Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mettrifi.2 |
|- ( ph -> D e. ( Met ` X ) ) |
2 |
|
mettrifi.3 |
|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) ) |
3 |
|
mettrifi.4 |
|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. X ) |
4 |
|
eluzfz2 |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) ) |
5 |
2 4
|
syl |
|- ( ph -> N e. ( M ... N ) ) |
6 |
|
eleq1 |
|- ( x = M -> ( x e. ( M ... N ) <-> M e. ( M ... N ) ) ) |
7 |
|
fveq2 |
|- ( x = M -> ( F ` x ) = ( F ` M ) ) |
8 |
7
|
oveq2d |
|- ( x = M -> ( ( F ` M ) D ( F ` x ) ) = ( ( F ` M ) D ( F ` M ) ) ) |
9 |
|
oveq1 |
|- ( x = M -> ( x - 1 ) = ( M - 1 ) ) |
10 |
9
|
oveq2d |
|- ( x = M -> ( M ... ( x - 1 ) ) = ( M ... ( M - 1 ) ) ) |
11 |
10
|
sumeq1d |
|- ( x = M -> sum_ k e. ( M ... ( x - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) = sum_ k e. ( M ... ( M - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) |
12 |
8 11
|
breq12d |
|- ( x = M -> ( ( ( F ` M ) D ( F ` x ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( x - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( ( F ` M ) D ( F ` M ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( M - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) |
13 |
6 12
|
imbi12d |
|- ( x = M -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` x ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( x - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) <-> ( M e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` M ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( M - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) |
14 |
13
|
imbi2d |
|- ( x = M -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` x ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( x - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` M ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( M - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ) |
15 |
|
eleq1 |
|- ( x = n -> ( x e. ( M ... N ) <-> n e. ( M ... N ) ) ) |
16 |
|
fveq2 |
|- ( x = n -> ( F ` x ) = ( F ` n ) ) |
17 |
16
|
oveq2d |
|- ( x = n -> ( ( F ` M ) D ( F ` x ) ) = ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) ) |
18 |
|
oveq1 |
|- ( x = n -> ( x - 1 ) = ( n - 1 ) ) |
19 |
18
|
oveq2d |
|- ( x = n -> ( M ... ( x - 1 ) ) = ( M ... ( n - 1 ) ) ) |
20 |
19
|
sumeq1d |
|- ( x = n -> sum_ k e. ( M ... ( x - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) = sum_ k e. ( M ... ( n - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) |
21 |
17 20
|
breq12d |
|- ( x = n -> ( ( ( F ` M ) D ( F ` x ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( x - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( n - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) |
22 |
15 21
|
imbi12d |
|- ( x = n -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` x ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( x - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) <-> ( n e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( n - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) |
23 |
22
|
imbi2d |
|- ( x = n -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` x ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( x - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( n - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ) |
24 |
|
eleq1 |
|- ( x = ( n + 1 ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) |
25 |
|
fveq2 |
|- ( x = ( n + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( n + 1 ) ) ) |
26 |
25
|
oveq2d |
|- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` x ) ) = ( ( F ` M ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) |
27 |
|
oveq1 |
|- ( x = ( n + 1 ) -> ( x - 1 ) = ( ( n + 1 ) - 1 ) ) |
28 |
27
|
oveq2d |
|- ( x = ( n + 1 ) -> ( M ... ( x - 1 ) ) = ( M ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) ) |
29 |
28
|
sumeq1d |
|- ( x = ( n + 1 ) -> sum_ k e. ( M ... ( x - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) = sum_ k e. ( M ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) |
30 |
26 29
|
breq12d |
|- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ( F ` M ) D ( F ` x ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( x - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( ( F ` M ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) |
31 |
24 30
|
imbi12d |
|- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` x ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( x - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) <-> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) |
32 |
31
|
imbi2d |
|- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` x ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( x - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ) |
33 |
|
eleq1 |
|- ( x = N -> ( x e. ( M ... N ) <-> N e. ( M ... N ) ) ) |
34 |
|
fveq2 |
|- ( x = N -> ( F ` x ) = ( F ` N ) ) |
35 |
34
|
oveq2d |
|- ( x = N -> ( ( F ` M ) D ( F ` x ) ) = ( ( F ` M ) D ( F ` N ) ) ) |
36 |
|
oveq1 |
|- ( x = N -> ( x - 1 ) = ( N - 1 ) ) |
37 |
36
|
oveq2d |
|- ( x = N -> ( M ... ( x - 1 ) ) = ( M ... ( N - 1 ) ) ) |
38 |
37
|
sumeq1d |
|- ( x = N -> sum_ k e. ( M ... ( x - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) = sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) |
39 |
35 38
|
breq12d |
|- ( x = N -> ( ( ( F ` M ) D ( F ` x ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( x - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( ( F ` M ) D ( F ` N ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) |
