Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elnn1uz2 |
⊢ ( 𝑎 ∈ ℕ ↔ ( 𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ) |
2 |
|
1t1e1 |
⊢ ( 1 · 1 ) = 1 |
3 |
2
|
eqcomi |
⊢ 1 = ( 1 · 1 ) |
4 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑎 = 1 ∧ ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ) → 𝑎 = 1 ) |
5 |
|
oveq2 |
⊢ ( ( 𝑦 + 1 ) = ( #b ‘ 𝑎 ) → ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) = ( 0 ..^ ( #b ‘ 𝑎 ) ) ) |
6 |
5
|
eqcoms |
⊢ ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) → ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) = ( 0 ..^ ( #b ‘ 𝑎 ) ) ) |
7 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑎 = 1 → ( #b ‘ 𝑎 ) = ( #b ‘ 1 ) ) |
8 |
|
blen1 |
⊢ ( #b ‘ 1 ) = 1 |
9 |
7 8
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑎 = 1 → ( #b ‘ 𝑎 ) = 1 ) |
10 |
9
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑎 = 1 → ( 0 ..^ ( #b ‘ 𝑎 ) ) = ( 0 ..^ 1 ) ) |
11 |
|
fzo01 |
⊢ ( 0 ..^ 1 ) = { 0 } |
12 |
10 11
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑎 = 1 → ( 0 ..^ ( #b ‘ 𝑎 ) ) = { 0 } ) |
13 |
6 12
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( 𝑎 = 1 ∧ ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ) → ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) = { 0 } ) |
14 |
13
|
sumeq1d |
⊢ ( ( 𝑎 = 1 ∧ ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) = Σ 𝑘 ∈ { 0 } ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) |
15 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑎 = 1 → ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) = ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 1 ) ) |
16 |
15
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑎 = 1 → ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 1 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) |
17 |
16
|
sumeq2sdv |
⊢ ( 𝑎 = 1 → Σ 𝑘 ∈ { 0 } ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) = Σ 𝑘 ∈ { 0 } ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 1 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) |
18 |
|
c0ex |
⊢ 0 ∈ V |
19 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
20 |
19 19
|
mulcli |
⊢ ( 1 · 1 ) ∈ ℂ |
21 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 1 ) = ( 0 ( digit ‘ 2 ) 1 ) ) |
22 |
|
1ex |
⊢ 1 ∈ V |
23 |
22
|
prid2 |
⊢ 1 ∈ { 0 , 1 } |
24 |
|
0dig2pr01 |
⊢ ( 1 ∈ { 0 , 1 } → ( 0 ( digit ‘ 2 ) 1 ) = 1 ) |
25 |
23 24
|
ax-mp |
⊢ ( 0 ( digit ‘ 2 ) 1 ) = 1 |
26 |
21 25
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 1 ) = 1 ) |
27 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 2 ↑ 𝑘 ) = ( 2 ↑ 0 ) ) |
28 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
29 |
|
exp0 |
⊢ ( 2 ∈ ℂ → ( 2 ↑ 0 ) = 1 ) |
30 |
28 29
|
ax-mp |
⊢ ( 2 ↑ 0 ) = 1 |
31 |
27 30
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 2 ↑ 𝑘 ) = 1 ) |
32 |
26 31
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 1 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) = ( 1 · 1 ) ) |
33 |
32
|
sumsn |
⊢ ( ( 0 ∈ V ∧ ( 1 · 1 ) ∈ ℂ ) → Σ 𝑘 ∈ { 0 } ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 1 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) = ( 1 · 1 ) ) |
34 |
18 20 33
|
mp2an |
⊢ Σ 𝑘 ∈ { 0 } ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 1 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) = ( 1 · 1 ) |
35 |
17 34
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑎 = 1 → Σ 𝑘 ∈ { 0 } ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) = ( 1 · 1 ) ) |
36 |
35
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑎 = 1 ∧ ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ) → Σ 𝑘 ∈ { 0 } ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) = ( 1 · 1 ) ) |
37 |
14 36
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑎 = 1 ∧ ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) = ( 1 · 1 ) ) |
38 |
3 4 37
|
3eqtr4a |
⊢ ( ( 𝑎 = 1 ∧ ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ) → 𝑎 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) |
39 |
38
|
ex |
⊢ ( 𝑎 = 1 → ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) → 𝑎 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) |
40 |
39
|
a1d |
⊢ ( 𝑎 = 1 → ( ∀ 𝑥 ∈ ℕ0 ( ( #b ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 𝑥 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑥 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) → ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) → 𝑎 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) |
41 |
40
|
2a1d |
⊢ ( 𝑎 = 1 → ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 → ( 𝑦 ∈ ℕ → ( ∀ 𝑥 ∈ ℕ0 ( ( #b ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 𝑥 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑥 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) → ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) → 𝑎 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) |
42 |
|
eluzge2nn0 |
⊢ ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝑎 ∈ ℕ0 ) |
43 |
|
nn0ob |
⊢ ( 𝑎 ∈ ℕ0 → ( ( ( 𝑎 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ↔ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) ) |
44 |
43
|
bicomd |
⊢ ( 𝑎 ∈ ℕ0 → ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ↔ ( ( 𝑎 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) ) |
45 |
42 44
|
syl |
⊢ ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ↔ ( ( 𝑎 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) ) |
46 |
|
blennngt2o2 |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ( 𝑎 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( #b ‘ 𝑎 ) = ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) |
47 |
46
|
ex |
⊢ ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( ( 𝑎 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 → ( #b ‘ 𝑎 ) = ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) |
48 |
45 47
|
sylbid |
⊢ ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 → ( #b ‘ 𝑎 ) = ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) |
