Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
wemapwe.t |
|- T = { <. x , y >. | E. z e. A ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } |
2 |
|
wemapwe.u |
|- U = { x e. ( B ^m A ) | x finSupp Z } |
3 |
|
wemapwe.2 |
|- ( ph -> R We A ) |
4 |
|
wemapwe.3 |
|- ( ph -> S We B ) |
5 |
|
wemapwe.4 |
|- ( ph -> B =/= (/) ) |
6 |
|
wemapwe.5 |
|- F = OrdIso ( R , A ) |
7 |
|
wemapwe.6 |
|- G = OrdIso ( S , B ) |
8 |
|
wemapwe.7 |
|- Z = ( G ` (/) ) |
9 |
|
eqid |
|- { x e. ( dom G ^m dom F ) | x finSupp ( `' G ` Z ) } = { x e. ( dom G ^m dom F ) | x finSupp ( `' G ` Z ) } |
10 |
|
eqid |
|- ( `' G ` Z ) = ( `' G ` Z ) |
11 |
|
simprr |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> A e. _V ) |
12 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> R We A ) |
13 |
6
|
oiiso |
|- ( ( A e. _V /\ R We A ) -> F Isom _E , R ( dom F , A ) ) |
14 |
11 12 13
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> F Isom _E , R ( dom F , A ) ) |
15 |
|
isof1o |
|- ( F Isom _E , R ( dom F , A ) -> F : dom F -1-1-onto-> A ) |
16 |
14 15
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> F : dom F -1-1-onto-> A ) |
17 |
|
simprl |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> B e. _V ) |
18 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> S We B ) |
19 |
7
|
oiiso |
|- ( ( B e. _V /\ S We B ) -> G Isom _E , S ( dom G , B ) ) |
20 |
17 18 19
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> G Isom _E , S ( dom G , B ) ) |
21 |
|
isof1o |
|- ( G Isom _E , S ( dom G , B ) -> G : dom G -1-1-onto-> B ) |
22 |
|
f1ocnv |
|- ( G : dom G -1-1-onto-> B -> `' G : B -1-1-onto-> dom G ) |
23 |
20 21 22
|
3syl |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> `' G : B -1-1-onto-> dom G ) |
24 |
6
|
oiexg |
|- ( A e. _V -> F e. _V ) |
25 |
24
|
ad2antll |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> F e. _V ) |
26 |
25
|
dmexd |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> dom F e. _V ) |
27 |
7
|
oiexg |
|- ( B e. _V -> G e. _V ) |
28 |
27
|
ad2antrl |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> G e. _V ) |
29 |
28
|
dmexd |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> dom G e. _V ) |
30 |
20 21
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> G : dom G -1-1-onto-> B ) |
31 |
|
f1ofo |
|- ( G : dom G -1-1-onto-> B -> G : dom G -onto-> B ) |
32 |
|
forn |
|- ( G : dom G -onto-> B -> ran G = B ) |
33 |
30 31 32
|
3syl |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ran G = B ) |
34 |
5
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> B =/= (/) ) |
35 |
33 34
|
eqnetrd |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ran G =/= (/) ) |
36 |
|
dm0rn0 |
|- ( dom G = (/) <-> ran G = (/) ) |
37 |
36
|
necon3bii |
|- ( dom G =/= (/) <-> ran G =/= (/) ) |
38 |
35 37
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> dom G =/= (/) ) |
39 |
7
|
oicl |
|- Ord dom G |
40 |
|
ord0eln0 |
|- ( Ord dom G -> ( (/) e. dom G <-> dom G =/= (/) ) ) |
41 |
39 40
|
ax-mp |
|- ( (/) e. dom G <-> dom G =/= (/) ) |
42 |
38 41
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> (/) e. dom G ) |
43 |
7
|
oif |
|- G : dom G --> B |
44 |
43
|
ffvelrni |
|- ( (/) e. dom G -> ( G ` (/) ) e. B ) |
45 |
42 44
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( G ` (/) ) e. B ) |
46 |
8 45
|
eqeltrid |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> Z e. B ) |
47 |
2 9 10 16 23 11 17 26 29 46
|
mapfien |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) : U -1-1-onto-> { x e. ( dom G ^m dom F ) | x finSupp ( `' G ` Z ) } ) |
48 |
|
eqid |
