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Theorem scvxcvx

Description: A strictly convex function is convex. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015)

Ref Expression
Hypotheses scvxcvx.1 φ D
scvxcvx.2 φ F : D
scvxcvx.3 φ a D b D a b D
scvxcvx.4 φ x D y D x < y t 0 1 F t x + 1 t y < t F x + 1 t F y
Assertion scvxcvx φ X D Y D T 0 1 F T X + 1 T Y T F X + 1 T F Y

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 scvxcvx.1 φ D
2 scvxcvx.2 φ F : D
3 scvxcvx.3 φ a D b D a b D
4 scvxcvx.4 φ x D y D x < y t 0 1 F t x + 1 t y < t F x + 1 t F y
5 1 adantr φ X D Y D T 0 1 D
6 simpr1 φ X D Y D T 0 1 X D
7 5 6 sseldd φ X D Y D T 0 1 X
8 7 adantr φ X D Y D T 0 1 T 0 1 X
9 simpr2 φ X D Y D T 0 1 Y D
10 5 9 sseldd φ X D Y D T 0 1 Y
11 10 adantr φ X D Y D T 0 1 T 0 1 Y
12 8 11 lttri4d φ X D Y D T 0 1 T 0 1 X < Y X = Y Y < X
13 oveq1 t = T t X = T X
14 oveq2 t = T 1 t = 1 T
15 14 oveq1d t = T 1 t Y = 1 T Y
16 13 15 oveq12d t = T t X + 1 t Y = T X + 1 T Y
17 16 fveq2d t = T F t X + 1 t Y = F T X + 1 T Y
18 oveq1 t = T t F X = T F X
19 14 oveq1d t = T 1 t F Y = 1 T F Y
20 18 19 oveq12d t = T t F X + 1 t F Y = T F X + 1 T F Y
21 17 20 breq12d t = T F t X + 1 t Y < t F X + 1 t F Y F T X + 1 T Y < T F X + 1 T F Y
22 6 adantr φ X D Y D T 0 1 T 0 1 X < Y X D
23 9 adantr φ X D Y D T 0 1 T 0 1 X < Y Y D
24 22 23 jca φ X D Y D T 0 1 T 0 1 X < Y X D Y D
25 simprr φ X D Y D T 0 1 T 0 1 X < Y X < Y
26 simpll φ X D Y D T 0 1 T 0 1 X < Y φ
27 breq1 x = X x < y X < y
28 oveq2 x = X t x = t X
29 28 fvoveq1d x = X F t x + 1 t y = F t X + 1 t y
30 fveq2 x = X F x = F X
31 30 oveq2d x = X t F x = t F X
32 31 oveq1d x = X t F x + 1 t F y = t F X + 1 t F y
33 29 32 breq12d x = X F t x + 1 t y < t F x + 1 t F y F t X + 1 t y < t F X + 1 t F y
34 33 ralbidv x = X t 0 1 F t x + 1 t y < t F x + 1 t F y t 0 1 F t X + 1 t y < t F X + 1 t F y
35 34 imbi2d x = X φ t 0 1 F t x + 1 t y < t F x + 1 t F y φ t 0 1 F t X + 1 t y < t F X + 1 t F y
36 27 35 imbi12d x = X x < y φ t 0 1 F t x + 1 t y < t F x + 1 t F y X < y φ t 0 1 F t X + 1 t y < t F X + 1 t F y
37 breq2 y = Y X < y X < Y
38 oveq2 y = Y 1 t y = 1 t Y
39 38 oveq2d y = Y t X + 1 t y = t X + 1 t Y
40 39 fveq2d y = Y F t X + 1 t y = F t X + 1 t Y
41 fveq2 y = Y F y = F Y
42 41 oveq2d y = Y 1 t F y = 1 t F Y
43 42 oveq2d y = Y t F X + 1 t F y = t F X + 1 t F Y
44 40 43 breq12d y = Y F t X + 1 t y < t F X + 1 t F y F t X + 1 t Y < t F X + 1 t F Y
