Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
hoidmv1lelem1.a |
|- ( ph -> A e. RR ) |
2 |
|
hoidmv1lelem1.b |
|- ( ph -> B e. RR ) |
3 |
|
hoidmv1lelem1.l |
|- ( ph -> A < B ) |
4 |
|
hoidmv1lelem1.c |
|- ( ph -> C : NN --> RR ) |
5 |
|
hoidmv1lelem1.d |
|- ( ph -> D : NN --> RR ) |
6 |
|
hoidmv1lelem1.r |
|- ( ph -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR ) |
7 |
|
hoidmv1lelem1.u |
|- U = { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } |
8 |
|
hoidmv1lelem1.s |
|- S = sup ( U , RR , < ) |
9 |
|
ssrab2 |
|- { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } C_ ( A [,] B ) |
10 |
7 9
|
eqsstri |
|- U C_ ( A [,] B ) |
11 |
10
|
a1i |
|- ( ph -> U C_ ( A [,] B ) ) |
12 |
1
|
rexrd |
|- ( ph -> A e. RR* ) |
13 |
2
|
rexrd |
|- ( ph -> B e. RR* ) |
14 |
1 2 3
|
ltled |
|- ( ph -> A <_ B ) |
15 |
|
lbicc2 |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> A e. ( A [,] B ) ) |
16 |
12 13 14 15
|
syl3anc |
|- ( ph -> A e. ( A [,] B ) ) |
17 |
1
|
recnd |
|- ( ph -> A e. CC ) |
18 |
17
|
subidd |
|- ( ph -> ( A - A ) = 0 ) |
19 |
|
nfv |
|- F/ j ph |
20 |
|
nnex |
|- NN e. _V |
21 |
20
|
a1i |
|- ( ph -> NN e. _V ) |
22 |
|
volf |
|- vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) |
23 |
22
|
a1i |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) ) |
24 |
4
|
ffvelrnda |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) e. RR ) |
25 |
5
|
ffvelrnda |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) e. RR ) |
26 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> A e. RR ) |
27 |
25 26
|
ifcld |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) e. RR ) |
28 |
27
|
rexrd |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) e. RR* ) |
29 |
|
icombl |
|- ( ( ( C ` j ) e. RR /\ if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) e. RR* ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) ) e. dom vol ) |
30 |
24 28 29
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) ) e. dom vol ) |
31 |
23 30
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
32 |
19 21 31
|
sge0ge0mpt |
|- ( ph -> 0 <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) ) ) ) ) ) |
33 |
18 32
|
eqbrtrd |
|- ( ph -> ( A - A ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) ) ) ) ) ) |
34 |
16 33
|
jca |
|- ( ph -> ( A e. ( A [,] B ) /\ ( A - A ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) ) ) ) ) ) ) |
35 |
|
oveq1 |
|- ( z = A -> ( z - A ) = ( A - A ) ) |
36 |
|
breq2 |
|- ( z = A -> ( ( D ` j ) <_ z <-> ( D ` j ) <_ A ) ) |
37 |
|
id |
|- ( z = A -> z = A ) |
38 |
36 37
|
ifbieq2d |
|- ( z = A -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) = if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) ) |
39 |
38
|
oveq2d |
|- ( z = A -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) = ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) ) ) |
40 |
39
|
fveq2d |
|- ( z = A -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) = ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) ) ) ) |
41 |
40
|
mpteq2dv |
|- ( z = A -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) ) ) ) ) |
42 |
41
|
fveq2d |
|- ( z = A -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) = ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) ) ) ) ) ) |
43 |
35 42
|
breq12d |
|- ( z = A -> ( ( z - A ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) <-> ( A - A ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) ) ) ) ) ) ) |
44 |
43
|
elrab |
|- ( A e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } <-> ( A e. ( A [,] B ) /\ ( A - A ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ A , ( D ` j ) , A ) ) ) ) ) ) ) |
45 |
34 44
|
sylibr |
|- ( ph -> A e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } ) |
46 |
45 7
|
eleqtrrdi |
|- ( ph -> A e. U ) |
47 |
46
|
ne0d |
|- ( ph -> U =/= (/) ) |
48 |
1 2 11 47
|
supicc |
|- ( ph -> sup ( U , RR , < ) e. ( A [,] B ) ) |
49 |
8 48
|
eqeltrid |
|- ( ph -> S e. ( A [,] B ) ) |
50 |
8
|
a1i |
|- ( ph -> S = sup ( U , RR , < ) ) |
51 |
|
nfv |
|- F/ z ph |
52 |
1 2
|
iccssred |
|- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR ) |
53 |
11 52
|
sstrd |
|- ( ph -> U C_ RR ) |
54 |
53
|
sselda |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> z e. RR ) |
55 |
|
nfv |
|- F/ j ( ph /\ z e. U ) |
56 |
20
|
a1i |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> NN e. _V ) |
57 |
22
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) ) |
58 |
24
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) e. RR ) |
59 |
25
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) e. RR ) |
60 |
54
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> z e. RR ) |
61 |
59 60
|
ifcld |
|- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) e. RR ) |
62 |
61
|
rexrd |
|- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) e. RR* ) |
63 |
|
icombl |
|- ( ( ( C ` j ) e. RR /\ if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) e. RR* ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) e. dom vol ) |
64 |
58 62 63
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) e. dom vol ) |
65 |
57 64
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
66 |
55 56 65
|
sge0xrclmpt |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) e. RR* ) |
67 |
|
pnfxr |
|- +oo e. RR* |
68 |
67
|