|- { x e. ( dom G ^m dom F ) | x finSupp (/) } = { x e. ( dom G ^m dom F ) | x finSupp (/) } |
49 |
7
|
oion |
|- ( B e. _V -> dom G e. On ) |
50 |
49
|
ad2antrl |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> dom G e. On ) |
51 |
6
|
oion |
|- ( A e. _V -> dom F e. On ) |
52 |
51
|
ad2antll |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> dom F e. On ) |
53 |
48 50 52
|
cantnfdm |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> dom ( dom G CNF dom F ) = { x e. ( dom G ^m dom F ) | x finSupp (/) } ) |
54 |
8
|
fveq2i |
|- ( `' G ` Z ) = ( `' G ` ( G ` (/) ) ) |
55 |
|
f1ocnvfv1 |
|- ( ( G : dom G -1-1-onto-> B /\ (/) e. dom G ) -> ( `' G ` ( G ` (/) ) ) = (/) ) |
56 |
30 42 55
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( `' G ` ( G ` (/) ) ) = (/) ) |
57 |
54 56
|
eqtrid |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( `' G ` Z ) = (/) ) |
58 |
57
|
breq2d |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( x finSupp ( `' G ` Z ) <-> x finSupp (/) ) ) |
59 |
58
|
rabbidv |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> { x e. ( dom G ^m dom F ) | x finSupp ( `' G ` Z ) } = { x e. ( dom G ^m dom F ) | x finSupp (/) } ) |
60 |
53 59
|
eqtr4d |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> dom ( dom G CNF dom F ) = { x e. ( dom G ^m dom F ) | x finSupp ( `' G ` Z ) } ) |
61 |
60
|
f1oeq3d |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) : U -1-1-onto-> dom ( dom G CNF dom F ) <-> ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) : U -1-1-onto-> { x e. ( dom G ^m dom F ) | x finSupp ( `' G ` Z ) } ) ) |
62 |
47 61
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) : U -1-1-onto-> dom ( dom G CNF dom F ) ) |
63 |
|
eqid |
|- dom ( dom G CNF dom F ) = dom ( dom G CNF dom F ) |
64 |
|
eqid |
|- { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } = { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } |
65 |
63 50 52 64
|
oemapwe |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } We dom ( dom G CNF dom F ) /\ dom OrdIso ( { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } , dom ( dom G CNF dom F ) ) = ( dom G ^o dom F ) ) ) |
66 |
65
|
simpld |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } We dom ( dom G CNF dom F ) ) |
67 |
|
eqid |
|- { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } = { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } |
68 |
67
|
f1owe |
|- ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) : U -1-1-onto-> dom ( dom G CNF dom F ) -> ( { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } We dom ( dom G CNF dom F ) -> { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } We U ) ) |
69 |
62 66 68
|
sylc |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } We U ) |
70 |
|
weinxp |
|- ( { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } We U <-> ( { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } i^i ( U X. U ) ) We U ) |
71 |
69 70
|
sylib |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } i^i ( U X. U ) ) We U ) |
72 |
16
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> F : dom F -1-1-onto-> A ) |
73 |
|
f1ofn |
|- ( F : dom F -1-1-onto-> A -> F Fn dom F ) |
74 |
|
fveq2 |
|- ( z = ( F ` c ) -> ( x ` z ) = ( x ` ( F ` c ) ) ) |
75 |
|
fveq2 |
|- ( z = ( F ` c ) -> ( y ` z ) = ( y ` ( F ` c ) ) ) |
76 |
74 75
|
breq12d |
|- ( z = ( F ` c ) -> ( ( x ` z ) S ( y ` z ) <-> ( x ` ( F ` c ) ) S ( y ` ( F ` c ) ) ) ) |
77 |
|
breq1 |
|- ( z = ( F ` c ) -> ( z R w <-> ( F ` c ) R w ) ) |
78 |
77
|
imbi1d |
|- ( z = ( F ` c ) -> ( ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) ) |