49 |
48
|
imp |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( #b ‘ 𝑎 ) = ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) |
50 |
|
fveqeq2 |
⊢ ( 𝑥 = ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) → ( ( #b ‘ 𝑥 ) = 𝑦 ↔ ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) = 𝑦 ) ) |
51 |
|
id |
⊢ ( 𝑥 = ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) → 𝑥 = ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) |
52 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑥 = ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) → ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑥 ) = ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) ) |
53 |
52
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑥 = ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) → ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑥 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) |
54 |
53
|
sumeq2sdv |
⊢ ( 𝑥 = ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑥 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) |
55 |
51 54
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑥 = ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) → ( 𝑥 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑥 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ↔ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) |
56 |
50 55
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑥 = ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) → ( ( ( #b ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 𝑥 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑥 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ↔ ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) = 𝑦 → ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) |
57 |
56
|
rspcva |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℕ0 ( ( #b ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 𝑥 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑥 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) → ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) = 𝑦 → ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) |
58 |
|
eqeq1 |
⊢ ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) → ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ↔ ( 𝑦 + 1 ) = ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) |
59 |
|
nncn |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ ) |
60 |
59
|
ad2antll |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → 𝑦 ∈ ℂ ) |
61 |
|
blennn0elnn |
⊢ ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 → ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) ∈ ℕ ) |
62 |
61
|
nncnd |
⊢ ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 → ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
63 |
62
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
64 |
63
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
65 |
|
1cnd |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → 1 ∈ ℂ ) |
66 |
60 64 65
|
addcan2d |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → ( ( 𝑦 + 1 ) = ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ↔ 𝑦 = ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) ) ) |
67 |
|
eqcom |
⊢ ( 𝑦 = ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) ↔ ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) = 𝑦 ) |
68 |
|
nnz |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ ) |
69 |
68
|
ad2antll |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → 𝑦 ∈ ℤ ) |
70 |
|
fzval3 |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℤ → ( 0 ... 𝑦 ) = ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ) |
71 |
69 70
|
syl |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → ( 0 ... 𝑦 ) = ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ) |
72 |
71
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) = ( 0 ... 𝑦 ) ) |
73 |
72
|
sumeq1d |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) |
74 |
|
nnnn0 |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0 ) |
75 |
|
elnn0uz |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℕ0 ↔ 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
76 |
74 75
|
sylib |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
77 |
76
|
ad2antll |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → 𝑦 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
78 |
|
2nn |
⊢ 2 ∈ ℕ |
79 |
78
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑦 ) ) → 2 ∈ ℕ ) |
80 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑦 ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
81 |
80
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑦 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
82 |
|
nn0rp0 |
⊢ ( 𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) |
83 |
42 82
|
syl |
⊢ ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝑎 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) |
84 |
83
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → 𝑎 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) |
85 |
84
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑦 ) ) → 𝑎 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) |
86 |
|
digvalnn0 |
⊢ ( ( 2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) → ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) ∈ ℕ0 ) |
87 |
79 81 85 86
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑦 ) ) → ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) ∈ ℕ0 ) |
88 |
87
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑦 ) → ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) ∈ ℕ0 ) ) |
89 |
88
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑦 ) → ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) ∈ ℕ0 ) ) |
90 |
89
|
imp |
⊢ ( ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑦 ) ) → ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) ∈ ℕ0 ) |