a1i |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> +oo e. RR* ) |
69 |
6
|
rexrd |
|- ( ph -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR* ) |
70 |
69
|
adantr |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR* ) |
71 |
25
|
rexrd |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) e. RR* ) |
72 |
|
icombl |
|- ( ( ( C ` j ) e. RR /\ ( D ` j ) e. RR* ) -> ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) e. dom vol ) |
73 |
24 71 72
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) e. dom vol ) |
74 |
23 73
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
75 |
74
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
76 |
73
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) e. dom vol ) |
77 |
24
|
rexrd |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) e. RR* ) |
78 |
77
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) e. RR* ) |
79 |
71
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) e. RR* ) |
80 |
24
|
leidd |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) <_ ( C ` j ) ) |
81 |
80
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) <_ ( C ` j ) ) |
82 |
|
min1 |
|- ( ( ( D ` j ) e. RR /\ z e. RR ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) <_ ( D ` j ) ) |
83 |
59 60 82
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) <_ ( D ` j ) ) |
84 |
|
icossico |
|- ( ( ( ( C ` j ) e. RR* /\ ( D ` j ) e. RR* ) /\ ( ( C ` j ) <_ ( C ` j ) /\ if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) <_ ( D ` j ) ) ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) |
85 |
78 79 81 83 84
|
syl22anc |
|- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) |
86 |
|
volss |
|- ( ( ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) |
87 |
64 76 85 86
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) |
88 |
55 56 65 75 87
|
sge0lempt |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) ) |
89 |
6
|
ltpnfd |
|- ( ph -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) < +oo ) |
90 |
89
|
adantr |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) < +oo ) |
91 |
66 70 68 88 90
|
xrlelttrd |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) < +oo ) |
92 |
66 68 91
|
xrltned |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) =/= +oo ) |
93 |
92
|
neneqd |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> -. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) = +oo ) |
94 |
|
eqid |
|- ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) |
95 |
65 94
|
fmptd |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) ) |
96 |
56 95
|
sge0repnf |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) e. RR <-> -. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) = +oo ) ) |
97 |
93 96
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) e. RR ) |
98 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> A e. RR ) |
99 |
97 98
|
readdcld |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) + A ) e. RR ) |
100 |
52 49
|
sseldd |
|- ( ph -> S e. RR ) |
101 |
100
|
adantr |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> S e. RR ) |
102 |
25 101
|
ifcld |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) e. RR ) |
103 |
102
|
rexrd |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) e. RR* ) |
104 |
|
icombl |
|- ( ( ( C ` j ) e. RR /\ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) e. RR* ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) e. dom vol ) |
105 |
24 103 104
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) e. dom vol ) |
106 |
23 105
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
107 |
19 21 106
|
sge0xrclmpt |
|- ( ph -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) e. RR* ) |
108 |
67
|
a1i |
|- ( ph -> +oo e. RR* ) |
109 |
|
min1 |
|- ( ( ( D ` j ) e. RR /\ S e. RR ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) <_ ( D ` j ) ) |
110 |
25 101 109
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) <_ ( D ` j ) ) |
111 |
|
icossico |
|- ( ( ( ( C ` j ) e. RR* /\ ( D ` j ) e. RR* ) /\ ( ( C ` j ) <_ ( C ` j ) /\ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) <_ ( D ` j ) ) ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) |
112 |
77 71 80 110 111
|
syl22anc |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) |
113 |
|
volss |
|- ( ( ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) |
114 |
105 73 112 113
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) |
115 |
19 21 106 74 114
|
sge0lempt |
|- ( ph -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) ) |
116 |
107 69 108 115 89
|
xrlelttrd |
|- ( ph -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) < +oo ) |
117 |
107 108 116
|
xrltned |
|- ( ph -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) =/= +oo ) |
118 |
117
|
neneqd |
|- ( ph -> -. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) = +oo ) |
119 |
|
eqid |
|- ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) |
120 |
106 119
|
fmptd |
|- ( ph -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) ) |
121 |
21 120
|
sge0repnf |
|- ( ph -> ( ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) e. RR <-> -. ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) = +oo ) ) |
122 |
118 121
|
mpbird |
|- ( ph -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) e. RR ) |
123 |
122 1
|
readdcld |
|- ( ph -> ( ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) e. RR ) |