79 |
78
|
ralbidv |
|- ( z = ( F ` c ) -> ( A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> A. w e. A ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) ) |
80 |
76 79
|
anbi12d |
|- ( z = ( F ` c ) -> ( ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> ( ( x ` ( F ` c ) ) S ( y ` ( F ` c ) ) /\ A. w e. A ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) ) ) |
81 |
80
|
rexrn |
|- ( F Fn dom F -> ( E. z e. ran F ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> E. c e. dom F ( ( x ` ( F ` c ) ) S ( y ` ( F ` c ) ) /\ A. w e. A ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) ) ) |
82 |
72 73 81
|
3syl |
|- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( E. z e. ran F ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> E. c e. dom F ( ( x ` ( F ` c ) ) S ( y ` ( F ` c ) ) /\ A. w e. A ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) ) ) |
83 |
|
f1ofo |
|- ( F : dom F -1-1-onto-> A -> F : dom F -onto-> A ) |
84 |
|
forn |
|- ( F : dom F -onto-> A -> ran F = A ) |
85 |
72 83 84
|
3syl |
|- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ran F = A ) |
86 |
85
|
rexeqdv |
|- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( E. z e. ran F ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> E. z e. A ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) ) ) |
87 |
28
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> G e. _V ) |
88 |
|
cnvexg |
|- ( G e. _V -> `' G e. _V ) |
89 |
87 88
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> `' G e. _V ) |
90 |
|
vex |
|- x e. _V |
91 |
25
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> F e. _V ) |
92 |
|
coexg |
|- ( ( x e. _V /\ F e. _V ) -> ( x o. F ) e. _V ) |
93 |
90 91 92
|
sylancr |
|- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( x o. F ) e. _V ) |
94 |
|
coexg |
|- ( ( `' G e. _V /\ ( x o. F ) e. _V ) -> ( `' G o. ( x o. F ) ) e. _V ) |
95 |
89 93 94
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( `' G o. ( x o. F ) ) e. _V ) |
96 |
|
vex |
|- y e. _V |
97 |
|
coexg |
|- ( ( y e. _V /\ F e. _V ) -> ( y o. F ) e. _V ) |
98 |
96 91 97
|
sylancr |
|- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( y o. F ) e. _V ) |
99 |
|
coexg |
|- ( ( `' G e. _V /\ ( y o. F ) e. _V ) -> ( `' G o. ( y o. F ) ) e. _V ) |
100 |
89 98 99
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( `' G o. ( y o. F ) ) e. _V ) |
101 |
|
fveq1 |
|- ( a = ( `' G o. ( x o. F ) ) -> ( a ` c ) = ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) ) |
102 |
|
fveq1 |
|- ( b = ( `' G o. ( y o. F ) ) -> ( b ` c ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) ) |
103 |
|
eleq12 |
|- ( ( ( a ` c ) = ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) /\ ( b ` c ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) ) -> ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) <-> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) e. ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) ) ) |
104 |
101 102 103
|
syl2an |
|- ( ( a = ( `' G o. ( x o. F ) ) /\ b = ( `' G o. ( y o. F ) ) ) -> ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) <-> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) e. ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) ) ) |
105 |
|
fveq1 |
|- ( a = ( `' G o. ( x o. F ) ) -> ( a ` d ) = ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) ) |
106 |
|
fveq1 |
|- ( b = ( `' G o. ( y o. F ) ) -> ( b ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) ) |
107 |
105 106
|
eqeqan12d |
