Theorem isprm5 14253

Description: One need only check prime divisors of up to P in order to ensure primality. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isprm5

Distinct variable group:   ,P

Proof of Theorem isprm5

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm4 14227	. 2
2		prmuz2 14235	. . . . . . . 8
3	2	a1i 11	. . . . . . 7
4		eluz2b2 11183	. . . . . . . . . . . . 13
5	4	simprbi 464	. . . . . . . . . . . 12
6		eluzelre 11120	. . . . . . . . . . . . 13
7		eluz2nn 11148	. . . . . . . . . . . . . 14
8	7	nngt0d 10604	. . . . . . . . . . . . 13
9		ltmulgt11 10427	. . . . . . . . . . . . 13
10	6, 6, 8, 9	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12
11	5, 10	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11
12	6, 6	remulcld 9645	. . . . . . . . . . . 12
13	6, 12	ltnled 9753	. . . . . . . . . . 11
14	11, 13	mpbid 210	. . . . . . . . . 10
15		oveq12 6305	. . . . . . . . . . . . 13
16	15	anidms 645	. . . . . . . . . . . 12
17	16	breq1d 4462	. . . . . . . . . . 11
18	17	notbid 294	. . . . . . . . . 10
19	14, 18	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . 9
20	19	imim2d 52	. . . . . . . 8
21		con2 116	. . . . . . . 8
22	20, 21	syl6 33	. . . . . . 7
23	3, 22	imim12d 74	. . . . . 6
24	23	ralimdv2 2864	. . . . 5
25		annim 425	. . . . . . . . 9
26		oveq12 6305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
27	26	anidms 645	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
28	27	breq1d 4462	. . . . . . . . . . . . . . . 16
29		breq1 4455	. . . . . . . . . . . . . . . 16
30	28, 29	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . 15
31	30	rspcev 3210	. . . . . . . . . . . . . 14
32	31	ancom2s 802	. . . . . . . . . . . . 13
33	32	expr 615	. . . . . . . . . . . 12
34	33	ad2ant2lr 747	. . . . . . . . . . 11
35		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . 14
36		eluzelz 11119	. . . . . . . . . . . . . . . 16
37	36	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15
38		eluz2nn 11148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
39	38	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	39	nnne0d 10605	. . . . . . . . . . . . . . 15
41		eluzelz 11119	. . . . . . . . . . . . . . . 16
42	41	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15
43		dvdsval2 13989	. . . . . . . . . . . . . . 15
44	37, 40, 42, 43	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14
45	35, 44	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13
46		eluzelre 11120	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
47	46	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
48	47	recnd 9643	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	48	mulid2d 9635	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	7	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
51		dvdsle 14031	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
52	51	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
53	37, 50, 35, 52	syl21anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . 16
54		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
55	54	neqned 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56	55	necomd 2728	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	6	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
58	47, 57	ltlend 9751	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59	53, 56, 58	mpbir2and 922	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	49, 59	eqbrtrd 4472	. . . . . . . . . . . . . 14
61		1red 9632	. . . . . . . . . . . . . . 15
62	42	zred 10994	. . . . . . . . . . . . . . 15
63		nnre 10568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64		nngt0 10590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
65	63, 64	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66	39, 65	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
67		ltmuldiv 10440	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	61, 62, 66, 67	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14
69	60, 68	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13
70		eluz2b1 11182	. . . . . . . . . . . . 13
71	45, 69, 70	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . 12
72	47, 47	remulcld 9645	. . . . . . . . . . . . . . . 16
73	39, 39	nnmulcld 10608	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
74		nnrp 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
75		nnrp 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76		rpdivcl 11271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
77	74, 75, 76	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