91 |
90
|
nn0cnd |
⊢ ( ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑦 ) ) → ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) ∈ ℂ ) |
92 |
|
2nn0 |
⊢ 2 ∈ ℕ0 |
93 |
92
|
a1i |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑦 ) → 2 ∈ ℕ0 ) |
94 |
|
elfznn0 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑦 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
95 |
93 94
|
nn0expcld |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑦 ) → ( 2 ↑ 𝑘 ) ∈ ℕ0 ) |
96 |
95
|
nn0cnd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑦 ) → ( 2 ↑ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
97 |
96
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑦 ) ) → ( 2 ↑ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
98 |
91 97
|
mulcld |
⊢ ( ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑦 ) ) → ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
99 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) = ( 0 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) ) |
100 |
99 27
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( 0 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 0 ) ) ) |
101 |
30
|
oveq2i |
⊢ ( ( 0 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 0 ) ) = ( ( 0 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · 1 ) |
102 |
100 101
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( 0 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · 1 ) ) |
103 |
77 98 102
|
fsum1p |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( ( 0 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) |
104 |
42
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → 𝑎 ∈ ℕ0 ) |
105 |
42 43
|
syl |
⊢ ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( ( 𝑎 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ↔ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) ) |
106 |
105
|
biimparc |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ( 𝑎 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) |
107 |
|
0dig2nn0o |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ( ( 𝑎 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( 0 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) = 1 ) |
108 |
104 106 107
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( 0 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) = 1 ) |
109 |
108
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → ( 0 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) = 1 ) |
110 |
109
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → ( ( 0 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · 1 ) = ( 1 · 1 ) ) |
111 |
110 2
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → ( ( 0 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · 1 ) = 1 ) |
112 |
|
1z |
⊢ 1 ∈ ℤ |
113 |
112
|
a1i |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → 1 ∈ ℤ ) |
114 |
|
0p1e1 |
⊢ ( 0 + 1 ) = 1 |
115 |
114 112
|
eqeltri |
⊢ ( 0 + 1 ) ∈ ℤ |
116 |
115
|
a1i |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → ( 0 + 1 ) ∈ ℤ ) |
117 |
78
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... 𝑦 ) ) → 2 ∈ ℕ ) |
118 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... 𝑦 ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
119 |
118
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... 𝑦 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
120 |
42
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... 𝑦 ) ) → 𝑎 ∈ ℕ0 ) |
121 |
120 82
|
syl |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... 𝑦 ) ) → 𝑎 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) |
122 |
117 119 121 86
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... 𝑦 ) ) → ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) ∈ ℕ0 ) |
123 |
122
|
ex |
⊢ ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... 𝑦 ) → ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) ∈ ℕ0 ) ) |
124 |
123
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... 𝑦 ) → ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) ∈ ℕ0 ) ) |
125 |
124
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → ( 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... 𝑦 ) → ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) ∈ ℕ0 ) ) |
126 |
125
|
imp |
⊢ ( ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... 𝑦 ) ) → ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) ∈ ℕ0 ) |
127 |
126
|
nn0cnd |
⊢ ( ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... 𝑦 ) ) → ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) ∈ ℂ ) |
128 |
|
2cnd |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... 𝑦 ) → 2 ∈ ℂ ) |
129 |
|
elfznn |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑦 ) → 𝑘 ∈ ℕ ) |
130 |
129
|
nnnn0d |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑦 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
131 |
114
|
oveq1i |
⊢ ( ( 0 + 1 ) ... 𝑦 ) = ( 1 ... 𝑦 ) |
132 |
130 131
|
eleq2s |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... 𝑦 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
133 |
128 132
|
expcld |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... 𝑦 ) → ( 2 ↑ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
134 |
133
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... 𝑦 ) ) → ( 2 ↑ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
135 |
127 134
|
mulcld |
⊢ ( ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... 𝑦 ) ) → ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ∈ ℂ ) |
136 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) = ( ( 𝑖 + 1 ) ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) ) |
137 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( 2 ↑ 𝑘 ) = ( 2 ↑ ( 𝑖 + 1 ) ) ) |
138 |
136 137
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝑖 + 1 ) → ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( ( 𝑖 + 1 ) ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
139 |
113 116 69 135 138