|- ( ( a = ( `' G o. ( x o. F ) ) /\ b = ( `' G o. ( y o. F ) ) ) -> ( ( a ` d ) = ( b ` d ) <-> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) ) ) |
108 |
107
|
imbi2d |
|- ( ( a = ( `' G o. ( x o. F ) ) /\ b = ( `' G o. ( y o. F ) ) ) -> ( ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) <-> ( c e. d -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) ) ) ) |
109 |
108
|
ralbidv |
|- ( ( a = ( `' G o. ( x o. F ) ) /\ b = ( `' G o. ( y o. F ) ) ) -> ( A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) <-> A. d e. dom F ( c e. d -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) ) ) ) |
110 |
104 109
|
anbi12d |
|- ( ( a = ( `' G o. ( x o. F ) ) /\ b = ( `' G o. ( y o. F ) ) ) -> ( ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) <-> ( ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) e. ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) ) ) ) ) |
111 |
110
|
rexbidv |
|- ( ( a = ( `' G o. ( x o. F ) ) /\ b = ( `' G o. ( y o. F ) ) ) -> ( E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) <-> E. c e. dom F ( ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) e. ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) ) ) ) ) |
112 |
111 64
|
brabga |
|- ( ( ( `' G o. ( x o. F ) ) e. _V /\ ( `' G o. ( y o. F ) ) e. _V ) -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( `' G o. ( y o. F ) ) <-> E. c e. dom F ( ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) e. ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) ) ) ) ) |
113 |
95 100 112
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( `' G o. ( y o. F ) ) <-> E. c e. dom F ( ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) e. ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) ) ) ) ) |
114 |
|
eqid |
|- ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) = ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) |
115 |
|
coeq1 |
|- ( f = x -> ( f o. F ) = ( x o. F ) ) |
116 |
115
|
coeq2d |
|- ( f = x -> ( `' G o. ( f o. F ) ) = ( `' G o. ( x o. F ) ) ) |
117 |
|
simprl |
|- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> x e. U ) |
118 |
114 116 117 95
|
fvmptd3 |
|- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) = ( `' G o. ( x o. F ) ) ) |
119 |
|
coeq1 |
|- ( f = y -> ( f o. F ) = ( y o. F ) ) |
120 |
119
|
coeq2d |
|- ( f = y -> ( `' G o. ( f o. F ) ) = ( `' G o. ( y o. F ) ) ) |
121 |
|
simprr |
|- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> y e. U ) |
122 |
114 120 121 100
|
fvmptd3 |
|- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) = ( `' G o. ( y o. F ) ) ) |
123 |
118 122
|
breq12d |
|- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) <-> ( `' G o. ( x o. F ) ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( `' G o. ( y o. F ) ) ) ) |
124 |
20
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> G Isom _E , S ( dom G , B ) ) |
125 |
|
isocnv |
|- ( G Isom _E , S ( dom G , B ) -> `' G Isom S , _E ( B , dom G ) ) |
126 |
124 125
|
syl |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> `' G Isom S , _E ( B , dom G ) ) |
127 |
2
|
ssrab3 |
|- U C_ ( B ^m A ) |
128 |
127 117
|
sselid |
|- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> x e. ( B ^m A ) ) |
129 |
|
elmapi |
|- ( x e. ( B ^m A ) -> x : A --> B ) |
130 |
128 129
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> x : A --> B ) |
131 |
6
|
oif |
|- F : dom F --> A |
132 |
131
|
ffvelrni |
|- ( c e. dom F -> ( F ` c ) e. A ) |
133 |
|
ffvelrn |
|- ( ( x : A --> B /\ ( F ` c ) e. A ) -> ( x ` ( F ` c ) ) e. B ) |
134 |
130 132 133
|
syl2an |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( x ` ( F ` c ) ) e. B ) |