40 |
33 39
|
imbi12d |
|- ( x = N -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` x ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( x - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) <-> ( N e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` N ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) |
41 |
40
|
imbi2d |
|- ( x = N -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` x ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( x - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` N ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ) |
42 |
|
0le0 |
|- 0 <_ 0 |
43 |
42
|
a1i |
|- ( ph -> 0 <_ 0 ) |
44 |
|
eluzfz1 |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) ) |
45 |
2 44
|
syl |
|- ( ph -> M e. ( M ... N ) ) |
46 |
3
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. X ) |
47 |
|
fveq2 |
|- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) ) |
48 |
47
|
eleq1d |
|- ( k = M -> ( ( F ` k ) e. X <-> ( F ` M ) e. X ) ) |
49 |
48
|
rspcv |
|- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. X -> ( F ` M ) e. X ) ) |
50 |
45 46 49
|
sylc |
|- ( ph -> ( F ` M ) e. X ) |
51 |
|
met0 |
|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( F ` M ) e. X ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` M ) ) = 0 ) |
52 |
1 50 51
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( ( F ` M ) D ( F ` M ) ) = 0 ) |
53 |
|
eluzel2 |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ ) |
54 |
2 53
|
syl |
|- ( ph -> M e. ZZ ) |
55 |
54
|
zred |
|- ( ph -> M e. RR ) |
56 |
55
|
ltm1d |
|- ( ph -> ( M - 1 ) < M ) |
57 |
|
peano2zm |
|- ( M e. ZZ -> ( M - 1 ) e. ZZ ) |
58 |
|
fzn |
|- ( ( M e. ZZ /\ ( M - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( M - 1 ) < M <-> ( M ... ( M - 1 ) ) = (/) ) ) |
59 |
54 57 58
|
syl2anc2 |
|- ( ph -> ( ( M - 1 ) < M <-> ( M ... ( M - 1 ) ) = (/) ) ) |
60 |
56 59
|
mpbid |
|- ( ph -> ( M ... ( M - 1 ) ) = (/) ) |
61 |
60
|
sumeq1d |
|- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( M - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) = sum_ k e. (/) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) |
62 |
|
sum0 |
|- sum_ k e. (/) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 0 |
63 |
61 62
|
eqtrdi |
|- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( M - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) = 0 ) |
64 |
43 52 63
|
3brtr4d |
|- ( ph -> ( ( F ` M ) D ( F ` M ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( M - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) |
65 |
64
|
a1d |
|- ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` M ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( M - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) |
66 |
65
|
a1i |
|- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` M ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( M - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) |
67 |
|
peano2fzr |
|- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> n e. ( M ... N ) ) |
68 |
67
|
ex |
|- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> n e. ( M ... N ) ) ) |
69 |
68
|
adantl |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> n e. ( M ... N ) ) ) |
70 |
69
|
imim1d |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( n - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( n - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) |
71 |
1
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> D e. ( Met ` X ) ) |
72 |
50
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( F ` M ) e. X ) |
73 |
|
simp3 |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) |
74 |
46
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. X ) |
75 |
|
fveq2 |
|- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) ) |
76 |
75
|
eleq1d |
|- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) e. X <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. X ) ) |
77 |
76
|
rspcv |
|- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. X -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. X ) ) |
78 |
73 74 77
|
sylc |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. X ) |
79 |
|
fveq2 |
|- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) ) |
80 |
79
|
eleq1d |
|- ( k = n -> ( ( F ` k ) e. X <-> ( F ` n ) e. X ) ) |
81 |
80
|
cbvralvw |
|- ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. X <-> A. n e. ( M ... N ) ( F ` n ) e. X ) |
82 |
74 81
|
sylib |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> A. n e. ( M ... N ) ( F ` n ) e. X ) |
83 |
69
|
3impia |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> n e. ( M ... N ) ) |
84 |
|
rsp |
|- ( A. n e. ( M ... N ) ( F ` n ) e. X -> ( n e. ( M ... N ) -> ( F ` n ) e. X ) ) |
85 |
82 83 84
|
sylc |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( F ` n ) e. X ) |
86 |
|
mettri |
|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( ( F ` M ) e. X /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. X /\ ( F ` n ) e. X ) ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) <_ ( ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) + ( ( F ` n ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) |
87 |
71 72 78 85 86
|
syl13anc |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) <_ ( ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) + ( ( F ` n ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) |
88 |
|
metcl |