|
fsumshftm |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) = Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 0 + 1 ) − 1 ) ... ( 𝑦 − 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) |
140 |
111 139
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → ( ( ( 0 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · 1 ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) = ( 1 + Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 0 + 1 ) − 1 ) ... ( 𝑦 − 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) |
141 |
73 103 140
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) = ( 1 + Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 0 + 1 ) − 1 ) ... ( 𝑦 − 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) |
142 |
141
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ∧ ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) = ( 1 + Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 0 + 1 ) − 1 ) ... ( 𝑦 − 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) ) |
143 |
78
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ) → 2 ∈ ℕ ) |
144 |
|
elfzoelz |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) → 𝑖 ∈ ℤ ) |
145 |
144
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ) → 𝑖 ∈ ℤ ) |
146 |
|
nn0rp0 |
⊢ ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 → ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) |
147 |
146
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) |
148 |
147
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ) → ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) |
149 |
|
digvalnn0 |
⊢ ( ( 2 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) → ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) ∈ ℕ0 ) |
150 |
143 145 148 149
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ) → ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) ∈ ℕ0 ) |
151 |
150
|
nn0cnd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ) → ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
152 |
151
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) → ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) ∈ ℂ ) ) |
153 |
152
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) → ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) ∈ ℂ ) ) |
154 |
153
|
imp |
⊢ ( ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ) → ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
155 |
92
|
a1i |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) → 2 ∈ ℕ0 ) |
156 |
|
elfzonn0 |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) → 𝑖 ∈ ℕ0 ) |
157 |
155 156
|
nn0expcld |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) → ( 2 ↑ 𝑖 ) ∈ ℕ0 ) |
158 |
157
|
nn0cnd |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) → ( 2 ↑ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
159 |
158
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ) → ( 2 ↑ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
160 |
|
2cnd |
⊢ ( ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ) → 2 ∈ ℂ ) |
161 |
154 159 160
|
mulassd |
⊢ ( ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ) → ( ( ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑖 ) ) · 2 ) = ( ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑖 ) · 2 ) ) ) |
162 |
161
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ) → ( ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑖 ) · 2 ) ) = ( ( ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑖 ) ) · 2 ) ) |
163 |
162
|
sumeq2dv |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑖 ) · 2 ) ) = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑖 ) ) · 2 ) ) |
164 |
163
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ∧ ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑖 ) · 2 ) ) = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑖 ) ) · 2 ) ) |
165 |
|
0cn |
⊢ 0 ∈ ℂ |
166 |
|
pncan1 |
⊢ ( 0 ∈ ℂ → ( ( 0 + 1 ) − 1 ) = 0 ) |
167 |
165 166
|
ax-mp |
⊢ ( ( 0 + 1 ) − 1 ) = 0 |
168 |
167
|
a1i |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℕ → ( ( 0 + 1 ) − 1 ) = 0 ) |
169 |
168
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℕ → ( ( ( 0 + 1 ) − 1 ) ... ( 𝑦 − 1 ) ) = ( 0 ... ( 𝑦 − 1 ) ) ) |
170 |
|
fzoval |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℤ → ( 0 ..^ 𝑦 ) = ( 0 ... ( 𝑦 − 1 ) ) ) |
171 |
68 170
|
syl |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℕ → ( 0 ..^ 𝑦 ) = ( 0 ... ( 𝑦 − 1 ) ) ) |
172 |
169 171
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℕ → ( ( ( 0 + 1 ) − 1 ) ... ( 𝑦 − 1 ) ) = ( 0 ..^ 𝑦 ) ) |
173 |
172
|
ad2antll |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → ( ( ( 0 + 1 ) − 1 ) ... ( 𝑦 − 1 ) ) = ( 0 ..^ 𝑦 ) ) |
174 |
|
simprlr |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
175 |
|
elfznn0 |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( 0 ... ( 𝑦 − 1 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 ) |
176 |
167
|
oveq1i |
⊢ ( ( ( 0 + 1 ) − 1 ) ... ( 𝑦 − 1 ) ) = ( 0 ... ( 𝑦 − 1 ) ) |
177 |
175 176
|
eleq2s |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( ( ( 0 + 1 ) − 1 ) ... ( 𝑦 − 1 ) ) → 𝑖 ∈ ℕ0 ) |
178 |
|
dignn0flhalf |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑖 + 1 ) ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) = ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ⌊ ‘ ( 𝑎 / 2 ) ) ) ) |
179 |
174 177 178
|
syl2an |
⊢ ( ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 0 + 1 ) − 1 ) ... ( 𝑦 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) = ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ⌊ ‘ ( 𝑎 / 2 ) ) ) ) |
180 |
|
eluzelz |
⊢ ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝑎 ∈ ℤ ) |
181 |
180
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → 𝑎 ∈ ℤ ) |
182 |
|
nn0z |
⊢ ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 → ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) |
183 |
|
zob |
