
87
|
3adant3 |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> R = ( Scalar ` Y ) ) |
89 |
88
|
fveq2d |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` ( Scalar ` Y ) ) ) |
90 |
89
|
adantr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` ( Scalar ` Y ) ) ) |
91 |
86 90
|
eleqtrd |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( y ` z ) e. ( Base ` ( Scalar ` Y ) ) ) |
92 |
4 3
|
lspssid |
|- ( ( Y e. LMod /\ ( U " J ) C_ B ) -> ( U " J ) C_ ( K ` ( U " J ) ) ) |
93 |
8 57 92
|
syl2anc |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( U " J ) C_ ( K ` ( U " J ) ) ) |
94 |
93
|
adantr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( U " J ) C_ ( K ` ( U " J ) ) ) |
95 |
|
funfvima2 |
|- ( ( Fun U /\ J C_ dom U ) -> ( z e. J -> ( U ` z ) e. ( U " J ) ) ) |
96 |
35 37 95
|
syl2anc |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( z e. J -> ( U ` z ) e. ( U " J ) ) ) |
97 |
96
|
imp |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ z e. J ) -> ( U ` z ) e. ( U " J ) ) |
98 |
97
|
adantrl |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( U ` z ) e. ( U " J ) ) |
99 |
94 98
|
sseldd |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( U ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) |
100 |
|
eqid |
|- ( Scalar ` Y ) = ( Scalar ` Y ) |
101 |
|
eqid |
|- ( Base ` ( Scalar ` Y ) ) = ( Base ` ( Scalar ` Y ) ) |
102 |
100 48 101 9
|
lssvscl |
|- ( ( ( Y e. LMod /\ ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) ) /\ ( ( y ` z ) e. ( Base ` ( Scalar ` Y ) ) /\ ( U ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) |
103 |
79 80 91 99 102
|
syl22anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) |
104 |
103
|
anassrs |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) /\ z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) |
105 |
104
|
adantlrr |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) |
106 |
|
id |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) ) |
107 |
106
|
adantrr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) ) |
108 |
107
|
adantr |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) ) |
109 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> z e. I ) |
110 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> -. z e. J ) |
111 |
109 110
|
eldifd |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> z e. ( I \ J ) ) |
112 |
|
oveq1 |
|- ( x = y -> ( x supp .0. ) = ( y supp .0. ) ) |
113 |
112
|
sseq1d |
|- ( x = y -> ( ( x supp .0. ) C_ J <-> ( y supp .0. ) C_ J ) ) |
114 |
113 6
|
elrab2 |
|- ( y e. C <-> ( y e. B /\ ( y supp .0. ) C_ J ) ) |
115 |
114
|
simprbi |
|- ( y e. C -> ( y supp .0. ) C_ J ) |
116 |
115
|
adantl |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y supp .0. ) C_ J ) |
117 |
5
|
fvexi |
|- .0. e. _V |
118 |
117
|
a1i |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> .0. e. _V ) |
119 |
82 116 44 118
|
suppssr |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) /\ z e. ( I \ J ) ) -> ( y ` z ) = .0. ) |
120 |
108 111 119
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( y ` z ) = .0. ) |
121 |
88
|
fveq2d |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` ( Scalar ` Y ) ) ) |
122 |
5 121
|
syl5eq |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> .0. = ( 0g ` ( Scalar ` Y ) ) ) |
123 |
122
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> .0. = ( 0g ` ( Scalar ` Y ) ) ) |
124 |
120 123
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( y ` z ) = ( 0g ` ( Scalar ` Y ) ) ) |
125 |
124
|
oveq1d |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) = ( ( 0g ` ( Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) ) |
126 |
8
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> Y e. LMod ) |
127 |
12
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ z e. I ) -> ( U ` z ) e. B ) |
128 |
127
|
adantrl |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( U ` z ) e. B ) |
129 |
128
|
adantr |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( U ` z ) e. B ) |
130 |
|
eqid |
|- ( 0g ` ( Scalar ` Y ) ) = ( 0g ` ( Scalar ` Y ) ) |
131 |
4 100 48 130 51
|
lmod0vs |
|- ( ( Y e. LMod /\ ( U ` z ) e. B ) -> ( ( 0g ` ( Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) = ( 0g ` Y ) ) |
132 |
126 129 131
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( 0g ` ( Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) = ( 0g ` Y ) ) |
133 |
125 132
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) = ( 0g ` Y ) ) |
134 |
59
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) ) |
135 |
51 9
|
lss0cl |
|- ( ( Y e. LMod /\ ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) ) -> ( 0g ` Y ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) |
136 |
126 134 135
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( 0g ` Y ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) |
137 |
133 136
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) |
138 |
105 137
|
pm2.61dan |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) |
139 |
78 138
|
eqeltrd |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) |
140 |
139
|
expr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( z e. I -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) ) |
141 |
140
|