45 44 ralbidv y = Y t 0 1 F t X + 1 t y < t F X + 1 t F y t 0 1 F t X + 1 t Y < t F X + 1 t F Y
46 45 imbi2d y = Y φ t 0 1 F t X + 1 t y < t F X + 1 t F y φ t 0 1 F t X + 1 t Y < t F X + 1 t F Y
47 37 46 imbi12d y = Y X < y φ t 0 1 F t X + 1 t y < t F X + 1 t F y X < Y φ t 0 1 F t X + 1 t Y < t F X + 1 t F Y
48 4 3expia φ x D y D x < y t 0 1 F t x + 1 t y < t F x + 1 t F y
49 48 ralrimiv φ x D y D x < y t 0 1 F t x + 1 t y < t F x + 1 t F y
50 49 expcom x D y D x < y φ t 0 1 F t x + 1 t y < t F x + 1 t F y
51 50 3expia x D y D x < y φ t 0 1 F t x + 1 t y < t F x + 1 t F y
52 36 47 51 vtocl2ga X D Y D X < Y φ t 0 1 F t X + 1 t Y < t F X + 1 t F Y
53 24 25 26 52 syl3c φ X D Y D T 0 1 T 0 1 X < Y t 0 1 F t X + 1 t Y < t F X + 1 t F Y
54 simprl φ X D Y D T 0 1 T 0 1 X < Y T 0 1
55 21 53 54 rspcdva φ X D Y D T 0 1 T 0 1 X < Y F T X + 1 T Y < T F X + 1 T F Y
56 55 orcd φ X D Y D T 0 1 T 0 1 X < Y F T X + 1 T Y < T F X + 1 T F Y F T X + 1 T Y = T F X + 1 T F Y
57 56 expr φ X D Y D T 0 1 T 0 1 X < Y F T X + 1 T Y < T F X + 1 T F Y F T X + 1 T Y = T F X + 1 T F Y
58 unitssre 0 1
59 simpr3 φ X D Y D T 0 1 T 0 1
60 58 59 sseldi φ X D Y D T 0 1 T
61 60 recnd φ X D Y D T 0 1 T
62 ax-1cn 1
63 pncan3 T 1 T + 1 - T = 1
64 61 62 63 sylancl φ X D Y D T 0 1 T + 1 - T = 1
65 64 oveq1d φ X D Y D T 0 1 T + 1 - T Y = 1 Y
66 subcl 1 T 1 T
67 62 61 66 sylancr φ X D Y D T 0 1 1 T
68 10 recnd φ X D Y D T 0 1 Y
69 61 67 68 adddird φ X D Y D T 0 1 T + 1 - T Y = T Y + 1 T Y
70 68 mulid2d φ X D Y D T 0 1 1 Y = Y
71 65 69 70 3eqtr3d φ X D Y D T 0 1 T Y + 1 T Y = Y
72 71 fveq2d φ X D Y D T 0 1 F T Y + 1 T Y = F Y
73 64 oveq1d φ X D Y D T 0 1 T + 1 - T F Y = 1 F Y
74 2 adantr φ X D Y D T 0 1 F : D
75 74 9 ffvelrnd φ X D Y D T 0 1 F Y
76 75 recnd φ X D Y D T 0 1 F Y
77 61 67 76 adddird φ X D Y D T 0 1 T + 1 - T F Y = T F Y + 1 T F Y
78 76 mulid2d φ X D Y D T 0 1 1 F Y = F Y
79 73 77 78 3eqtr3d φ X D Y D T 0 1 T F Y + 1 T F Y = F Y
80 72 79 eqtr4d φ X D Y D T 0 1 F T Y + 1 T Y = T F Y + 1 T F Y
81 80 adantr φ X D Y D T 0 1 T 0 1 F T Y + 1 T Y = T F Y + 1 T F Y
82 oveq2 X = Y T X = T Y
83 82 fvoveq1d X = Y F T X + 1 T Y = F T Y + 1 T Y
84 fveq2 X = Y F X = F Y
85 84 oveq2d X = Y T F X = T F Y
86 85 oveq1d X = Y T F X + 1 T F Y = T F Y + 1 T F Y
87 83 86 eqeq12d X = Y F T X + 1 T Y = T F X + 1 T F Y F T Y + 1 T Y = T F Y + 1 T F Y
88 81 87 syl5ibrcom φ X D Y D T 0 1 T 0 1 X = Y F T X + 1 T Y = T F X + 1 T F Y