124 |
123
|
adantr |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) e. RR ) |
125 |
7
|
eleq2i |
|- ( z e. U <-> z e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } ) |
126 |
125
|
biimpi |
|- ( z e. U -> z e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } ) |
127 |
126
|
adantl |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> z e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } ) |
128 |
|
rabid |
|- ( z e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } <-> ( z e. ( A [,] B ) /\ ( z - A ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) ) ) |
129 |
127 128
|
sylib |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( z e. ( A [,] B ) /\ ( z - A ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) ) ) |
130 |
129
|
simprd |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( z - A ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) ) |
131 |
54 98 97
|
lesubaddd |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( ( z - A ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) <-> z <_ ( ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) + A ) ) ) |
132 |
130 131
|
mpbid |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> z <_ ( ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) + A ) ) |
133 |
122
|
adantr |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) e. RR ) |
134 |
106
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) ) |
135 |
105
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) e. dom vol ) |
136 |
103
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) e. RR* ) |
137 |
61
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ z ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) e. RR ) |
138 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ z ) -> ( D ` j ) = ( D ` j ) ) |
139 |
|
iftrue |
|- ( ( D ` j ) <_ z -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) = ( D ` j ) ) |
140 |
139
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ z ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) = ( D ` j ) ) |
141 |
59
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ z ) -> ( D ` j ) e. RR ) |
142 |
60
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ z ) -> z e. RR ) |
143 |
100
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ z ) -> S e. RR ) |
144 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ z ) -> ( D ` j ) <_ z ) |
145 |
53
|
adantr |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> U C_ RR ) |
146 |
47
|
adantr |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> U =/= (/) ) |
147 |
1 2
|
jca |
|- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) |
148 |
|
iccsupr |
|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ U C_ ( A [,] B ) /\ A e. U ) -> ( U C_ RR /\ U =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) ) |
149 |
147 11 46 148
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( U C_ RR /\ U =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) ) |
150 |
149
|
simp3d |
|- ( ph -> E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) |
151 |
150
|
adantr |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) |
152 |
127 125
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> z e. U ) |
153 |
|
suprub |
|- ( ( ( U C_ RR /\ U =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) /\ z e. U ) -> z <_ sup ( U , RR , < ) ) |
154 |
145 146 151 152 153
|
syl31anc |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> z <_ sup ( U , RR , < ) ) |
155 |
154 8
|
breqtrrdi |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> z <_ S ) |
156 |
155
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ z ) -> z <_ S ) |
157 |
141 142 143 144 156
|
letrd |
|- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ z ) -> ( D ` j ) <_ S ) |
158 |
157
|
iftrued |
|- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ z ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) = ( D ` j ) ) |
159 |
138 140 158
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ z ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) = if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) |
160 |
137 159
|
eqled |
|- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ z ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) <_ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) |
161 |
60
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) -> z e. RR ) |
162 |
59
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) -> ( D ` j ) e. RR ) |
163 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) -> -. ( D ` j ) <_ z ) |
164 |
161 162
|
ltnled |
|- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) -> ( z < ( D ` j ) <-> -. ( D ` j ) <_ z ) ) |
165 |
163 164
|
mpbird |
|- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) -> z < ( D ` j ) ) |
166 |
161 162 165
|
ltled |
|- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) -> z <_ ( D ` j ) ) |
167 |
166
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> z <_ ( D ` j ) ) |
168 |
|
iffalse |
|- ( -. ( D ` j ) <_ z -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) = z ) |
169 |
168
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) = z ) |
170 |
|
iftrue |
|- ( ( D ` j ) <_ S -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) = ( D ` j ) ) |
171 |
170