⊢ ( 𝑎 ∈ ℤ → ( ( ( 𝑎 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ↔ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) |
184 |
180 183
|
syl |
⊢ ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( ( 𝑎 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ↔ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) |
185 |
182 184
|
syl5ibr |
⊢ ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 → ( ( 𝑎 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) |
186 |
185
|
imp |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑎 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) |
187 |
181 186
|
jca |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑎 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) |
188 |
187
|
ancoms |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( 𝑎 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) |
189 |
188
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → ( 𝑎 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) |
190 |
189
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 0 + 1 ) − 1 ) ... ( 𝑦 − 1 ) ) ) → ( 𝑎 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) |
191 |
|
zofldiv2 |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑎 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) → ( ⌊ ‘ ( 𝑎 / 2 ) ) = ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) |
192 |
190 191
|
syl |
⊢ ( ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 0 + 1 ) − 1 ) ... ( 𝑦 − 1 ) ) ) → ( ⌊ ‘ ( 𝑎 / 2 ) ) = ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) |
193 |
192
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 0 + 1 ) − 1 ) ... ( 𝑦 − 1 ) ) ) → ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ⌊ ‘ ( 𝑎 / 2 ) ) ) = ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) ) |
194 |
179 193
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 0 + 1 ) − 1 ) ... ( 𝑦 − 1 ) ) ) → ( ( 𝑖 + 1 ) ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) = ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) ) |
195 |
|
2cnd |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( ( ( 0 + 1 ) − 1 ) ... ( 𝑦 − 1 ) ) → 2 ∈ ℂ ) |
196 |
195 177
|
expp1d |
⊢ ( 𝑖 ∈ ( ( ( 0 + 1 ) − 1 ) ... ( 𝑦 − 1 ) ) → ( 2 ↑ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( ( 2 ↑ 𝑖 ) · 2 ) ) |
197 |
196
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 0 + 1 ) − 1 ) ... ( 𝑦 − 1 ) ) ) → ( 2 ↑ ( 𝑖 + 1 ) ) = ( ( 2 ↑ 𝑖 ) · 2 ) ) |
198 |
194 197
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( ( ( 0 + 1 ) − 1 ) ... ( 𝑦 − 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑖 + 1 ) ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑖 ) · 2 ) ) ) |
199 |
173 198
|
sumeq12dv |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 0 + 1 ) − 1 ) ... ( 𝑦 − 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑖 ) · 2 ) ) ) |
200 |
199
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ∧ ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 0 + 1 ) − 1 ) ... ( 𝑦 − 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( ( 2 ↑ 𝑖 ) · 2 ) ) ) |
201 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) = ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) ) |
202 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( 2 ↑ 𝑘 ) = ( 2 ↑ 𝑖 ) ) |
203 |
201 202
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑘 = 𝑖 → ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) = ( ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑖 ) ) ) |
204 |
203
|
cbvsumv |
⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑖 ) ) |
205 |
204
|
eqeq2i |
⊢ ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ↔ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑖 ) ) ) |
206 |
205
|
biimpi |
⊢ ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) → ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑖 ) ) ) |
207 |
206
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ∧ ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ) → ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑖 ) ) ) |
208 |
207
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ∧ ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ) → ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) · 2 ) = ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑖 ) ) · 2 ) ) |
209 |
|
fzofi |
⊢ ( 0 ..^ 𝑦 ) ∈ Fin |
210 |
209
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ∧ ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ) → ( 0 ..^ 𝑦 ) ∈ Fin ) |
211 |
|
2cnd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ∧ ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ) → 2 ∈ ℂ ) |
212 |
158
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ) → ( 2 ↑ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
213 |
151 212
|
mulcld |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ) → ( ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑖 ) ) ∈ ℂ ) |
214 |
213
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) → ( ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑖 ) ) ∈ ℂ ) ) |
215 |
214
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) → ( ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑖 ) ) ∈ ℂ ) ) |
216 |
215
|
ad2antll |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ∧ ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ) → ( 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) → ( ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑖 ) ) ∈ ℂ ) ) |
217 |
216
|
imp |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ∧ ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ) → ( ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑖 ) ) ∈ ℂ ) |
218 |
210 211 217
|
fsummulc1 |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ∧ ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ) → ( Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑖 ) ) · 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑖 ) ) · 2 ) ) |
219 |
208 218