89 olc F T X + 1 T Y = T F X + 1 T F Y F T X + 1 T Y < T F X + 1 T F Y F T X + 1 T Y = T F X + 1 T F Y
90 88 89 syl6 φ X D Y D T 0 1 T 0 1 X = Y F T X + 1 T Y < T F X + 1 T F Y F T X + 1 T Y = T F X + 1 T F Y
91 oveq1 t = 1 T t Y = 1 T Y
92 oveq2 t = 1 T 1 t = 1 1 T
93 92 oveq1d t = 1 T 1 t X = 1 1 T X
94 91 93 oveq12d t = 1 T t Y + 1 t X = 1 T Y + 1 1 T X
95 94 fveq2d t = 1 T F t Y + 1 t X = F 1 T Y + 1 1 T X
96 oveq1 t = 1 T t F Y = 1 T F Y
97 92 oveq1d t = 1 T 1 t F X = 1 1 T F X
98 96 97 oveq12d t = 1 T t F Y + 1 t F X = 1 T F Y + 1 1 T F X
99 95 98 breq12d t = 1 T F t Y + 1 t X < t F Y + 1 t F X F 1 T Y + 1 1 T X < 1 T F Y + 1 1 T F X
100 9 adantr φ X D Y D T 0 1 T 0 1 Y < X Y D
101 6 adantr φ X D Y D T 0 1 T 0 1 Y < X X D
102 100 101 jca φ X D Y D T 0 1 T 0 1 Y < X Y D X D
103 simprr φ X D Y D T 0 1 T 0 1 Y < X Y < X
104 simpll φ X D Y D T 0 1 T 0 1 Y < X φ
105 breq1 x = Y x < y Y < y
106 oveq2 x = Y t x = t Y
107 106 fvoveq1d x = Y F t x + 1 t y = F t Y + 1 t y
108 fveq2 x = Y F x = F Y
109 108 oveq2d x = Y t F x = t F Y
110 109 oveq1d x = Y t F x + 1 t F y = t F Y + 1 t F y
111 107 110 breq12d x = Y F t x + 1 t y < t F x + 1 t F y F t Y + 1 t y < t F Y + 1 t F y
112 111 ralbidv x = Y t 0 1 F t x + 1 t y < t F x + 1 t F y t 0 1 F t Y + 1 t y < t F Y + 1 t F y
113 112 imbi2d x = Y φ t 0 1 F t x + 1 t y < t F x + 1 t F y φ t 0 1 F t Y + 1 t y < t F Y + 1 t F y
114 105 113 imbi12d x = Y x < y φ t 0 1 F t x + 1 t y < t F x + 1 t F y Y < y φ t 0 1 F t Y + 1 t y < t F Y + 1 t F y
115 breq2 y = X Y < y Y < X
116 oveq2 y = X 1 t y = 1 t X
117 116 oveq2d y = X t Y + 1 t y = t Y + 1 t X
118 117 fveq2d y = X F t Y + 1 t y = F t Y + 1 t X
119 fveq2 y = X F y = F X
120 119 oveq2d y = X 1 t F y = 1 t F X
121 120 oveq2d y = X t F Y + 1 t F y = t F Y + 1 t F X
122 118 121 breq12d y = X F t Y + 1 t y < t F Y + 1 t F y F t Y + 1 t X < t F Y + 1 t F X
123 122 ralbidv y = X t 0 1 F t Y + 1 t y < t F Y + 1 t F y t 0 1 F t Y + 1 t X < t F Y + 1 t F X
124 123 imbi2d y = X φ t 0 1 F t Y + 1 t y < t F Y + 1 t F y φ t 0 1 F t Y + 1 t X < t F Y + 1 t F X
125 115 124 imbi12d y = X Y < y φ t 0 1 F t Y + 1 t y < t F Y + 1 t F y Y < X φ t 0 1 F t Y + 1 t X < t F Y + 1 t F X
126 114 125 51 vtocl2ga Y D X D Y < X φ t 0 1 F t Y + 1 t X < t F Y + 1 t F X
127 102 103 104 126 syl3c φ X D Y D T 0 1 T 0 1 Y < X t 0 1 F t Y + 1 t X < t F Y + 1 t F X
128 1re 1
129 elioore T 0 1 T