135 |
127 121
|
sselid |
|- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> y e. ( B ^m A ) ) |
136 |
|
elmapi |
|- ( y e. ( B ^m A ) -> y : A --> B ) |
137 |
135 136
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> y : A --> B ) |
138 |
|
ffvelrn |
|- ( ( y : A --> B /\ ( F ` c ) e. A ) -> ( y ` ( F ` c ) ) e. B ) |
139 |
137 132 138
|
syl2an |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( y ` ( F ` c ) ) e. B ) |
140 |
|
isorel |
|- ( ( `' G Isom S , _E ( B , dom G ) /\ ( ( x ` ( F ` c ) ) e. B /\ ( y ` ( F ` c ) ) e. B ) ) -> ( ( x ` ( F ` c ) ) S ( y ` ( F ` c ) ) <-> ( `' G ` ( x ` ( F ` c ) ) ) _E ( `' G ` ( y ` ( F ` c ) ) ) ) ) |
141 |
126 134 139 140
|
syl12anc |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( ( x ` ( F ` c ) ) S ( y ` ( F ` c ) ) <-> ( `' G ` ( x ` ( F ` c ) ) ) _E ( `' G ` ( y ` ( F ` c ) ) ) ) ) |
142 |
|
fvex |
|- ( `' G ` ( y ` ( F ` c ) ) ) e. _V |
143 |
142
|
epeli |
|- ( ( `' G ` ( x ` ( F ` c ) ) ) _E ( `' G ` ( y ` ( F ` c ) ) ) <-> ( `' G ` ( x ` ( F ` c ) ) ) e. ( `' G ` ( y ` ( F ` c ) ) ) ) |
144 |
141 143
|
bitrdi |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( ( x ` ( F ` c ) ) S ( y ` ( F ` c ) ) <-> ( `' G ` ( x ` ( F ` c ) ) ) e. ( `' G ` ( y ` ( F ` c ) ) ) ) ) |
145 |
130
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> x : A --> B ) |
146 |
|
fco |
|- ( ( x : A --> B /\ F : dom F --> A ) -> ( x o. F ) : dom F --> B ) |
147 |
145 131 146
|
sylancl |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( x o. F ) : dom F --> B ) |
148 |
|
fvco3 |
|- ( ( ( x o. F ) : dom F --> B /\ c e. dom F ) -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) = ( `' G ` ( ( x o. F ) ` c ) ) ) |
149 |
147 148
|
sylancom |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) = ( `' G ` ( ( x o. F ) ` c ) ) ) |
150 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> c e. dom F ) |
151 |
|
fvco3 |
|- ( ( F : dom F --> A /\ c e. dom F ) -> ( ( x o. F ) ` c ) = ( x ` ( F ` c ) ) ) |
152 |
131 150 151
|
sylancr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( ( x o. F ) ` c ) = ( x ` ( F ` c ) ) ) |
153 |
152
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( `' G ` ( ( x o. F ) ` c ) ) = ( `' G ` ( x ` ( F ` c ) ) ) ) |
154 |
149 153
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) = ( `' G ` ( x ` ( F ` c ) ) ) ) |
155 |
137
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> y : A --> B ) |
156 |
|
fco |
|- ( ( y : A --> B /\ F : dom F --> A ) -> ( y o. F ) : dom F --> B ) |
157 |
155 131 156
|
sylancl |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( y o. F ) : dom F --> B ) |
158 |
|
fvco3 |
|- ( ( ( y o. F ) : dom F --> B /\ c e. dom F ) -> ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) = ( `' G ` ( ( y o. F ) ` c ) ) ) |
159 |
157 158
|
sylancom |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) = ( `' G ` ( ( y o. F ) ` c ) ) ) |
160 |
|
fvco3 |
|- ( ( F : dom F --> A /\ c e. dom F ) -> ( ( y o. F ) ` c ) = ( y ` ( F ` c ) ) ) |
161 |
131 150 160
|
sylancr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( ( y o. F ) ` c ) = ( y ` ( F ` c ) ) ) |
162 |
161
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( `' G ` ( ( y o. F ) ` c ) ) = ( `' G ` ( y ` ( F ` c ) ) ) ) |
163 |
159 162
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) = ( `' G ` ( y ` ( F ` c ) ) ) ) |
164 |
154 163
|
eleq12d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) e. ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) <-> ( `' G ` ( x ` ( F ` c ) ) ) e. ( `' G ` ( y ` ( F ` c ) ) ) ) ) |
165 |