|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( F ` M ) e. X /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. X ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) e. RR ) |
89 |
71 72 78 88
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) e. RR ) |
90 |
|
metcl |
|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( F ` M ) e. X /\ ( F ` n ) e. X ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) e. RR ) |
91 |
71 72 85 90
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) e. RR ) |
92 |
|
metcl |
|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( F ` n ) e. X /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. X ) -> ( ( F ` n ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) e. RR ) |
93 |
71 85 78 92
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( ( F ` n ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) e. RR ) |
94 |
91 93
|
readdcld |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) + ( ( F ` n ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) e. RR ) |
95 |
|
fzfid |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( M ... n ) e. Fin ) |
96 |
71
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> D e. ( Met ` X ) ) |
97 |
|
elfzuz3 |
|- ( n e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` n ) ) |
98 |
83 97
|
syl |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` n ) ) |
99 |
|
fzss2 |
|- ( N e. ( ZZ>= ` n ) -> ( M ... n ) C_ ( M ... N ) ) |
100 |
98 99
|
syl |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( M ... n ) C_ ( M ... N ) ) |
101 |
100
|
sselda |
|- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> k e. ( M ... N ) ) |
102 |
3
|
3ad2antl1 |
|- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. X ) |
103 |
101 102
|
syldan |
|- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> ( F ` k ) e. X ) |
104 |
|
elfzuz |
|- ( k e. ( M ... n ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) ) |
105 |
104
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) ) |
106 |
|
peano2uz |
|- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) |
107 |
105 106
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) |
108 |
|
elfzuz3 |
|- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |
109 |
73 108
|
syl |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |
110 |
109
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) |
111 |
|
elfzuz3 |
|- ( k e. ( M ... n ) -> n e. ( ZZ>= ` k ) ) |
112 |
111
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> n e. ( ZZ>= ` k ) ) |
113 |
|
eluzp1p1 |
|- ( n e. ( ZZ>= ` k ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) ) |
114 |
112 113
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) ) |
115 |
|
uztrn |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) ) |
116 |
110 114 115
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) ) |
117 |
|
elfzuzb |
|- ( ( k + 1 ) e. ( M ... N ) <-> ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) ) ) |
118 |
107 116 117
|
sylanbrc |
|- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) |
119 |
|
fveq2 |
|- ( n = ( k + 1 ) -> ( F ` n ) = ( F ` ( k + 1 ) ) ) |
120 |
119
|
eleq1d |
|- ( n = ( k + 1 ) -> ( ( F ` n ) e. X <-> ( F ` ( k + 1 ) ) e. X ) ) |
121 |
120
|
rspccva |
|- ( ( A. n e. ( M ... N ) ( F ` n ) e. X /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. X ) |
122 |
82 121
|
sylan |
|- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) /\ ( k + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. X ) |
123 |
118 122
|
syldan |
|- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. X ) |
124 |
|
metcl |
|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( F ` ( k + 1 ) ) e. X ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. RR ) |
125 |
96 103 123 124
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. RR ) |
126 |
95 125
|
fsumrecl |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> sum_ k e. ( M ... n ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. RR ) |
127 |
|
letr |
|- ( ( ( ( F ` M ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) e. RR /\ ( ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) + ( ( F ` n ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) e. RR /\ sum_ k e. ( M ... n ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( ( F ` M ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) <_ ( ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) + ( ( F ` n ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) /\ ( ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) + ( ( F ` n ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) <_ sum_ k e. ( M ... n ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) <_ sum_ k e. ( M ... n ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) |
128 |
89 94 126 127
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( ( F ` M ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) <_ ( ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) + ( ( F ` n ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) /\ ( ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) + ( ( F ` n ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) <_ sum_ k e. ( M ... n ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) <_ sum_ k e. ( M ... n ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) |
129 |
87 128
|
mpand |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) + ( ( F ` n ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) <_ sum_ k e. ( M ... n ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) <_ sum_ k e. ( M ... n ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) |