ralrimiv |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> A. z e. I ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) |
142 |
|
ffnfv |
|- ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) : I --> ( K ` ( U " J ) ) <-> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I /\ A. z e. I ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) ) |
143 |
71 141 142
|
sylanbrc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) : I --> ( K ` ( U " J ) ) ) |
144 |
1 5 4
|
frlmbasfsupp |
|- ( ( I e. V /\ y e. B ) -> y finSupp .0. ) |
145 |
144
|
fsuppimpd |
|- ( ( I e. V /\ y e. B ) -> ( y supp .0. ) e. Fin ) |
146 |
44 47 145
|
syl2anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y supp .0. ) e. Fin ) |
147 |
|
dffn2 |
|- ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I <-> ( y oF ( .s ` Y ) U ) : I --> _V ) |
148 |
70 147
|
sylib |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) : I --> _V ) |
149 |
65
|
adantr |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> y Fn I ) |
150 |
66
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> U Fn I ) |
151 |
|
simpll2 |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> I e. V ) |
152 |
|
eldifi |
|- ( x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) -> x e. I ) |
153 |
152
|
adantl |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> x e. I ) |
154 |
|
fnfvof |
|- ( ( ( y Fn I /\ U Fn I ) /\ ( I e. V /\ x e. I ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` x ) = ( ( y ` x ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) ) |
155 |
149 150 151 153 154
|
syl22anc |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` x ) = ( ( y ` x ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) ) |
156 |
|
ssidd |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> ( y supp .0. ) C_ ( y supp .0. ) ) |
157 |
117
|
a1i |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> .0. e. _V ) |
158 |
64 156 68 157
|
suppssr |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( y ` x ) = .0. ) |
159 |
122
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> .0. = ( 0g ` ( Scalar ` Y ) ) ) |
160 |
158 159
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( y ` x ) = ( 0g ` ( Scalar ` Y ) ) ) |
161 |
160
|
oveq1d |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( ( y ` x ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) = ( ( 0g ` ( Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) ) |
162 |
8
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> Y e. LMod ) |
163 |
12
|
adantr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> U : I --> B ) |
164 |
|
ffvelrn |
|- ( ( U : I --> B /\ x e. I ) -> ( U ` x ) e. B ) |
165 |
163 152 164
|
syl2an |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( U ` x ) e. B ) |
166 |
4 100 48 130 51
|
lmod0vs |
|- ( ( Y e. LMod /\ ( U ` x ) e. B ) -> ( ( 0g ` ( Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) = ( 0g ` Y ) ) |
167 |
162 165 166
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( ( 0g ` ( Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) = ( 0g ` Y ) ) |
168 |
155 161 167
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` x ) = ( 0g ` Y ) ) |
169 |
148 168
|
suppss |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) C_ ( y supp .0. ) ) |
170 |
47 169
|
syldan |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) C_ ( y supp .0. ) ) |
171 |
146 170
|
ssfid |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) e. Fin ) |
172 |
|
simp2 |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> I e. V ) |
173 |
1 18 4
|
frlmbasmap |
|- ( ( I e. V /\ y e. B ) -> y e. ( ( Base ` R ) ^m I ) ) |
174 |
172 81 173
|
syl2an |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y e. ( ( Base ` R ) ^m I ) ) |
175 |
|
elmapfn |
|- ( y e. ( ( Base ` R ) ^m I ) -> y Fn I ) |
176 |
174 175
|
syl |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y Fn I ) |
177 |
12
|
adantr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> U : I --> B ) |
178 |
177
|
ffnd |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> U Fn I ) |
179 |
176 178 44 44
|
offun |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> Fun ( y oF ( .s ` Y ) U ) ) |
180 |
|
ovexd |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) e. _V ) |
181 |
|
fvexd |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( 0g ` Y ) e. _V ) |
182 |
|
funisfsupp |
|- ( ( Fun ( y oF ( .s ` Y ) U ) /\ ( y oF ( .s ` Y ) U ) e. _V /\ ( 0g ` Y ) e. _V ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) finSupp ( 0g ` Y ) <-> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) e. Fin ) ) |
183 |
179 180 181 182
|
syl3anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) finSupp ( 0g ` Y ) <-> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) e. Fin ) ) |
184 |
171 183
|
mpbird |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) finSupp ( 0g ` Y ) ) |
185 |
51 54 44 62 143 184
|
gsumsubgcl |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( Y gsum ( y oF ( .s ` Y ) U ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) |
186 |
50 185
|
eqeltrd |
|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y e. ( K ` ( U " J ) ) ) |
187 |
42 186
|
eqelssd |
|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) = C ) |