78	50, 73, 77	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	57, 72, 78	lemul1d 11324	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	57	recnd 9643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
81	80, 48, 80, 48, 40, 40	divmuldivd 10386	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
82	73	nncnd 10577	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
83	73	nnne0d 10605	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
84	80, 80, 82, 83	divassd 10380	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
85	81, 84	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . . . 16
86	80, 82, 83	divcan2d 10347	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
87	86	eqcomd 2465	. . . . . . . . . . . . . . . 16
88	85, 87	breq12d 4465	. . . . . . . . . . . . . . 15
89	79, 88	bitr4d 256	. . . . . . . . . . . . . 14
90	89	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . 13
91	80, 48, 40	divcan2d 10347	. . . . . . . . . . . . . 14
92		dvds0lem 13994	. . . . . . . . . . . . . 14
93	37, 45, 42, 91, 92	syl31anc 1231	. . . . . . . . . . . . 13
94	90, 93	jctird 544	. . . . . . . . . . . 12
95		oveq12 6305	. . . . . . . . . . . . . . . 16
96	95	anidms 645	. . . . . . . . . . . . . . 15
97	96	breq1d 4462	. . . . . . . . . . . . . 14
98		breq1 4455	. . . . . . . . . . . . . 14
99	97, 98	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . 13
100	99	rspcev 3210	. . . . . . . . . . . 12
101	71, 94, 100	syl6an 545	. . . . . . . . . . 11
102	72, 57	letrid 9756	. . . . . . . . . . 11
103	34, 101, 102	mpjaod 381	. . . . . . . . . 10
104	103	ex 434	. . . . . . . . 9
105	25, 104	syl5bir 218	. . . . . . . 8
106	105	rexlimdva 2949	. . . . . . 7
107		prmz 14221	. . . . . . . . . . . . . . 15
108	107	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . 14
109	108	zred 10994	. . . . . . . . . . . . 13
110	109, 109	remulcld 9645	. . . . . . . . . . . 12
111		eluzelz 11119	. . . . . . . . . . . . . . 15
112	111	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . . 14
113	112	zred 10994	. . . . . . . . . . . . 13
114	113, 113	remulcld 9645	. . . . . . . . . . . 12
115	41	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . 13
116	115	zred 10994	. . . . . . . . . . . 12
117		eluz2nn 11148	. . . . . . . . . . . . . . 15
118	117	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . . . 14
119		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . 14
120		dvdsle 14031	. . . . . . . . . . . . . . 15
121	120	imp 429	. . . . . . . . . . . . . 14
122	108, 118, 119, 121	syl21anc 1227	. . . . . . . . . . . . 13
123		eluzge2nn0 11149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
124	123	nn0ge0d 10880	. . . . . . . . . . . . . . . 16
125	2, 124	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
126	125	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . 14
127		nnnn0 10827	. . . . . . . . . . . . . . . 16
128	127	nn0ge0d 10880	. . . . . . . . . . . . . . 15
129	118, 128	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14
130		le2msq 10470	. . . . . . . . . . . . . 14
131	109, 126, 113, 129, 130	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . . 13
132	122, 131	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12
133		simplrl 761	. . . . . . . . . . . 12
134	110, 114, 116, 132, 133	letrd 9760	. . . . . . . . . . 11
135		simplrr 762	. . . . . . . . . . . 12
136		dvdstr 14018	. . . . . . . . . . . . 13
137	108, 112, 115, 136	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12
138	119, 135, 137	mp2and 679	. . . . . . . . . . 11
139	134, 138	jc 147	. . . . . . . . . 10
140		exprmfct 14251	. . . . . . . . . . 11
141	140	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10
142	139, 141	reximddv 2933	. . . . . . . . 9
143	142	ex 434	. . . . . . . 8
144	143	rexlimdva 2949	. . . . . . 7
145	106, 144	syld 44	. . . . . 6
146		rexnal 2905	. . . . . 6
147		rexnal 2905	. . . . . 6
148	145, 146, 147	3imtr3g 269	. . . . 5
149	24, 148	impcon4bid 205	. . . 4
150		prmnn 14220	. . . . . . . . 9
151	150	nncnd 10577	. . . . . . . 8
152	151	sqvald 12307	. . . . . . 7
153	152	breq1d 4462	. . . . . 6
154	153	imbi1d 317	. . . . 5
155	154	ralbiia 2887	. . . 4
156	149, 155	syl6bbr 263	. . 3
157	156	pm5.32i 637	. 2
158	1, 157	bitri 249	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  cmul 9518  clt 9649  cle 9650  cdiv 10231  cn 10561  2c2 10610  cz 10889  cuz 11110  crp 11249  cexp 12166  cdvds 13986  cprime 14217

This theorem is referenced by:  pockthg  14424  prmlem1a  14592  isprm7  31192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-seq 12108  df-exp 12167  df-dvds 13987  df-prm 14218