144 164
|
bitr4d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( ( x ` ( F ` c ) ) S ( y ` ( F ` c ) ) <-> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) e. ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) ) ) |
166 |
85
|
raleqdv |
|- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( A. w e. ran F ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> A. w e. A ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) ) |
167 |
|
breq2 |
|- ( w = ( F ` d ) -> ( ( F ` c ) R w <-> ( F ` c ) R ( F ` d ) ) ) |
168 |
|
fveq2 |
|- ( w = ( F ` d ) -> ( x ` w ) = ( x ` ( F ` d ) ) ) |
169 |
|
fveq2 |
|- ( w = ( F ` d ) -> ( y ` w ) = ( y ` ( F ` d ) ) ) |
170 |
168 169
|
eqeq12d |
|- ( w = ( F ` d ) -> ( ( x ` w ) = ( y ` w ) <-> ( x ` ( F ` d ) ) = ( y ` ( F ` d ) ) ) ) |
171 |
167 170
|
imbi12d |
|- ( w = ( F ` d ) -> ( ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> ( ( F ` c ) R ( F ` d ) -> ( x ` ( F ` d ) ) = ( y ` ( F ` d ) ) ) ) ) |
172 |
171
|
ralrn |
|- ( F Fn dom F -> ( A. w e. ran F ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> A. d e. dom F ( ( F ` c ) R ( F ` d ) -> ( x ` ( F ` d ) ) = ( y ` ( F ` d ) ) ) ) ) |
173 |
72 73 172
|
3syl |
|- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( A. w e. ran F ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> A. d e. dom F ( ( F ` c ) R ( F ` d ) -> ( x ` ( F ` d ) ) = ( y ` ( F ` d ) ) ) ) ) |
174 |
166 173
|
bitr3d |
|- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( A. w e. A ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> A. d e. dom F ( ( F ` c ) R ( F ` d ) -> ( x ` ( F ` d ) ) = ( y ` ( F ` d ) ) ) ) ) |
175 |
174
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( A. w e. A ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> A. d e. dom F ( ( F ` c ) R ( F ` d ) -> ( x ` ( F ` d ) ) = ( y ` ( F ` d ) ) ) ) ) |
176 |
|
epel |
|- ( c _E d <-> c e. d ) |
177 |
14
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> F Isom _E , R ( dom F , A ) ) |
178 |
|
isorel |
|- ( ( F Isom _E , R ( dom F , A ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( c _E d <-> ( F ` c ) R ( F ` d ) ) ) |
179 |
177 178
|
sylancom |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( c _E d <-> ( F ` c ) R ( F ` d ) ) ) |
180 |
176 179
|
bitr3id |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( c e. d <-> ( F ` c ) R ( F ` d ) ) ) |
181 |
147
|
adantrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( x o. F ) : dom F --> B ) |
182 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> d e. dom F ) |
183 |
181 182
|
fvco3d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( `' G ` ( ( x o. F ) ` d ) ) ) |
184 |
157
|
adantrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( y o. F ) : dom F --> B ) |
185 |
184 182
|
fvco3d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) = ( `' G ` ( ( y o. F ) ` d ) ) ) |
186 |
183 185
|
eqeq12d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) <-> ( `' G ` ( ( x o. F ) ` d ) ) = ( `' G ` ( ( y o. F ) ` d ) ) ) ) |
187 |
30
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> G : dom G -1-1-onto-> B ) |
188 |
|
f1of1 |
|- ( `' G : B -1-1-onto-> dom G -> `' G : B -1-1-> dom G ) |
189 |
187 22 188
|
3syl |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> `' G : B -1-1-> dom G ) |
190 |
181 182
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( ( x o. F ) ` d ) e. B ) |
191 |
184 182
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( ( y o. F ) ` d ) e. B ) |
192 |
|
f1fveq |