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ∧ ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ) → ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) · 2 ) = Σ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( ( 𝑖 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑖 ) ) · 2 ) ) |
220 |
164 200 219
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ∧ ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ) → Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 0 + 1 ) − 1 ) ... ( 𝑦 − 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ ( 𝑖 + 1 ) ) ) = ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) · 2 ) ) |
221 |
220
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ∧ ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ) → ( 1 + Σ 𝑖 ∈ ( ( ( 0 + 1 ) − 1 ) ... ( 𝑦 − 1 ) ) ( ( ( 𝑖 + 1 ) ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ ( 𝑖 + 1 ) ) ) ) = ( 1 + ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) · 2 ) ) ) |
222 |
|
eluzelcn |
⊢ ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝑎 ∈ ℂ ) |
223 |
|
peano2cnm |
⊢ ( 𝑎 ∈ ℂ → ( 𝑎 − 1 ) ∈ ℂ ) |
224 |
222 223
|
syl |
⊢ ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝑎 − 1 ) ∈ ℂ ) |
225 |
|
2cnd |
⊢ ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 2 ∈ ℂ ) |
226 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
227 |
226
|
a1i |
⊢ ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 2 ≠ 0 ) |
228 |
224 225 227
|
3jca |
⊢ ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( 𝑎 − 1 ) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) ) |
229 |
228
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ( 𝑎 − 1 ) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) ) |
230 |
|
divcan1 |
⊢ ( ( ( 𝑎 − 1 ) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ) → ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) · 2 ) = ( 𝑎 − 1 ) ) |
231 |
229 230
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) · 2 ) = ( 𝑎 − 1 ) ) |
232 |
231
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( 1 + ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) · 2 ) ) = ( 1 + ( 𝑎 − 1 ) ) ) |
233 |
|
1cnd |
⊢ ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 1 ∈ ℂ ) |
234 |
233 222
|
jca |
⊢ ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 1 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ) ) |
235 |
234
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( 1 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ) ) |
236 |
|
pncan3 |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ) → ( 1 + ( 𝑎 − 1 ) ) = 𝑎 ) |
237 |
235 236
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( 1 + ( 𝑎 − 1 ) ) = 𝑎 ) |
238 |
232 237
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( 1 + ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) · 2 ) ) = 𝑎 ) |
239 |
238
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) → ( 1 + ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) · 2 ) ) = 𝑎 ) |
240 |
239
|
ad2antll |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ∧ ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ) → ( 1 + ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) · 2 ) ) = 𝑎 ) |
241 |
142 221 240
|
3eqtrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ∧ ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) ) → 𝑎 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) |
242 |
241
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) → ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → 𝑎 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) |
243 |
242
|
imim2i |
⊢ ( ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) = 𝑦 → ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) → ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) = 𝑦 → ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → 𝑎 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) |
244 |
243
|
com13 |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) = 𝑦 → ( ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) = 𝑦 → ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) → 𝑎 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) |
245 |
67 244
|
syl5bi |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → ( 𝑦 = ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) → ( ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) = 𝑦 → ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) → 𝑎 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) |
246 |
66 245
|
sylbid |
⊢ ( ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) ∧ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) ) → ( ( 𝑦 + 1 ) = ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) → ( ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) = 𝑦 → ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) → 𝑎 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) |
247 |
246
|
ex |
⊢ ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) → ( ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) → ( ( 𝑦 + 1 ) = ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) → ( ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) = 𝑦 → ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) → 𝑎 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) ) |
248 |
247
|
com23 |
⊢ ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) → ( ( 𝑦 + 1 ) = ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) → ( ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) → ( ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) = 𝑦 → ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) → 𝑎 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) ) |
249 |
58 248
|
sylbid |
⊢ ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) → ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) → ( ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) → ( ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) = 𝑦 → ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) → 𝑎 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) ) |