130 |
|
fzfid |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( M ... ( n - 1 ) ) e. Fin ) |
131 |
|
fzssp1 |
|- ( M ... ( n - 1 ) ) C_ ( M ... ( ( n - 1 ) + 1 ) ) |
132 |
|
eluzelz |
|- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ ) |
133 |
132
|
3ad2ant2 |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> n e. ZZ ) |
134 |
133
|
zcnd |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> n e. CC ) |
135 |
|
ax-1cn |
|- 1 e. CC |
136 |
|
npcan |
|- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( n - 1 ) + 1 ) = n ) |
137 |
134 135 136
|
sylancl |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( ( n - 1 ) + 1 ) = n ) |
138 |
137
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( M ... ( ( n - 1 ) + 1 ) ) = ( M ... n ) ) |
139 |
131 138
|
sseqtrid |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( M ... ( n - 1 ) ) C_ ( M ... n ) ) |
140 |
139
|
sselda |
|- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) /\ k e. ( M ... ( n - 1 ) ) ) -> k e. ( M ... n ) ) |
141 |
140 125
|
syldan |
|- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) /\ k e. ( M ... ( n - 1 ) ) ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. RR ) |
142 |
130 141
|
fsumrecl |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( n - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. RR ) |
143 |
91 142 93
|
leadd1d |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( n - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) + ( ( F ` n ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) <_ ( sum_ k e. ( M ... ( n - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) + ( ( F ` n ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) ) |
144 |
|
simp2 |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) ) |
145 |
125
|
recnd |
|- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. CC ) |
146 |
|
fvoveq1 |
|- ( k = n -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( n + 1 ) ) ) |
147 |
79 146
|
oveq12d |
|- ( k = n -> ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( F ` n ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) |
148 |
144 145 147
|
fsumm1 |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> sum_ k e. ( M ... n ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( sum_ k e. ( M ... ( n - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) + ( ( F ` n ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) |
149 |
148
|
breq2d |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) + ( ( F ` n ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) <_ sum_ k e. ( M ... n ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) + ( ( F ` n ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) <_ ( sum_ k e. ( M ... ( n - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) + ( ( F ` n ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) ) |
150 |
143 149
|
bitr4d |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( n - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) + ( ( F ` n ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) <_ sum_ k e. ( M ... n ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) |
151 |
|
pncan |
|- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( n + 1 ) - 1 ) = n ) |
152 |
134 135 151
|
sylancl |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( ( n + 1 ) - 1 ) = n ) |
153 |
152
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( M ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) = ( M ... n ) ) |
154 |
153
|
sumeq1d |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) = sum_ k e. ( M ... n ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) |
155 |
154
|
breq2d |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( F ` M ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( ( F ` M ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) <_ sum_ k e. ( M ... n ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) |
156 |
129 150 155
|
3imtr4d |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( n - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) |
157 |
156
|
3expia |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( n - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) |
158 |
157
|
a2d |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( n - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) |
159 |
70 158
|
syld |
|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( n - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) |
160 |
159
|
expcom |
|- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( n - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ) |
161 |
160
|
a2d |
|- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` n ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( n - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` ( n + 1 ) ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( ( n + 1 ) - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) ) |
162 |
14 23 32 41 66 161
|
uzind4 |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` N ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) |
163 |
2 162
|
mpcom |
|- ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) D ( F ` N ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) |
164 |
5 163
|
mpd |
|- ( ph -> ( ( F ` M ) D ( F ` N ) ) <_ sum_ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( ( F ` k ) D ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) |