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) = ( D ` j ) ) |
172 |
169 171
|
breq12d |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> ( if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) <_ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) <-> z <_ ( D ` j ) ) ) |
173 |
167 172
|
mpbird |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) <_ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) |
174 |
155
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> z <_ S ) |
175 |
168
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) = z ) |
176 |
|
iffalse |
|- ( -. ( D ` j ) <_ S -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) = S ) |
177 |
176
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) = S ) |
178 |
175 177
|
breq12d |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> ( if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) <_ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) <-> z <_ S ) ) |
179 |
174 178
|
mpbird |
|- ( ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) <_ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) |
180 |
173 179
|
pm2.61dan |
|- ( ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ z ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) <_ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) |
181 |
160 180
|
pm2.61dan |
|- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) <_ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) |
182 |
|
icossico |
|- ( ( ( ( C ` j ) e. RR* /\ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) e. RR* ) /\ ( ( C ` j ) <_ ( C ` j ) /\ if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) <_ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) |
183 |
78 136 81 181 182
|
syl22anc |
|- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) |
184 |
|
volss |
|- ( ( ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) |
185 |
64 135 183 184
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ z e. U ) /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) |
186 |
55 56 65 134 185
|
sge0lempt |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) |
187 |
97 133 98 186
|
leadd1dd |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> ( ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) + A ) <_ ( ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) ) |
188 |
54 99 124 132 187
|
letrd |
|- ( ( ph /\ z e. U ) -> z <_ ( ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) ) |
189 |
188
|
ex |
|- ( ph -> ( z e. U -> z <_ ( ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) ) ) |
190 |
51 189
|
ralrimi |
|- ( ph -> A. z e. U z <_ ( ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) ) |
191 |
|
suprleub |
|- ( ( ( U C_ RR /\ U =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) /\ ( ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) e. RR ) -> ( sup ( U , RR , < ) <_ ( ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) <-> A. z e. U z <_ ( ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) ) ) |
192 |
53 47 150 123 191
|
syl31anc |
|- ( ph -> ( sup ( U , RR , < ) <_ ( ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) <-> A. z e. U z <_ ( ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) ) ) |
193 |
190 192
|
mpbird |
|- ( ph -> sup ( U , RR , < ) <_ ( ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) ) |
194 |
50 193
|
eqbrtrd |
|- ( ph -> S <_ ( ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) ) |
195 |
100 1 122
|
lesubaddd |
|- ( ph -> ( ( S - A ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) <-> S <_ ( ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + A ) ) ) |
196 |
194 195
|
mpbird |
|- ( ph -> ( S - A ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) |
197 |
49 196
|
jca |
|- ( ph -> ( S e. ( A [,] B ) /\ ( S - A ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) ) |
198 |
|
oveq1 |
|- ( z = S -> ( z - A ) = ( S - A ) ) |
199 |
|
breq2 |
|- ( z = S -> ( ( D ` j ) <_ z <-> ( D ` j ) <_ S ) ) |
200 |
|
id |
|- ( z = S -> z = S ) |
201 |
199 200
|
ifbieq2d |
|- ( z = S -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) = if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) |
202 |
201
|
oveq2d |
|- ( z = S -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) = ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) |
203 |
202
|
fveq2d |
|- ( z = S -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) = ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) |
204 |
203
|
mpteq2dv |
|- ( z = S -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) |
205 |
204
|
fveq2d |
|- ( z = S -> ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) = ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) |
206 |
198 205
|
breq12d |
|- ( z = S -> ( ( z - A ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) <-> ( S - A ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) ) |
207 |
206
|
elrab |
|- ( S e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } <-> ( S e. ( A [,] B ) /\ ( S - A ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) ) |
208 |
197 207
|
sylibr |
|- ( ph -> S e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ ( sum^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } ) |
209 |
208 7
|
eleqtrrdi |
|- ( ph -> S e. U ) |
210 |
209 46 150
|
3jca |
|- ( ph -> ( S e. U /\ A e. U /\ E. x e. RR A. y e. U y <_ x ) ) |