|- ( ( `' G : B -1-1-> dom G /\ ( ( ( x o. F ) ` d ) e. B /\ ( ( y o. F ) ` d ) e. B ) ) -> ( ( `' G ` ( ( x o. F ) ` d ) ) = ( `' G ` ( ( y o. F ) ` d ) ) <-> ( ( x o. F ) ` d ) = ( ( y o. F ) ` d ) ) ) |
193 |
189 190 191 192
|
syl12anc |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( ( `' G ` ( ( x o. F ) ` d ) ) = ( `' G ` ( ( y o. F ) ` d ) ) <-> ( ( x o. F ) ` d ) = ( ( y o. F ) ` d ) ) ) |
194 |
|
fvco3 |
|- ( ( F : dom F --> A /\ d e. dom F ) -> ( ( x o. F ) ` d ) = ( x ` ( F ` d ) ) ) |
195 |
131 182 194
|
sylancr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( ( x o. F ) ` d ) = ( x ` ( F ` d ) ) ) |
196 |
|
fvco3 |
|- ( ( F : dom F --> A /\ d e. dom F ) -> ( ( y o. F ) ` d ) = ( y ` ( F ` d ) ) ) |
197 |
131 182 196
|
sylancr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( ( y o. F ) ` d ) = ( y ` ( F ` d ) ) ) |
198 |
195 197
|
eqeq12d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( ( ( x o. F ) ` d ) = ( ( y o. F ) ` d ) <-> ( x ` ( F ` d ) ) = ( y ` ( F ` d ) ) ) ) |
199 |
186 193 198
|
3bitrd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) <-> ( x ` ( F ` d ) ) = ( y ` ( F ` d ) ) ) ) |
200 |
180 199
|
imbi12d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( c e. dom F /\ d e. dom F ) ) -> ( ( c e. d -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) ) <-> ( ( F ` c ) R ( F ` d ) -> ( x ` ( F ` d ) ) = ( y ` ( F ` d ) ) ) ) ) |
201 |
200
|
anassrs |
|- ( ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) /\ d e. dom F ) -> ( ( c e. d -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) ) <-> ( ( F ` c ) R ( F ` d ) -> ( x ` ( F ` d ) ) = ( y ` ( F ` d ) ) ) ) ) |
202 |
201
|
ralbidva |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( A. d e. dom F ( c e. d -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) ) <-> A. d e. dom F ( ( F ` c ) R ( F ` d ) -> ( x ` ( F ` d ) ) = ( y ` ( F ` d ) ) ) ) ) |
203 |
175 202
|
bitr4d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( A. w e. A ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) <-> A. d e. dom F ( c e. d -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) ) ) ) |
204 |
165 203
|
anbi12d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ c e. dom F ) -> ( ( ( x ` ( F ` c ) ) S ( y ` ( F ` c ) ) /\ A. w e. A ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> ( ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) e. ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) ) ) ) ) |
205 |
204
|
rexbidva |
|- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( E. c e. dom F ( ( x ` ( F ` c ) ) S ( y ` ( F ` c ) ) /\ A. w e. A ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> E. c e. dom F ( ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` c ) e. ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( ( `' G o. ( x o. F ) ) ` d ) = ( ( `' G o. ( y o. F ) ) ` d ) ) ) ) ) |
206 |
113 123 205
|
3bitr4rd |
|- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( E. c e. dom F ( ( x ` ( F ` c ) ) S ( y ` ( F ` c ) ) /\ A. w e. A ( ( F ` c ) R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) ) ) |
207 |
82 86 206
|
3bitr3d |
|- ( ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( E. z e. A ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) ) ) |
208 |
207
|
ex |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( E. z e. A ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) <-> ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) ) ) ) |
209 |
208
|
pm5.32rd |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( ( E. z e. A ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) <-> ( ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) ) ) |