130 resubcl 1 T 1 T
131 128 129 130 sylancr T 0 1 1 T
132 eliooord T 0 1 0 < T T < 1
133 132 simprd T 0 1 T < 1
134 posdif T 1 T < 1 0 < 1 T
135 129 128 134 sylancl T 0 1 T < 1 0 < 1 T
136 133 135 mpbid T 0 1 0 < 1 T
137 132 simpld T 0 1 0 < T
138 ltsubpos T 1 0 < T 1 T < 1
139 129 128 138 sylancl T 0 1 0 < T 1 T < 1
140 137 139 mpbid T 0 1 1 T < 1
141 0xr 0 *
142 1xr 1 *
143 elioo2 0 * 1 * 1 T 0 1 1 T 0 < 1 T 1 T < 1
144 141 142 143 mp2an 1 T 0 1 1 T 0 < 1 T 1 T < 1
145 131 136 140 144 syl3anbrc T 0 1 1 T 0 1
146 145 ad2antrl φ X D Y D T 0 1 T 0 1 Y < X 1 T 0 1
147 99 127 146 rspcdva φ X D Y D T 0 1 T 0 1 Y < X F 1 T Y + 1 1 T X < 1 T F Y + 1 1 T F X
148 128 60 130 sylancr φ X D Y D T 0 1 1 T
149 148 10 remulcld φ X D Y D T 0 1 1 T Y
150 149 recnd φ X D Y D T 0 1 1 T Y
151 60 7 remulcld φ X D Y D T 0 1 T X
152 151 recnd φ X D Y D T 0 1 T X
153 nncan 1 T 1 1 T = T
154 62 61 153 sylancr φ X D Y D T 0 1 1 1 T = T
155 154 oveq1d φ X D Y D T 0 1 1 1 T X = T X
156 155 oveq2d φ X D Y D T 0 1 1 T Y + 1 1 T X = 1 T Y + T X
157 150 152 156 comraddd φ X D Y D T 0 1 1 T Y + 1 1 T X = T X + 1 T Y
158 157 adantr φ X D Y D T 0 1 T 0 1 Y < X 1 T Y + 1 1 T X = T X + 1 T Y
159 158 fveq2d φ X D Y D T 0 1 T 0 1 Y < X F 1 T Y + 1 1 T X = F T X + 1 T Y
160 148 75 remulcld φ X D Y D T 0 1 1 T F Y
161 160 recnd φ X D Y D T 0 1 1 T F Y
162 74 6 ffvelrnd φ X D Y D T 0 1 F X
163 60 162 remulcld φ X D Y D T 0 1 T F X
164 163 recnd φ X D Y D T 0 1 T F X
165 154 oveq1d φ X D Y D T 0 1 1 1 T F X = T F X
166 165 oveq2d φ X D Y D T 0 1 1 T F Y + 1 1 T F X = 1 T F Y + T F X
167 161 164 166 comraddd φ X D Y D T 0 1 1 T F Y + 1 1 T F X = T F X + 1 T F Y
168 167 adantr φ X D Y D T 0 1 T 0 1 Y < X 1 T F Y + 1 1 T F X = T F X + 1 T F Y
169 147 159 168 3brtr3d φ X D Y D T 0 1 T 0 1 Y < X F T X + 1 T Y < T F X + 1 T F Y
170 169 orcd φ X D Y D T 0 1 T 0 1 Y < X F T X + 1 T Y < T F X + 1 T F Y F T X + 1 T Y = T F X + 1 T F Y
171 170 expr φ X D Y D T 0 1 T 0 1 Y < X F T X + 1 T Y < T F X + 1 T F Y F T X + 1 T Y = T F X + 1 T F Y
172 57 90 171 3jaod φ X D Y D T 0 1 T 0 1 X < Y X = Y Y < X F T X + 1 T Y < T F X + 1 T F Y F T X + 1 T Y = T F X + 1 T F Y
173 12 172 mpd φ X D Y D T 0 1 T 0 1 F T X + 1 T Y < T F X + 1 T F Y F T X + 1 T Y = T F X + 1 T F Y
174 173 ex φ X D Y D T 0 1 T 0 1 F T X + 1 T Y < T F X + 1 T F Y F T X + 1 T Y = T F X + 1 T F Y
175 elpri T 0 1 T = 0 T = 1
176 76 addid2d φ X D Y D T 0 1 0 + F Y = F Y