250 |
249
|
com23 |
⊢ ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) → ( ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) → ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) → ( ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) = 𝑦 → ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) → 𝑎 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) ) |
251 |
250
|
com14 |
⊢ ( ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) = 𝑦 → ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) → ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) → ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) → 𝑎 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) ) |
252 |
251
|
exp4c |
⊢ ( ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) = 𝑦 → ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 → ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝑦 ∈ ℕ → ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) → ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) → 𝑎 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) |
253 |
252
|
com35 |
⊢ ( ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) = 𝑦 → ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 → ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) → ( 𝑦 ∈ ℕ → ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) → 𝑎 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) |
254 |
57 253
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ∧ ∀ 𝑥 ∈ ℕ0 ( ( #b ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 𝑥 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑥 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 → ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) → ( 𝑦 ∈ ℕ → ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) → 𝑎 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) |
255 |
254
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 → ( ∀ 𝑥 ∈ ℕ0 ( ( #b ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 𝑥 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑥 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) → ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 → ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) → ( 𝑦 ∈ ℕ → ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) → 𝑎 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) ) |
256 |
255
|
pm2.43a |
⊢ ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 → ( ∀ 𝑥 ∈ ℕ0 ( ( #b ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 𝑥 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑥 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) → ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) → ( 𝑦 ∈ ℕ → ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) → 𝑎 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) |
257 |
256
|
com25 |
⊢ ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 → ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) → ( 𝑦 ∈ ℕ → ( ∀ 𝑥 ∈ ℕ0 ( ( #b ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 𝑥 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑥 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) → ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) → 𝑎 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) |
258 |
257
|
impcom |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( ( #b ‘ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) → ( 𝑦 ∈ ℕ → ( ∀ 𝑥 ∈ ℕ0 ( ( #b ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 𝑥 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑥 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) → ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) → 𝑎 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) |
259 |
49 258
|
mpd |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑦 ∈ ℕ → ( ∀ 𝑥 ∈ ℕ0 ( ( #b ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 𝑥 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑥 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) → ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) → 𝑎 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) ) |
260 |
259
|
ex |
⊢ ( 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 → ( 𝑦 ∈ ℕ → ( ∀ 𝑥 ∈ ℕ0 ( ( #b ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 𝑥 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑥 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) → ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) → 𝑎 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) |
261 |
41 260
|
jaoi |
⊢ ( ( 𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 → ( 𝑦 ∈ ℕ → ( ∀ 𝑥 ∈ ℕ0 ( ( #b ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 𝑥 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑥 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) → ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) → 𝑎 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) |
262 |
1 261
|
sylbi |
⊢ ( 𝑎 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 → ( 𝑦 ∈ ℕ → ( ∀ 𝑥 ∈ ℕ0 ( ( #b ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 𝑥 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑥 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) → ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) → 𝑎 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) |
263 |
262
|
imp31 |
⊢ ( ( ( 𝑎 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑎 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ ) → ( ∀ 𝑥 ∈ ℕ0 ( ( #b ‘ 𝑥 ) = 𝑦 → 𝑥 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ 𝑦 ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑥 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) → ( ( #b ‘ 𝑎 ) = ( 𝑦 + 1 ) → 𝑎 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ..^ ( 𝑦 + 1 ) ) ( ( 𝑘 ( digit ‘ 2 ) 𝑎 ) · ( 2 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) |