210 |
209
|
opabbidv |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> { <. x , y >. | ( E. z e. A ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) } = { <. x , y >. | ( ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) } ) |
211 |
|
df-xp |
|- ( U X. U ) = { <. x , y >. | ( x e. U /\ y e. U ) } |
212 |
1 211
|
ineq12i |
|- ( T i^i ( U X. U ) ) = ( { <. x , y >. | E. z e. A ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } i^i { <. x , y >. | ( x e. U /\ y e. U ) } ) |
213 |
|
inopab |
|- ( { <. x , y >. | E. z e. A ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) } i^i { <. x , y >. | ( x e. U /\ y e. U ) } ) = { <. x , y >. | ( E. z e. A ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) } |
214 |
212 213
|
eqtri |
|- ( T i^i ( U X. U ) ) = { <. x , y >. | ( E. z e. A ( ( x ` z ) S ( y ` z ) /\ A. w e. A ( z R w -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) } |
215 |
211
|
ineq2i |
|- ( { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } i^i ( U X. U ) ) = ( { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } i^i { <. x , y >. | ( x e. U /\ y e. U ) } ) |
216 |
|
inopab |
|- ( { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } i^i { <. x , y >. | ( x e. U /\ y e. U ) } ) = { <. x , y >. | ( ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) } |
217 |
215 216
|
eqtri |
|- ( { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } i^i ( U X. U ) ) = { <. x , y >. | ( ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) } |
218 |
210 214 217
|
3eqtr4g |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( T i^i ( U X. U ) ) = ( { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } i^i ( U X. U ) ) ) |
219 |
|
weeq1 |
|- ( ( T i^i ( U X. U ) ) = ( { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } i^i ( U X. U ) ) -> ( ( T i^i ( U X. U ) ) We U <-> ( { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } i^i ( U X. U ) ) We U ) ) |
220 |
218 219
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( ( T i^i ( U X. U ) ) We U <-> ( { <. x , y >. | ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` x ) { <. a , b >. | E. c e. dom F ( ( a ` c ) e. ( b ` c ) /\ A. d e. dom F ( c e. d -> ( a ` d ) = ( b ` d ) ) ) } ( ( f e. U |-> ( `' G o. ( f o. F ) ) ) ` y ) } i^i ( U X. U ) ) We U ) ) |
221 |
71 220
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> ( T i^i ( U X. U ) ) We U ) |
222 |
|
weinxp |
|- ( T We U <-> ( T i^i ( U X. U ) ) We U ) |
223 |
221 222
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ ( B e. _V /\ A e. _V ) ) -> T We U ) |
224 |
223
|
ex |
|- ( ph -> ( ( B e. _V /\ A e. _V ) -> T We U ) ) |
225 |
|
we0 |
|- T We (/) |
226 |
|
elmapex |
|- ( x e. ( B ^m A ) -> ( B e. _V /\ A e. _V ) ) |
227 |
226
|
con3i |
|- ( -. ( B e. _V /\ A e. _V ) -> -. x e. ( B ^m A ) ) |
228 |
227
|
pm2.21d |
|- ( -. ( B e. _V /\ A e. _V ) -> ( x e. ( B ^m A ) -> -. x finSupp Z ) ) |
229 |
228
|
ralrimiv |
|- ( -. ( B e. _V /\ A e. _V ) -> A. x e. ( B ^m A ) -. x finSupp Z ) |
230 |
|
rabeq0 |
|- ( { x e. ( B ^m A ) | x finSupp Z } = (/) <-> A. x e. ( B ^m A ) -. x finSupp Z ) |
231 |
229 230
|
sylibr |
|- ( -. ( B e. _V /\ A e. _V ) -> { x e. ( B ^m A ) | x finSupp Z } = (/) ) |
232 |
2 231
|
eqtrid |
|- ( -. ( B e. _V /\ A e. _V ) -> U = (/) ) |
233 |
|
weeq2 |
|- ( U = (/) -> ( T We U <-> T We (/) ) ) |
234 |
232 233
|
syl |
|- ( -. ( B e. _V /\ A e. _V ) -> ( T We U <-> T We (/) ) ) |
235 |
225 234
|
mpbiri |
|- ( -. ( B e. _V /\ A e. _V ) -> T We U ) |
236 |
224 235
|
pm2.61d1 |
|- ( ph -> T We U ) |