177 162 recnd φ X D Y D T 0 1 F X
178 177 mul02d φ X D Y D T 0 1 0 F X = 0
179 178 78 oveq12d φ X D Y D T 0 1 0 F X + 1 F Y = 0 + F Y
180 7 recnd φ X D Y D T 0 1 X
181 180 mul02d φ X D Y D T 0 1 0 X = 0
182 181 70 oveq12d φ X D Y D T 0 1 0 X + 1 Y = 0 + Y
183 68 addid2d φ X D Y D T 0 1 0 + Y = Y
184 182 183 eqtrd φ X D Y D T 0 1 0 X + 1 Y = Y
185 184 fveq2d φ X D Y D T 0 1 F 0 X + 1 Y = F Y
186 176 179 185 3eqtr4rd φ X D Y D T 0 1 F 0 X + 1 Y = 0 F X + 1 F Y
187 oveq1 T = 0 T X = 0 X
188 oveq2 T = 0 1 T = 1 0
189 1m0e1 1 0 = 1
190 188 189 eqtrdi T = 0 1 T = 1
191 190 oveq1d T = 0 1 T Y = 1 Y
192 187 191 oveq12d T = 0 T X + 1 T Y = 0 X + 1 Y
193 192 fveq2d T = 0 F T X + 1 T Y = F 0 X + 1 Y
194 oveq1 T = 0 T F X = 0 F X
195 190 oveq1d T = 0 1 T F Y = 1 F Y
196 194 195 oveq12d T = 0 T F X + 1 T F Y = 0 F X + 1 F Y
197 193 196 eqeq12d T = 0 F T X + 1 T Y = T F X + 1 T F Y F 0 X + 1 Y = 0 F X + 1 F Y
198 186 197 syl5ibrcom φ X D Y D T 0 1 T = 0 F T X + 1 T Y = T F X + 1 T F Y
199 177 addid1d φ X D Y D T 0 1 F X + 0 = F X
200 177 mulid2d φ X D Y D T 0 1 1 F X = F X
201 76 mul02d φ X D Y D T 0 1 0 F Y = 0
202 200 201 oveq12d φ X D Y D T 0 1 1 F X + 0 F Y = F X + 0
203 180 mulid2d φ X D Y D T 0 1 1 X = X
204 68 mul02d φ X D Y D T 0 1 0 Y = 0
205 203 204 oveq12d φ X D Y D T 0 1 1 X + 0 Y = X + 0
206 180 addid1d φ X D Y D T 0 1 X + 0 = X
207 205 206 eqtrd φ X D Y D T 0 1 1 X + 0 Y = X
208 207 fveq2d φ X D Y D T 0 1 F 1 X + 0 Y = F X
209 199 202 208 3eqtr4rd φ X D Y D T 0 1 F 1 X + 0 Y = 1 F X + 0 F Y
210 oveq1 T = 1 T X = 1 X
211 oveq2 T = 1 1 T = 1 1
212 1m1e0 1 1 = 0
213 211 212 eqtrdi T = 1 1 T = 0
214 213 oveq1d T = 1 1 T Y = 0 Y
215 210 214 oveq12d T = 1 T X + 1 T Y = 1 X + 0 Y
216 215 fveq2d T = 1 F T X + 1 T Y = F 1 X + 0 Y
217 oveq1 T = 1 T F X = 1 F X
218 213 oveq1d T = 1 1 T F Y = 0 F Y
219 217 218 oveq12d T = 1 T F X + 1 T F Y = 1 F X + 0 F Y
220 216 219 eqeq12d T = 1 F T X + 1 T Y = T F X + 1 T F Y F 1 X + 0 Y = 1 F X + 0 F Y
221 209 220 syl5ibrcom φ X D Y D T 0 1 T = 1 F T X + 1 T Y = T F X + 1 T F Y
222 198 221 jaod φ X D Y D T 0 1 T = 0 T = 1 F T X + 1 T Y = T F X + 1 T F Y
223 175 222 89 syl56 φ X D Y D T 0 1 T 0 1 F T X + 1 T Y < T F X + 1 T F Y F T X + 1 T Y = T F X + 1 T F Y
224 0le1 0 1
225 prunioo 0 * 1 * 0 1 0 1 0 1 = 0 1
226 141 142 224 225 mp3an 0 1 0 1 = 0 1
227 59 226 eleqtrrdi φ X D Y D T 0 1 T 0 1 0 1
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